平面向量的数量积1
平面向量数量积的性质
(4) cos a b | a || b |
(5 )|a b | |a ||b |
例1.已 知 a与 b都 为 单 位 向 量 ， 它 们 的
2夹 .利角 用为 性质60， 则a3b
()
求A 向.量的7模：B.（041全0 国） C. 13 D.4
(1) abba
(2) (a)b(ab)a(b)
3.平面向量
数量(积3的) 运(ab平)面向c量的数量a积不c满足结b合律c
算律：
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ,e 是 与 b 方 向 相 同
二的 、新单 课位 讲向 量 , 是 a 与 e 的 夹 角 ,则
( 授1 )e a 数量a 积 的e 重要 性|质a：|cos
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ,e 是 与 b 方 向 相 同
数的 量单 积位 的向 重量 , 是 a 与 e 的 夹 角 ,则
要性质：
数量积定义
(4) cos
a
b
| a || b |
(5 )|a b | |a ||b |
3.求向量的夹 角:
cosa b | a || b |
例 2.设 m 、 n是 两 个 单 位 向 量 , 其 夹 角 为60,试 求 向 量a2mn与 b 2n 3m 的 夹 角 .
#2022
§2.4平面向量 数量积的性质
一、复习巩固
ab 02 ab 数 量 积co 定s义
2 . 向 量 数 量 积 01 a b 的 向 是 量 什几 的 么 ?数何 量 积意 的 义 定 义是 什 么 ?
数 量 积 a b等 于 a的 长 度 a与 b在
平面向量的数量积
平面向量的数量积【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ⋅ ，即有()cos 0a b a b θθπ⋅=≤≤.并规定0 与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅ ；今后要学到两个向量的外积a b ⨯ ，而a b ⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若0a ≠，且0a b ⋅=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠ ，且0a b ⋅=，不能推出0b =.因为其中cos θ有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为b ；当θ=180︒时投影为b -.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅ 表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ⋅ 的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a方向上的投影的情形，其中1||cos OB b θ= ，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11||aOB OB a =⋅．事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当00θ=时，由于cos 1θ=，所以1||OB b =；当0180θ=时，由于cos 1θ=-，所以1||OB b =-．要点三：平面向量数量积的性质设a 与b 为两个非零向量，e 是与b同向的单位向量.1.cos e a a e a θ⋅=⋅=2.0a b a b ⊥⇔⋅= 3.当a 与b 同向时，a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=- .特别的2a a a ⋅= 或a a a=⋅4.cos a ba b θ⋅=5.a b a b⋅≤ 要点四：向量数量积的运算律1.交换律：a b b a⋅=⋅2.数乘结合律：()()()a b a b a bλλλ⋅=⋅=⋅3.分配律：()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a b b c ⋅=⋅⇒ a c =；2.在实数中，有(a ⋅b)c=a(b ⋅c)，但是()()a b c a b c⋅≠⋅显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a 与c不共线.要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，1212a b x x y y ⋅=+2.设(,)a x y = ，则222||a x y =+ 或22||a x y=+ 3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221212||()()a x x y y =-+-(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→⇔=≠⇔=(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=(3)求夹角问题．由向量a ，b数量积可知，若它们的夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅= ，利用cos a ba b θ⋅==⋅(4)求线段的长度，可以利用a =或12P P =【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1．已知a 、b 、c是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（）①a ·b =±|a |·|b |⇔a ∥b ；②a 、b 反向⇔a ·b =－|a |·|b |；③a ⊥b ⇔|a +b |=|a －b |；④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1】如果a ·b =a ·c ，且a≠0，那么（）A ．b =cB ．b =λcC ．b ⊥cD ．b 、c 在a方向上的投影相等类型二：平面向量数量积的运算例2．已知|a |=4，|b |=5，当（1）a ∥b ，（2）a ⊥b ，（3）a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b的数量积．【变式1】已知|a |=5，|b |=4，〈a ，b 〉=3π，求（a +b ）·a .类型三：平面向量模的问题例4．已知|a |=|b |=4，向量a 与b 的夹角为23π，求|a +b |，|a ―b |．【变式1】已知||2,||5,3a b a b ==⋅=- ，求||,||a b a b -+．【变式2】已知向量,a b 满足6,4a b == ，且a b 与的夹角为60°，求2a b a b +-和.类型四：向量垂直（或夹角）问题例5．已知,a b 是两个非零向量，同时满足a b a b ==-，求a a b + 与的夹角.【变式1】已知向量a ,b 满足（a ―b ）(2a +b )=―4,且|a |=2，|b |=4，求〈a ,b〉．例6．已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a ―5b 垂直，a ―4b 与7a ―2b 垂直．求a 与b的夹角α．【变式1】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向a +b 与向量k a －b垂直，则k=________．