2014-2015学年湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高二上学期期中考试数学(理)
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高三上学期期中 数学试题(含解析)
华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1 B.2C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先化简求出z ,再根据共轭复数定义求出i z +,最后根据模长公式求解即可.【详解】()()()()()221i 21i 2i 21+i 2,1i 1+i 1i 1i 1iz z z z --+=∴=∴====--+- ，,=1i i=1+i+i=1+2i z z +∴+ ，,i =12i z ++.故选:D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合A ，从而求解R A ð，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B ，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合{}{}242xA x x x =>=>，所以{}R 2A x x =≤ð，又{}{}{}32Z log 3Z 021,2,3,4,5,6,7B x x x x =∈<=∈<<=，所以()R A B ⋂=ð{}1,2.故选：C3.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()21y f x =-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】()sin (0)f x x ωω=>过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭得1sin =π2ωω=∴,()sinπf x x ∴=,由图1和图2可知：函数的周期减半，就是()()2f x f x →,图1→图2说明图象向右平移12单位，得到()21y f x =-的图象．故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,,,A C B F 的坐标，求出AC BF ⋅即可得出答案．【详解】正六边形ABCDEF 中，每个内角都是120 ，30FEA FAE ∠=∠= ，有EA AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2==AB AF ，1cos1202=-，3sin1202= ，则有(F -，所以(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，AC =，(BF =- ，由平面向量数量积的运算可得()33936AC BF ⋅=⨯-+-+=-.故选：B ．6.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D 【解析】【分析】对于选项A 、B ，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C 、D ，通过所给函数关系020lgp pL p =代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A ，30~100Hz 的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB ，1000~10000Hz 的高频对应的听觉下限阈值低于20dB ，所以对比高频更容易被听到，故A 错误；对于B ，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B 错误；对于C ，240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，50210Pa P -=⨯，令020lg20p pL p ==，此时0100.0002p p ===Pa ，故C 错误；对于D ，1000Hz 的听觉下限阈值为0dB ，令020lg0p pL p ==，此时0p p =，所以240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D 正确.故选：D .7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】由切线放缩可求a ，根据对数函数性质和正弦值域可判断b ，由不等式的关系可判断b c >.【详解】因为0sin1<1<，当0x >时，设()e 1xf x x =--，则()e 1xf x '=-，易知当0x =时，()00e 10f =-='，当0x >时，()f x 单调递增，所以e 1x x ≥+；()0x >所以sin1=e 10a a a a a +≥++⇒<；由已知可得0b >，因为0sin1<1<，所以01b <<；ln 0b <，所以sin1ln b b =-；00c ≥⇒≥，所以sin1c b =-<；故a c b <<；故选：A8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D 选项，再计算说明C 选项正确即可.【详解】()πsin =2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,当=6ω时,()π2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ππππ=2sin π+2sin 3π06233f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A选项错误;当=7ω时,()π2sin 73f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()ππ7ππ7ππ=2sin +2sin 210626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 选项错误;当=9ω时,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ9ππ9ππ=2sin +2sin 110626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ11π29π,,9,62366x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有三个极值点，D 选项错误;当=8ω时,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ8ππ8ππ=2sin +2sin 0626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ5π13π,,8,62333x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，C 选项正确;故选:C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值【答案】BC 【解析】【详解】根据图象得到()()f x f x -'的符号，即可得到()g x '的符号，进而得到()g x 的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当x a <时()()0f x f x '->，当a x b <<时，()()0f x f x '-<，当x b >时，()()0f x f x '->，()()()exf x f xg x '-'=，因e 0x>，故当x a <时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),a -∞上单调递减，当a x b <<时，()()()0exf x f xg x '-'=>，()g x 在区间(),a b 上单调递增，当x b >时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),b ∞+上单调递减，故()g x 在x a =处取得极小值，在x b =处取得极大值，故选：BC10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b +> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以112a b+>，A 正确，由于212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，221122a b ab+≥=≥，当且仅当2211a b =且a b =时，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以22112a b +>，B 正确，由2a b +=以及0,0,a b a b >>≠可得224a b +≥=，当且仅当22a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以2242a b +>>，故C 正确，2222log log log log 10a b ab +=≤=，当且仅当b a a b=，即a b =时取等号，由于a b ¹，22log log 0a b +<所以D 错误，故选：ABC11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD 【解析】【分析】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，将函数零点转化为两个函数()y g x =与tan =-y a x 的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.