上海教材预备班上学期期中 数学复习题(3)
上海市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。
上海市八年级上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市八年级上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)试卷一第一部分：单项选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 请问下列哪个集合无限？- A. 自然数集合- B. 整数集合- C. 有理数集合- D. 实数集合答案：D2. 在一个等差数列中，第5项是9，第8项是14，那么第10项是多少？- A. 17- B. 18- C. 19- D. 20答案：A3. 以下哪个不是正方形？- A. 边长为4cm的图形- B. 边长为6cm的图形- C. 边长为8cm的图形- D. 边长为10cm的图形答案：B4. 一件商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？- A. 12元- B. 20元- C. 80元- D. 92元答案：C5. 若a + b = 15，且a - b = 3，则a和b分别是多少？- A. a = 9，b = 6- B. a = 12，b = 3- C. a = 8，b = 7- D. a = 10，b = 5答案：D6. 在一个几何图形中，如果角A的度数是30°，角B的度数是60°，那么角A与角B的关系是？- A. 互补角- B. 对顶角- C. 锐角- D. 钝角答案：D7. 如果4个小球的质量总和是1.5千克，那么这4个小球平均质量是多少？- A. 0.5千克- B. 0.75千克- C. 1.25千克- D. 1.5千克答案：B8. 一个圆的半径是2cm，那么这个圆的直径是多少？- A. 2cm- B. 4cm- C. 6cm- D. 8cm答案：B9. 一个矩形的长度是3cm，宽度是4cm，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 6平方厘米- B. 9平方厘米- C. 12平方厘米- D. 24平方厘米答案：C10. 以下哪个是合数？- A. 2- B. 3- C. 5- D. 9答案：D第二部分：填空题（共5题，每空2分，共10分）1. 直角三角形的一条直角边长是5cm，另一直角边长是12cm，斜边长是\_\_\_cm。
上海高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一第一学期数学期中考试试卷满分：100分 考试时间：90分钟一、 填空题（每小题3分,满分36分）1．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是___________________.2．命题“若0>a 且0>b ，则0ab >”的否命题为__ _ ____ . 3．已知集合M ⊂≠{4,7,8},则这样的集合M 共有 个.4．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：______________ ___. 5．设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，() .U A C B ⋂= 6.11 .x<不等式的解集是 7．不等式｜2x －1｜＜ 2的解集是 . 8. 已知0x >，当2x x+取到最小值时，x 的值为_____ _. 9．已知集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若M P ⋂=∅，则实数t 的取值范围是 .10. 关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =___________.11. 已知24120x x +->是8x a -≤≤的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______________________。
12.若不等式210 kx kx k A A -+-<≠∅的解集为，且，则实数k 的范围为 .二、选择题(本大题共4小题，每小题3分，满分12分)13. 设U 为全集，()U BB C A =，则AB 为 ( )A. AB. BC. U C BD. ∅14. 若不等式b x a >的解集是()0，∞-，则必有 （ ） A 00=>b a ， B 00=<b a ， C 00<=b a ， D 00>=b a ，15、下列结论正确的是 ( ) A. xx y 1+=有最小值2； B. 21222+++=x x y 有最小值2；C. 0<ab 时，b aa b y +=有最大值-2； D. 2>x 时，21-+=x x y 有最小值2； 16.“1a >”是“对任意的正数x ，21ax x+>”的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共5小题，满分52分）17．（10分）设集合{}2560A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若B A B =，求实数a 的值。
上海市浦东新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
上海市浦东新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中362a cm b cm c cm ===，，，则d 值为（）A ．1cm B ．2cm C ．3cm D ．4cm2．下列命题一定正确的是（）A ．两个等腰三角形一定相似B ．两个等边三角形一定相似C ．两个直角三角形一定相似D ．两个含有30°角的三角形一定相似3．在ABC 中，90C ∠=，3cos 5A =，6AC =，则A 的长度为（）A ．8B ．10C ．12D ．144．下列命题中，正确的命题有（）①若||||a b = ，则a b = ②||||AB BA = ③若a b b c ∥∥ ，，则a c∥ ④若a b ∥ ，则a b ，的方向相同或相反A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比是（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：256．如图，在直角梯形ABCD 中，,AB BC EF ⊥是梯形的中位线，AB DH ∥，1,3,4AD BC CD ===，有下列4个结论：①60BCD ∠=︒，②2EH =，③四边形EHCF 是菱形，④EHB CEB ∽，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．如果:5:3x y =，那么x y y -=．8．在比例尺是1:500000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为12厘米，两地之间的实际距离大约是千米．9．设点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP <，2AB =厘米，那么线段BP 的长是厘米．10．计算：11())22a b a b --+ =．11．如图，在平面直角坐标系内有一点()5,12P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的正弦值．12．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC =23AB ，DE =6，那么EF 的值是．13．已知点G 是等腰直角三角形ABC 的重心，6AC BC ==，那么AG 的长为．14．等腰三角形中，如果腰与底边之比为5:8，那么底角的余弦值为．15．如图，在ABC V 中，边60BC =，高40AD =，四边形EFGH 是内接矩形，HG 交AD 于P ，设HE x =，则矩形EFGH 的面积S 与x 的函数关系式．16．在△ABC 中，5AB =，8BC =，=60B ∠︒，则△ABC 的面积是．17．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．18．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知ABC V 是46⨯的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与ABC V 相似的格点三角形中，最大的三角形面积是．三、解答题19．计算：22sin 452sin60tan30tan45︒+︒-︒︒ ．20．如图，已知锐角ABC V 的边BC 长40厘米，高AH 为30厘米，矩形DEFG 的一边EF 在边BC 上，顶点D G 、分别在AB AC 、上．