类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算例7．已知向量a 与b 同向，b =（1，2），a ·b=10．（1）求向量a的坐标；（2）若c =（2，－1）．求（b ·c ）·a．【变式1】已知向量1)a =- 和b = ，若a ·c =b ·c 的向量c的坐标．例8．已知三个点A （2，1），B （3，2），D （―1，4）．（1）求证：AB ⊥AD ；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．【变式1】已知a =（1，1），b=（0，―2）当k 为何值时，（1）k a ―b 与a +b共线；（2）k a ―b 与a +b的夹角为120°．【巩固练习】1．若|m |=4，|n |=6，m 与n 的夹角θ为45°，则m ·n =（）A ．12B ．C ．-D ．－122．已知a ⊥b ，|a |=2，|b |=3且向量3a +2b 与k a －b互相垂直，则k 的值为（）A ．32-B ．32C ．32±D ．13．若b =(1，1)，a b ⋅ =2，()23a b -= ，则a =()A.5B.5C.1D.474．若a =（2，3），b =（―4，7），则a 在b 方向上的投影为（）A B ．5C ．5D 5．设a =（1，―2），b =（―3，4），c =（3，2），则（a +2b ）·c =（）A ．（―15，12）B ．0C ．―3D ．―116．若a =（λ，2），b =（―3，5），且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．设3(sin ,3a α= ，1(cos ,3b α= ，且//a b，则锐角α为（）A ．030B ．060C ．075D ．0458.△ABC 中，点O 为BC 的中点，过点O 作直线分别交直线AB 、AC 于不同两点M 、N ，若,AB mAM AC nAN ==，则m+n=()A.2B.1C.4D.329.设,,a b c均为非零向量，则下面结论：①a b a c b c =⇒⋅=⋅ ；②a c b c a b ⋅=⋅⇒= ；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ ；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ .正确的是_________.10．已知＜a ，b ＞=30°，|a |=2，||b = a 和向量b 的数量积a ·b=____。
平面向量的数量积的求法
平面向量的数量积的求法一、知识储备1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质 设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则(1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[方法与技巧]1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．二、知识导学例1、如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是___________________．课堂训练：1、310=ABC M BC AM BC AB AC ==⋅在△中，是的中点，，，则2、如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ,AD ⊥DC ，若||,||AB a AD b ==，则AC BD ⋅= .222222A. B. C. D.b a a b a b ab --+3．如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角,M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值为 （ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4、已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最大值=5、正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21三、课后追踪1、如图，在ABC △中，3AB BC ==，30ABC ∠=，AD 是边BC上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）A ．0B ．94C ．4D ．94-2．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC =，则AD BE ⋅=（ ）A ．12-B ． 13-C ．14-D ．16-3．如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅OP AP ( ) A ．1- B ．81- C ．41- D ．21- 4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1===→→→OD OC OB ，→→→→=++0OD OC OB ，(1,1),A 则→→⋅OB AD 的取值范围（ ）A.12,21⎡⎤---⎣⎦B.112,222⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C.112,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D.12,12⎡⎤-+⎣⎦ 5．在ABC ∆中，0P 是AB 中点，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则有（ ）A. AB BC =B. AC BC =C. 90ABC ∠=D. 90BAC ∠=6．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DF DC ．若1AE AF ，23CE CF ，则 （ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712 7．如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．9.已知,||2,AB AC CB ⊥=若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4ABACAP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最小值=。
平面向量的数量积 (一) 人教B版 高一 中学
问题1: 问题1: 我们研究了向量的哪些运算？ 我们研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的数量积
物理背景 问题2: 一物体在力F的作用下产生位移s 问题2: 一物体在力F的作用下产生位移s，
力F与位移s的夹角为θ，力F所做 与位移s的夹角为θ 的功W是多少？ 的功W是多少？ F
r r uuu r uuu r r r r a OB 已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA = a ， = b ， r r r r AOB叫做向量 的夹角，记作< 则∠AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 a ,b>.
