命题及其关系 充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。
12命题及其关系充分条件与必要条件
2.(2015高考山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0
有实根”的逆否命题是( D )
(A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 (B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 (C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 (D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
3.(2016贵阳市高三适应性监)若测x,y∈R,则x>y的一个充分不必要条件是
是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ) (A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题 (B)逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命 题 (C)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命 题 (D)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真 命题解析:f′(x)=ex-m,
(C )
(A)|x|>|y| (B)x2>y2 (C) x > y
(D)x3>y3
4.(2015高考重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的( A )
(A)充要条件
(B) 充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
5.若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的必要不充分条
p是q的充分不必要条件
A是B的真子集
p是q的必要不充分条件
B是A的真子集
p是q的充要条件AΒιβλιοθήκη Bp是q的既不充分也不必要条件
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
栏目索引
考点三
充分、必要条件的应用
典例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是 x∈S的必要条件,则m的取值范围为 答案 [0,3] .
解析 由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
栏目索引
2-3 已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
)
D.既不充分也不必要条件
答案 A 因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1, 所以¬ p:x+y=-2,¬ q:x=-1,且y=-1, 易知¬ q⇒¬ p但¬ p⇒/ ¬ q,所以¬ q是¬ p的充分不必要条件,即p是q的充分 不必要条件.
栏目索引
2-2 (2016湖南岳阳平江一中期中)设p:x2-x-20>0,q:log2(x-5)<2,则p是q 的 ( ) B.必要不充分条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B ∵x2-x-20>0,∴x>5或x<-4,∴p:x>5或x<-4.∵log2(x-5)<2,∴0<x -5<4,即5<x<9,∴q:5<x<9,∵{x|5<x<9}⫋{x|x>5或x<-4},∴p是q的必要不 充分条件.故选B.
栏目索引
2.“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
)
答案 B 若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不一定成立,即若(x-1) (x+2)=0,则x=1或-2.
命题及其关系、充分条件与必要条件
【例2】 若ab≠0，试证a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：先证必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 又ab≠0， ∴a2－ab＋b2＝ ≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 再证充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
变式3. 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． 求证：数列{Sn}不是等比数列； 数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 解答：(1)证明：证法一：(反证法)若{Sn}是等比数列， 则 ＝S1S3，即 ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列
01
（了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ）
02
逻辑联结词全称量词与存在量词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 用来判断复合命题的真假的真值表 真 假 假 假
至少 ∀ 全称 存在
01
02
5．命题的否定 (1)全称命题的否定是 命题；特称命题的否定是 命题． (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3.∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
∵a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，∵q≠1，∴q＝0与q≠0矛盾.
【方法规律】
1．对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式．在判断命题正误的过程中，要注意简单 命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系． 2．在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中，可利用图示这种数形结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性． 3．特殊情况下如果命题以p：x∈A，q：x∈B的形式出现，则有：(1)若A⊆B，则p 是q的充分条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
命题及其关系充分条件与必要条件教案
命题及其关系：充分条件与必要条件教案一、教学目标1. 让学生理解命题的概念，能够正确书写简单命题。
2. 让学生掌握充分条件和必要条件的定义，能够判断一个条件是充分还是必要。
3. 培养学生运用逻辑推理解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 命题的概念：命题是判断某件事情的语句，可以是真的，也可以是假的。
2. 充分条件和必要条件的定义：充分条件：如果一个条件能够保证结论的发生，这个条件就是结论的充分条件。
必要条件：如果一个条件是结论发生的前提，这个条件就是结论的必要条件。
三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的判断。
2. 教学难点：如何区分充分条件和必要条件，以及如何在实际问题中运用。
四、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体例子让学生理解命题、充分条件和必要条件的概念。
2. 采用小组讨论法，让学生在小组内讨论如何判断一个条件是充分还是必要。
3. 采用练习法，让学生通过做练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子，如“如果明天不下雨，我们就去公园玩”，引出命题、充分条件和必要条件的概念。
2. 讲解：讲解命题的定义，让学生明白命题是可以判断真假的语句。
讲解充分条件和必要条件的定义，并通过例子让学生判断一个条件是充分还是必要。
3. 互动：让学生在小组内讨论如何判断一个条件是充分还是必要，并分享彼此的看法。
4. 练习：给学生发放练习题，让学生运用所学知识判断题目中的条件是充分还是必要。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调如何区分充分条件和必要条件，以及如何在实际问题中运用。
6. 作业：布置一道课后作业，让学生巩固所学知识。
六、教学延伸1. 让学生了解充分条件和必要条件之间的关系：充分条件不一定必要，必要条件不一定充分。
2. 引导学生思考：如何找出一个命题中的充分条件和必要条件？七、案例分析1. 案例一：判断“如果一个人是男性，他一定有力气”这个命题中的条件是充分还是必要。
命题及其关系、充分条件与必要条件
第一讲命题及其关系、充分条件与必要条件教学目标：1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.一、知识回顾课前热身知识点1、命题在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．知识点2、四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点3、充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.例题辨析推陈出新例1、在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于()A．1B．2C．3D．4[自主解答]原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.[答案] B变式练习1．设原命题是“当c >0时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．解：“当c >0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a >b ，结论是ac >bc .因此它的逆命题：当c >0时，若ac >bc ，则a >b .它是真命题；否命题：当c >0时，若a ≤b ，则ac ≤bc .它是真命题；逆否命题：当c >0时，若ac ≤bc ，则a ≤b .它是真命题.例2(1)(2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[自主解答] (1)“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充要条件是：由a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或1. 故“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．(2)a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．或用排除法：对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.[答案] (1)A (2)A变式练习2．已知命题p ：函数f (x )＝|x －a |在(1，＋∞)上是增函数，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若命题p 为真，则a ≤1；若命题q 为真，则0<a <1.∵由q 能推出p 但由p 不能推出q ，∴p 是q 的必要不充分条件．例3已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．[自主解答] (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10， ∴m ≤3.综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．变式练习3．