16、圆的回顾与思考

 圆的复习 一、点与圆的位置关系 知识点：1、圆的两要素： 和 。常用语句以„为圆心，以„为半径作圆或弧。 2、点P到圆心O的距离为d，⊙O的半径为r， 若d＞r，则点P在 ； 若 d = r，则点P在 ； 若d＜r ,则点P在 。 练习：1、已知⊙O的半径为3cm，OA=5cm，若点P为OA的中点，则P点在 ⊙O 。 2、已知等边△ABC的边长是1，以A为圆心，r为半径画圆，若BC的中点M在⊙A上，则r = 。 3、正方形ABCD的边长是1，对角线AC、BD相交于点O，若以O为圆作图，要便点A在⊙O外，则所选取的半径可能是（ ）

A、21 B、22 C、23 D、2 4、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程022dxx有实数根，试确定点P与O的位置关系。 5、如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区，有一渔船误入离A2km的B处，为了尽快离开危险区，该船应沿哪个方向航行？为什么？

6、距离我校的教室A点东240的O点处有一货场，经过O点沿北偏西60°方向有条公路，假定运货车辆形成的嗓音影响的范围在130米以内。 （1）这条公路上车辆形成的嗓音会对学校有影响吗？ （2）若学校为消除噪音，计划在公路边修一段消音墙，请你计算消音墙的长度。（只考虑声音的直线传播）

二、圆的对称性  1、知识点：圆的轴对称性：垂径定理中共有 、 、 、 四个论断。定理可理解为其中任两个成立，则有其它二个也成立。但请特别小心以下结论： 平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦听对的弧。（ ）  方法总结：凡是有关弦的问题，一定要经过圆心作弦的垂线段。利用半径、弦心距、弦的一半构成的Rt△,用勾股定理解决问题。 练习：①已知⊙O的半径r=10cm，弦AB=16cm，一经点P在弦AB上（不与AB两点重合），则OP的取值范围是 。 A、OP≤60m B、OP＞10cm C、6cm≤OP≤10cm D、6cm＜OP＜10cm ②如图，⊙O的直径为8cm，弦CD的垂直平分半径OA，则弦CD的长为（ ）

A、3cm B、32cm C、34cm D、38cm

③如图，水平放置一个油泵的截面半径为13cm，其中有部分油面宽AB为24cm，则截面有油部分油面变CD为 。 ④如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径。

⑤（经典题）弓形问题：一种花边是由如图所示的弓形组成，弦AB=8，弓形的高CD=2，求弓形所在的圆的半径。

⑥已知⊙O的直径AB=22cm,过点A有两条弦AC=2cm,AD=6cm . 求∠CAD的度数。 ⑦在半径为5的⊙O内有一个内接梯形ABCD，AB∥CD，AB=6，CD=8。 求梯形的面积。 题后反思：注意圆中弦的位置，可能有两个答案。  作图应用：①作以圆内某点为中点的弦或作过圆内某点的最短弦。 ②找某圆弧的圆心。

2、圆的中心对称性：“四选一”定理 练习：①判断以下说法正确性：相等的圆心角所对的弧相等。（ ）

②如图，在⊙O中，⌒AB与⌒BC相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形？为什么？ 题后反思：要建立弦心距→弦→弧→圆心角的相等关系的联系，并灵活运用。 ③半径为2的⊙O的弦，且AB=32，求弦AB所对的圆周角的度数。 题后反思：①很多时候看到圆周角要联想到圆心角，并利用圆周角=21圆心角解题。 ②注意弦所对的圆周角有两个。 4、如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是⌒AC的中点，四边形ABCD的对角线AB、BD交于点E。 （1）求证：△ABE∽△DBC