【详解】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，对于函数()()sin cos g x x =，由[]cos 1,1x ∈-，可知()()[]sin cos sin1,sin1=∈-g x x ，因为()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤+=+==⎣⎦g x x x g x ，且()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤-=-==⎣⎦g x x x g x ，()g x 的周期为2π，且关于直线πx =对称，又因为()()cos cos sin '=-⋅g x x x ，当[]0,πx ∈，则[][]cos 1,1,sin 0,1∈-∈x x ，且()cos cos 0>x ，可知()()cos cos sin 0'=-⋅≤g x x x ，则()g x 在[]0,π上单调递减，可知()g x 在[]π,2π上单调递增，若0a =时，因为tan y x =的定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则cos 0x ≠，可知()()sin cos 0=≠f x x ，无零点，不合题意，若0a <时，0a ->，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内各有一个交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内没有交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内有2个零点，在()π,2π内没有零点（区间端点均不是零点），因为()y g x =与tan =-y a x 的周期均为2π，则()f x 周期为2π，结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2023或2024，若0a >时，0a -<，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内没有交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内各有一个交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内没有零点，在()π,2π内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2024或2025；综上所述：整数n 可以是2023或2024或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数()f x 转为两个函数：()y g x =与tan =-y a x 的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a 的符号.12.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数 D.1e>a 【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数()=e e xxg x --的单调性可求()2013sin f x x x=+判断A ，根据奇函数的定义判断B ，根据导数符号判断函数的单调性判断C ，根据奇函数和单调性把不等式化为21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.【详解】20132013sin sin e e eey x xx yx ----=-，有()20132013sin sin e e =e ey x y x xx ------，记()=e e xxg x --，则()=e e0xxg x -+>'，所以()=e e x x g x --在R 上单调递增，所以2013sin y x x -=，所以()2013sin f x x x =+，故选项A 错误；因为()()()()()20132013sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-且定义域R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，故选项B 正确；记()()2012cos 2013h x f x x x=+'=，[)0,x ∈+∞，则()2011sin 20132012h x x x=-+⨯'，[)0,x ∈+∞，对[)0,x ∈+∞，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-≤，即函数sin y x x =-在[)0,∞+单调递减，又0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，根据幂函数性质知201120132012x x ⨯>，所以()2011sin 20132012sin 0h x x xx x =-+⨯>-≥'，所以函数()()2012cos 2013h x f x x x=+'=在[)0,∞+上单调递增，所以()()010f x f '='≥>，所以函数()2013sin f x x x=+在[)0,∞+上单调递增，又()f x 是奇函数，由奇函数性质知()f x 是增函数，故选项C 正确；因为对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，所以()()()21eln ln x f x a f x x f x x --<-=-在()0,∞+上恒成立，所以21e ln x x a x x --<-即21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，记()1ln m x x x =--，()0,x ∈+∞，则1()1m x x=-'，当()0m x '=时，1x =，当()0m x '>时，1x >，当()0m x '<时，01x <<，所以()1ln m x x x =--在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()1ln (1)0m x x x m =--≥=，所以1ln x x ≥+，所以22121ln e e x x x x x x --+≤，()0,x ∈+∞，记()221e x x n x -=，()0,x ∈+∞，则()()2121ex x x n x --'=，当()0n x '=时，1x =，当()0n x '>时，01x <<，当()0n x '<时，1x >，所以()221ex x n x -=在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()22111e ex x n x n -=≤=，所以21ln 1e x x x x -+≤，当且仅当1x =时等号成立，所以1e>a ，故选项D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e 1x y b -=-+，则1e x y -'=，设切点坐标为()00,x y ，则00110e 1e 1x x b x a--⎧=⎪⎨-+=+⎪⎩，解得011x a b =⎧⎨+=⎩.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.【答案】π【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以，112π13α⨯=⨯⨯，可得2π3α=，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112+=，因此，该扇面的面积为()2212π21π23⨯⨯-=.