如果矩形DEFG 的长是宽的2倍，求EF 的长．21．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点B 、C 分别作AD 的垂线，垂足分别为F 、E ，CF 和EB 相交于点P ，联结AP ．(1)求证：△ABF ∽△ACE ；(2)求证：EC ∥AP．22．2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素．部分灯组将文物与灯会相融合，如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的基础上进行制作展示（如图①）．张敏和赵雷两人去城墙灯会游览，看到龙灯十分壮观，他们合作完成寒假作业的实践活动报告．活动报告课题测量龙灯最高点到地面的高度AB 目的运用相似三角形与三角函数解决实际问题工具标杆、皮尺、测角仪、激光笔等测量方案及示意图如图②，张敏在D 处用测角仪测得龙灯最高点A 的仰角ADB ∠为31︒，赵雷在D 处竖立高3米的标杆CD ，利用激光笔测得地面上的点E 、点A 和点C 在一条直线上，6DE =米．说明AB BE ⊥，CD BE ⊥，点B 、D 、E 在一条水平线上，图中所有点都在同一平面内，sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈，测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计．安全测量过程中注意自己及他人的安全．请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度AB ．23．已知，在菱形ABCD 中，CF AB ⊥，垂足为E ，CE 与BD 相交于点F ．（1）求证：AB CF BE EF=；（2）22DF DB BC ⋅=24．如图，在直角坐标系中，()()1,0,2,3A B -，点B 绕着点A 顺时针旋转30︒得到B '(1)求直线AB 的表达式(2)求直线AB '的表达式(3)若平面内有一点C ，使ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形且与ABB ' 相似，求点C 的坐标25．折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．(1)操作判断：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部的点M 处，把纸片展平，过M 作EF BC ∥交AB 、CD 、BP 于点E 、F 、N ，连接PM 并延长交CD 于点Q ，连接BQ ，如图①，当E 为AB 中点时，PMN 是______三角形．(2)迁移探究：如图②，若5BE =，且10ME MF ⋅=，求正方形ABCD 的边长．(3)拓展应用：如图③，若1(1)MN n BC n=>，直接写出CQ BC 的值为______．。
上海高二上学期第一学期数学期中复习题,期中训练题
高二上学期数学期中复习题∆的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB 1.已知O是面α上一定点，A，B，C是平面α上ABC的对角。
以下命题正确的是________________（填序号）②③④⑤∆的外心一定在满足条件的P点集合中；①动点P满足=++，则ABC∆的内心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则ABC∆的重心一定在满足条件的P点集③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则ABC合中；∆的垂心一定在满足条件的P点集④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则ABC合中；∆的外心一定在满足条件的P点⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则ABC集合中；解：对于①，动点P满足=++，∴=+，∴++=，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B=|sin C=AD，∴=（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+），∴•=λ（+）=λ（||-||）=0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），设=，则E为BC的中点，则=λ（+），由④知（+）•=0，得•=0，∴⊥；∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．故正确的命题是②③④⑤2.如图，矩形ORTM内放置5个边长均为的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E 为AD的中点，则（-）•= ______ -3解：以A为坐标原点建立平面直角坐标系如图：则A（0，0），E（0，），B（2，-），C（3，），D（0，2）．∴=（0，），=（，2），=（-2，3）．∴-=（-，-），∴（-）•=6-9=-3.故答案为-3．中，已知∠BAC=，||=2，||=3，点D为边BC上一点，满足+2=3，点E 3.如图，在ABC是AD上一点，满足=2，则||=______________解：如图，延长AB到F，使AF=2AB，连接CF，取CF中点O，连接AO，则+2=2=3，∴，=（），∵=2，∴=（）=；∵∠BAC=，∴=2×3×cos60°=3，∴ = =- + ， ∴ =（- + ）2= +- =， ∴| |= = ．故答案为：．4.已知向量 ， 夹角为，| |=2，对任意x ∈R ，有| +x |≥| - |，求|t - |+|t -|（t ∈R ）的最小值。
上海市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
上海高一上学期期中考试试卷数学（满分100分，考试时间100分钟）一、 填空题（每题3分，共30分） 1. 若集合{}2=1,A x xx R ≤∈，{}2=,B y y x x R =∈，则AB =______.2. 函数1x y +=的定义域是 .3. 函数()fx 是1,b a ⎡⎤-⎣⎦上的奇函数，且,a b R+∈，则a b ⋅的最大值为 .4. 已知()2y f x x=+是奇函数，且()11f =.若()()2g xf x =+，则()1g -=____.5. 已知不等式11axx <-的解集为()()12,,-∞+∞，则a= .6.函数y =单调递减区间是 .7. 已知函数()fx 在(),-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，那么命题“如果0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的逆命题的真假性是 .（填：真或假）8. 若关于x 的不等式222x x a -+≥-无解，则实数a 的取值范围是 . 9. 已知()10=10，，x fx x ⎧≥⎨-<⎩，则不等式()()225x x f x ++⋅+≤的解集是 .10. 已知函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中：①若()2f x -是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线2x =对称；②若()()22fx f x +=--，则函数()f x 的图像关于原点对称；③函数()2y f x =+与函数()2yx f =-的图像关于直线2x =对称；④函数()2fx -与函数()2yx f =-的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题序号是 .二、 选择题（每小题4分，共16分）11.下列各组函数中，表示同一函数的是（）【A 】1,x y y x ==【B 】11y x x =-⋅+,21y x =- 【C 】33,y x y x == 【D 】()2,y x y x ==12.如果,a b 为非零实数，则不等式11a b>成立的充要条件是（ ） 【A 】0a >且0ab < 【B 】0a <且0ab > 【C 】0a >或0ab >【D 】220a b ab -<13.对于函数()f x ，若()()250f f -⋅<，则（） 【A 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定有零点 【B 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定无零点 【C 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定有两个零点 【D 】函数()f x 在区间(]2,5-上可能无零点14.