2018版 第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性
2018学年高中数学必修一课件：第一章1.3-1.3.1第1课时函数的单调性 精品
答案：D
3．函数 f(x)＝x－，1x，≥x0<，0 在 R 上是(
)
A．减函数
B．增函数
C．先减后增
D．无单调性
解析：函数 f(x)的图象如图所示，
由图象结合单调性定义可知，
该函数在 R 上无单调性．
答案：D
4．函数 y＝x2－6x 的单调递减区间是________． 解析：函数 y＝x2－6x 的对称轴为 x＝3，所以函数的 单调递减区间是(－∞，3]． 答案：(－∞，3]
y＝1x的图象向右平移一
个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，
＋∞)．
答案：(1)[－5，－2)，[1，3) [－2，1)，[3，5] (2)(－∞，1)，(1，＋∞)
归纳升华 1．利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是： 先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定 义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间． 2．注意：当单调性相同的区间多于一个时，用 “和”“，”连接，不能用“∪”“或”连接．
[变式训练] 画出函数 y＝x2－2|x|＋2 的图象，并讨 论函数的单调性．
解：y＝x2－2|x|＋2＝x2－2x＋2，x≥0，的图象如图 x2＋2x＋2，x<0
所示，
由图可知，函数在(－∞，－1)和(0，1)上都是减函数， 在(－1，0]和[1，＋∞)上都是增函数．
类型 2 函数单调性的证明 [典例 2] 证明函数 y＝x＋1x6在(0，4]上单调递减． 证明：设 0<x1<x2≤4，则有 y1－y2＝x1＋1x61 －x2＋1x62 ＝ (x1－x2)－16（xx11－x2 x2）＝(x1－x2)1－x116x2.
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值 的不等关系正逆互推，即由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2) ⇔x1<x2(x1>x2)．
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第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f <)(x f D 是增函数.区间叫的单调增区间. D )(x f y =注意：增函数的等价式子：;0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①②③ 函数为21x x <)()(21x f x f <)(x f 增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f >)(x f D 是减函数.区间叫的单调减区间.D )(x f y =注意：(1)减函数的等价式子：；0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x (2)若函数为增函数，且.)(x f )()(,2121x f x f x x <<则题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意)(x f R I 两个不同的自变量都有则（ ）21,x x .0)()(2121>--x x x f x f A.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 )(x f )(x f C.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数)(x f )(x f变式训练：定义在上的函数对任意都有，且R )(x f 120x x <<1)()(2121<--x x x f x f 函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为)(x f y =,2)2(=f 0)(>-x x f ___.例3.证明：函数在上是增函数.x x x f +=3)(R 变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.)0()(>+=a xax x f 1=a 变式训练：已知并用上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？（2）函数的单调减区间是上吗？xx f 1)(=),0()0,(+∞-∞ 例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）. (2).|2||1|)(-++=x x x f 3||2)(2++-=x x x f （3）.|54|)(2+--=x x x f 例2.（直接法）求函数的单调区间.xxx f +-=11)(例3.（复合函数）（2017全国二）函数 的单调递增区间2()ln(28)f x x x =--是( )A. B. C. D. )2,(--∞)1,(--∞),1(+∞),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1） （2）312+-=x x y 652+-=x x y （3）22311x x y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数是实数集上的增函数，令.)(x f R )2()()(x f x f x F --=(1)证明：是上的增函数；)(x F R (2)若求证：.,0)()(21>+x F x F 221>+x x 例2定义在上的函数满足下面三个条件：),0(+∞)(x f ①对任意正数，都有；b a ,)()()(ab f b f a f =+②当时，；1>x 0)(<x f ③.1)2(-=f （1）求的值；)1(f （2）使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；)(x f ),0(+∞（3）求满足的的取值集合.2)13(>+x f x 题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.①正向应用：②逆向应用：例1.