第十章模态逻辑和时态逻辑
形式逻辑与非形式逻辑
形式逻辑与非形式逻辑逻辑学是研究推理和思维方式的一门学科，其研究范畴涉及形式逻辑和非形式逻辑。
形式逻辑是逻辑学的主体，是一种使用符号语言描述和分析逻辑结构的逻辑学，而非形式逻辑则是指一种不使用符号语言，而运用自然语言来描述和分析逻辑结构的逻辑学。
本文将着重探讨形式逻辑和非形式逻辑之间的区别和联系。
一、形式逻辑形式逻辑是逻辑学的核心，是一种以符号语言描述和分析逻辑结构的逻辑学。
它研究命题间的推理，主要包括命题逻辑和谓词逻辑两个分支。
其中，命题逻辑研究命题之间的关系，谓词逻辑则更为复杂，它研究更为抽象的命题形式，如：全称命题、存在命题等。
形式逻辑的表达方式一般采用符号语言，如“→”“∧”“∨”“¬”等符号，它们都有着既定的意义和运算法则。
严格来说，形式逻辑不关心命题的具体内容，只分析它们之间的逻辑关系。
比如，在形式逻辑中，假设P和Q是两个命题，那么“P∨Q”表示P和Q中至少有一个是真的命题，而不管它们是什么内容。
形式逻辑不仅包括了命题逻辑和谓词逻辑，还有其他的一些逻辑，如模态逻辑、时态逻辑等。
这些逻辑的符号语言和运算法则的设计也是具有约定性的。
形式逻辑的主要优点是其符号的规范性和简洁性，它们能够准确地表示逻辑关系，使得逻辑推理更为精确。
另外，在形式逻辑中，可以使用演绎推理法、证明法等方法来推理，提高了逻辑推理的可靠性。
二、非形式逻辑非形式逻辑是指一种不使用符号语言，而运用自然语言来描述和分析逻辑结构的逻辑学。
它强调的是人类智慧的运用，不受逻辑公式束缚，注重语言的灵活度和表现力。
非形式逻辑允许由未确定的前提和不完全的结论派生结论，它强调的是语言的灵活度和表现力，允许人类直观判断和抽象思考。
而形式逻辑则是基于规则和公式推演出的结论，不允许不完全结论的存在。
同时，非形式逻辑的推理过程是 based on 人类日常经验和常识的，相对于规则的形式逻辑，非形式逻辑更具有灵活性。
然而，这种灵活性同时也可能导致非形式逻辑的思考出现不确定性、混淆不清等问题。
第六章,模态逻辑
有效的推理形式
⑪， ， ⑬， ， ⑫， ， ⑭， ，
⑮， ，反之成立；⑯， ，反之成立； ⑰， ，反之成立；⑱， ，反之成立； ⑲， ， ⑴，， ⑳， ， ⑵，。
下台是可能的
③， ④，
4，带量词的其它模态命题的推理形式。
• 带量词的模态命题的推理远较命题的模 态推理复杂，因为它不仅涉及到不同的 可能世界，而且要涉及可能世界的个体 和属性。
• 巴坎公式：“如果（所有的x）必然A， 那么，必然（所有的x）A”。用符号表 示为： x x， • 逆巴坎公式：“如果必然（所有的x）A， 那么，（所有的x）必然A”。用符号表 示为： x x 。
• 所有公共政策的后续效应可能是难以预料的。 下列哪项判断的涵义与上述判断最为相近？ A．所有公共政策的后续效应必然是难以 预料的 B．有的公共政策的后续效应不必然不是 难以预料的 C是难 以预料的
• 若“所有灵长类动物大脑可能都具有额叶皮质”为真， 则以下哪项一定为真？（ ） A．并非所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质， 这是不必然的 B．所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质，这是 必然的 C．所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质 D．并非所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质， 这是可能的 解析：此题答案为A。考查模态命题的转化。 “可能Ｐ”＝“不必然非Ｐ”，即题干等值于“不必 然并非所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质”，故答 案选A。
• 资本主义必然不胜利 • 资本主义可能不胜利 • 美国可能不干预亚洲 • 美国必然不干预亚洲
对当方阵
•
• • • • • • • • A 从 矛 上反对 矛 A 从
属 A
盾
盾
属 A
下反对
含有实然命题的方阵
A A
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什么是逻辑学和数理逻辑
逻辑学是研究推理的科学，数理逻辑是数学化 的逻辑学，是用数学方法研究推理的科学。
1.数理逻辑的前史时期 （持续到17世纪后期，2000余年）