已知不等式1x －1<1的解集为p ，不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)解析：选A 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.三、归纳总结 方法在握归纳1个转化——正难则反的转化由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．2个区别——“否命题”与“命题的否定”以及“充分条件”与“必要条件”的区别(1)否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．(2)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式，①A 是B 的充分不必要条件是指：A ⇒B 且B ⇒/ A ；②A 的充分不必要条件是B 是指：B ⇒A 且A ⇒/ B ，在解题中一定要弄清它们的区别，以免出现错误．3种方法——判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法．设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法．从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法．p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件.四、拓展延伸 能力升华例1、 (2011·陕西高考)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.[解析] x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4符合题意，所以n ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．[答案] 3或4变式练习1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：选D a ⊥b ⇔a ·b ＝0，a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，∴x ＝0.2．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当m <0，n <0时，mn >0，但mx 2＋ny 2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，则m >0，n >0，即mn >0.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 化简得A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x <0}，C ＝{x |x <0，或x >2}．∵A ∪B ＝C ，∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．五、课后作业 巩固提高一、选择题1．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 2．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．3．(2013·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行解析：选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．4．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 依题意得f (x )＝a 2x 2＋2(a ·b )x ＋b 2.由函数f (x )是偶函数，得a ·b ＝0，又a ·b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得，a ·b ＝0，f (x )＝a 2x 2＋b 2，函数f (x )是偶函数．综上所述，“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的充要条件．5．(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若α⊥β，又α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又因为a ⊂α，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，一定有b ⊥a ，但不能保证b ⊥α，即不能推出α⊥β.6．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即x >0时，m ≥⎝⎛⎭⎫8x x 2＋4max ，而8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤824＝2，故m ≥2.当p 成立时q 不一定成立，即p 不是q 的充分条件，但如果p 不成立，即m <43时，q 一定不成立，即p 是q 的必要不充分条件．二、填空题7．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③8．(2013·石家庄质检)下列四个命题：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； ④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，②也是真命题；在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π2(k ∈Z )”，④是假命题．答案：①②9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .∴m 为4的约数．又∵m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， ∴m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。
命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含答案
命题及其关系、充分条件与必要条件【课前回顾】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充要条件1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．2．在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b2R，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．3．若x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x <1”的充分不必要条件，选A.4．“若a <b ，则ac 2<bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：原命题：“若a <b ，则ac 2<bc 2”，这是假命题，因为若c ＝0时，由a <b ，得到ac 2＝bc 2＝0，不能推出ac 2<bc 2.逆命题：“若ac 2<bc 2，则a <b ”，这是真命题，因为由ac 2<bc 2得到c 2>0，所以两边同除以c 2，得a <b ，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：25．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的________条件． 解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)， 若a ⊥b ，则a·b ＝0， 即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0， 解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件． 答案：必要不充分考点一四种命题的相互关系及真假判断1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．【典型例题】1．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选D原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的，故选D.2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析：选A可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真．其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2.3．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1解析：选C命题中，“已知a>1”是大前提，在四种命题中不能改变；“x>0”是条件，“a x>1”是结论．由于命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故该命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则a x≤1”．故选C.考点二充分、必要条件的判断1．熟记判断充分、必要条件的3种方法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．【典型例题】1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 2．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2， 由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒/ 0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．3．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．4．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R)，则f (x )>0的一个必要不充分条件是( ) A ．x <0 B ．x <0或x >4 C ．|x －1|>1D ．|x －2|>3解析：选C 依题意，f (x )>0⇔x 2－4x >0⇔x <0或x >4.又|x －1|>1⇔x －1<－1或x －1>1，即x <0或x >2，而{x |x <0或x >4}{x |x <0或x >2}，因此选C.【针对训练】1．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D ∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.2．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：选C 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.3． “log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x－3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.考点三 根据充分、必要条件求参数的范围1．解题“2关键”(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． 2．解题“1注意”求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【典型例题】1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}， 设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 又由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}， 设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞)【针对训练】1．