在上单调递减，那么与的大小关系是__________.()x f ()+∞,0()12+-a a f ⎪⎭⎫⎝⎛43f 变式训练：已知函数且对任意的，有),1()1()(x f x f x f -=+满足)(1,2121x x x x ≠>设则的大小关系_________..0)()(2121>--x x x f x f ),3(),2(),21(f c f b f a ==-=c b a ,,（2）利用函数的单调性解不等式例2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值)(x f ]1,1[-)1()2(x f x f -<-x范围.变式训练.①设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，)(x f ]3,3[-30≤≤x )(x f 若成立，求的取值范围.)()21(m f m f <-m ②（2015全国二）设函数成立的)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f xx x f 则使得的取值范围是（ ）x A. B. C. D. )1,31(),1(31,(+∞-∞ )31,31(-),31()31,(+∞--∞ ③（2018全国一）设函数，则满足的x 的取值范围()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，()()12f x f x +<是（ ）A ．B ．C ．D ．(]1-∞-，()0+∞，()10-，()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取1)1(42)(2+--=x a x x f ),3[+∞a 值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数2)1(2)(2+--=x a x x f )4,[-∞的取值范围.a例2.若函数在上为增函数，则实数的取值范围⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f R b 是__________.例3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.||a x y -=]4,(-∞a 第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性例1（2014全国二）偶函数的图象关于直线对称，，则)(x f y =2=x 3)3(=f ___________．=-)1(f 例2（2017全国二） 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，()f x (,0)x ∈-∞，则__________.32()2f x x x =+(2)f =例3（2012全国二）设函数的最大值为，最小值为，1sin )1()(22+++=x xx x f M m 奇偶性定 义图象特点备注奇函数★★设函数的定义域为,如果)(x f y =D 对内的任意一个,都有∈D ,且 D x x -,则这个函数叫做奇函数 ()()x f x f -=-关于原点中心对称函数是奇函)(x f 数且在处有0=x 定义,则0)0(=f 偶函数设函数的定义域为,如果对)(x f y =D 内的任意一个,都有,且D x D x ∈-,则这个函数叫做偶函数()()x f x f =-★关于轴对称y则+=______.M m 2.函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数满足，则)(x f )0(42)(≥-=x x f x （ ）=>-}0)2(|{x f x A. B.}42|{>-<x x x 或}40|{><x x x 或C. D.}22|{>-<x x x 或}42|{>-<x x x 或(2)对称变换①；)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于②；)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于③；)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称④;)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.y (3)翻折变换★★①.|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留例5（2010全国二）已知函数,若均不相等，且⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f c b a ,,则的取值范围是( )),()()(c f b f a f ==c b a ⋅⋅A. B. C D.)10,1()6,5()12,10()24,20(例6（2011全国二）已知函数的周期为2，当时，()y f x =[1,1]x ∈-2()f x x =那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）()y f x =|lg |y x =A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②.)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（(0,)+∞）A.B ．C ．D ．3y x =||1y x =+21y x =-+||2x y -=例8（2010大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围1=y a x x y +-=||2a 是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①满足图象关于直线为轴对称；R x x f ∈),()()()(x f y x a f x a f =⇔-=+a x =例9（2018全国二）已知是定义域为的奇函数，满足)(x f ),(+∞-∞，若=2，则（ ）)1()1(x f x f +=-)1(f =++++)50(...)3()2()1(f f f f A ．﹣50 B ．0 C ．2 D ．50②图象关于为轴对称；)()()(x f x b f x a f ⇔-=+2ba x +=③函数与函数的图象关于直线对称.)