2018高考数学专题高考数学专题汇编——理科数学(解析版)13：概率
高考数学真题分类汇编专题12：概率统计（基础题）
2018年高考数学真题分类汇编专题12：概率统计（基础题）1．（2018•卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。
得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【解答】解：经济增长一倍，A中种植收入应为2a错误!未找到引用源。
37%>a错误!未找到引用源。
60%,∴种植收入增加，则A错。
故答案为：A【分析】设建设前的经济收入为1,则建设后的经济收入为2,由建设前后的经济收入饼图对比,对各选项分析得到正确答案．2．（2018•卷Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为错误!未找到引用源。
,则（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
【答案】A【解析】【解答】解：记三角形区域面积为S1，黑色部分面积为S2，AB=a,AC=b,BC=c．则c2=a2+b2, ∴S1=错误!未找到引用源。
ab,S2=错误!未找到引用源。
．即S1=S2,故答案为：A．【分析】先求出三个部分的面积,再由几何概型概率公式求出概率,再比较大小．3．（2018•卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】D【解析】【解答】记选中的2人都是女同学为事件A则P(A)=错误!未找到引用源。
(精品word)2018年高考真题——理科数学(北京卷)+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
学科：网第一部分(选择题共40 分)8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
在复平面内，复数丄的共轭复数对应的点位于1 —i5 (B )-67(D )—12(4) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展绝密★启用前(1) 已知集合 A={x|| x|<2} , B={E , 0, 1 , 2},则 A B= (A ) {0, 1} (B ) { - , 0, 1}(C )1, 2}(D ) { - , 0, 1, 2}、选择题共 (2) (A ) 第一象限 (B )第二象限 (C ) 第三象限(D )第四象限(3) 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为(A ) (C )2 做出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每第二部分(非选择题共110 分)一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 •若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率(A )32f(B ) 3 22 f(5)(C )(6) 设a , b 均为单位向量，则“a -3b 二3a b ”是“ a 丄b ”的 充分而不必要条件(B )必要而不(C ) 充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(7) 在平面直角坐标系中，记 d 为点P (cos B, si n B)到直线x-my-2=0的距离，当0, m 变化时，d 的 最大值为 (A )(B ) 2 (D ) 4(8) 设集合 A ={( x, y) |x —y 丄1, ax y 4,x —ay 込2},则(A ) 对任意实数 a , (2,1) • A(B )对任意实数a , ( 2, 1)-' A当且仅当a<0时，(2, 1 A3(D )当且仅当^1-时，(2, 1 A(D ) 12 27 f某四棱锥的三视图如图所示,(D ) 4、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习：概率、离散型随机变量及其分布列
寒假作业(二十) 概率、离散型随机变量及其分布列(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则E (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．11D ．14解析：选C 由题意得P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝13，所以E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，故E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝11.2．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X >a －2)，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B 因为随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X >a －2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x ＝1)可知，a －2＝2×1，解得a ＝4.3．设X ～B (4，p )，其中0<p <12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( )A.881B.1681C.827D.3281解析：选D 由题意，P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23，因为0<p <12，故p ＝13，故P (X ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝3281.4．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )A.34B.35C.45D.710 解析：选C 所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45.5．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14 B.89 C.116 D.532 解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面：只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.6．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35 B.59 C.110 D.25解析：选B 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P AB P A ＝1335＝59. 7．(2017·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 由已知及题图知S阴影＝S 正方形－⎠⎜⎛01x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n10 000，解得n ≈6 667.8．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为p (p ≠0)，制作次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞74，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3) ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p ＜12，又p ∈(0,1]，可得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.9．有一个公用电话亭，观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P (n )，且P (n )与时刻t 无关，统计得到P (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·P 01≤n ≤5，0，n ≥6，那么P (0)的值是( )A ．0B ．1 C.3263D.12解析：选C 由题意得P (1)＝12P (0)，P (2)＝14P (0)，P (3)＝18P (0)，P (4)＝116P (0)，P (5)＝132P (0)，P (n ≥6)＝0，所以1＝P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＋P (n ≥6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116＋132P (0)＝6332P (0)，所以P (0)＝3263.10．(2018届高三·合肥调研)从区间[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选A 令t ＝2x ，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t 1＋t 2>0，t 1t 2>0，解得a ≥1，又a ∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1,2]，故所求概率P ＝14，选A.11．