已知函数23,1f(x)2,1x x x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） 【A 】47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【B 】4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【C 】23,2⎡⎤-⎣⎦【D 】3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题（共54分） 15. （本题满分10分） 已知集合2212x A x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}254B x x x =>-，{}1,C x x m m R =-<∈，（1）求A B ；（2）若()A B C ⊆，求m 的取值范围.16. （本题满分10分）已知函数2()32f x x ax b =--，其中,a b R ∈ （1）若不等式()0f x ≤的解集是[0,6]，求与的值；（2）若3b a =，对任意x R ∈，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2()23f x a ≤-，求实数a 的取值范围.17. （本题满分10分）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.18. （本题满分12分）已知函数1()()x af x x a a x+-=≠-.（1）求(2)()f a x f x -+的值；（2）当的定义域为1,12a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （3）设函数2()()()g x x x a f x =+-，若1322a ≤≤，求g()x 的最小值.19. （本题满分10分） 已知函数()2,my f x x x==++（m 为实常数）（1）若函数()y f x =图像上动点(,)P x y 到定点(0,2)Q ，求实数m 的值； （2）若函数()y f x =在区间[)2+∞，上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围； （3）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，k 的取值范围.参考答案一、填空题（本大题共有 10 小题，每题3分，共 30 分）1.=01,AB ⎡⎤⎣⎦2.()()110,,-∞-- 3.144.-15.126.322,⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.真 8.3a ≥或1a ≤ 9.32x ≤10.①④二、选择题（本大题共有 4小题，每题4分，共 16 分）11.C 12.D 13.A 14.A三、解答题（本大题共5小题，15-17题每题10分，18-19题每题12分，共54分）15.解：（1）根据题意,由 2212x A x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭得: 224104222x x x x x ++<⇒<⇒-<<-- 由{}254B x x x =>-得：1x >或5x <- 由{}1,C x x m m R =-<∈得：11m x m -<<+ 得: (1,2)A B =（2）因()A B C ⊆则111212m m m -≤⎧⇒≤≤⎨+≥⎩综上所述,结论是：实数m 的取值范围是12m ≤≤16.解：（1）依题意,206,0633a b+=⨯=-解得2()32f x x ax b =-- （2）若3b a =,则2()323f x x ax a =--依题意,224+36036422123a a a a a ⎧≤⎪⎨--≤-⎪⎩，所以,96a -≤≤-或0a =为所求17.解：（1）设矩形栏目的高为acm ,宽为bcm ,则20000ab =,所以20000b a= 广告的高为(20)a cm +,宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()606004000030260600120006060072600S a b a b a aa a=++=++=++≥⋅⋅+=+=当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号，此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小为272600cm（2）由题2b a ≥，20000b a =，解得0100a <≤ 由（1）可得4000030()60600S a a=++ 当100a =时，广告的面积最小为275600cm故当广告矩形栏目的高为100cm ，宽为400cm 时，可使广告的面积最小为275600cm18.解（1）112()(2)()2a x x a a x f a x f x x a a x x a-++---+=+==----（2）函数11()()1x a f x x a a x a x+-=≠=-+--当112a x a +≤≤+时,11,2a x a --≤-≤--11,2a x -≤-≤-121a x-≤≤-- 于是1312a x-≤-+≤-- 得()f x 值域为[]3,2--.（3）当1a =时,2()(1)g x x x x =+≠-(i) 当0x ≥时，211g()()24x x =+-则函数()g x 在[0,)+∞上单调递增min ()(0)0g x g ==(ii) 当0x ≤时，211g()()24x x =--则函数g()x 在(,0]-∞且1x ≠-时单调递减min ()(0)0g x g ==综合得:当1x ≠-时，g()x 的最小值是019.解：（1）设(,)P x y 则2,my x x=++ 222(2)PQ x y =+-22222m x m x=++2m ≥+=2当0m >时，解得1m =;当0m <时,解得1m =-1m ∴=或1m =（2）由题意,任取[)12,2,x x ∈+∞,且12x x <则121221212112()()2(2)()0x x m m mf x f x x x x x x x x x =-=++-++=-⋅> 21120,4x x x x ->>所以4m ≤;m ∴的取值范围(],4-∞（3）由()f x kx ≤,得2mx kx x++≤ 212,1,12m x k x x ⎡⎤∈∴++≤⎢⎥⎣⎦令1tx=,则1,12x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解,当且仅当[]min()(1,2)k g t t≥∈0m<min()(1)3g t g m∴=-+综上, 当23m≤-时,[)45,k m∈++∞当23m-<<时, [)3,k m∈++∞高一第一学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为______． 2．不等式123x-<<的解集为______． 3．．函数()3x f x +=的定义域是______．4．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B ⋂=______． 5．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈；②T ∅⊆；③{}T ∅∈；④{}T ∅⊆．其中正确的是______．（写出所有正确命题对应的序号）6．若集合{x y ==R ，则实数a 的取值范围是______．7．如果全集U 含有12个元素，P 、Q 都是U 的子集，P Q ⋂中含有2个元素，P Q ⋂含有4个元素，P Q ⋂含有3个元素，则P 含有______个元素．8．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元、b 元、c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是______老师，理由是______（请写出关键的不等式）． 9．对于集合M ，定义函数()11M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合A 、B ，定义集合()(){}1A B A B x f x f x *=⋅=-，已知集合{}A x =>，()(){}330B x x x x =-+>，则A B *=______．10．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有______个元素． 二、选择题11．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确12．已知a ，b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要13．