故答案为：π.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.【答案】①.11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）②.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB ∠，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数的周期即可计算得解.【详解】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，OB 旋转的角速度为2πrad/h -，11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，Z k ∈，111π34|sin |6|sin |26S AOB t =⨯⨯∠=，而当6,N 11n t n =∈时，不能构成三角形，所以11π6|sin |6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；显然函数11π6|sin|6S t =的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411=⨯，所以S 取得最大值的次数为44.故答案为：11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；4416.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】通过证明ABC 是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD 中，4,2120BD ADC ABC ∠∠=== ，∴60,180ABC ABC ADC ∠=︒∠+∠=︒,∴四边形ABCD 四点共圆，在ACD 中，AD CD =，120ADC ∠= ,∴ACD 是等腰三角形，30ACD CAD ∠=∠=︒，在ABC 中，2120ABC ∠= ∴60ABC ∠=︒，()22133sin 248S AB BC ABC AB BC AB BC =⋅∠=⋅≤+,当且仅当AB BC =时，等号成立，∵当AB BC =时，BD 垂直平分AC ,∴AC BD ⊥,ABC 是等边三角形，2AC AE =，∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,1602ADE CDE ADC ∠=∠=∠=︒∴180306090BAD BCD ∠=∠=︒-︒-︒=︒,∴3,33AE DE BE DE ===,∵44BD BE DE DE =+==,∴1,3,223DE AE AC AE ====∴ABC 面积的最大值为(22max 33233344S AC ==⨯=,故答案为：33四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12x a x ≤≤时，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，满足题意，从而计算即可得解.【小问1详解】由题意()π12sin sin 2sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311π1sin cos 22sin 222262x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22π+Z 262k x k k -≤-≤∈,解得()ππππ+Z 63k x k k -≤≤∈，令()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππZ 212k x k =+∈，所以()f x 的单调递增区间与对称中心分别为()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的函数图象如图所示，由题意当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故当且仅当12x a x ≤≤，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，令()π13sin 2622f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 3x k k =+∈，所以()13min 0|min 3|πππZ 2,30x x f x x k x k ⎧⎫⎧⎫==>==>=⎨⎬⎨⎩∈⎬⎩⎭⎭+，令()π1sin 2062f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 66x k k -=-+∈或()π7π22πZ 66x k k -=+∈，解得()πZ x k k =∈或()2ππZ 3x k k =+∈，所以()132π2πmin 0|min 0|ππ,Z 233x x f x x x k x k k ⎧⎫⎧⎫=>==>==+∈=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，综上所述：满足题意的实数a 的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得BAD CAD ∠=∠，结合ABC ABD ACD S S S =+ ，得到()2bc b c =+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C ，由正弦定理可得πsin sin 2sin sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B C A C ，则()sin sin sin sin sin cos cos sin sin +=++=++B C A C C A C A C C ，π312sin sin 2sin sin sin sin cos622⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A C C A C A C ，即sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C A C A C ++=+，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πA ∈，则ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠且AD =π6BAD CAD ∠=∠=，由ABC ABD ACD S S S =+ ，可得131111222222⨯=⨯+⨯bc c ，整理得()2bc b c =+≥，则16bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，故ABC 面积的最小值为11622⨯⨯=．19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.【答案】（1）答案见解析（2【解析】【分析】（1）首先对()f x 求导，然后分01a <<和1a >讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,log 33ln 122log 3333ln a a a a a ⎛⎫>-=⎪⎝-⎭，通过构造函数()1log 3a g x x x =-，说明()max23g x g ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即可得解.【小问1详解】由题意()()2l ,013n f x x x ax =->'，分以下两种情形来讨论函数()f x 的单调区间，情形一：当01a <<时，()()201ln 0,3l 0,n a f x x x ax '<<->=，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间.情形二：当1a >时，令()3201l 1n 0,n 3ln ln 3l a f x x x a x ax a -'>=-==，解得0x =>，当x ⎛∈ ⎝时，()313ln 0ln f x x a x a '-=>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()313ln 0ln f x x a x a '-=<，所以()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间；当1a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.