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，则a ＋b 的值是( )A ．1或2B ．0或2C ．2或3D ．0或3解析：选B 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，E (X )＝12×0＋120×1＋110×2＋320×3＋15×4＝32，D (X )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋110×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322＋320×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＝114. 由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×114＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×32＋b ，得b ＝－2，此时a ＋b ＝0.当a ＝－2时，由1＝－2×32＋b ，得b ＝4，此时a ＋b ＝2.故选B.12．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝24A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题13．若随机变量η的分布列如下表：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是________．解析：结合分布列易知P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.8，又P (η<x )＝0.8，所以1<x ≤2.答案：(1,2]14．(2017·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π1215.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5) 解析：由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P (0<X ≤1)＝12[P (－1－2<X ≤－1＋2)－P (－1－1<X ≤－1＋1)]≈12×(0.954 5－0.682 7)≈0.135 9，所以落入阴影部分的个数约为0.135 9×10 000＝1 359.答案：1 35916．在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分．某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是________．解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝50100＝12，P (B )＝P (C )＝25100＝14.某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝14×14＝116，P (ξ＝1)＝2×14×14＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋2×12×14＝516，P (ξ＝3)＝2×14×12＝14，P (ξ＝4)＝12×12＝14.故ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52.答案：52三、解答题17．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则P (A )＝1－2×3＋3×3＋4×39×9＝23.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，左手所取的两球颜色相同的概率为C 22＋C 23＋C 24C 29＝518，右手所取的两球颜色相同的概率为C 23＋C 23＋C 23C 29＝14.故P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－518⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1318×34＝1324；P (X ＝1)＝518×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－518×14＝718；P (X ＝2)＝518×14＝572.∴X 的分布列为：E (X )＝0×1324＋1×718＋2×72＝36.18．某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示1(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．解：(1)设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X的所有值为：50×1－20＝30,50×0.6－20＝10，30×1－20＝10,30×0.6－20＝－2，则P(X＝30)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝10)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，则X的分布列为：(2)设C i表示事件“第i(i＝1,2,3)，则C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，∴3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.19．(2017·合肥质检)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元资金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25，P (X ＝1 000)＝45×12×45＝825，∴员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为：(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1 000×825＝520(元)，若选择方案乙进行抽奖，设中奖次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480(元)，故选择方案甲较划算．20．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？ (2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．附表及公式：K 2＝2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由表中数据得K 2＝5022×12－8×8230×20×30×20＝509≈5.556>5.024， 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8，表示的平面区域如图所示．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”则x >y ，满足的区域如图中阴影部分所示． 所以由几何概型可得P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)由题可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2人的方法有C 28＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到的有C 26＝15种；恰有一人被抽到的有C 12C 16＝12种；2人都被抽到的有C 22＝1种．所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128，故X 的分布列为：E (X )＝0×1528＋1×37＋2×28＝2.。
2018年高考理科数学通用版三维二轮复习专题检测：(十三)数列有解析