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114．设集合{}110P x ax =+>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 三、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+，证明： （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立．16．已知集合()(){}23210A x x m x m =-+++=，(){}223120B x x n x =+++=，其中m ,n ∈R ． （1）若A B A ⋂=，求m 、n 的值； （2）若A B A ⋃=，求m 、n 的取值范围．17．已知命题P ：函数()()113f x x =-且()f a a <，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x =+++=∈R ，{}0B x x =>且A B ⋂=∅．（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围；（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，若,,,0m T y y x x m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭R ，若T S ⊆，求实数m 的范围．18．2020年初，有一种高危传染病在全球范围内传播，中国东部沿海某市总人口约200万人，根据分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样结合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x 人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数是多少？（2）在上题的检测方案中，对于检测结果为阳性的组取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少；（3）在上题的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．高一期中数学试卷参考答案一、填空题1．14 2．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．{}03x x x <≠-且 4．{}23， 5．①②③④ 6．3a ≤- 7．58．王老师，22a b ab a b +>+ 9．()[)(),30,13,-∞-⋃⋃+∞10．3 二、选择题11．D 12．A 13．B 14．B三、解答题15．（1）证明略；（2）证明略．16．（1）122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12m n =⎧⎨=-⎩； （2）5,13m n ∈⎧⎪⎨⎛⎫∈- ⎪⎪⎝⎭⎩R 或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 17．（1）(][)5,47,a ∈--⋃+∞； （2）()4,7a ∈-； （3）(]0,4m ∈．18．（1）在最坏情况下，需要进行62101000x x⨯+次检测可以找到所有的被感染者，在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数是45：（2）第一次每个组159人，第二次每个组13人，可使总次数尽可能少；（3）进行这样的检测18次，即可得到总次数更少．上海市第一学期高一数学期中考试试卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3=U ，集合{}2,3=A ，{}1,4=B ，则⋂=A B ______．2．若“2=x ”是“220-+=x x c ”的充分条件，则=c ______．3=______．4．已知2336==a b ，则11+=a b ______． 5．当2>x 时，122+-x x 的最小值为______． 6．关于x 的一元二次不等式210++>ax bx 的解集是()1,3-，则-a b 的值为______．7．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______．8．已知集合(){}21320=-+-=A x m x x 有且仅有两个子集，则实数=m ______． 9．定义运算,,≤⎧*=⎨>⎩x x y x y y x y ，若11-*=-m m m ，则m 的取值范围为______．10．已知正数a 、b 满足()lg 4lg lg +=+a b a b ，则+a b 的最小值为______．11．已知集合()(){}{210==--+-=M M x x a x ax a 各元素之和等于3．则实数=a ______．12．已知关于x 的不等式组()2228022770⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩x x x k x k 仅有一个整数解，则实数k 的取值范围______． 二、选择题13．()3<∈a a R 成立的一个必要不充分条件（ ）A ．3<aB ．2<aC ．29<aD ．02<<a14若>a b ，>c d ，则下列结论正确的是（ ）A ．+>+a d b cB ．>ac bdC ．>a b c dD ．-<-d a c b15．“对任意的∈x R ，3210-+≤x x ”的否定形式是（ ）A ．不存在∈x R ，使∈x R ，3210-+≤x xB ．存在∈x R ，使∈x R ，3210-+≥x xC ．存在∈x R ，使∈x R ，3210-+>x xD ．对任意∈x R ，使∈x R ，3210-+>x x16．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6=+∈k n k n Z ，1=k ，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0-∈a b ”； @“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2∈b ”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 三．解答题17．已知集合{}0,1=A ，{}()11,lg ,20=->a B a a a ，请用反证法证明：{}1⋂=A B ． 18．已知实数x 满足210-+=x mx ，求：（1）22-+x x （用m 表示）；（2）1--x x （用m 表示）．19．已知20,3⎧-⎫=<∈⎨⎬+⎩⎭x A x x R x ，{}10=-=B x ax ，且⋂=A B B ，求实数a 的取值范围． 20．设二次函数()2=++f x ax bx c ，其中a ，b ，∈c R ．（1）若=b a ，4=-c ，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围； （2）若1=a ，21=-b k ，2=c k ，方程()0=f x 有两个大于1的根，求实数k 的取值范围．21．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数那运算是两类重要的运算．（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，那么log =n a M n ()log ∈a M n R（2）因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20202019的位数．（注lg 2019 3.305≈）（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯杰与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围模复杂度的上限约为3613=M ，而根据有关面料，可观测宇审中普通物质的原子总数的为8010=N ，甲乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310，现有一种定义：若实数x ，y 满足-<-x m y m 则称x 比y 接近m ，请你判断哪个同学的近似值更接近M N，并说明理由．上海第一学期高一数学期中考试试卷答案时间：90分钟 满分：100分一、填空题1．{}1 2．0 3．：34x 4．125．4 6．1- 7．3>a 8．18-或19．12≥m 10．9 11．2或32 12．[)(]5,34,5-⋃ 二、选择题13．A 14．D 15．C 16．B三．解答题17．略18．（1）22-m ；（2）19．{}11,,032⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．（1）[]16,0-；（2）2<-k ．21．（1）如果0>a ，且1≠a ，0>M ，因为()log log ==a a n n M M n a a M ，所以log log =na a M n M a a ，所以()log log =∈n a a M n M n R ； （2）设20202019=t ，所以lg 2020lg 2019=t ，因为lg 2019 3.305≈，所以lg 2020lg 20196676.1==t ，所以()6676.166********10,10=∈t所以20202019的位数为6677； （2）根据题意得，36180310=M N ，所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.2410==-=-≈M N 所以()92.2492931010,10=∈M N因为()361173lg 23lg 236llg3172.54173lg10⨯=+≈<=，所以36117317315323101010⨯<<+ 所以36193738023101010⨯<+，所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．。