【小问2详解】由题意若函数()f x 有最大值122log 333a -，则由（1）可知当且仅当1a >时，()f x 有最大值()maxf x f =⎡⎤⎣⎦，因此3111log 122log l 33ln 33l og 33n a a a f a a ⎛⎫==---=⎭ ⎪⎝，不妨令()1log 3a g x x x =-，求导得()()113ln 1,0,13ln 3ln x ag x x a x a x a -'=-=>>，令()13ln 03ln x a g x x a -'==，解得103ln x a=>，当10,3ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=>，当1,3ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=<，所以()1log 3a g x x x =-在10,3ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 111log 333l 122l l o n 3g 33n a a g x a a ⎛⎫=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，故只能13ln 23a =，解得1ln ,12a a ==>符合题意；综上所述，满足题意的实数a.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.【答案】（1）2020πsin sin 3θθ=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y （2）80万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sin θ=EG ，1πsin 3θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭GF ，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得2π80sin 3π4sin 33θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭y ，换元令π3sin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，结合函数单调性求最值.【小问1详解】在Rt AEG △中，因为sin ∠=AG AEG EG ，可得2sin sin θ==∠AG EG AEG ，在AFG 中，可知π3θ∠=-AFG ，由正弦定理sin sin =∠∠GF AGGAF AFG，可得sin 1πsin sin 3θ⋅∠==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭AG GAFGF AFG，所以20201020πsin sin 3θθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y EG GF .【小问2详解】由（1）可知：22020203cos πsin sin 3cos sin 3sin cos sin sin 3θθθθθθθθ=+=+⎛⎫--- ⎪⎝⎭y2ππ80sin 80sin 332ππ2cos 214sin 333θθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π03θ<<，则ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π3sin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，则280803434==--t y t t t，且34,==-y t y t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，可知34y t t =-在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，所以280803434==--t y t t t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，当1t =，即π6θ=时，修建道路的总费用y 取到最小值80万元.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）2个（2）1-【解析】【分析】（1）令()e sin sin 0xf x x x x =+-=可得e sin 1x x x =-，利用导数判断出函数()e 1xg x x =-在[]π,0x ∈-上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数()e 1x g x x =-与sin y x =在[]π,0-内的图象，根据交点个数即可求得()f x 的零点个数；（2）易知()e 1x x ≥+，sin x x ≥在[]π,0x ∈-上恒成立，则可得()()()e 1sin 11xf x x x x x x =+-≥++-，求出221y x x =-++在[]π,0x ∈-上的最小值即可得2π2π14k -++≤，便可知整数k 的最大值为1-.【小问1详解】根据由题意可知，令()e sin sin 0xf x x x x =+-=，又[]π,0x ∈-，整理可得e sin 1xx x =-；令()[]e ,π,01x g x x x ∈=--，则()()()()()22e e 112e 1x x x x x x g x x =-----'=，显然当[]π,0x ∈-时，()()()2e 012x x g x x -=-'<恒成立，所以可得()e 1x g x x =-在[]π,0-上单调递减，且()e 01xx g x =-<在[]π,0x ∈-上恒成立，易知函数sin y x =在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；且()()πe sin π0ππ1g ---=-=+>，()πsin 1,sin 00120g ⎛⎫-=-=- ⎪⎝=⎭>画出函数()[]e ,π,01xg x x x ∈=--和函数[]sin ,π,0y x x =∈-在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数()e 1xg x x =-与sin y x =在区间[]π,0-上有两个交点，即可得函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-有两个零点；【小问2详解】若()40k f x -≤恒成立，可得()4f x k ≤，令()[]π,0sin ,h x x x x -∈-=，则()1cos 0h x x '=-≥在[]π,0-上恒成立，即可得()sin h x x x =-在[]π,0-上单调递增，所以()()sin 00h x x x h =-≤=，所以sin 0x x -≤在[]π,0-上恒成立，即sin x x ≥；令()()[]0e 1,π,x x x x ϕ∈-=-+，则()e 10xx ϕ'=-≤在[]π,0-上恒成立，即()()e 1x x x ϕ=-+在[]π,0-上单调递减，即()()()e 100xx x ϕϕ=-+≥=，所以()e 1xx ≥+在[]π,0-上恒成立，可得()()()2e sin sin e 1sin 1121x xf x x x x x x x x x x x =+-=+-≥++-=-++；易知函数221y x x =-++在[]π,0x ∈-上单调递增，因此2min π2π1y =-++，即只需2min π2π14y k =-++≥即可得2π2π14k -++≤，易知()2π2π1 2.57961,044-++-≈∈-，所以1k ≤-；注意到，由（1）可知，由()f x 有两个零点可知，必存在[]0π,0x ∈-，使得()00f x <，所以当0k ≥时，()()0040k f x f x -≥->，故()40k f x -≤不恒成立；综上，整数k 的最大值为1-.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.【答案】（1）22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得()()32e x x f x k x x--⋅'=在()0,∞+上至少有三个实数根，即可知e x k x =在()0,∞+有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出()()e ,0,x g x x x=∈+∞的单调性并在同一坐标系下画出函数()g x 与函数y k =的图象即可求得实数k 的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x =，将要证明的不等式化为131ek x x <，利用分析法可得需证明311e x x -<，由()g x 的单调性可知()()()3113e x g x g g x -=<，化简可得313e 01ln x x ---<，构造函数()1e ,11ln x h x x x -=-->即可得出证明.