r r 并规定 < a ,b
>
（1）向量的夹角 ）
B
∈[0,π ]
O
r b
r r 0 a ⋅b = __
r r (a,b是 零 量?） 非 向
r r r 即： |= a ⋅ a |a
r r a⋅b r r ( 4 ) cos < a , b >= r r r r | a || b | (a, b是非零向量）
r r 1 思考：) < a , b >= __________ ∈ _________ r r r r 2 ) cos < a , b > > 0 , 则 < a , b >∈ _________ r r r r 3 ) cos < a , b > < 0 , 则 < a , b >∈ _________
r r r r ≤ (5) | a ⋅ b | __ | a || b |
练习三
（1）在四边形 ）在四边形ABCD中，AB · BC=0，且AB=DC 中 ， 则四边形ABCD是（ C ） 是 则四边形 A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形
§2.4向量的数量积(1)
那么向量与向量能否“相乘”呢？
§2.4向量的数量积(1)
学习目标:
• 理解平面向量数量积的概念及其几何意义; • 理解两个向量的“夹角”的概念； • 掌握向量的数量积满足的运算律。
自学指导:
• 平面向量数量积是怎样定义的？两个向量的数 量积是一个什么样的量？它与哪些量有关？
• 两个平面向量是夹角怎样定义的？ • 向量的数量积满足什么样的运算律？ • 向量的数量积中“积”的表示符号是什么？ • 自主检测：P79 1
分层训练：
• 必做题：课本P79 2、3
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项平面向量是高中数学中重要的概念之一，其数量积和叉积是计算两个向量之间关系的有效工具。
在进行数量积和叉积的计算时，需要注意以下几个关键点。
一、数量积的计算注意事项数量积又称为点积或内积，表示两个向量间的乘积。
在计算数量积时，有以下几个注意事项：1. 数量积的计算公式：对于两个向量A和B，其数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
2. 注意模长的计算：在计算数量积时，需要先计算出向量的模长。
向量A的模长计算公式为|A| = √(A₁² + A₂²)，其中A₁和A₂分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，cosθ大于0；当θ为钝角时，cosθ小于0；当θ为直角时，cosθ等于0。
4. 注意正负号：数量积的结果既可以是正数，也可以是负数。
正数表示两个向量同向，负数表示两个向量反向。
二、叉积的计算注意事项叉积又称为向量积或外积，表示两个向量间的叉乘结果。
在计算叉积时，有以下几个注意事项：1. 叉积的计算公式：对于两个向量A和B，其叉积的计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。
2. 注意模长的计算：与数量积不同，叉积计算中不需要计算向量的模长。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，sinθ大于0；当θ为钝角时，sinθ小于0；当θ为直角时，sinθ等于0。
4. 注意右手法则：叉积的结果具有方向性。
根据右手法则，将右手的食指指向向量A，中指指向向量B，那么拇指的方向就是叉积结果的方向。
总结：在计算平面向量的数量积和叉积时，我们需要注意以下几个要点：1. 数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，注意模长的计算和夹角的取值范围。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理平面向量的数量积是向量分析中比较重要的概念之一、它的定义形式上类似于常见的点乘，可以用来刻画向量的夹角、垂直关系以及向量在另一个向量上的投影等。
在此处，我将整理出平面向量的数量积的相关知识点，并进行详细解释。
一、平面向量的数量积的定义在二维平面内，对于任意两个向量A、B，其数量积（又称为点积或内积）定义为：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，是向量A的模（长度），B，是向量B的模，θ是A和B 之间的夹角。
二、数量积的性质1.交换律：A·B=B·A2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3.数量积的倍乘：-(kA)·B=k(A·B)-A·(kB)=k(A·B)4.数量积的平方：A·A=，A，^2三、向量夹角的判断对于任意两个非零向量A、B，如果它们的数量积满足A·B=0，则称A和B是垂直的；如果数量积满足A·B>0，则称A和B是锐角的；如果数量积满足A·B<0，则称A和B是钝角的。
四、向量在另一个向量上的投影对于一个非零向量A和任意一个向量B，A在B上的投影定义为：投影向量P=(A·B/，B，^2)B五、数量积的几何意义1.两个向量的夹角等于它们之间的数量积和它们的模的乘积的余弦值的反余弦：θ = arccos(A·B / [，A，，B，])2.向量A在向量B上的投影的模等于A与B的数量积除以B的模的平方：P，=，A·B，/，B，^2六、数量积的应用1.判断两个向量是否垂直：-若A·B=0，则A和B垂直；-若A⊥B，则A和B垂直。
2.判断两个向量的夹角的大小：-若A·B>0，则0°<θ<90°；-若A·B<0，则90°<θ<180°。
平面向量的数量积
一、知识梳理：
a
• 1、平面向量的数量积
θ b
• （1）a与b的夹角： 共同的起点
•（2）向量夹角的范围：[00 ，1800]
• （3）向量垂直：
B
B
B
a
Oθ O
b A
A O B
A
A
O
A
O
B
（4）两个非零向量的数量积：
a · b = |a| |b| cosθ
• 规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B
B
B
b
Oθ
a B1 A
b
θ
B1
Oa
b
θa
A O (B1)
A
2、平面向量数量积的重要性质
ab为非零向量，e为单位向量
• （1）e· a = a · e =| a | cosθ
• （2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
证：
解：∵ （a –| ab）+⊥b（a|=+ 23 |b）b |
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b =0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
平面向量的数量积(解析版)
专题二 平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°．(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0．投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θb |b |＝(a ·b )b |b |2． (2)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．3．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2．考点一 求平面向量数量积【方法总结】平面向量数量积的两种求法(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0答案 B 解析 a·(2a －b )＝2|a|2－a·b ＝2×1－(－1)＝3．(2)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172答案 D 解析 由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172． (3)如图，已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且|AB →－AC →|＝23，|AB →＋AC →|＝26，点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·BD →＝________．答案 －3 解析 由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0得BC →与∠A 的平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →．又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝|AB →||BD →|cos(π－B )＝AD 2＋BD 2·3·(－cos B )＝33×(－33)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B 解析 由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2．因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C 解析 连接OA ．在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON→－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．(6)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A ．16B ．12C ．8D ．－4答案 A 解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3)．设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA→＝________．答案 4 解析 由题意可建立如图所示的坐标系．可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB→＋CP →·CA →＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．