亚里士多德是古典形式逻辑德创始人。 其在逻辑学方面的成就主要是“三段论”学说。一个三段 论就是一个包括有大前提、小前提和结论三个部分的 论证。 例： 凡人都有死（大前提）。 苏格拉底是人（小前提）。 所以：苏格拉底有死（结论）。 或者：凡人都有死。 所有的希腊人都是人。 所以：所有的希腊人都有死。
例如用于计算机科学和人工智能的程序逻辑算法逻辑直觉主义逻辑动态逻辑知道逻辑模糊逻辑内涵逻辑时态逻辑模态逻辑三逻辑非单调逻辑等用于物理学的量子逻辑用于社会科学的道义逻辑认识论逻辑优先逻公理集合论德国数学家康托cantor于十九世纪七十年代创了集合论提出了以一一对应作为集合的分类标准并给出了基数和序数的概念康托集合论把集合看作由具有某种性质的对象构成的整体这导至了1901罗素发现的如下悖论罗素悖论
莱布尼兹创建数理逻辑的两点指导思想： 1.理想演算：继承了思维可以计算的思想，提出建立理性 演算的设想，这种理想演算也称为“通用代数”或 “数理逻辑”。他提出将推理的正确性化归于计算， 这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命 题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。 2.普遍语言：使用一种符号语言来代替自然语言对演算进 行描述，将符号的形式和其含义分开。使得演算从很 大程度上取决与符号的组合规律，而与其含义无关。
布尔代数简单得不能再简单了。运算元素只有1（真）和0（假） 两个。 他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的 共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两 类所合成的类，运算是逻辑加法。所以逻辑命题可以表示 如下：凡x是y可以表示成x（1－y）＝0；没有x是y可以表 示成xy＝0。它还可以表示矛盾律 x（1－x）＝0；排中律x ＋（1－x）＝1。布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。 当x、y不是类而是命题，则x＝1表示的是命题x为真，x＝0 表示命题x为假，1－x表示x的否定等等。显然布尔的演算 构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。 特别是它遵从德·莫尔根定律。 基本的运算只有“与”（AND)、“或” (OR) 和“非”（NOT) 三种（后来发现，这三种运算都可以转换成“与”“非” ＡＮＤ－ＮＯＴ一种运算）。全部运算只用下列几张真值 表就能完全地描述清楚。
(逻辑学课程课件)第六章模态逻辑
模态命题形式
四、模态命题形式
模态推理形式
逻辑学中所说的命题形式本质上是指命题的逻辑形式，即逻辑结构。同一个命题， 不同的逻辑决定它有不同的命题形式。例如，命题“所有商品是有价值的”。单从命 题逻辑来分析，其命题形式是“p”；如果从词项逻辑来分析，其命题形式就是“所有S 是 P”（S 为 主 项 ， P 为 谓 项 ） ； 如 果 从 谓 词 逻 辑 来 分 析 ， 其 命 题 形 式 就 是 “ x （SxPx）”（x为个体变项，S、P为谓词，为量词 ）。
道义模态
广义模态
认知模态
模 态
狭义模态
时间模态 主观模态 客观模态
逻辑模态 非逻辑模态
三、模态命题及其特性
模态命题
命题是对事物情况的断定，如果这个断定中还含有模态 的内容，那么就是模态命题，否则就是非模态命题。
语言形式
内容
模 了上因这等能和模
态 模难素些。性人态
命 态以，非由、们命
题 命确因模于确认题
相应地，同一个模态命题，不同的逻辑决定它也有不同的命题形式。例如，模态 命题“如果物体受到摩擦，那么它必然发热”（甲）。如果从经典命题逻辑来分析， 其命题形式是“如果p，那么q”（乙）；但是如果从模态逻辑来分析，其命题形式就应 该是“如果p，那么必然q”（丙）。这里，乙和丙都是模态命题甲的命题形式，但是对 模态逻辑来说有意义的是丙而不是乙，丙称为命题的模态形式。一般地，对于任意命 题，如果我们考虑到模态，并在有这部分内容时给出相应的形式表达，那么所得到的 命题形式都是命题的模态形式，由非模态命题得到的命题形式也可以看作是命题的模 态形式，即空模态形式。
语言中用来表达模态或模态概念的语词或符号称为模态词， 如 汉 语 中 的 “ 必 然 ” 、 “，符号“”、“”等。
编写组《普通逻辑》(第5版)笔记和课后习题详解