上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知{|,110}A x x x =∈≤≤N ，{|B x x =是3的倍数}，则A B ⋂可用列举法表示为．2．“x M ∈或x N ∈”是“x M N ∈⋂”的条件．3．已知e 是自然对数的底，求值：()(ln1000⨯=．4．命题“若α，则β”是真命题用集合的语言描述为．5．集合A ，B ，C 的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A ，B ，C ，试用集合A ，B ，C 的运算结果表述图中阴影所代表的集合．6．若23xa =，且0a >，则33x xx xa a a a --++的值为．7．若x 满足(1)(2)(3)0x x x ---≥，则x 的取值范围为．8．对任意的m ∈Z ，3m ≠，函数m y x =和3y x =的图象的公共点个数可能是．9．若{}2220A xmx mx =++<=∅∣，则m 的取值范围为．10．若x ，y ，z 均为正数，且满足(2)(3)10x y x z ++=，则223x y z ++的最小值为．11．已知||1a d -≤，||1b c -≤，||2a ≤，||2c ≤，则||ab cd -的最大值为．12．2024年是中华人民共和国建国75周年，一家商场推出了75本针对建国每一年的纪念版挂历，上海中学的三位同学不约而同地选择收藏，由于销售过于火爆他们每个人都没有买齐完整的75本，但是购买后他们发现，任意两个人手中的挂历放到一起都能凑出一套完整的挂历，则这三位同学购买挂历的不同情况有种．（列出算式即可）二、单选题13．设a 是不等于1的正数，M ，N 是任意给定的正数，c 是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（）A ．log 1a a =B ．log log log aa a MM N N=-C ．log log ca a M c M=D ．log ()log log a a a MN M N=⋅14．设非负实数x ，y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值是14B ．112x y+的最小值是8C ．224x y +的最小值是12D ．2y x +的最小值是015．已知二次函数2()f x x ax b =++，定义满足()0f x >的x 为函数的正值点，满足()0f x <的x 为函数的负值点，已知集合{1,0,1}-中有该函数的两个负值点和一个正值点，则正值点（）A ．不可能是1-B ．不可能是0C ．不可能是1D ．三个数都有可能16．已知任意b ∈R ，函数2log y x b =+在[,1]t t +上的最大值大于1恒成立，则t 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．求下列不等式的解集：(1)2113x x -<+；(2)|1||2|3x x +++>．18．已知全集R U =，(,1][8,)A =-∞-+∞ ，{221}B m x m =--≤≤-+，且B A ⊆，求m 的取值范围．19．已知12,x x 是方程210x mx m -++=的两根，若两根都大于1，求25m m+的取值范围．20．二次函数2()f x ax bx c =++满足对任意的x ∈R ，21()x f x x x -≤≤-恒成立．(1)求证：(1)f 为定值；(2)若1(0)4f =-，求二次函数()f x 的表达式；(3)求25a b c ++的取值范围．21．定义集合(){}{}12Ω,,,0,1,1,2,,n n i a a a a i n =⋯∈=⋯∣，对任意的()12,,,n x x x x =⋯，()12,,,Ωn n y y y y =⋯∈，定义1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-++- ，设A 是n Ω的至少含有两个元素的子集，集合{(,),,}D d x y x y x y A =≠∈∣中的最小值称为A 的特征，记作()A χ．(1)当3n =时，直接写出下述两个集合的特征：{(0,0,1),(1,1,1)}A =，{(0,0,0),(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1)}B =(2)当5n =时，设5A ⊆Ω且()2A χ=，求A 中元素个数的最大值；(3)当7n =时，设7A ⊆Ω且()4A χ=，求A 中元素个数的最大值．。
2022-2023学年沪教版上海数学九年级上册期中复习试卷含答案解析
2022-2023学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则cos B等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a边及∠A，则斜边长应为（）A．B．C．a cos A D．a sin A3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为（）A．B．C．D．4．已知、是两个非零向量，且+2＝，下列结论：①＝﹣2；②∥；③＝2；④与同向，其中正确的有几个（）A．1B．2C．3D．45．如图，ABCD是正方形，AF＝2BF，E是CD的中点，P是AD边上的一点，下列条件：（1）∠AFP＝∠DEP；（2）AF•PE＝DE•PF；（3）PF：PE＝4：3；（4）∠FPE＝60°．其中能推出△APF∽△DPE 的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（）A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．若，则的值为．8．2sin45°+tan60°＝．9．已知不重合的两点C、D均是线段AB的黄金分割点，若AB＝10，则CD＝．10．蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度y厘米与燃烧时间x小时（0≤x≤6）的关系式可以表示为．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是．12．如图，AD是中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若，则值是．13．如果在平行四边形ABCD中，如果＝，＝，那么向量为．（用和表示）14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC的长是．15．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若＝．16．如图，在△ABC中，AB＝1，CD⊥AB于点D，E是线段CD上的动点，点F在直线AB的下方，∠ACB ＝∠FEB＝90°，∠A＝∠EFB＝30°，设CE＝x，△BDF的面积为y，则y关于x的函数关系式为．17．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠CAD的余弦值为．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，则△ADE与△ABC的面积之比为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ：AB ＝3：1．求∠A 的正弦、余弦和正切值． 20．（10分）如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，交BD 于点G ，AE ：AB ＝1：3，设＝，＝．（1）用向量、分别表示下列向量： ＝ ，＝ ，＝ ．