(8)如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－12答案 B 解析 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3 OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116． 法二：以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0，1)，B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP →＝⎝⎛⎭⎫12，14，AP →＝⎝⎛⎭⎫12，－34，故AP →·OP →＝12×12－34×14＝116．(9)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案 1 解析 因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1． (10)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝________．答案 5 解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →．(AB→＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5．(11)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，DC ＝2，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，若向量AB →与DC →的夹角为60°，则AB →·EF →的值为________．答案 7 解析 EF →＝EA →＋AB →＋BF → ①，EF →＝ED →＋DC →＋CF → ②，由AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，有2EA →＋ED →＝0，，2BF →＋CF →＝0，，①×2＋②得2AB →＋DC →＝3EF →，所以EF →＝23AB →＋13DC →，则AB →·EF →＝AB →·(23AB →＋13DC →)＝23AB →2＋13AB →·DC →＝23×32＋13×3×2cos 60°＝7． (12)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD →·BC →＝m ，AC →·BD →＝n ．若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1答案 D 解析 AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(－AB →＋AD →)＝－AB →2＋AB →·AD →－AB →·BC →＋AD →·BC →＝－AB →2＋AB →·(AD →－BC →)＋m ＝－AB →2＋AB →·(AB →＋BC →＋CD →－BC →)＋m ＝AB →·CD →＋m ．又EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF →＝AB →＋DC →，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB →·DC →，所以AB →·DC →＝－12，则AB →·CD →＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D ． (13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ．记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C 解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3．∴I 3<I 1<I 2．(14)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4答案 C 解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝⎛⎭⎫－12－12×4＝－3．【对点训练】1．已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________．1．答案 1＋2 解析 因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋ 2|a |·|b |cos 45°＝1＋2．2．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________． 2．答案 6 解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．23．答案 A 解析 ∵|a |cos<a ，b >＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos<a ，b >＝3×4＝12．4．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6B ．10C ．5D ．104．答案 D 解析 ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝ 10，故选D ．5．(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．55．答案 A 解析 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．6．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 6．答案 A 解析 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32． 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记m i ＝AB 2→·AP i → (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．180B ．603C ．45D ．1537．答案 A 解析 由题意可知，∠B 2AC 3＝30°，∠AC 3B 3＝60°，∴AB 2→⊥B 3C 3→，即AB 2→·B 3C 3→＝0．则m i＝AB 2→·AP i →＝AB 2→·(AC 3→＋C 3P i →)＝AB 2→·AC 3→＝23×6×32＝18，∴m 1＋m 2＋…＋m 10＝18×10＝180． 8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C ．23D ．328．答案 D 解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32． 9．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________．9．答案 13解析 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43，所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13． 10．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________．10．答案 6 解析 如图，设BC 的中点为D ，则AD ⊥BC ，∴|AP |cos ∠P AD ＝AD ，AB →＋AC →＝2AD ―→．∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AD ＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2×|AD →|×|AP →|×cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝2×(3)2＝6．11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．26911．答案 B 解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 12．答案 C 解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA→||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3． 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A ．23B ．32C ．33D ．3 13．答案 D 解析 ∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，∴AB →·AD →＝0，AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3(AD →－AB →)·AD →＝ 3 AD →·AD →－ 3 AB →·AD →＝3．14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．14．答案 5 解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝⎛⎭⎫12，32．设C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1，∴⎝⎛⎭⎫a －12，－32·⎝⎛⎭⎫－12，－32＝－12⎝⎛⎭⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA →＋BC →)＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12，32＋(4，0)＝⎝⎛⎭⎫32，36．∴BO →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32，36·⎝⎛⎭⎫72，－32＝5． 