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]解析：选D∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.2．已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]解析：选C由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p⇒/ q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.【课后演练】1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，若B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B ＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．5．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x<1时，x2<1不一定成立，∴q假，故选B.6．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.7．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B.答案：充要8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．下列命题：①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．其中真命题的是________(填序号)．解析：①a>b⇒/ a2>b2，且a2>b2⇒/ a>b，故①不正确；②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；③a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故③正确． 答案：②③10．下列命题中为真命题的序号是________． ①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④11．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题解析：选B 对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x ≤1”，易知为假命题，故选B.12．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．13．若x >5是x >a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5，＋∞) B ．[5，＋∞) C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]解析：选D 由x >5是x >a 的充分条件知，{x |x >5}⊆{x |x >a }，∴a ≤5，故选D.14．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：315．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)16．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．17．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)由题意知A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。
【高中数学】第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)不明确命题的条件与结论；(2)对充分必要条件判断错误；(3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件．解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ， 所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]． 所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2. 答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选 A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确．4．下列命题中为真命题的序号是______．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④。
命题及其关系、充分条件与必要条件课件-高三数学一轮复习
［提醒］ 写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
返回
考点二 充分必要条件的判定
讲练型
(1)(2021·北京高考)设函数 f(x)的定义域为［0，1］，则“函数 f(x)
在［0，1］上单调递增”是“函数 f(x)在［0，1］上的最大值为 f(1)”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
∴1＋m≤10， 1－m≤1＋m，
解得0≤m≤3， 故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件． 答案： (1)C (2)［0，3］
返回
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解 参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不 当容易出现漏解或增解的现象．
答案： (1)A (2)B
返回
充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)集合法：若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是 “x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件． (3)等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔ 非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． ［提醒］ 正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而 p不能推出q”．
3.理解充分条件、必要条件与充要 及充分、必要条件的判断考查逻辑
条件的含义．
推理的核心素养．
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的定义及四种命题（1）用语言、符号或式子表达的，可以判断正误的陈述语句，叫做命题。
（2）四种命题及其关系2.充分条件和必要条件充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．从逻辑推理关系上看：(1)若，但，则p是q的充分而不必要条件；(2)若，但，则p是q的必要而不充分条件；(3)若，且，则p是q的充要条件；(4)若，且，则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件．从集合与集合之间关系上看:(1)若，则A是B的充分条件;(2)若，则A是B的必要条件；(3)若，则A是B的充要条件；(4)若且，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件．注意：1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性。
2．两个命题互为逆命题或为否命题，他们的真假没有关系。
考点：1.四种命题之间的转折关系及真假判断例1.（2015浙江）设是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立例2.（2015山东）命题“若m>0,则方程x2+x−m=0有实根”的逆否命题应该是[ ]A. 若方程x2+x−m=0有实根，则m>0B. 若方程x2+x−m=0有实根，则m⩽0C. 若方程x2+x−m=0无实根，则m>0D. 若方程x2+x−m=0无实根，则m⩽0例3.（2014陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）。
A. 真，假，真B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假2.充分条件与必要条件的判断例1.（2015四川）设a、b都是不等于1的正数,则“3^a>3^b>3”是“loga^3<logb^3”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.充分条件和必要条件的应用例1.（2012重庆）已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的（）A. 既不充分也不必要的条件B. 充分而不必要的条件C. 必要而不充分的条件D. 充要条件例2.（ 2011·高考陕西卷）设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .上海高考题15．（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x 2+ax+1=0有虚根”的．（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 16．（2013上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件15、（2014上海）设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件 15、（2015上海）设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
命题及其关系、充分条件与必要条件
(45分钟100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.命题“若x,y都是偶数，则x+y也是偶数”的否命题是( )
(A)若x,y都是偶数，则x+y不是偶数
(B)若x,y都不是偶数，则x+y不是偶数
(C)若x,y都不是偶数，则x+y是偶数
(D)若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数
2.(2012·信阳模拟)已知函数y=f(x)的定义域为D，且D关于坐标原点对称，则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的( )
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
3.(2012·宿州模拟)下列命题：
①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a＞1，则ax2-2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；
≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是
( )
(A)③④ (B)①③ (C)①② (D)②④
4.若集合A={x|2＜x＜3}，B={x|(x+2)(x-a)＜0}，则“a=1”是“A∩B=Ø”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
＜1，则p是 q成立的( )
5.已知条件p:x≤1，条件q:1
x
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
6.(2012·郑州模拟)若a1x2+b1x+c1＜0和a2x2+b2x+c2＜0的解集分别为集合M和N，
(a i,b i,c i(i=1，2)均不为零)，那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.有三个命题：
(1)“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤-3，则x2+x-6＞0”的否命题.