（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出作图结论）21．（10分）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，如果AB ＝3，AC ＝7，EF ＝6．（1）求DE 的长．（2）如果AC 与DF 相交于点O ，OF ＝1，求．22．（10分）如图，已知在四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，BD ⊥CD ，AC 与BD 相交于点E ，S △AED ＝9，S △BEC ＝25．（1）求证：∠DAC ＝∠CBD ；（2）求cos ∠AEB 的值．23．（12分）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，连接AD ，点H 为AD 中点，延长BH 交AC 边于点E ，求证：．24．（12分）（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝°，等边△ABC的边长为．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．25．（14分）如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM．（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．参考答案解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝30°，∴cos B＝cos30°＝，故选：C．2．解：在直角三角形中，已知a和∠A的值，故根据锐角三角函数定义可知，sin A＝，∴c＝．故选：A．3．解：由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF，∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝∵EF∥BC，∴EF∥AD，设，AD+AE+FD＝3+∴，解得：k＝4，作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC﹣CH＝9﹣3＝6，∵，∴，∴．故选：C．4．解：∵、是两个非零向量，且+2＝，∴＝﹣2；∥；＝2，与方向相反，故①②③正确，④错误，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D，AB＝AD＝CD，∵AF＝2BF，∴可以假设BF＝m，AF＝2m，则AB＝AD＝CD＝3m，∴E是CD的中点，∴DE＝EC＝1.5m，当∠AFP＝∠DEP时，∵∠A＝∠D＝90°，∴△APF∽△DPE，当AF•PE＝DE•PF时，∴＝，设＝＝k，则AF＝k•DE，PF＝k•PE，可得AP＝•AF，DP＝•DE，∴＝，∵∠A＝∠D＝90°，∴△APF∽△DPE，当PF：PE＝4：3，∵AF：DE＝4：3，∴＝，∴△APF∽△DPE，当∠FPE＝60°时，无法判断△APF∽△DPE，故选：B．6．解：如图，∵点G是△ABC的重心，∴AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确；∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确．故选：B．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．解：设a＝2k，b＝3k，（k≠0），则＝＝．故答案为：．8．解：原式＝2×+＝+．故答案为：+．9．解：∵点C、D是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴AC＝AB＝5﹣5，BD＝AB＝5﹣5，∴AD＝AB﹣BD＝15﹣5，∴CD＝AC﹣AD＝5﹣5﹣（15﹣5）＝10﹣20．故答案为：10﹣20．10．解：根据题意，得y＝30﹣5x（0≤x≤6）．故答案为：y＝30﹣5x（0≤x≤6）．11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC＝＝2k，所以tan B＝＝，故答案为：2．12．解：过D点作DH∥BE交AC于H，如图，∵AD为中线，∴BD＝CD，∵DH∥BE，∴＝＝1，∴CH＝EH，∵EF∥DH，∴＝＝，∴AH＝2AE，∴AE＝EH＝CH，∴＝．故答案为．13．解：如图，＝+＝．故答案是：．14．解：如图，延长CG交AB于D，则点D为AB的中点，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，CG＝2，∴GD＝CG＝1，CD＝CG+GD＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又∵DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∴sin∠ACG＝sin∠CDE＝＝，∴CE＝2，∴BC＝4．故答案为：4．15．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝（）2＝（）2＝，故答案为：．16．解：如图，作FG⊥AB于点G，延长FG到N，作EN⊥FN，EM⊥BM于点M，∵CD⊥AB，得矩形DBME，矩形DENG，∵∠FEB＝90°，∠FNE＝90°，∴∠FEN+∠BEM＝90°，∠FEN+∠NFE＝90°，∴∠BEM＝∠NFE，∵∠EMB＝∠FNE＝90°，∴△EMB∽△FNE，∴＝＝，∵AB＝1，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝，∵∠CDB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝，∴CD＝BD＝，∵CE＝x，∴BM＝DE＝CD﹣CE＝﹣x，∵∠EFB＝30°，∴＝，∴＝＝＝，即FN＝EM＝BD＝，∴GF＝FN﹣GN＝FN﹣BM＝﹣（﹣x）＝x，＝BD•FG＝•x＝x．∴S△BDF∴y＝x．故答案为：y＝x．17．解：如图作AH⊥BC于H，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，∴AD＝k，∴cos∠CAD＝cos∠ADH＝＝＝．故答案为．18．解：∵AD＝3，DB＝6，∴AB＝AD+DB＝9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，＝＝，∴△ADE与△ABC的面积之比＝（）2＝；故答案为：．三．解答题（共7小题，满分78分）19．解：设AC＝3k，AB＝k．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵BC＝＝2k．∴sin A＝＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝2．答：∠A的正弦、余弦和正切值分别为、、2．20．解：（1）∵＝，AE＝BA，∴＝，，∵＝+，EB＝﹣，＝，∴＝﹣，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵CD∥EB，∴△BEG∽△DCG，∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，∴EG：EC＝4：7，∴＝﹣，故答案分别为：，﹣，﹣；（2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．21．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴DE＝；（2）∵OF＝1，∴OE＝6﹣1＝5，∴OD＝5+＝，∵AD∥CF，∴＝＝＝．22．（1）证明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△AED ∽△BEC ，∴∠DAC ＝∠CBD ；（2）解：∵△AED ∽△BEC ，S △AED ＝9，S △BEC ＝25，∴＝＝，∴在Rt △ABE 中，cos ∠AEB ＝＝． 23．证明：过D 点作DF ∥BE 交AC 于F ，如图，∵DF ∥BE ，∴＝，∵HE ∥DF ，∴＝，∵点H 为AD 中点，∴AH ＝HD ，∴AE ＝EF ，∴．24．（1）解：∵等边△ABC ，∴∠ABC ＝60°，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得出△ABP ′，∴AP ′＝CP ＝1，BP ′＝BP ＝，∠PBC ＝∠P ′BA ，∠AP ′B ＝∠BPC ， ∵∠PBC +∠ABP ＝∠ABC ＝60°，∴∠ABP ′+∠ABP ＝∠ABC ＝60°，∴△BPP ′是等边三角形，∴PP ′＝，∠BP ′P ＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝，过答案为：150°，．