编写组《普通逻辑》（第5版）笔记和课后习题详解目录内容简介目录第1章引论1.1复习笔记1.2课后习题详解第2章复合命题及其推理2.1复习笔记2.2课后习题详解第3章命题的判定与自然推理3.1复习笔记3.2课后习题详解第4章简单命题的基本要素——概念4.1复习笔记4.2课后习题详解第5章性质命题及其推理5.1复习笔记5.2课后习题详解第6章关系命题及其推理6.1复习笔记6.2课后习题详解第7章谓词自然推理7.1复习笔记7.2课后习题详解第8章模态命题及其推理8.1复习笔记8.2课后习题详解第9章普通逻辑的基本规律9.1复习笔记9.2课后习题详解第10章归纳推理第第1章引论1.1复习笔记一、“逻辑”辨义在现代汉语里，“逻辑”是个多义词。
1．指客观事物发展的规律；2．指某种特殊的理论、观点或看问题的方法；3．指人们思维的规律、规则；4．指一门学问，即逻辑学。
二、传统逻辑与现代逻辑按其历史发展阶段和类型的不同，逻辑学可分为传统逻辑和现代逻辑。
（一）传统逻辑的产生1．古代中国春秋战国时期逻辑思想就有很大发展，随之产生逻辑学说，史称“名辩之学”。
主要内容表现在惠施、公孙龙、后期墨家、韩非等人的著述中。
其中对逻辑学贡献最大的为《墨经》和《正名篇》。
2．古代印度古代印度的逻辑学说被称为“因明”。
“因”是指推理的依据，“明”是指“学说”，“因明”就是古代印度关于推理的学说。
陈那的《因明正理门论》和商羯罗主的《因明入正理论》等是主要的代表作。
3．古代希腊古希腊是逻辑学的主要诞生地。
亚里士多德对逻辑学进行了全面的研究，并在历史上建立了第一个演绎逻辑系统，著有：《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》和《辨谬篇》，这些著作合称为《工具论》。
他对逻辑学的重大贡献，奠定了西方逻辑学发展的基础。
（二）传统逻辑的发展1．斯多葛学派该学派着重研究假言命题、选言命题、联言命题以及由它们所组成的推理形式，并且提出不同类型的推理规则和逻辑公式，后人称之为“命题逻辑”。
巴坎公式与时态逻辑
逻辑学研究2020年第2期，29–40文章编号：1674-3202(2020)-02-0029-12巴坎公式与时态逻辑周君摘要：本文分析了普赖尔等学者有关时间与存在关系的论述，深入考察了时态逻辑中关于巴坎公式的理论得失，指出：巴坎公式及其逆二者之组合意味着每个可能世界有同样的个体域，而在时态逻辑中，可能世界是不同时间的世界，因而不同时间有同样的个体域，这违背了现实世界的实际图景。
在现实世界中，不同时间可以有不同的事物，这意味着不同时间的个体域可以不同。
据此，在时态逻辑中，我们应该拒斥巴坎公式。
关键词：巴坎公式；普赖尔；时态逻辑；量化；存在中图分类号：B81文献标识码：A时间与存在的研究是时态逻辑研究中既重要又复杂的一个领域，时态逻辑的创始人普赖尔（A.N.Prior）称其为“时态逻辑最混乱和晦涩的部分”。
（[8]，第172页）存在是本体论的核心概念，事物的存在又与时间有关，所以时间在本体论的研究中是重要的。
只在某些时间存在的对象的本体论引起一些问题，例如，如何从理论上把握对象可以在一个时间开始存在，在后来的时间停止存在？过去或未来的对象是否应该纳入存在的所有事物的逻辑描述中？1巴坎公式美国逻辑学家巴坎（R.Barcan）在[3]中引入了公式“M∃xφx→∃xMφx”，习惯上称为巴坎公式（the Barcan formula），可将其读作：“如果可能存在具有性质φ的某事物，那么存在可能具有性质φ的某事物。
”巴坎公式的逆为：∃xMφx→M∃xφx。
在一些量化模态逻辑系统中，巴坎公式及其逆二者之组合作为一条公理，意味着可能世界的个体域一样，个体的性质和个体之间的关系可以不同；而在另外一些无巴坎公式及其逆二者之组合的系统中，允许每一个可能世界的个体域不一样，个体的性质和个体间的关系也可以不一样。
普赖尔在[5]中赞同巴坎公式及其逆，但他在[7]中转变了这种态度。
在提出了模态系统S4、S5的时态逻辑类似物之后，他说：收稿日期：2020-01-12作者信息： 周君华东政法大学文伯书院***************30逻辑学研究第13卷第2期2020年我自己对这些系统的担忧开始于对我所称的巴坎公式的考虑，因为它在结合刘易斯（C.I.Lewis）模态系统和量化理论的最早尝试中被巴坎规定为一条公理。
01-高等数理逻辑课程介绍_
{
{
{
□
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描述问题的逻辑工具 常用的逻辑: 命题逻辑 谓词逻辑 多值逻辑 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 描述逻辑 二阶逻辑
{ { { { { { { {
l 逻辑方法是求解问题的一种独特方法.