其中真命题的个数为_______.
8.a＜0是方程ax2+1=0有一个负数根的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”)
9.(2012·安庆模拟)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为______.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若⌝p是⌝q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
11.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【探究创新】
(16分)已知集合A={y|y=x2-3
2x+1,x∈［3
4
,2］},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是
“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.“都是”的否定是“不都是”，故其否命题是：“若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数”.
2.【解析】选D.若f(x)=x2，则满足f(0)=0，但f(x)是偶函数；若f(x)=1
x
，则函数f(x)是奇函数，但f(0)没有意义，故选D.
3.【解析】选A.对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ=-12a ＜0,原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.
4.【解析】选A.当a=1时，B={x|-2＜x＜1}，满足A∩B=Ø，反之若A∩B=Ø，只需a≤2即可，故“a=1”是“A∩B=Ø”的充分不必要条件.
5.【解析】选B.由1
x ＜1得1x
x
-＜0,
∴x＜0或x＞1,∴⌝q:0≤x≤1.
∵{x|0≤x ≤1}{x|x ≤1},
∴p 是⌝q 的必要不充分条件.
【变式备选】已知p:x 2-x ＜0，那么p 的一个必要不充分条件是( ) (A)0＜x ＜1 (B)-1＜x ＜1 (C)12
＜x ＜23
(D)12
＜x ＜2 【解析】选B.由x 2-x ＜0得0＜x ＜1, 当{x|0＜x ＜1}
A 时，x ∈A 是p 的必要不充分条件，故选B.
6.【解题指南】“a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1”等价于“
222
111
a b c a b c ===k ”
，当k ＞0时，M=N ，当k ＜0时，M ≠N ；若M=N ，则a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1不一定成立. 【解析】选D.若a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1，则有
222
111
a b c a b c ===k ， 当k ＜0时，M ≠N; 反之，若M=N,
则a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1不一定成立,
故“a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1”是“M=N ”的既不充分也不必要条件.
7.【解析】命题(1)为“若x,y 互为相反数，则x+y=0”是真命题；因为命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x ＞-3，则x 2+x-6≤0”，因为x 2+x-6≤0⇔-3≤x ≤2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个. 答案：1
8.【解析】当a ＜0时，由ax 2+1=0得x 2=-1
a
＞0, 故方程ax 2+1=0有一个负数根;
若方程ax2+1=0有一个负数根，则
x2=-1
＞0，∴a＜0,
a
从而a＜0是方程ax2+1=0有一个负数根的充要条件.
答案：充分必要
【变式备选】一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分必要条件是_________.
【解题指南】先由方程有一个正根和一个负根求出a满足的条件，再根据充分必要条件确定a的范围.
【解析】若方程有一个正根和一个负根，
则1
＜0，得a＜0，
a
故充分必要条件是a＜0.
答案：a＜0
9.【解题指南】把必要不充分条件转化为集合间的关系，再根据集合间的关系求a的最大值.
【解析】由x2＞1，得x＜-1或x＞1，由题意知
{x|x＜-1或x＞1}{x|x＜a},
∴a≤-1，即a的最大值为-1.
答案：-1
10.【解题指南】先求出p、q，再写出⌝p、⌝q.将必要不充分条件转化为集合间的关系，再根据集合间的关系求a的取值范围.
≤x≤1},q为：{x|a≤x≤a+1}，
【解析】p为：{x|1
2
},⌝q对应的集合B={x|x＞a+1或x＜a},
⌝p对应的集合A={x|x＞1或x＜1
2
∵⌝p是⌝q的必要不充分条件，∴B A，
∴a+1>1且a≤1
2或a+1≥1且a<1
2
.
∴0≤a≤1
2
.
11.【证明】必要性:
若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
则x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a+b+c=0.
充分性：
若a+b+c=0,则b=-a-c,
∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,
∴(ax-c)(x-1)=0,
∴当x=1时，ax2+bx+c=0,
∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.
【方法技巧】充要条件的证明技巧：
(1)充要条件的证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而是应该进行条件到结论，结论到条件的证明. (2)证明时易出现充分性和必要性混淆的情形，这就要求我们分清哪是条件，哪是结论.
【探究创新】
【解析】y=x2-3
2x+1=(x-3
4
)2+7
16
,
∵x∈［3
4,2］,∴7
16
≤y≤2,
∴A={y|7
16
≤y≤2},
由x+m2≥1，得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2},
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B,
∴1-m2≤7
16,解得m≥3
4
或m≤-3
4
,
故实数m的取值范围是(-∞,-3
4］∪［3
4
,+∞).。