专题检测（十三） 数 列A 卷——夯基保分专练一、选择题1．(2017·武汉调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A ．－2 B ．－1 C.12D ．23解析：选B 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2， 得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3， 解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13 B ．－13C.12D ．－12解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫x ·3n －1－16－⎝⎛⎭⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n－2)＝2x ·3n －2，∵{a n }是等比数列， ∴a 1＝2x ·31－2＝23x ＝x －16，∴x ＝12.3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．60D ．90解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 24＝a 3a 7，得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，故2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋28d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋45d ＝60.4．已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx 2＋2a 1x ＝0的两个实数根，且d <0，∴－2a 1d ＝9，a 1＝－9d 2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝⎝⎛⎭⎫n －112d ，可得a 5＝－12d >0，a 6＝12d <0.∴使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是5.5．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的值为( )A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 015解析：选A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝(n －1)(n ＋2)2，所以a n ＝n 2＋n 2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝2⎝⎛1－12＋12－13＋…＋12 016⎭⎫－12 017＝2⎝⎛⎭⎫1－12 017＝4 0322 017.6．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .若首项a 1＝32，公差d ＝1，则满足S k 2＝(S k )2的正整数k 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选D 法一：由题意知，S k 2＝k 2(a 1＋a k 2)2＝k 2⎝⎛⎭⎫32＋32＋k 2－12＝k 2(k 2＋2)2，S k ＝k (a 1＋a k )2＝k ⎝⎛⎭⎫32＋32＋k －12＝k (k ＋2)2，因为S k 2＝(S k)2，所以k 2(k 2＋2)2＝k 2(k ＋2)24，得k ＝4. 法二：不妨设S n ＝An 2＋Bn ，则S k 2＝A (k 2)2＋Bk 2，S k ＝Ak 2＋Bk ，由S k 2＝(S k )2得k 2(Ak 2＋B )＝k 2(Ak ＋B )2，考虑到k 为正整数，从而Ak 2＋B ＝A 2k 2＋2ABk ＋B 2，即(A 2－A )k 2＋2ABk ＋(B 2－B )＝0，又A ＝d 2＝12，B ＝a 1－d2＝1，所以14k 2－k ＝0，又k ≠0，从而k ＝4.二、填空题7．(2017·长沙模拟)等比数列{a n }的公比为－2，则ln(a 2 017)2－ln(a 2 016)2＝________. 解析：因为a n a n －1＝－2(n ≥2)，故⎝⎛⎭⎫a n a n －12＝2，从而ln(a 2 017)2－ln(a 2 016)2＝ln ⎝⎛⎭⎫a 2 017a 2 0162＝ln 2. 答案：ln 28．(2018届高三·福建八校联考)在数列{}a n 中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{}a n 为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{}a n 是等比数列，且公比q ＝1时，{}a n 不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④9．(2017·福建质检)已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为_______．解析：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)， 两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a n n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n ＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a ＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等， 所以n 取10或11时，a n 取得最小值． 答案：10或11 三、解答题10．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．11．已知等差数列{a n }的首项为a 1(a 1≠0)，公差为d ，且不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n －a n ＝1n 2＋n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )，可得a 1＞0且1，d 为方程a 1x 2－3x ＋2＝0的两根，即有1＋d ＝3a 1，d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)b n －a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，即b n ＝a n ＋1n －1n ＋1＝2n －1＋1n －1n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n ＝(1＋3＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝12n (1＋2n －1)＋1－1n ＋1＝n 2＋nn ＋1. 12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)． (1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解：(1)∵6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)， ①∴当n ＝1时，6S 1＝6a 1＝9＋a ， 当n ≥2时，6S n －1＝3n ＋a ， ②①－②得，6a n ＝2×3n ， 即a n ＝3n －1，∵{a n }是等比数列，∴a 1＝1，则9＋a ＝6，得a ＝－3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)＝(3n －2)(3n ＋1)， ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1 ＝n3n ＋1. B 卷——大题增分专练1．新定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若数列{a n }满足a 1＝23，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1 n a n n ＋1＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1 n a n n ＋1＝0，所以(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以数列{na n }是常数列，因为a 1＝23，所以na n ＝23，所以a n ＝23n .(2)因为b n ＝a n a n ＋1，所以b n ＝49n (n ＋1)＝49⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝49⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝49⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n 9(n ＋1)， 所以T n ＝4n 9(n ＋1).2．已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1.解：(1)因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1， 所以b n ＋1b n ＝3(n ＋1)n.因此，b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×43，…，b n b n －1＝3×n n －1，上面式子累乘可得b n b 1＝3n －1×n ，因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n . (2)证明：因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n (n ＋1)2n ＋3·3n.因为1a n ＝2n ＋3n (n ＋1)·13n ＝3(n ＋1)－n n (n ＋1)·13n＝⎝⎛⎭⎫3n －1n ＋113n ＝1n ·13n －1－1n ＋1·13n， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝⎛⎭⎫1·130－12·131＋⎝⎛ 12·131－ ⎭⎫13·132＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ·13n －1－1n ＋1·13n ＝1－1n ＋1·13n. 因为n ∈N *，所以0<1n ＋1·13n ≤16，所以56≤1－1n ＋1·13n <1，所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1.3．