{
□
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抽象问题类的性质研究 使用不同的逻辑体系描述具体问题, 针对问题的求解, 需要关注以下 性质:
{ {
□
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数学分析中的 % - $ 语言语句. / $ 时, 对任意的 % > 0 , 存在 $ > 0 , 当 0=|x-a|< |f(x)-b|< % . □ 数学语句的符号化. “函数 f 在点 a 的极限是 b ”常被写为: ] % > 0 ^ $ > 0 ] x(0=|x-a|< / $ >|f(x)-b|< % ) . □
z z
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无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
z
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命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
解答: 设定以下的命题变元:
根据对三个情形的约定可得语句 9 1 : (p1 ) r 3 ) [ (q 1 ) p3 ) [ (r 1 ) p 2 ). 根据无并列第一及第三可得语句 9 2 \ (p 1 [q 1 ) [\ (p 1 [ r 1 ) [\ (q1 [ r 1 ) [\ (p 3 [r 3 ). 根据对名次唯一性约定可得语句 9 3 \ (p 1 [p 2 ) [\ (p 1 [ p 3 ) [\ (p 2 [ p3 ) [\ (r 1 [ r 3 ). 所以问题可以被描述为: 91 [ 92[ 93 . 用真值表方法可以求得唯一赋值 v: v(q 1 )=v(p 2 )=v(r 3 )=1,v(p 1 )=v(p 3 )=v(r 1 )=0. 使得 v( 9 1 [ 9 2 [ 9 3 )=1 这表明从一到三的排名是:B,A,C. □ 命题逻辑计算复杂性分析
数理逻辑-总结_
逻辑、数学、计算机科学z亚里士多德 z欧几里得 z莱布尼兹 z罗素 z图灵 z哥德尔 z赫布兰德 z塔尔斯基 z逻辑联结词与公式z 逻辑联结词{合取{析取{异或{蕴涵{等价{z 完全集与极小完全集{{{{z 结构归纳{递归定义、第二数学归纳法{结构归纳定义{结构归纳证明 符号化适当选择基本命题, 将自然语言语句表示为命题逻辑公式. 真值z 真值表 数理逻辑基本内容l l {\,[,Z }{\,> }{),?}{@}z公式的真值、唯一性 z 代入取值性质z 取值无关性质假设 与 是两个真值赋值, 若对 中出现的每个命题变元 , 都有则永真式z替换实例 z可满足式 z不可满足式、永假式、矛盾式 z 永真式、重言式等值演算基本规律z双重否定律 z排中律 z矛盾律 z假言移位 z幂等律 z交换率 z结合律 z分配律 z德摩根律 z吸收律 z同一律 z 零律等值证明对偶定理范式v(A p 1,l ,p n B 1,l ,B n )=v[p 1/v(B 1),l ,p n /v(B n )](A).v 1v 2A p v 1(p)=v 2(p),v 1(A)=v 2(A).z简单合取、简单析取 z合取范式、析取范式 z 主合取范式、主析取范式逻辑推论基本定义:基本性质:. (单调性) . (反证法) (三段论)(演绎定理), , , 归结法z 基本概念{文字{相反文字{子句{空子句{子句集合{可满足 > X A.D X A D ,D d X A!!!!!!!!!!!!!!!!!D ,\A X B 且D ,\A X\B D X A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A 且D X A > B D X B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B D X A >B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A [B D X A !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A [B D X B!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A 且D X B D X A [B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X C 且D ,B X C D ,A Z B X C!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A D X A Z B !