（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB＝45°，∴FE＝BF＝1，∴AF＝2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；∴∠BPC＝135°，正方形边长为．答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠DBQ＝120°，∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°，∴只有当∠PMQ＝∠DCQ＝120°时，△PMQ∽△DCQ，则PM∥DC，∵M是BC的中点，∴P是AB的中点，即AP＝3＝t，∴t＝3时，△PMQ∽△DCQ；（2）不变化．理由如下：如图1中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm；（3）如图2中，连接AM，则AB'≥AM﹣MB'，而MB'＝MB，∴当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，即：点B'在AM上，（如图3）∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6，∴AM⊥BC，∴∠BAM＝∠BAC＝30°，，∵B'M＝BM＝3，∴AB'的最小值为AM﹣B'M＝，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM，∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3﹣3，∴t＝9﹣3，即：t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，，则_______．2.已知复数满足（为虚数单位），则_______．3.函数的最小正周期是_______．4.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．5.若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．6.已知满足，则的最大值是_______．7.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．8.已知函数的反函数是，则_______．9.设多项式（）的展开式中项的系数为，则_______．10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则_______．11.设向量), ，为曲线（）上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．12.设为的一个排列，则满足对任意正整数，且，都有成立的不同排列的个数为_______．13.设，则“”是“且”的………………………（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件二、选择题1.如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是…………………………………………………………………（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④2.如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为…………………（）A．B．C．D．3.若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是…（）A．B．C．D．三、解答题1.如图，在正方体中，分别是线段的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小．2.已知抛物线（），其准线方程为，直线过点（）且与抛物线交于两点，为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．3.对于定义域为的函数，如果存在区间（），同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称函数是区间上的“保值函数”．（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）已知（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围．4.数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为．（这里均为实数）（1）若是等差数列，求的值；（2）若，求；（3）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．5.设，若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界．（1）设、，试判断、是否为有界集合，并说明理由；（2）已知，记（）．若，，且为有界集合，求的值及的取值范围；（3）设均为正数，将中的最小数记为．是否存在正数，使得为有界集合，均为正数的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.若集合，，则_______．【答案】【解析】由题意可得，答案：2.已知复数满足（为虚数单位），则_______．【答案】1【解析】由题意得，所以，答案：13.函数的最小正周期是_______．【答案】【解析】由行列式知识可知，所以f(x)的周期为，答案：4.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线为y=3x,可知，又由方和可知b=9,所以解得，,答案：35.若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．【答案】【解析】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以，.答案：6.已知满足，则的最大值是_______．【答案】【解析】画出可行域，如下图，所以最优解（1，1），最大值为3，答案：37.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．【答案】【解析】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：，再消去y，得，，所以两个交点。
上海市上海中学2024-2025学年高三上学期考试数学试题
1上海中学2024学年第一学期高三年级数学期中2024.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.若集合{}1,0,1,5,10,20,{|1}A B x lgx =-=<,则A B ⋂=.2.已知全集U R =,集合{}{}|0,||1|3A x x a ,x R B x x ,x R =+≥∈=-≤∈.若()[]24U C A B ,⋂=-,则实数a 的取值范围是.3.已知幂函数()f x 的图像过点222⎛ ⎪⎝⎭,则()f x 的定义域为.4.若函数()(f x xln x =+是偶函数,则a =.5.已知0a >,则()()141a a a--的最小值为.6.已知函数()22f x x log x =+:则不等式()()120f x f +-<的解集为.7.设,,a b c 都是正实数,则"1abc ="是"a b c ++≥"的条件.8.已知函数()()212f x lg x ax =-+在[]13,-上是减函数,则实数a 的取值范围是.9.已知当[]11a ,∈-时,不等式()24420x a x a +-+->恒成立,则x 的取值范围为.10.已知函数()2f x +=,当(]01x ,∈时，()2f x x =,若在区间(]11,-内()()()1g x f x t x =-+有两个不同的零点,则实数t 的取值范围是.11.设,b c 均为实数,关于x 的方程0bx c x++=在区间[)1,+∞上有解,则22b c +的取值范围是.12.设[],01a b ,∈,记()()1111a b S a b b a=++--++,则它的最大值和最小值的差为.2二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）13.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是（）.A.11a b> B.a b-> C.22a b > D.33a b <14.已知函数()()22,01,0x x ax a x f x e ln x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩是R 上的严格增函数,则实数a 的取值范围是（）.A.(]0,-∞B.[]10,-C.