共轴光学系统近轴成像特性研究

共轴光学系统近轴成像特性研究摘要:依据几何光学的基本理论对单凸球面折射、单凹球面折射、单凹球面反射、单凸球面折射、凸透镜和凹透镜在近轴条件下的成像特性进行分析和讨论，在此基础上对共轴光学系统在近轴条件下的成像特性进行分析和讨论，并对成像特性归纳总结得到，不论是哪种光学元件成像, 像的放大和缩小取决于物体到物方焦点的距离,像的虚实、正立和倒立与物方焦距有关。

关键词：光学元件;共轴；光学系统；进轴条件；成像；0 引言工农业、国防、科学技术等人类生活的各个领域内，使用着种类繁多的光学仪器。

尽管其中的光学系统千差万别，但其基本功能则是共同的，即传输光能或对所研究的目标成像。

因此，研究光的传播和光学成像的规律对于设计光学仪器具有本质的意义。

当然，从本质上讲，光是电磁波，它的传播规律符合波动理论，这已为光的干涉、衍射和偏正等诸多现象所证明。

按照波动理论，光的传播就是波面的传播。

但用波面的观点来讨论光经透镜或光学系统时的传播规律和成像问题将会造成计算和处理上的很大困难，在解决实际的光学技术问题时应用不便。

而如果只考虑光的粒子性，把光源或物体看成是由许多几何点组成，并把由这种点发出的光抽象成几何线一样的光线，那么，只要按照光线的传播来研究这种点经光学系统的成像，问题就会变得非常简便和实用。

这种撇开光的波动本性，仅以光的粒子性为基础来研究光的传播和成像问题的光学学科分支称为几何光学。

因此，几何光学所研究的只是一种对真实情况的近似处理方法。

尽管如此，按照此方法所解决的有关光学系统的成像、计算和设计等方面的光学技术问题，在大多数场合下与实际情况相符。

所以，几何光学有很大的意义，是研究光学仪器理论必不可少的基础。

然而对于一种理想化的近似模型，近轴成像可作为衡量实际光学系统成像质量的标准。

以近轴区成像质量为依据，衡量光学系统的相差大小，以判断实际光学系统的不完善程度，进而通过不断改变光学系统的结构参数，使之在非近轴区具有近轴成像的质量。

另外，用近轴区成像近似地表示实际光学系统所成像的位置和大小。

实际设计光学系统或者分析系统的工作原理时，往往首先需要近似地确定像的位置和大小，如果成像清晰，必须一个物点成像为一个像点。

本文针对凹凸透镜、单凸折射球面、单凹折射球面、凹面镜和凸面镜在近轴条件下的成像特性一一做了分析。

通过分析总结出物距与成像特性的关系，他们的关系揭示出，在研究系统成像时可暂时抛开光学系统的具体结构，将一般仅在光学系统近轴区存在的完善成像拓展成任意大的空间中的以任意宽的光束都成完善成像的理想模型。

1 成像的基本理论1.1 近轴物近轴光线成像的条件如果将图1-1绕球心C 转一很小的角度)(φφφtg =，P 和Q 点将分别转到P '和点，见图1-1.由于球对称性，Q 和Q '必然也是共轭点，这就证明了近轴物Q 点的成像。

PQ 和Q P ''分别是以C 为中心的两个球面上的弧线，所以也是共轭的；因φ很小，所以都可近似看作是与光轴垂直的线段，这就是说垂轴线经球面折射后所成的像也是一条垂轴线段。

两个球面也可以看作垂直于光轴的两个小平面，它们同样是共轭的，这也就是说垂轴的平面物经球面折射后生成垂轴的平面像。

归纳起来，就是说：在φ很小时，点、线、面使用近轴光线经球面折射后能生成完善的像。

根据费马原理可以推出，物体上任意发光点Q 所发出的光束经主轴附近的球面反射或折射后，能成像于单独一点Q '的条件是：从Q 发出的所有光线到达Q '点时的光程都相等[1]。

1.2 新迪卡尔符号法则为了确切的描述光路中的各种量值和光组的结构参量，并使以后导出的公式具有普遍使用性，必须对各种量值作符号上的规定。

符号法则如下：（1） 线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值为负。

物点或像点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。

（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为2/π的角度。

由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）。

在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值以下讨论都假定光线自左向右传播。

（3）在高斯公式中，s 、s '、f 、f '均以透镜中心（简称镜心）O 为原点。

对正向光路（光线自左向右入射，实物距0<s ，虚物距0>s ，实像距0>'s ，虚像距0<'s ，反向光线则正好相反。

在牛顿公式中，f '、f 仍以O 点为原点，但物距x 以物方焦点F 为原点，像距x '以像方焦点F '为原点。

x 、x '的取值，从各自的原点量起，左负右正。

在此符号法则下，透镜的物、像方焦距f 、f '符号相反），以下透镜及面镜都是在空气中使用，1='=n n 。

图1-12 单球面近轴成像特性2.1单球面成像的基本理论依据几何光学的基本原理, 在近轴近似下, 单球面反射和折射成像都可归结为单球面折射成像, 反射可作为折射n n '= 的特殊情形, 下面只讨论单球面折射像的规律。