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A D X B Z A!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A ?B 且D X A D X B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A ?B 且D X B D X A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B 且D ,B X A D X A ?B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.{归结子句 {反驳z 基本方法{删除一对相反文字{反证法 z 可靠性完备性及其证明公理系统z 基本概念{公理{规则{推演{证明 z 形式推演{{ 且 则{{z 基本性质{演绎定理{可靠性{完备性{紧致性 从命题逻辑到谓词逻辑z自然语言语句引起的悖论 z命题逻辑及难解问题 z纯粹基于命题逻辑语句表示某些事实是困难的 z 谓词逻辑语句更强表达能力项和公式z 一阶语言z结构归纳定义:项、公式z 结构归纳证明:项代入性质、公式代入性质 U p > p > U p > q > U p > (q > r )> U p > r U\p >(p > q )lz自由变元、约束变元 z 可代入符号化z 形式语言的语句表示基于自然语言描述的事实z 整数基本性质的符号化z 实数基本性质的符号化z 符号化一些基本点{仅可以使用给定符号表{公式是有限长字符串 解释和赋值z解释和赋值 z项的值、公式的值 z取值唯一性 z全称与存在在有限模型中的特性 z 两个重要定理{代入取值性质{取值无关性质 永真式z重言式是永真式 z 存在与全称的关系给定一阶语言 及它的一个公式 , 且 是变元. 则z全称规则给定一阶语言 , 假设 是 的公式, 是不同的变元, 是 的项, 对于 中的 是可代入的. 则其中代换 为 等值演算z等值替换 是永真的. 是永真式.L A x,y ^x ]yA >]y ^xA L A L x 1,l ,x n t 1,l ,t n L t 1,l ,t n A x 1,l ,x n ]x 1l]x n A > 5(A)5{x 1/t 1,l ,x n /t n }.给定一阶语言 及它的公式 , 假设 . 定义 是把 中 的某些出现替换为 得到的字符串.则z 量词转换给定一阶语言 , 假设 是变元, 是 的公式. 则z 约束换名给定一阶语言 , 假设 是变元, 是 的公式. 假设 不是 的自由变元, 且 对于 中的 是可代入的. 则z辖域更改给定一阶语言 , 假设 及 是变元, 及 是 的公式, 不是 的自由变元. 则这些用于将公式转换为前束范式. 范式公式形式转换z前束范式 z无存在量词的前束范式 z Skolem范式是一个公式,且 .....L A,B,C A E B D C A B D C E D L x A L \]xA E^x \A \^xA E]x \A L x,y A L y A y A x ^xA E^yA x y ]xA E]yA x y L x y A B L x B ]x(A Z B)E]xA Z B.]x(A [B)E]xA [B.]x(A >B )E^xA > B .]x(B > A )E B > ]xA.^x(A Z B)E^xA Z B.^x(A [B)E^xA [B.^x(A >B )E]xA > B .^x(B > A )E B > ^xA.保持可满足性z存在量词替换为常元 z 存在量词替换为函数逻辑推论基本定义:更多性质:(-左规则) (-右规则)(-左规则) (-右规则)其中z 是变元, 是项z是公式 z 是公式集合 且项与变元满足以下条件:z -左规则 对 中的 是可代入的z -右规则对 中的 是可代入的, 不在 中自由出现 z -左规则对 中的 是可代入的, 不在 中自由出现 z-右规则对 中的 是可代入的 归结法z基本概念 > X A.D ,A x t X B D ,]xA X B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]D X A x yD X]xA!!!!!!!!!!!!!!!!!]D ,A x y X B D ,^xA X B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^D X A x tD X^xA !!!!!!!!!!!!!!!!!^x,y t A,B,C D ,D d ]t A x ]y A x y D ^y A x y D P {B}^t A x{相反文字 {子句 {空子句 {子句集合 {可满足 {归结子句 {反驳z 特殊性质{代换{无限多归结子句{多种证明 z 可靠性基于解释赋值方法证明 z完备性{赫布兰德域{赫布兰德解释{命题逻辑与谓词逻辑 公理系统z 基本概念{公理{规则{推演{证明 z 形式推演{若 , 则 . {若 则 {z 基本性质{演绎定理{变元替换{可靠性{完备性 > U ]xA > U A x t > U A > B > U ]xA > ]xB l自动定理证明z实际问题z符号化z子句化z寻找反驳z问题求解高等逻辑z模型论z完备性证明z二阶逻辑z可判定性z谓词逻辑半可判定性 z初等几何可判定性 z哥德尔不完备性z模态逻辑z时态逻辑与程序验证 z形式化方法z 全部l。