（2）若BC=25，CD=25，求sin∠AEB的值。

题后反思：①见到圆的直径，就要利用90°的圆周角。②要善于应用“同弧或等弧所对的圆周角相等”。 三、直线与圆的位置关系 1、在判断直线与圆心位置关系，一定要经过圆心作直线的垂线段！ 若d＞r，则直线与圆 。 d＝r，则 。 d＜r，则 。 练习： ①（当心陷井）已知圆的直径为26cm，圆心到直线上一点的距离为13cm，则直线与圆的位置关系是 。 ②已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个交点，则r的取值范围是 。 ③如图，点A表示一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，且∠B=45°，∠C=30°，若在B、C两个村庄之间修一条长500m的垂直公路将两村连通，那么该公路是否会穿过该森林公园？ 2、切线的判定 （1）经过半径的外端点，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 （2）圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线。 两种方法的区别是确认直线是否经过圆上一点！ 例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于O，D为AB上一点，OD=OC，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O。 求证：（1）AC是⊙O的切线。（2）AB+DB=AC

例2：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. ⑴DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； ⑵若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长

题后反思：学习这种角的代换证明垂直的方法！ 3、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 方法总结：遇见切线常用辅助线，连结切点与圆心，利用其垂直。 练习：①过⊙O外一点P作圆的两条切线PA、PB，若∠P=80°，则∠AOB= 。 ②小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径，锅沿所形成的圆的直径，而小红家只有一根长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图，把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量MA的长，即可求出锅的的直径，请你说明她这样做的理由。

③如图，以O为圆心的两个同心圆中大圆的弦AB是小圆的切线，若AB=6cm，求图中圆环的面积。 4、三角形的外接圆与内切圆。 三角形的外心是 的交点，可能在三角形 。 而三角形的内心是 的交点，一定在 。 练习：①三角形ABC的边长分别是5cm、12cm、13cm，则△ABC的外接圆的半径为 ；而△ABC的内切圆的半径为 。 ②若O是△ABC的外心，∠BAC=40°，则∠BOC= 。 若O是△ABC的内心，∠BAC=40°，则∠BOC= 。

四、圆与圆的位置关系 ⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r，连心线O1O2=d，请利用数轴表示两圆的位置关系。

在研究两圆的位置关系时，首先考虑d与半径和R+r，半径R-r 的相等关系，再考虑不等关系。

练习：①在两圆的半径是方程031022xx的两根，当两圆的圆心距为5时，两圆的位置关系为（ ） A、相交 B、外切 C、内切 D、外离

②已知⊙O1和⊙O2半径的长是方程01272xx的两根，且O1O2=21，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ） A、相交 B、内 C、内切 D、外切 ③（当心）已知⊙A和⊙B相切，两圆的圆心距为8cm，⊙A的半径为3cm，则⊙B的半径为 。 4、如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶为了防雨，需搭建简单

防雨棚，这个防雨棚的高度最低应为多高。（3和1.73，结果精确到0.1m）

五、弧长及扇形的面积 弧长公式l= 扇形的面积：S= 或S= 练习：①在半径为1的圆中，弦AB=1，则劣弧AB的长为 。 ②如图，一块等边三角形的木板边为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点，从开始以结束所走过的路径长度为多少？ 六、圆锥的侧面积 理解：圆锥的形成①扇形围成圆锥；②扇形的弧长就是圆锥底面的周长；③扇形的半径是圆锥的母线长。 练习：1、理解截面与圆锥扇形的关系 ① 将半径为1m，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥筒，请你计算该圆锥容积。

② 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，其母线与高的夹角是多少？

2、立体图形中的最短路线问题，一定要展开成平面图形加以研究。 练习：如图，圆锥的底面半径为2cm，每线AB长为6cm，动点P从B点出发，沿着圆锥侧面移动到AC的中点M的短距离是多少？

变式：圆锥形粮堆如图所示，其中△ABC为边长4m的等边三角形，设想AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，那么小猫所经过的最短路程是多少？

七、滚筒问题：动圆滚动的圈数等于其圆的运动的轨迹长除以圆的周长。 练习：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了 圈。 八、方法总结 在图中，凡证明等积式，比例式，非模型化求值（垂径定理，射影定理），常通过三角形相似来解决。 1、射影定理的应用 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G。 求证：①∠ACD=∠F ②AC2=AG·AF

2、如图，△ABC内接于⊙O，ED在OC的延长线上，SinB=21， ∠D=30°。求证：AD是⊙O的切线。