15．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．615．答案 A 解析 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO →＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT→＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ． 优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．16．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是 ( )A ．112B ．132C ．6D ．7 16．答案 B 解析 不妨设AM →＝23AB →＋13AC →，AN →＝13AB →＋23AC →，所以AM →·AN →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →) ＝29AB 2→＋59AB →·AC →＋29AC 2→＝29(AB 2→＋AC 2→)＋59AB →·AC →＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B ． 17．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________．17．答案 －9 解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2，∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6，∴CA →⊥AB →，即A ＝π2， 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则P A →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时P (2，1)，AP →＝(2，1)，此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9．18．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 18．答案 ±43 解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2．∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±43．19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________．19．答案 2 解析 因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB ) ＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2． 20．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．3C ．2D ．2320．答案 C 解析 因为AC →＝AB →＋AD →，所以AC →·AB →＝(AB →＋AD →)·AB →＝|AB →|2＋AD →·AB →＝1＋|AD →||AB →|cos 60°＝2．21．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．1221．答案 C 解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝(AB →＋23AD →)·(12AB →－13AD →)＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24．22．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．622．答案 C 解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－ 3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，故选C ． 23．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________． 23．答案 2 解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2． 25．在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________．25．答案 －7 解析 ∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →＋DB →＝AC →－BD →，BC →＋AD →＝BD →＋DC →＋AC →＋CD →＝AC →＋BD →，∴(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(AC →－BD →)(AC →＋BD ―→)＝AC →2－BD →2＝9－16＝－7．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO →·AE → ＝8，则AC →·BD →＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－32326．答案 解析 由DC →＝13AB →，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO →＝34AC →＝34 (AD →＋13AB →) ＝34AD →＋14AB →，又E 是BD 的中点，所以AE →＝12AD →＋12AB →，则AO →·AE →＝(34AD →＋14AB →)(12AD →＋12AB →)＝38AD 2→＋18AB 2→＋12AD →·AB →＝32＋92＋12AD →·AB →＝8，则AD →·AB →＝4，则AC →·BD →＝(AD →＋13AB →)·(AD →－13AB →)＝AD 2→－13AB 2→－23AD →·AB →＝4－13×36－23×4＝－323． 27．设△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，若P A →＋PB →＝CP →，则P A →·PB →＝( )A ．－92B ．－32C ．3D ．9 27．答案 A 解析 由题意P A →＋PB →＝CP →，△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，故P A →，PB →两向量的和向量的模是3，由向量加法的平行四边形法则知，P A →，PB →的夹角为120°，所以P A →·PB →＝3×3×cos 120°＝9×⎝⎛⎭⎫－12＝－92．故选A ． 28．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →＝( )A ．1B ．2C ．tD ．2t28．答案 A 解析 因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AC →|·|AD →|cos ∠CAD －|AC →|·|AB →|cos ∠CAB ．又AC 为圆的直径，所以连接BC ，DC (图略)，则∠ADC ＝∠ABC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝|AD →||AC →|，cos ∠CAB ＝|AB →||AC →|，则AC →·BD ―→＝|AD →|2－|AB →|2＝t ＋2－(t ＋1)＝1，故选A ．考点二 已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状 【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若BQ ·CP ＝－2，则λ等于( )A ．13B ．23C ．43D ．2答案 B 解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB→2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23． (2)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( )A ．12B ．1±22C ．1±102 D ．－3±222答案 A 解析 ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12．(3)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF ．若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B 解析 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝(12BC →－BA →)(BC →＋1λBA →)＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B ． (4)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13答案 A 解析 法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →) ·(BP →－BC →)＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →]＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x ，0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP →＝λAB →，∴λ＝12．故选A ．(5)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C 解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．