逻辑学期末考试内容总结
逻辑学期末考试内容总结逻辑学期末考试总结一、什么是逻辑1.逻辑的语源学：逻各斯、Logic、名学、辩学等。
“逻辑“一词是英文Logic音译而来，它导源于古希腊文λбУОS (逻各斯)，原意是指思想、理性、规律性等。
后来的学者用它来指称研究推理的学问。
严复在翻译《穆勒名学》时首次使用“逻辑”的音译。
2.“逻辑”的多义性：客观规律；思维规律、规则；逻辑学等（1）指事物发展变化的客观规律。
例如：“研究中国革命的逻辑”。
如:“捣乱，失败，再捣乱，再失败，直至灭亡－－这就是帝国主义和世界上一切反动派对待人民事业的逻辑。
”毛泽东同志这段话里的“逻辑"是指帝国主义和反动派注定要走向灭亡的发展规律（2）指人类思维的规律、规则。
例如：“律师讲话的逻辑性很强”、"推理要合乎逻辑"，这里的"逻辑"是指正确思维的规律、规则。
（4）指研究思维形式和思维规律的科学，即一门科学。
例如：“今天上逻辑课”。
如:"干部应该学点逻辑"，这里的"逻辑"是指逻辑学这门科学。
3.逻辑的定义（1）狭义而言，逻辑是有效推理的理论。
有效推理就是正确地从已知推出未知，并且不会出现真前提而假结论。
（2）广义而言，逻辑是有效推理和有效交际的理论。
有效交际就是正确地表达和理解，并且理解与表达相一致。
二、逻辑学的门类逻辑学是一个科学系统。
它包括两大门类：形式逻辑和辩证逻辑。
辩证逻辑是研究人类辩证思维及其规律的科学。
它是唯物辩证法的一个组成部分。
我们平常所说的逻辑学是形式逻辑，又可分为传统形式逻辑和现代形式逻辑。
传统形式逻辑主要包括以演绎推理为基本内容的演绎逻辑和以归纳为基本内容的归纳逻辑。
现代形式逻辑包括数理逻辑（也叫符号逻辑）、模态逻辑、时态逻辑、多值逻辑。
也有人把辩证逻辑、形式逻辑和数理逻辑并称为逻辑学的三个分支。
—形式逻辑—演绎逻辑和归纳逻辑逻辑学—现代逻辑—数理逻辑、模态逻辑时态逻辑和多值逻辑三，普通逻辑的对象和性质1.普通逻辑的对象（1）思维的逻辑形式——是指思维内容各部分之间的联系方式（或形式结构）。
模态逻辑发展历史概述
第11卷第2期燕山大学学报（哲学社会科学版）V ol.11No.2 2010年6月Journal of Yanshan University(Philosophy and Social Science Edition)Jun.2010在现代逻辑的发展过程中，模态逻辑起到了非常重要的作用。
模态逻辑的发展主要经历了三个分期，即语形时期，经典时期和现代时期。
一、语形时期（1918—1959）刘易斯(C.I.Lewis)在1918年出版了《符号逻辑概论》[1]，标志着模态逻辑语形时期的开始，刘易斯最初并没有明确地提出模态推理，事实上，最初他甚至并没有构造出符号系统。
为此，麦科尔(Hugh MaColl)在命题逻辑推理的基础上利用（它是不可能的）这两个算子，才第一次实现了这一目标，可以参看他的《符号逻辑及其应用》[2]，但是麦科尔的工作主要根源于19世纪的代数逻辑传统，在这一时期著名的人物包括布尔(Boole)，德摩根(De Morgan)，杰文斯(Jevons)，皮尔士[3](Peirce),施罗德(Schroder )和文恩(Venn)等人，并且麦科尔的贡献是和当时非常博学的同时代的这些人的任务是一致的。
而刘易斯的工作和现代模态逻辑之间的关系则更加直接。
在《符号逻辑概论》中，刘易斯利用一元模态I（它是不可能的）来扩充命题演算，并且定义了二元的模态（）应该是I()。
严格蕴含的目的是为了刻画逻辑衍推的概念，刘易斯提出了基于p的公理系统。
刘易斯和兰福德(Langford)合著的《符号逻辑》[4]，在1932年出版，对刘易斯的思想作了进一步的发展。
在书中◇(它是可能的）是一个初始模态算子，并且定义为¬◇()。
书中讨论了五个逐渐增强的公理系统S1－S5，其中S3等价于刘易斯在1918年所定义的系统，只有S4和S5是标准的模态逻辑。
刘易斯的工作促使了人们对“模态化的”命题逻辑的思想产生了浓厚的兴趣，并且有许多人试图把例如道义、信念和知识这样的概念进行公理化。
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- 218 - 模态逻辑和时态逻辑第10章模态逻辑和时态逻辑在本章中，我们研究模态逻辑和时态逻辑。
10.1模态逻辑(Modal Logic)模态逻辑涉及到必然性和可能性概念。
一阶模态逻辑语言L ML由一阶谓词演算Ｌ加上两个新的算子Ｌ(或□必然算子)和Ｍ(或◇可能算子)得到,更精确地说L ML由Ｌ加上下列子句组成：如果Ａ是Ｌ的wff(合式公式)，则ＬＡ和ＭＡ也是wff。