(x a f y +=)(x b f y -=2ab x -= 如：和的图象，关于直线为轴对称.)(x f y =)1(x f y -=21=x 例10（2015全国二）已知函数则），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -==________.a 二、真题演练1.（2014全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是)(),(x g x f R )(x f )(x g 偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数)()(x g x f )(|)(|x g x f C. 是奇函数 D. 是奇函数|)(|)(x g x f |)()(|x g x f 2.（2015全国一）已知函数，且，则⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 3)(-=a f =( ))6(a f -A.- B.- C.- D.-745434143.（2015全国一）设函数的图像关于直线对称，且)(x f y =x y -=,则（ ）1)4()2(=-+-f f =a A.-1 B.1 C.2 D.44.（2017全国一）函数的部分图像大致为（ ）xxy cos 12sin -=5.（2017全国一）已知函数，则（ ）)2ln(ln )(x x x f -+=A. B.）单调递增在（2,0)(x f ）单调递减在（2,0)(x f C. D.对称的图像关于直线1)(==x x f y ）对称的图像关于点（0,1)(x f y =6.(2017全国三)函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x=++A ．B ．C ．D ．二、课后作业1.若奇函数在上是增函数且最大值为5，那么在上是（ ）)(x f []7,3)(x f []3,7--A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是5-5-C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是5-5-2.若是偶函数，则在上（ ）32)1()(2++-=mx x m x f )(x f ()1,4--A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定m 3.已知函数若为奇函数，则________.()1,21x f x a =-+()f x a =4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的21xb ax x f ++=）（)1,1(-5221=）（f )(x f 解析式___________.第四节：函数的零点一、知识梳理★零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.0)(=x f )(x f x 函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.)()()(x g x f x F -=)(x f )(x g 零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在)(x f []b a ,0)()(<⋅b f a f )(x f 定义域上一定存在零点.[]b a ,例（2011全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43x f x e x =+-（ ）A ． B ． C ． D ．1(,0)4-1(0,)411(,4213(,242、真题演练1.（2017全国三）已知函数有唯一零点，则=（ 211()2()x x f x x x a e e --+=-++a）A ．B ．C ．D ．112-13122.(2018全国一)已知函数，，若存在⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x a x x f x g ++=)()()(x g 两个零点，则的取值范围是__________.a 三、课后作业1.关于的方程的根所在大致区间为（ ）x 015=--x x A. B. C. D.)1,0()2,1()4,3()5,4(2.已知，若）为常数（其中）（R x c b cx bx x x f ∈-++=,,735，）（102=-f 则=________.）（2f。
2018学年高中数学必修1课件：2.2.1 第1课时 函数的单调性 精品
根据下列函数的图象，说明函数的单调性． (1)一次函数y＝kx＋b，当k>0时，函数在R上单调递 增 ，当k<0时，函数在R 上单调递 减 ． (2)反比例函数y＝kx，当k>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递 减，当 k<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递 增 ．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a>0时，函数在－∞，－2ba上单调递 减 ，在 －2ba，＋∞上单调递 增 ，
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0. ∴x1＋x12－xx21＋1＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数．
用定义证明(判断)函数单调性的步骤
[再练一题] 2．证明函数f(x)＝x2＋x 1在(1，＋∞)上单调递增． 【证明】 任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x12x＋1 1－x22x＋2 1＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， ∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0， 又x1<x2，∴x1－x2<0，
2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但 不能用“或”和“∪”连接．
[再练一题]
1．函数f(x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为________.