(6)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．非等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C 解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形．(7)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形 答案 C 解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．(8)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6．则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A ．23B ．－23C ．56D ．－56答案 B 解析 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23．考点三 平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．答案 1＋2 解析 依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．答案 12 解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ．即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．∴a ·b 的最大值为12．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．(4)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t(0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．∴PB →·PC →的最大值等于13．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 另解：设圆心为O ，AB 的中点为D ，由题得AB ＝2×2×sin π6＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由题得⎩⎪⎨⎪⎧P A →＋PC →＝2PM →，PC →－P A →＝AC →，两方程平方相减并化简得PC →·P A →＝PM →2－14AC →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132 解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．在四边形ABCD 中，作AO⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． (7) (2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2，6) B ．(－6，2) C ．(－2，4) D ．(－4，6)答案 A 解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1<x <3．所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)．另解 AB →的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB →的取值范围是(－2，6)，故选A ．(8)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92 解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO→|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC→|＝32时，等号成立，故最小值为－92． 【对点训练】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．251．答案 B 解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴P A →·PB →＝ (PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12，∴P A →·PB →的最大值为16．2．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且 满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2B ．⎝⎛⎭⎫32，2C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 2．答案 C 解析 以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直 角坐标系如图所示，则B (0，0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2，设M (a ，2－a )，则0＜a ＜1，N (a ＋1，1－a )，∴BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2，∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM →·BN →取得最小值32，又BM →·BN →＜2，故BM →·BN →的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2．3．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动， 则ME →·MC →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤716，12B ．⎣⎡⎦⎤716，1C ．⎣⎡⎦⎤12，1 D ．[0，1] 3．答案 B 解析 如图，以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (0，1)，C (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12．设M (0，m )(0≤m ≤1)，则ME →＝⎝⎛⎭⎫12，12－m ，MC →＝(1，－m )．ME →·MC →＝12－m ⎝⎛⎭⎫12－m ＝m 2－12m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m －142＋716，由于m ∈[0，1]，则当m ＝14时，ME →·MC →取得最小值716；当m ＝1时，ME →·MC →取得最大值1．所以ME →·MC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤716，1．4．在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．4．答案 －12解析 ∵|AB →|＝|AC →|＝2，∴|AM →|＝1．设|OA →|＝x ，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →，∴OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →|·|OM →|cos π＝－2x (1－x )＝2x 2－2x ＝2⎝⎛⎭⎫x －122－12，当且仅当x ＝12时，OA →·(OB →＋OC →)取得最小值，最小值为－12．5．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－725．答案 C 解析 由AP →＝1a AC →＋a －1a AD →知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (0，2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则P A →＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB →＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB →＋PC →＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎝⎛⎭⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－258．6．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边， 在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC →·OB →的取值范围是________．6．答案 (0，3] 解析 设∠BAO ＝θ，θ∈(0°，90°)，则B (0，2sin θ)，C (2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120° －θ))，则OC →·OB →＝(0，2sin θ)·(2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120°－θ))＝2sin θ·2sin(120°－θ)＝23sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sin(2θ－30°)＋1．因为θ∈(0°，90°)，所以OC →·OB →∈(0，3]．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大 值为________．7．答案 1 1 解析 方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)， B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1．