【小问1详解】根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()224332e e e 222221e x x x x x f x k k x x x x x x kx x x x x -⎛⎫'⎭-⋅-⋅--=--+=-⋅=⎪⋅ ⎝，由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()3e 02x x f x xk x -'-⋅==在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()20f '=，则需方程3e 0x kx x-=，也即e 0x kx -=有两个不等于2的不相等的实数根；由e 0xkx -=可得e xk x =，()0,x ∈+∞，令()()e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()2e 1,0,x x g x x x-'=∈+∞，显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；所以()()1e g x g ≥=，画出函数()()e ,0,xg x x x=∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可得e k >且2e 2k ≠时，e xk x=在()0,∞+上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知当22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()32e x x f x k x x --⋅'=在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围时22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】根据题意结合（1）中的图象，由123x x x <<可知12x ≠，若2是()f x 的一个极大值点，易知函数()f x 在()10,x 上单调递减，可知22x =；因此13,x x 是方程e x kx =的两个不相等的实数根，即3113,e e x x kx kx ==所以()33333233333e 22ln ln l 1n x k k f x k x k x k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()111ln 1f x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()333313333131313113111111ln l 11n ln ln 1l 1n x x x k x k x k x x k f x f x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-===----由3113,e e x x kx kx ==可知3331111331e e ln ln ln lne e ex x x x x x x k x x x k-====-,所以()()13131111331313331313131n 1l x x x x x k k x x f x f x x x x x x k x x x x x x x x --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===⎝--⎭-又22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要证()()23131e f x f x k k x x -<--，即证21311ek k k x x -<⎛⎫⎪⎭-⎝，也即13111e k x x -<-，所以131e k x x <；只需证13e kx x <，即31e e x x <⋅可得311e x x -<；由（1）可得1301,1x x <<>，所以可得310e 1x -<<，且根据（1）中结论可知函数()e xg x x=在()0,1上单调递减；所以要证证311e x x -<，即证()()311ex g g x -<，又3131e e x x k x x ==，即()()13g x g x =，即证()()313e x g g x -<，即1333e13e e e x x x x --<，可得13e 3e e x x -<，即3131e ln x x --<，可得313e 01ln x x ---<，令()1e ,11ln xh x x x -=-->，则()11e 1e 1x x x h x x x --=-+-'=，令()1e 1,1x x x x u --=>，则()()1e 01x u x x -'=-<，所以()u x 在()1,+∞上单调递减，即()()10u x u <=，所以()0h x '<，即()h x 在()1,+∞上单调递减；因此()()10h x h <=，即可得证.【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.。
河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试 数学(理) Word版含答案
河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高二 理科数学命题人：李士彬 审题人：李红霞（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．4B ．0C ．2D ．32．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝π4，则B 等于 ( )A.π12B.π6C.π6或56πD.π12或1112π 3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是 ( ) A ．－14B.14C ．－23D.234．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是 ( ) A ．4B ．2C ．1D.145 .设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为 ( )A ．12B ．10C ．8D ．26. 在ABC ∆中，3B π∠=，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6ac =，则b 的值是 （ ）A B C D7．数列{a n }的通项式902+=n na n ，则数列{a n }中的最大项是（ ）A 、第9项B 、第10项和第9项C 、第10项D 、第9项和第8项8．已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a ，且该数列的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S > 成立的n 的最大值为( ) A ．11B ．20C ． 19D ．21 9 设x ，y 都是正数，且21x y += ，则11x y+的最小值是( )A B C 2+ D 3+10.数列{a n }的首项为1，{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)则n a =（ ）A ．21n-B ．2n C ．121n +-D ．22n-11.若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项的和为n A ，n B .且4555n n A n B n +=-，则135135b b a a ++= （ ） A.97 B.78 C.2019 D.8712 已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=mA. 2-B. 1-C. 1D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．14．已知不等式20x ax b --<的解集为（2，3），则不等式210bx ax -->的解集为___________________.15.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第100个括号内的数为________. 16．在三角形ABC 中，若角A B C 、、所对的三边a 、b 、c 成等差数列，则下列结论中正确的是____________.（把所有正确结论的序号都填上）①b 2≥ac； ②b c a 211≤+； ③2222c a b +≤； ④(0,]3B π∈三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题10分）设命题p ：22310x x -+≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18 （本小题12分）△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+ （1）求B ；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值。