【解析】 (1)f(x)＝－x2＋|x|＝－－xx22－＋xx，，xx≤>00，， 图象如图所示：
【导学号：37590027】
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上 的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围 推出参数的范围．
2018学年高中数学北师大版必修1课件：2.3 函数的单调性 精品
[再练一题] 1．本例中，“函数 f(x)＝x＋1x”不变，讨论 f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
【解】 设 0＜x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)1－x11x2. ①当 0＜x1＜x2≤1 时，x1－x2＜0， 1－x11x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0， 即 f(x1)＞f(x2)． 因此 f(x)＝x＋1x在(0,1]上是减函数．
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理 3 函数最大值、最小值的概念 阅读教材 P38 第二自然段及左侧“思考”～P39 练习以上内容，完成下列问 题． 1．函数最大值的概念 一般地，对于函数 y＝f(x)，其定义域为 D，如果存在 x0∈D，f(x0)＝M，使 得对于任意的 x∈D，都有 f(x)≤M ，那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值， 即当 x＝x0 时，f(x0)是函数 y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0) ．
A．f(－2)，0 C．f(－2)，2
图 2-3-2 B．0,2 D．f(2)，2
【解析】 由函数最大、最小值概念知，C 正确． 【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3：
解惑：
[小组合作型] 用定义判断或证明函数的单调性
学业分层测评（八） 点击图标进入…
已知 0＜x1＜x2＜1， 则 x1x2－1＜0，x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．
用定义判断或证明单调性的步骤： 1设元：在指定区间内任取 x1，x2 且 x1＜x2. 2作差变形：计算 fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手 段，转化为易判断正负的式子几个因式的积或几个完全平方式的和. 3定号：确定 fx1－fx2的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论. 4判断：根据 fx1－fx2的符号及定义判断函数的单调性.
2018学年高中数学必修1课件：1.3.1 第一课时 函数的单调性 精品
B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3
D．f(x)＝x＋1x
解析：
fx1－fx2 x1－x2
>0⇔f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝
2 x
及
f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x
＋
1 x
在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x
[答案] (1)0，23
[类题通法] “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指 的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调， 则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的 单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝－ x在它的定义域[0，＋∞)上是减函数.
由函数的单调性求参数的取值范围 [例3] (1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－ a)<f(2a－1)，则a的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的 取值范围． [解] (1)由题意可知－ －11<<12－ a－a<1<11，， 解得0<a<1. ① 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， 且f(1－a)<f(2a－1)， ∴1－a>2a－1，
1，x是有理数， 0，x是无理数
就不具有单调性．
由函数图象说明函数的单调性
[例 1] (1)函数 y＝f(x)的图象如图所
示，其增区间是
()
A．[－4,4]
2018版高中数学选修1-1课件：3-3-1 单调性 精品
类型三
已知函数的单调性求参数范围
例4
a 已知函数 f(x)＝x ＋ x(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)
2
上单调递增，求 a 的取值范围． 解答
反思与感悟
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等
式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不
反思与感悟
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，
而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题
中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决
了，整个问题就解决了．
跟踪训练2
已知函数 f(x) ＝ 4x3 ＋ 3tx2 － 6t2x ＋ t － 1 ，其中 x∈R ， t∈R. 当
跟踪训练3 证明：函数f(x)＝ ln x 在区间(0，e)上是增函数． 证明 x
1 x· －ln x 1－ln x x ln x ∵f(x)＝ x ，∴f′(x)＝ x2 ＝ x2 .
又0<x<e，∴ln x<ln e＝1.
1－ln x ∴f′(x)＝ x2 >0，故 f(x)在区间(0，e)上是增函数．
④ 示，则导函数f′(x)的图象可能是________.
答案 解析
原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增； 当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增， 故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.
1 2 3 4 5
3.函数f(x)＝ln
人教A版数学必修一1.3.1第1课时函数的单调性.pptx
误区：应用函数的单调性时，由于忽略函数的定义域而导 致错误
【典例】已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜ f(1－x)，求x的取值范围．
(2) 一 个 函 数 出 现 两 个 或 两 个 以 上 单 调 区 间 时 ， 不 能 用 “∪”而应该用“和”来表示．
(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间是定义域 的子集．
2．求下列函数的单调区间． (1)y＝5x；(2)y＝x2－2x－3；(3)y＝3|x|．
解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)． (2)由于函数 y＝x2－2x－3 的对称轴方程是 x＝1，并且开口 向上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是(1，＋∞)． (3)f(x)＝3|x|＝3－x，3x，x≥x0＜，0. 由一次函数的单调性可得，f(x)的单调减区间是(－∞，0)， 单调增区间是[0，＋∞)．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑 分子有理化．如 f(x)＝ x＋1．
1．证明 f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增 函数．
证明：设 x1＜x2，则 x2－x1＞0， f(x2)－f(x1)＝1＋xx2 2－1＋xx11 ＝ x2－ x1 x1x2－1
【题后总结】已知函数的单调性求参数的取值范围，要注 意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调 性问题，像一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数的 单调性不必用定义研究，直接判断即可．
在本例中，若将“函数f(x)在(－∞，4]上是减函数”改为 “函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？若改为 “函数f(x)在[4，＋∞)上是增函数”呢？
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
高中数学第一章 1.3.1 第1课时函数的单调性优秀课件
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，那么f(x)在区间[a，c]上是增函数.