他们的语义解释为若Ａ在某些可能世界中为真则Ｍ真,如果Ａ在每一个可能世界为真则ＬＡ为真。
更精确形式定义为：定义1一个模态框架(Model Frame)M是一个四元组＜W, D, R, F＞,其中①W是一个(可能世界的) 非空集合；②D是一个‘个体’非空域;③R是W上的一个二元‘可达性’关系；④F是一个映射，它赋给每一个由一个ｎ(ｎ≥0)元函数符号f和ｎ个W的元素w所组成的对（f，w），以一个D n到D的函数，以及赋给每一个由ｎ(n > 0)元关系符号r和ｎ个W的元素w的对(r, w)以2Dn一个元素。
在这样一个模态框架中L ML的解释不同于谓词演算中的演算, 这里域W起一个关键作用。
但是解释仍旧给定一个赋值函数g，它赋予D的元素到单个变量。
为方便起见我们写wRw’表示<w, w'>满足关系R。
记号M|==w,g A表示在框架M中在w世界g满足合式公式A。
其递归定义如下:①M|==w,g C(t0,t1,...,t n-1) 当且仅当<Val(t0, w, g), …, Val(t n-1, w, g)>∈F(w,c)其中⎧ g(t) 若t是一个变量Val(t,w,g) = ⎨⎩ F(w,f) (Val(t0’,w,g),…,Val(t m-1’,w,g)) 若t= f(t0’,…, t m-1’)②M|==w,g t1 = t2 当且仅当Val(t1,w,g)=Val(t2,w,g)③M|==w,g A ∧ B 当且仅当M|==w,g A且M|==w,g B④M|==w,g～A 当且仅当M|==w,g A⑤M|==w,g∀x A 当且仅当对每一个 d ∈D,M|==w,g(d|x) A⑥M|==w,g MA 当且仅当存在一个w' ∈W使得wRw'且M|==w’,g A其它的逻辑连结词按标准方法来解释, 此外定义LA = ～M～A。
R的形式性质决定了模态逻辑(公理和推理规则)。
我们称一个合式公式关于一个特殊框架类C为真,当且仅当它对C中每个框架的每个赋值函数和可能世界所满足。
因此，如果我们取C为所有使R是自反的框架，则得到熟知的逻辑T。
如果R是传递的，则得到S4，如果R是自反，传递和对称的(即等价关系)，则得到模态逻辑S5。
模态逻辑T由谓词逻辑公理系统加上公理LA→AL(A→B)→(LA→LB)得到。
推理规则ALA表示必要性。
S4在T的公理系统中加上公理LA→LLA。
S5在S4公理系统中加上公理MA→ LMA。
由于使单个的域保持固定，Baican公式∀x(LA)→ L(∀x A)对所有框架都为真。
10.2时态逻辑(Temporal Logic)时态逻辑, 在不同时间, 同一个语句可以有不同的真值。
时态逻辑语言L T由通常逻辑语句加上时态算子F, P, G , H组成。
其中FA表示在将来(Future)某个时间A为真；PA表示在过去(Past)某个时间A为真;GA表示在所有将来时间A都为真;HA表示在过去时间A总归为真。
定义2一个时态框架T由时间非空点集T,一个时间优先次序关系R以及一个函数h：T×L T的原子集合→{0, 1}所组成。
T = (T, R, h)。
函数h给每一个原子语句在全部时间点上赋予真假值。
h在整个L T上的语义由下列方式规定：⑴h(t, A ∧ B)=1当且仅当h(t, A)=1且h(t, B)=1⑵h(t, ~A)=1当且仅当h(t, A)=0⑶h(t, FA)=1当且仅当(∃t')(R(t, t')&h(t', A)=1)⑷h(t, PA)=1当且仅当(∃t')(R(t', t)&h(t', A)=1)其中R(t, t')表示按时间优先次序t优先于t’。
由GA和HA的意义知GA↔~F~AHA↔~P~A因此h(t, GA)=1当且仅当(∀t’)(R(t, t’)→h(t’, A)=1)h(t, HA)=1当且仅当(∀t’)(R(t’, t)→h(t’, A)=1)如果一个语句在任何时间点都取值为1，我们称它在这样一个框架中为真，。
对R的不同限制导致不同的时态逻辑变种。
第-219 - 页- 220 - 模态逻辑和时态逻辑最小时态逻辑K为不对R加任何限制。
我们称一个语句为K-valid当且仅当它在全部时态框架中都真。
最小时态逻辑精确地是K-valid语句集合，并且有下列公理系统(A1-A7)为特征，以及MP(modus ponens)作为推理规则：(A1) A，其中A是永真式。
(A2)G(A → B) → (GA → GB)(A3)H(A → B) → (HA → HB)(A4)A → HFA(A5)A → GPA(A6)GA，如果A是一个公理(A7)HA，如果A是一个公理(MP)若A及A → B，则B可以证明(见McArthur11976或Rescher & Urquhart21971)这个系统的定理精确地是K-valid语句(完全性结果)分支时间(Branching Time)是在R上加上下面两个限制：(R1)(∀t∀s∀r)(R(t, s) ∧ R(s, r) → R(t, r))(R2) (∀t∀s∀r)((R(t, r) ∧ R(s, r) → R(t, s)) ∨ (t = s) ∨ R(s, t))传递性(R1)表示时间优先次序的传递性，(R2)表示反向线性性，即下列形式的时间分支：分支时间因此坚持仅存在一个过去，但允许将来保持分开。