(2017·河南焦作二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n －1)·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝2S 1＋1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，由a n ＝2S n ＋1，得a n －1＝2S n －1＋1， 两式相减得a n －a n －1＝2a n ，化简得a n ＝－a n －1， 所以数列{a n }是首项为－1，公比为－1的等比数列， 则可得a n ＝(－1)n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·(－1)n ，当n 为偶数时，T n ＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(2n －1)＝2×n2＝n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝(n ＋1)－(2n ＋1)＝－n . 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n ·n .4．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1， 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1， 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。
五年(2018-22)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题13 计数原理(解析版)
12．(2020年浙江省高考数学试卷·第12题)设 ，则a5=________；a1+a2+a3=________．
【答案】(1)．80(2)．122
解析： 的通项为 ，令 ，则 ， ；
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷·第12题
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题13计数原理
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第8题)若 ，则 ( )
A．40B．41C． D．
【答案】B
解析:令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选,B．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2022高考北京卷·第8题
13．(2020天津高考·第11题)在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】【答案】10【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020天津高考·第11题
14．(2019年高考浙江文理·第13题)在二项式 的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．
A．5B．8C．10D．15
【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
【题目栏目】计数原理\分类加法计数原理的应用
(完整版)2018年高考统计与概率专题
2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。
(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。
63πC 。
42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。
（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。
2018数学高考高三下学期高考模拟卷数学(理)试题：(13)Word版含答案
2017 届高三数学高考模拟卷（理科13）总分： 150分考试时间： 120分钟姓名：得分：一．选择题（每题 5 分，共40 分）1．已知P x | 2x k, x N ，若会合P中恰有 3 个元素，则（）A．5 x 6B．5 x 6C．5 x 6 D ．5 x 62．设f ( x)2a) 是奇函数，则使 f (x)0 的 x 的取值范围是（）lg(x1A．( 1,0)B． (0,1)C． (,0)D．(,0) (1,)3．设平面与平面订交于直线 m ，直线l1在平面内，直线 l2在平面内，且 l 2⊥m，则“ l1⊥ l2”是“⊥”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件4．已知三棱锥的底面是边长为 a 的正三角形，其正视图与俯视图如下图，若侧视图的面积为3，三棱锥的体积为1，则 a 的值为（）44A．3B．3C．3D． 14245．已知a R ，那么函数 f ( x) a cosax 的图象不行能是（）yy11Oπ 2 πx Oπ2πx -1-1y y1A 1BOπ2π x Oπ2πx -1-1C D6. 设 x0 ，则“ a 1”是“ xa （）2 恒建立”的xA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件x 0 ，则 x 2y37．设 x, y 知足拘束条件y x取值范围是（）4x 3y 12 x 1A ． [1,5] B． [2,6]C． [3,10]D ． [3,11]8. 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，以下命题此中的真命题是（）P 1 : a b 10,2P 2 : a b 12 ,33P 3 : a b 10,P 4 : a b 1,33（ A ） P 1, P 4 （ B ） P 1, P 3（C ） P 2,P 3（D ） P 2 , P 4二、填空题（多空题每题 6 分，单空题每题 4 分）9. 已知方程 ln x a 有两个解 x 1, x 2 ，求 a 的范围， x 1 x 210. 命题 p : “ x [1, 2] , x 2 2ax a0 ”, 若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值是．命题 p 的否认是11．抛物线 yax 2 的焦点为 F(0 ， 1) ，则 a =； P 为该抛物线上的动点，线段FP 中点 M 的轨迹方程为12. （ 1）若 a 2, b1，求 a b 的取值范围是（ 2）若且 a b1，则 a b =2， b 的取值范围为．13．正四周体 S — ABC 中， E 为 SA 的中点， F 为 ABC 的中心，则直线 EF 与平面 ABC 所成的角的正切值是14．首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，知足 S 5 S 6 15 0 ，则 d 的取值范围是 _________________15. 已知函数 f (x)3 ax (a 1). 若 f ( x) 在区间 0,1 上是减函数，则实数 a 的取值范围a 1是.三、解答题（共 4 小题，共74 分）16.在△ ABC中，角A,B, C的对边分别是a,b, c已知a2c ,且A C.2( Ⅰ)求 cosC的值；(Ⅱ)当 b1时，求△ABC的面积s的值.17．已知单位向量a与b的夹角是钝角，当t R时，a tb 的最小值为 3 。
2018年高中高考数学分类理科汇编
2018年高考数学真题分类汇编学大教育清校区高数组2018年7月1-i复数1.（2018全国卷1理科）设Z2i则Z（）11iB.D. 222（2018全国卷2理科）12i ()1 2iA. 43i B.43i C.34iD.34i555555553（2018全国卷3理科）1i 2i （）A.3iB.3 iC. 3 iD.3i4（2018卷理科）在复平面，复数1的共轭复数对应的点位于（）1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5（2018天津卷理科） i 是虚数单位，复数67i.1 2i6（2018卷）若复数z 知足i z1 2i ，此中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．7（2018卷）已知复数z 知足（1 i)z 1 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ．会合1.（2018全国卷1理科）已知会合A x|x2x20则C R A=（）A.x|1x2B.x|1x2C.x|x1x|x2D.x|x1x|x2（全国卷2理科）已知会合A=2y23,x，y Z则中22018x,yx Z元素的个数为（）3（2018全国卷3理科）已知会合A x|x1≥0，B0，1，2，则A B（）A.0B．1C．1，2D．0，1，24（2018卷理科）已知会合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB()A.{0，1} B.{–1，0，1} C.{–2，0，1，2} D.{–1，0，1，2}5（2018天津卷理科）设全集为R，会合A{x0x2}，B{xx1}，则A(C R B)=()A.{x0x1}B.{x0x1}C.{x1x2}D.{x0x2}6（2018卷）．已知会合A{0,1,2,8}，B{1,1,6,8}，那么AB．简略逻辑1（2018卷理科）设会合A{(x,y)|x y1,axy4,x ay2},则（）A.对随意实数a，(2,1)AB.对随意实数a，（2，1）AC.当且仅当a<0时，（2，1）AD.当且仅当a3时，（2，1）A 22（2018卷理科）能说明“若f（x）>f（0）对随意的x∈（0，2］都成立，则f （x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是．（天津卷理科）设x R ，则“|11”是“x3”的（）32018x|122A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件（2018卷）已知1﹤1”的（）4aR，则“a﹥1”是“aA.充分非必需条件B.必需非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必需条件统计1（2018全国卷1理科）某地域经过一年的新乡村建设,乡村的经济收入增添了一倍,实现翻番。