()
×
2.函数f(x)为R上的减函数，那么f(－3)>f(3)√.( )
3.假设函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，那么函数y＝f(x)是增函×数.( )
自主学习 题型探究 达标检测
题型二 函数单调性的证明
例 2 求证：函数 f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.
反思 感悟
定义法证明或判断函数单调性的四个步骤
跟踪训练 2 利用定义判断 f(x)＝x＋2x3在区间(0，＋∞)上的单调性.
解 任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，那么 f(x2)－f(x1)＝x22＋x23－x12＋x13 ＝2[x2xx11＋＋33－xx2＋1x32＋3]＝x16＋x32－xx2＋1 3.
4.假设函数y＝f(x)在区间D上是增函数，那么函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.
()
√
题型一 利用图象判断函数单调性
例1 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5， －2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.
3.假设y＝f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围.
解 f(1－a)<f(2a－1)等价于 － －11<<12－ a－a<1<1， 1， 1－a>2a－1，
2018学年高中数学选修1-1课件：3.3.1 单调性 精品
[小组合作型] 函数与其导函数图象之间的关系
(1)如图 3-3-1，设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，将 y＝f(x)和 y＝f′(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号).
图 3-3-1
(2)已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3-3-2(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下 面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).
(2)由题图知，当 x＜－1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＜－1 时，函数 y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0 时，xf′(x)＞0，∴f′(x) ＜0， ∴当－1＜x＜0 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 0＜x＜1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x) ＜0， ∴当 0＜x＜1 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 x＞1 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＞1 时，y＝f(x)单调递增.综上可知，③是 y＝f(x)的大致图象.
1.可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于 0.
2.已知 f(x)在区间 D 上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通 常将 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参 数的取值范围.特别地，若 f′(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参 数的取值范围.
[再练一题] 1.f′(x)是 f(x)的导函数，若 f′(x)的图象如图 3-3-3 所示，则 f(x)的图象可能是 ________(填序号).
【导学号：24830079】
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根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区 间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3)． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之 间要用“，”隔开，如本例(3)．
)
x2 (2)用单调性定义证明函数f(x)＝ 2 在区间(0,1)上是减函数． x －1
【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．
【自主解答】 (1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开 口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在 1 (0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝ 在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开 x 口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所 以它在(0，＋∞)上为增函数．
＞0，x1－x2＜0， 则 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 所以函数在(－1,0)上为减函数．
学业分层测评（九）
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函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
【解析】 因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝ 1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．
【答案】 (－∞，1)
[小组合作型] 求函数的单调区间
求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是 减函数． 1 (1)f(x)＝－ ； x
【解析】 ∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)， ∴2x－3>5x＋6， 即x<－3.
【答案】 (－∞，－3)
1．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( A．(－∞，1) C．(－∞，2) B．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
)
【解析】 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称 轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
[探究共研型] 函数单调性的应用
探究 1
若函数 f(x)是其定义域上的增函数，且 f(a)>f(b)，则 a，b 满足什么关
系．如果函数 f(x)是减函数呢？ 【提示】 若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)>f(b)时，a>b；若 函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
【解析】 (1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性． (2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1)．
x＋1，x∈1，2] (3)×.反例：f(x)＝ x－1 函数的单调性与单调区间 阅读教材P29第一段，完成下列问题． 函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是 增函数或减函数 ，那么就说函数y＝f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
探究 2 围是什么？
若函数 f(x)＝x2－2ax＋3 在(2，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范
【提示】 因为函数 f(x)＝x2－2ax＋3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴 为 x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以 a≤2.