因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1．方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1．8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．[]0，1 8．答案 C 解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1．又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1， 1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， EC ＝(1－x ，1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12．因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32．9．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ， AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE →·CD →的取值范围为________．9．答案 [－1，0] 解析 以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0，1)，B (0，0)，C (1，0)，D (1，1)．当E 在DA 上时，设E (x ，1)，其中0≤x ≤1，∵DE →＝(x －1，0)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )，其中0≤y ≤1，∵DE →＝(－1，y －1)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE →·CD →的取值范围为[－1，0]；当E 在BC 上时，设E (x ，0)，其中0≤x ≤1，∵DE →＝(x －1，－1)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝－1．综上所述，DE →·CD →的取值范围为[－1，0]．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．10．答案 9 解析 设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1，0≤μ≤1．AM ＝AD＋12DC ＝12AB ＋AD ．所以AM ·AN ＝1)2AB AD （＋·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ．所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．11．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．11．答案 2 解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0，0)，B (2，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32．设M ⎝⎛⎭⎫x ，32，－12≤x ≤32，因为MA →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－32，MB →＝⎝⎛⎭⎫2－x ，－32，所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14．设f (x )＝(x －1)2－14，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，32，所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2．12．如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，1B ．⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1，1] D ．[－1，0]12．答案 C 解析 ∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝2．如图所示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ，则P A →＝PO →＋OA →，OA →·BD →＝0，∴P A →·BD →＝(PO →＋OA →)·BD →＝PO →·BD →．∴当点P 与点B 重合时，P A →·BD →取得最大值，即P A →·BD →＝PO →·BD →＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，P A →·BD →取得最小值，即P A →·BD →＝－12×2×2＝－1．∴P A →·BD →的取值范围是[－1，1]．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－13213．答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2．由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1．所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC→＋BE →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·CF →＝|AB →|·|BC →|cos 120°＋|BE →|·|BC →|－|AB →|·|CF →|＋|BE →|·|CF →|cos 60°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE →·BF →的最小值是46－13．14．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
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主备：赵强 审核：陈闯 编号： 班级 姓名
平面向量的数量积（1）
学习
目 标
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
重、难
点
平面向量的数量积运用
一 预习案
自主梳理
1．向量的夹角
(1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________．
(2)向量夹角θ的范围是________________，a与b同向时，夹角θ＝______；a与b反向时，
夹角θ＝______.
(3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．
2．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：______________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向
上的投影．
(2)向量数量积的性质：
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝______________；
②非零向量a，b，a⊥b⇔________；
③a·a＝________或|a|＝________；
④cos〈a，b〉＝______________；
⑤|a·b|____|a||b|.
3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝________；
(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；
(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝a·(λb)＝____________＝λa·b.
自我检测
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→＝________.
2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.
3．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.
二 课堂案
例1 设两个向量1e、2e，满足2||1e，1||2e，1e、2e的夹角为60°，若向量
21
72eet
与向量21ete的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
2
例2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．
变式迁移 (1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，
则|c|的最大值为________．
(2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数
λ的取值范围为________．
三 巩固案
1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为
________．
2．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，a·b<0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
5．已知点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值是________．
6．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：)(ba⊥c； （2）若1||cbak)(Rk，求k的取值范围.
四归纳总结
五 学习反思