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高考真题分类汇编：概率 1. 【高考真题辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为 (A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45 【答案】C 【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2， 由(12)32xx，解得48xx或。又012x，所以该矩形面积小于32cm2的概率为23，故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。 2. 【高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. 21π B. 112π C. 2π D. 1π 【答案】A 【解析】令1OA，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为1S，
围成OC为2S，作对称轴OD，则过C点。2S即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，
82212121212122S。在扇形OAD中21S为扇形面
积减去三角形OAC面积和22S，1622811812221SS，第8题图 4221SS，扇形OAB面积41S，选A.
3. 【高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是
A. 49 B. 13 C. 29 D. 19 【答案】D
【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有2555个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5
个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有2054，所以9120255P. 故选D.
法二：设个位数与十位数分别为yx,，则12kyx，k1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以yx,分别为一奇一偶，第一类x为奇数，y为偶数共有251515CC个数；第二类x为偶数，y为奇数共有201514CC个数。两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是91455，选D。 4. 【高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】Ｃ. 【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积
61|)2132()(1022310xxdxxxS，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分
的概率为61. 故选Ｃ. 5. 【高考真题北京理2】设不等式组20,20yx，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）4 （B）22 （C）6 （D）44 【答案】D 【解析】题目中2020yx表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
4422241222P，故选D。
6. 【高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
【答案】32
【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323CCC中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323CCC，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718。 7. 【高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均
服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
【答案】83 【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4Pp 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138ppp. 8. 【高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ . 【答案】35。 【考点】等比数列，概率。 【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。 9. 【高考真题四川理17】(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时
刻发生故障的概率分别为110和p。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值； （Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。 【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.
【解析】 10. 【高考真题湖北理】（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0. 3，0. 降水量X 300X 300700X 700900X 900X 工期延误天数Y 0 2 6 10 7，0. 9. 求： （Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差； （Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有： (300)0.3,PX(300700)(700)(300)0.70.30.4PXPXPX
，
(700900)(900)(700)0.90.70.2PXPXPX. (900)1(900)10.90.1PXPX. 所以Y的分布列为：
于是，
()00.320.460.2100.13EY； 2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8DY.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7PXPX， 又(300900)(900)(300)0.90.30.6PXPXPX.
由条件概率，得(6300)(900300)PYXPXX(300900)0.66(300)0.77PXPX.
故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67. 11. 【高考江苏25】（10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1. （1）求概率(0)P； （2）求的分布列，并求其数学期望()E. 【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C对相交棱。
∴ 232128834(0)=6611CPC。 （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， ∴ 212661(2)=6611PC，416(1)=1(0)(2)=1=111111PPP。
Y 0 2 6 10 P 0. 3 0. 4 0. 2 0. 1 ∴随机变量的分布列是： 0 1
2
()P 411 611 111
∴其数学期望6162()=12=111111E。 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。 【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P。
（2）求出两条棱平行且距离为2的共有6对，即可求出(2)P，从而求出(1)P（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。
12. 【高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. （1）求图中x的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的
人数记为，求得数学期望.
【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。
【解析】