华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题(原卷版)
华中师大一附中2024-2025学年度上学期高三期中检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知平面向量()1,2a =，()1,bλλ=− ，a b ⊥ ，则实数λ=（ ）A. 1−B. 1C. 2−D. 22. 若p ：()41log 12a −<，q：2230a a −−<，则p 是q （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 己知,A B 是全集U 的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()()U U A B ∩ B. ()()U U A B ∪ C ()()U A B A B ∪∩∩D. ()()U A B A B ∩∪∪4. 若0.51.2a =，5log 2b =，0.20.5c =，则（ ） A. c a b >>B. a b c >>C. a c b >>D. c b a >>5. 已知α，β都是锐角，tan 3tan αβ=，()1sin 3αβ+=，则cos sin αβ=（ ） A.14B.16C.18D.1126. 已知O 为ABC 的外接圆圆心，2BC =，30BAC ∠=°，则AB OC ⋅的最大值为（ ）A. 4B. 6C.D. 7. 某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．如图，20AC =（单位：米），点B 为AC 中点，兴趣小组组长小王在A ，B ，C 三点正的.上方2米处的1A ，1B ，1C 观察建筑物最高点E 的仰角分别为α，β，γ，其中tan α=tan 2β=，tan γ=，点D 为点E 在地面上的正投影，点1D 为DE 上与1A ，1B ，1C 位于同一高度的点，则建筑物的高度DE 为（ ）米．A. 20B. 22C. 40D. 428. 设函数()()11e e sin 1x x f x x −−=−+−，则关于x 的不等式()()2220f x x f x −−+−≥的解集为（ ） A. []1,4− B. ][(),14,−∞−∪+∞ C. []2,1−D. ][(),21,∞∞−−∪+二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9. 设函数()33f x x x =−+，()()1f x g x x=+，()f x 的导数为()f x ′，则（ ）A. ()12f ′−=B. 当()02f x ′=时，01x =−C. 曲线()y g x =在点()1,4处的切线方程为50x y +−=D. 当0x >时，()()g x g x −<10. 某个简谐运动可以用函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ），[)0,x ∈+∞来表示，部分图象如图所示，则（ ）A. 2π3AB =B. 这个简谐运动的频率为1π，初相为π6−C. 直线π8x =是曲线π23y f x+的一条对称轴D. 点π,08是曲线π23y f x+的一个对称中心11. 已知实数x ，y 满足e0x yy x++=，则（ ） A. 当0y <时，0x y +=B. 当0x <时，0x y +=C. 当0x y +≠时，2y x −>D. 当0x y +≠时，10xy −<<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知向量1e ，2e 为单位向量，且1e 在2e 上的投影向量为21e 2−，则12e e −= ______．13. 若实数a ，b 满足13a b −<+<，24a b <−<，则3a b +的取值范围为______．14. 设1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是C 右支上一点，若12AF F △的内切圆的圆心为M ，半径为a ，且λ∃∈R ，使得22AM OM OF λ+=，则C 的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin cos C a C c b −=−． （1）求A ；（2）若角A 平分线交边BC 于点D，AD =，求ABC 面积的最小值．16. 已知函数()()()sin cos cos 0f x a x x x a =+>，且()π6f x f≤恒成立．的（1）求a 的值；（2）设()()sin cos sin cos g x b x x x x +−，若1π0,4x ∀∈ ，2π,06x ∃∈−，使得()()12g x f x ≤，求实数b 的取值范围．17 已知函数()()ln f x ax x a =−∈R ． （1）若函数()f x 在1,1e 上的最小值为32，求a 的值；（2）若0a =，函数()()1e x f x g x x−=+，求()g x 的最小值．18. 已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b，点()0,1A 在C 上，直线l 与C 交于不同于A的两点M ，N ． （1）求C 的方程；（2）若0AM AN ⋅=，求AMN 面积的最大值； （3）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，若12116k k =−，证明：以MN 为直径的圆过定点，并求出定点坐标．19. 已知函数()()3sin R f x x ax x a +∈．（1）当0a =时，判断()f x y x =在π0,2上单调性，并说明理由； （2）当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）设()sin g x x =，在()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,,,22i ii A g i n n=⋅⋅⋅∈N ，直线1i i A A +的斜率为()1,2,,1,2i k i n n =⋅⋅⋅−≥，求证：11109n i i k n −=>−∑．.的。
湖北华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷(原卷版)
华中师大一附中2024-2025学年度十月月度检测数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ==== ，则A B = （ ） A. {1,1}− B. {(1,1),(1,1)}−C. (0,)+∞D. (0,1) 2. 已知函数()*(2),n f x x n =−∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b =（ ）A.B.C.D. 4. 已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<−的最小值为（ ） A. 5 B. 112 C. 203D. 163 5. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（ ）． A. π12x =B. π6x =C. π3x =D. 5π12x = 6 设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（ ） A. b c a >> B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >> 7. 已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=−−>的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3 上没有最小值，则ω的值为（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 2.8. 定义在R 上奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x −−+=，()12024e f =．