为了公理化这个逻辑(在所有满足(R1)，(R2)框架上语句为真)我们需要在公理系统(A1)-(A7)加上两个公理：(A8) FFA → FA(A9)(PA ∧ PB) → (P(A ∧ B) ∨ (P(A ∧ PB) ∨ (P(PA ∧ B)))其中(A8)对应于传递性，(A9)对应于反向线性性。
Reschen&Urguhant称之为K b逻辑。
经典时间图是一个线性序列，这样的概念来源于物理，例如牛顿的绝对时间是一维线性连续统，甚至相对物理中局部时间序列也是线性的。
为了使将来和过去都分支，我们在R上加上限制：(R3)(∀s∀t)(R(s, t) ∨ (s = t) ∨ R(t, s))显然(R3)等价于(R2)和向前线性性限制(R4)的合取：(R4) (∀s∀t∀r)(((R(r, t) ∧ R(r, s)) → R(s, t)) ∨ (s = t) ∨ R(t, s))为了使所有满足(R1)和(R3)框架上的语句为真，需要在公理系统(A1) (A9)上添加公理(A10)(A10)(FA ∧ FB) → (F(A ∧ B) ∨ (F(A ∧ FB)) ∨ (F(FA ∧ B)))公理(A10)对应于向前线性性。
由(A1)-(A10)所定义的时态逻辑称为K1，由Nino Cocchiarella所引入。
这个逻辑仍然留下许多关于时间性质的未知基本问题。
例如：是否有一个时间的开始和终止时刻？是否在任何两个时刻之间存在一个时刻？时间的连续性是否象实数一样？对这些问题的不同回答导致不同的时态逻辑。
对第一个问题的肯定回答导致在关系R上的两个进一步限制：(R5) (∀s)(∃t)(R(t, s))1McArthus , J.(1979) Tense logic , Reidel2Rescher ,J.& Urquhant , A (1971) temporal logic , Springer Verlag(R6) (∀s)(∃t)(R(s, t))(R5)保证时间无开始，(R6)保证时间无结束。
它的公理系统为附加公理(A11)，(A12)到(A1)－(A10)上。
(A11) GA → FA(A12) HA → PA相应的时态逻辑由Dana Scoff所引用，记为K ss任何两个时刻之间是否存在一个时刻？肯定的回答导致时间象有理数一样稠密，否定的回答强迫时间具有自然数一样的机构。
一个肯定的回答强迫时间线在下列意义下稠密。
(R7) (∀s)(∀t)(∃r)(R(s, t) → (R(s, r) ∧ R(r, t)))要求在K s公理系统中增加一个公理(A13) FA → FFA这个线性时态逻辑由A. N. Prior所建立，记为K p最后一个问题涉及时间的稠密度象有理数还是象实数。
若我们将一个稠密有序线性序列T分成两个非空集合T1和T2，使得T1中每个点优先于T2中的点，则可能存在三种情况：⑴T1有一个最后元素，但T2无第一个⑵T1没有最后一个元素，但T2有第一个⑶T1没有最后元素，T2也没有第一个若仅允许⑴和⑵，则T的次序是连续的。
限制为：(R8) (∀T1，T2)(((T＝T1∪T2) ∧ (∀s∈T1)(∀t∈T2)(R(s, t))) → (∃s') ((∀s∈T1)(R(s, s') ∧ (∀t∈T2)(R(s', t)))) 上面的全线性连续性反映在公理：(A14) □(GA → PGA）→ (GA → HA)其中□B定义为GB ∧ HB ∧ B。
我们称满足(A11)－(A14)公理的时态逻辑为K c10.3模态框架（modal framework）一般的模态框架考虑一个由许多类似的状态（state）（或世界world）组成的一个宇宙(universe),以及状态之间可访问的关系R(s, s')组成。
关系R(s, s')规定了从一个状态s转变成另一个状态s'的可能性。
例如：在宇宙中的每个状态是一个日子，一个可能的可访问关系可以是两天s, s'之间的关系。
若s'是s'的将来。
主要记号想法是避免明显控制或状态参量（日子）或可访问关系。
而引入两个特殊算符来指出从宇宙中一个状态到可访问状态的性质。
引入两个模态算子□（称为必然算子necessity operator）和◇（称为可能算子possibility operator）。
我们用∣w∣s表示公式w在状态s的真值，则□和◇的意义由下列解释规则来定义：∣□W∣s = (∀s')(R(s, s') →∣W∣s')∣◇W∣s = (∃s')(R(s, s') ∧∣W∣s')即如果公式w在从状态s的所有R-可访问的状态下都为真，则□W在此状态s下为真。