(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则( A．f(a)＜f(2a) C．f(a2＋1)＜f(a) B．f(a2)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)
[基础· 初探] 教材整理1 增函数与减函数的定义 阅读教材P27～P28，完成下列问题． 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区 条件 间D上的 任意 两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时 f(x1)＜f(x2) 都有___________ 都有f _________ (x1)＞f(x2)
阶 段 一
1.3
函数的基本性质
阶 段 三
1．3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时
阶 段 二
函数的单调性
学 业 分 层 测 评
1 ． 理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调 性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)
(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求 解． (3)要注意：“函数 f(x)的增区间是(a，b)”与“函数 f(x)在区间(a，b)上单调 递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数 f(x)的增区间的一个子集．
[再练一题] 3．已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x＋6)，求实 数 x 的取值范围为________．
结论
那么就说函数f(x)在区间D上
是 增 函数
那么就说函数f(x)在区间D上
是 减 函数
图示
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．( (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( ) )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增 函数．( )
)
(2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为 ( ) A．b＝3 C．b≤3 B．b≥3 D．b≠3
【精彩点拨】 (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对 应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可． (2)分析函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出 b的取值范围．
2x＋1，x≥1 (2)f(x)＝ 5－x，x<1；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段 求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．
1 【自主解答】 (1)函数f(x)＝－ 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在 x (－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2 －1＜0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， x2 所以，函数 f(x)＝ 2 在区间(0,1)上是减函数． x －1
利用定义证明函数单调性的 4 个步骤
[再练一题] 1 1 2．已知函数f(x)＝ － ，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数. a x
【答案】 B
2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( A．y＝2x＋1 C．y＝3－x B．y＝x2＋1 D．y＝x2＋2x＋1
)
【解析】 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． 【答案】 C
1 3．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，函数f(x)＝－ ，则f(x1)与f(x2)的大小关系 x 是( ) A．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)<f(x2) D．以上都有可能
[再练一题] 1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.
【解析】 因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x) 的单调减区间为(a，＋∞)．
【答案】 (a，＋∞)
函数单调性的判定与证明
(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( A．f(x)＝3－x 1 C．f(x)＝ x B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝x2＋2x
1 【解析】 ∵函数f(x)＝－ 在(－∞，0)上是增函数， x 又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)．
【答案】 B
4．已知函数f(x)＝ax＋2是减函数，则实数a的取值范围是________． 【解析】 易知函数f(x)＝ax＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a<0. 【答案】 (－∞，0)
【证明】 设任意 x2＞x1＞0，则 x2－x1＞0，x1x2＞0.
1 1 1 1 x2－x1 1 1 ∵f(x2)－f(x1)＝a－x －a－x ＝ － ＝ >0，∴f(x2)＞f(x1)， x x x x 2 1 1 2 1 2
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
【答案】 D
(2)设 x1，x2∈(0,1)且 x1＜x2，则
2 2 2 x2 x2－x1x2＋x1 x1 x2 2－x1 f(x1)－f(x2)＝ 2 － ＝ 2 ＝ . 2 x1－1 x2 － 1 x － 1 x － 1 x － 1 x ＋ 1 x － 1 x ＋ 1 2 1 2 1 1 2 2
【自主解答】 (1)因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比 较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比 较f(a )与f(a)的大小，故B错；又因为a
2 2
1 3 2 ＋1－a＝ a－2 ＋ ＞0，所以a2＋1＞a.又 4
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为 (－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增 函数．