若()()0f x f x ′+−>，则不等式()11e x f x +>的解集是（ ） A. ()3,+∞ B. (),3−∞ C. ()1,+∞ D. (),1−∞二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 下列等式成立的是（ ）A. ()21sin15cos152°−°=B. 22sin 22.5cos 22.5°−°=C. 1cos28cos32cos62cos582°°−°°=−D. (3tan10cos502°−°=−10. 已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB = ，则下列结论正确的有（ ）A. 2p =B. 3AF =C. t =或−D. 线段AB 中点横坐标为5411. 已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=−上的一点，则下列选项中正确的是（ ）A. 曲线C 的图象关于原点对称B. 对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC. 对任意[]01,1y ∈−，恒有012x < D. 曲线C 在11y −≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4的的的三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 若π,02α ∈− ，且πcos2cos 4αα =+，则α=__________. 13. 海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为在A 处看灯塔C ，在货轮北偏西30°，距离为C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30°，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．14. 若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m+≤−⋅恒成立，则b a −取得最大值时，sin 2a b +=__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数()π4sin cos 6f x x x =+,x ∈R . （1）求函数()f x 的单调减区间; （2）求函数()f x 在π0,2上的最大值与最小值. 16. 已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx −−−在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1−.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，求实数a 的取值范围．17. 在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a*N ，且ABC 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF °∠=，CDF θ∠=()090θ°°<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值． 18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率e =，点,P Q 分别是椭圆的右的顶点和上顶点，POQ 的边PQ （1）求椭圆的标准方程； （2）过点(2,0)H −的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程； （3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12−，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值． 19. 正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由； （2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”； （3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.。
湖南省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，2．则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=．11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.63520．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，故选B．点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．2．（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判定逆命题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可．解答：解：“若•=0，则⊥，得到l∥α，或l⊂α，所以原命题为假命题，若l∥α”则⊥，得到•=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，故选：C．点评：本题考查四种命题的真假关系．命题与逆否命题同真、同假．3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z=3﹣2i﹣==3﹣2i+1﹣2i=4﹣4i，∴复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，﹣4），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒考点：实际问题中导数的意义．专题：导数的综合应用．分析：直接利用函数的导数的几何意义求解即可．解答：解：由题意可得α′=，车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度：=10π．故选：B．点评：他考查函数的导数的应用，注意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可．解答：解：由＞1得0＜a＜1，若函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增，则3﹣2a＞1，解得a＜1，故“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质是解决本题的关键．6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有2×3×6=36种选法；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C．点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的条件，明确分类讨论的思路．7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将x=6代入可得答案．解答：解：由表格知样本中心点为，则回归方程是=﹣3.2x+a，将（1，50）点代入得：a=53.2，则回归方程是=﹣3.2x+53.2，则当x=6时，y的预测值为，故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．解答：解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则n（A）==12，n（AB）==6，所以P（B|A）===．点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可．解答：解：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=6，又∵|PF1|=2|PF2|，∴3|PF2|=6，即|PF2|=2，由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF2|=2a，即a=1，由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=1.6．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根据方差求解即可．