[]11,- D.[)0,+∞15.若12,x x 是方程280x ax ++=的两相异实根,则有（）.A.122,2x x >> B.123,3x x >>C.12x x -≤D.12x x +>16.已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导数满足()()''f x g x ≤,给出两个命题:（1）对任意12,x x R ∈,都有()()()()1212f x f x g x g x -≤-;（2）若()g x 的值域为[]()(),1,1m,M f m f M -==,则对任意x R ∈都有()()f x g x =.则下列判断正确的是（）.A.(1)(2)都是假命题B.(1)(2)都是真命题C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是真命题，(2)是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.(本题满分14分)已知三个集合:(){}22|581A x R log x x =∈-+=,{}22822{|21},|190xx B x R C x R x ax a +-=∈==∈-+->.（1）求A B ⋃;（2）已知,A C B C ⋂≠∅⋂=∅,求实数a 的取值范围.318.(本题满分14分)记函数()f x =的定义域为()()(),21A g x lg x b ax ⎡⎤=-+⎣⎦(0,)b a R >∈的定义域为B .（1）求集合A ;（2）若A B ⊆,求,a b 的取值范围.19.（本题满分14分）某个体户计划经销,A B 两种商品，据调查统计，当投资额为()0x x ≥万元时，在经销,A B 商品中所获得的收益分别为()f x 万元与()g x 万元，其中()()()()12(0),6(0)f x a x a g x ln x b b =-+>=+>.已知投资额为零时,收益为零.（1）试求出,a b 的值;（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1万元）加入高中数学资料QQ 群734924357，获取更多精品资料！420.(本题满分18分)已知函数()()()(),,0;b f x ln ax g x ln x a b R ==>∈.（1）若,1a e b ==-,求()()f x g x ⋅的最大值;（2）若2a =，求关于x 的不等式()()0g x f x ≤的解集；（3）记()()()F x f x g x =+，对于给定的实数b ，若存在x 满足()1F x ≤，求a 的取值范围.加入高中数学资料QQ 群734924357，获取更多精品资料！521.（本题满分18分）若定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =分别存在导函数()'f x 和()'g x .且对任意x 均有()()''f x g x ≥，则称函数()y f x =是函数()y g x =的"导控函数".我们将满足方程()()''f x g x =的0x 称为"导控点"（1）试问函数y x =是否为函数y sinx =的"导控函数"?（2）若函数32813y x x =++是函数3213y x bx cx =++的"导控函数"，且函数3213y x bx cx =++是函数24y x =的"导控函数",求出所有的"导控点";（3）若()x x p x e ke -=+，函数()y q x =为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的"导控函数"，求证："1"k =的充要条件是"存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立。
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1. 将
9
4,32,43按从小到大的顺序排列（需要有通分过程）
2. 解方程x-
9
26535+=
3. 解方程x-14
3721
=
4. 小明做语文作业用了
31小时，做数学作业用了21小时，做英语作业用了12
5小时，一共做了多少小时？
5. 六年级的学生参加探究性课题的研究，每人只能参加一组，其中全年级人数的
1003参加了课题组1，全年级人数的50
3参加了课题组2，全年级人数的1507参加了课题组3。
这三个课题组的人数共占了全年级人数的几分之几？
6. 计算（1）
3283⨯ （2）854⨯ （3）658⨯ （4）12187+
（5）
1074352+- （6）301152512-+ （7）1110512⨯ （8）5÷5
1
（9）
12773⨯ （10）76322⨯ （11）3÷32 14127)12(÷ （13）4
1415÷
416131)14(++ (15) 32611323+- (16)323512+ (17) 6
583⨯
(18)
78635÷ （19）761312÷
7. 一个正方形的边长是
65米，它的周长是多少米？
8. 某学校的教室面积占校舍总面积的
85，办公室的面积占校舍总面积的201，乒乓房的面积占校舍总面积的
801，那么教室、办公室和乒乓房的面积共占校舍总面积的几分之几？
9. 比41大但比3
2小的最简分数有_____________个 10. 48和60的最大公因数是________________
11. 39和78的最大公因数是________________
12. 52和78的最大公因数是________________
13. 两个连续的正奇数一定是互素数，是否正确？请举例说明。
14. 判断1,2,9,10,21,23,29,31,39,51,91,97是素数还是合数
素数有________________________________________________
合数有________________________________________________
15. 下面有三张卡片位数、两位数、三位数。
把所得数中的素数写出来。
16. 6千克的15
2是多少千克？
17.
10
23米的32是多少米？
18. 有两只狗，其中一只大狗的重量是40千克，另一只小狗的重量是这只大狗的重量的
61，那么这只小狗的重量是多少千克？
19. 两个数的积是24，最大公因数是2，求这两个数。
20. 两个数的最大公因数是1,最小公倍数是143，求这两个数。
21. 两个数的积为96,它们的最大公因数是4，求这两个数。
22. 解方程：x-1
72=14
3
23. 24和36的最小公倍数是_________________
24. 在括号内填上适当的数，使等式成立：4
12)(92415)(5
++== 25. 莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款
情况绘制如下统计图：
请根据统计图给出的信息回答下列问题：
本次活动中捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？
26. 小丽每隔5天去一次超市购物，小杰每隔7天去同一家超市购物.国庆节这一天小丽、
小杰都去了这家超市购物，
(1)问至少再经过多少天，他们又会在同一天去这家超市购物？
(2)请说出他们再次去这家超市购物是几月几日.
27. 在一条长600米的小路的一边,原计划每隔15米种一棵树,两端各植一棵树.后来发现树
苗不够,要改成25米栽一课树.
（1）原计划要挖多少个坑?
（2）这样改动后有几个挖好的坑要填掉?
（3）还要再挖几个坑?
28. 我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a ，我们把小于a 的正的因数叫做a
的真因数。
如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数。
把一个自然数a 的所有真因数的和除以a ，所得的商叫做a 的“完美指标”。
如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10 =5
4。
一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”。
如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8 =87，10的“完美指标”是54，因为87比5
4更接近1，所以我们说8比10更完美。
（1） 试分别计算5、6、9的“完美指标”；
（2） 试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数。
29. 请写出一个与6互素的合数
30. 12的3
4是______________. 31. 分解素因数:36=____________________
32. 计算：)6
583(3237289+⨯+⨯
33. 计算： .________31594=÷
34.
85的_____________是7
6 35. 一个数的32是92，求这个数。