从费马原理或光的折射定律出发, 在近轴近似下, 采用新笛卡尔坐标, 可以推知单球面折射的成像公式[1][2]。

rn n s n s n 1)(-'=-'' （1）其中, n 和n '分别为折射前后两种介质的折射率, s 和s '分别为物距和像距,r 为球面的曲率半径。

平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面界面的像方焦点F '，从球面顶点O 到像方焦点的距离称为像方焦距f '。

从（1）式可知，当s =-∞时，即得像方焦距r nn n f -''=' （2） 如果把物点放在主轴上某一点时，发出的光折射后将产生平行于主轴的平行光束，那么这一物点所在的点称为物方焦点F ，从球面顶点到物方焦点的距离称为物方焦距f 。

从（1）式可知，当s '=∞时，即得物方焦距r n n nf -'-= （3） 把焦距（2）和（3）代入（1）式，得单球面成像的高斯公式:1=+''sfs f （4） 在确定物点P 和像点P '的位置时，物距和像距也可以不从球面顶点，而分别从物方和像方焦点算起。

物点在F 之左的，物距FP 用x -表示；像点在F '之右的，像距FP''用x '+表示。

左右改变时，正负号也跟着改变。

这样表示物距和像距关系的式子又可写成另一种形式，从图2-1可见)(x f s +-=- 和x f s '+'='于是（4）式变为1=++'+''fx ff x f 简化后，则得牛顿公式：f f x x '=' （5）2.2横向放大率 横向放大率yy '=β，如图2-2所示，在近轴光线和近轴物的条件下，垂直于主轴的物所成的像仍然是垂直于主轴的，如图2-2。

依据放大率的定义, 可得单球面成像的横向放大率为：yy '=β （1）图2-2横向放大率根据ΔF AS '∽ΔF Q P ''',ΔPQF ∽ΔF S B ',运用符号法则，应有F Q F S Q P AS '''='' F S QF S B PQ '=' （2） 即ss y y '-='- （3） 因此，横向放大率 ss '=β （4） 利用)(x f s +-=-,x f s '+'=',可把上式化成f x x f y y ''-=-='=β （5）式（5）对于凸透镜和凹透镜同样适用，而对单球面反射则有xff x y y -=''-='=β 2.3单球面成像特性分析物体经光学系统成像后的性质主要包括像的虚实、正立和倒立、放大和缩小。

实像是由实际光线汇聚而成的, 虚像是由实际光线的反向延长线汇聚而成的。

对于单球面反射, 由于入射光线和反射光线都在镜面的同一侧, 因而当像和入射光线在镜面的同一侧时, 像为实像, 反之则像为虚像; 对于单球面折射, 由于入射光线和折射光线在镜面的两侧, 因而当像和入射光线在镜面的两侧时, 像为实像, 反之则像为虚像。

对于像的正立和倒立, 依据放大率的定义, 当放大率为正时, 像和物的方向相同, 为正立的像, 当放大率为负时, 像和物的方向相反，像为倒立的像。

对于像的放大和缩小, 当放大率的绝对值大于1 时, 为放大的像,当放大率的绝对值小于1 时, 为缩小的像。

下面, 分四种情形对单球面成像的性质进行分析。

2.3.1单凸球面折射成像特性分析当球面为凸球面, 0>r ，设n n '<，则0>'f ，0<f 像方焦点和物方焦点均为实焦点,对于像的性质,分下四种情形讨论:（1） 当物体为实物，二倍焦距以外（0<x 且f x > 即f s 2<）因为f f x x '='、0>'f 、0<f 且0<x ，所以0>'x ；又因f x >，所以1<''=fx x f ；所以x f '>'，即f s f '<'<'2。

由此可知当物体为实物，物体位置在两倍焦距以外时，像和物在透镜的异侧，所以成实像。

因为01<-=<-xfβ 即1<β，0<β，所以当物体为实物，物体位置在两倍焦距以外时，成缩小倒立的像。

综上可知，物体为实物，物体位置在二倍焦距焦距以外时，成倒立、缩小的实像。

（2） 当物体为实物，一倍焦距到二倍焦距之间（0<x 且f x < 即f s f <<2）因为f f x x '='、0>'f 、0<f 且0<x ，所以0>'x ；又因f x <，所以1>''=fx x f ；所以x f '<'，即f s '>'2。

由此可知当物体为实物，物体位置在一倍焦距到二倍焦距之间时，像和物在透镜的异侧，所以成实像。