解答：解：∵根据题意可判断：X服从B（10，0.8），∴则随机变量X的方差D（X）=10×0.8×0.2=1.6，故答案为1.6点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的放出，同时考查了计算能力，属于中档题11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是﹣192．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x2项的系数可求．解答：解：∵=，由3﹣r=2，得r=1．∴含x2项的系数是﹣×25=﹣192．故答案为：﹣192．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把z=1﹣i代入z2+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案．解答：解：由z=1﹣i，且z2+az+b=，得（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i，∴a+b﹣（a+2）i=1+i．，解得a=﹣3，b=4．故a+bi=﹣3+4i．∴|a+bi|=．故答案为：5．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是[1，2）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可．解答：解：∵“p∧（￢q）”为真命题，∴p真，q假，若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，若命题￢q为真，∀x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1，∴，解得1≤a＜2故a的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是﹣1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值．解答：解：函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的导数为f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx（x∈[﹣1，1]），由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增，由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减．即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），利用k AM•k BM=﹣及，计算即得结论．解答：解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则k AM•k BM=•==﹣，∵，∴n2=b2（1﹣）=（a2﹣m2），即=﹣=﹣，∴=，则e====，故答案为：．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求．（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解答：解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1﹣）•（1﹣）=，故至少有一个命中目标的概率为1﹣=．（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为•••••（1﹣）=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值解答：解：（Ⅰ）===（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E （0，1，2）设为平面AB1C1的法向量，则因为则，取x=1，则因为，则所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为点评：本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立．解答：解：（Ⅰ）由已知，，又a1=2，则a2=2﹣a3=2﹣，a4=2﹣，由此可猜想：证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即则=，即当n=k+1时也成立．结合（1）（2）可知，数列{a n}的递推公式是（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0则1+a n＞2a n，且1+a k＞2a n，两式相加得，（1+a n）+（1+a k）≥2a n+2a k，即a n+a k≤2因为＞1，则：a k+a n＞2，矛盾．所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．点评：本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，属中档题型．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.635考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，即可得出结论．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男15 10 25女 5 10 15总计20 20 40因为K2=≈2.667＞2.072，P（K2≥2.072）=0.15故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率．20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用向量由|+|=•+2得到点M的轨迹方程．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列式求解．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）则，从而，所以||=，又，则由已知，，则（x﹣1）2+y2=（x+1）2，即y2=4x．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1）联立y2=4x，消去x，得y=tanα（），即y2tanα﹣4y﹣4tanα=0，设点D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=，x1+x2=，所以线段DE的垂直平分线方程为令y=0，得x=，所以点T（）故|FT|=（1﹣cos2α）=（）（1﹣cos2α）=2（）2sin2α=4为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中属常考题型．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据定积分的几何意义即可求出面积s，（Ⅱ）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；（Ⅲ）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x1x2=1，化简整理f（x1）+f（x2），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数的最小值，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+，y=f（x）﹣lnx=＞0，∴S=dx=（1﹣）dx=[x﹣ln（x+1）]|=2﹣ln3；（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=+≥0恒成立，∴a≥﹣=﹣（x++2），∵x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时取等号，∴a≥﹣4，故a的取范围为[﹣4，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f′（x）=+，令f′（x）=0，得到x2+（a+2）x+1=0，由题意得x1，x2是方程的两根，则x1x2=1，∴f（x1）+f（x2）=lnx1++lnx2+=lnx1x2++=a=a•=a，于是﹣=﹣=，设g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=0，∴当x∈（0，+∞）时，x﹣lnx﹣1＞0，故≥，当且仅当x=1时取等号．点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．。
湖南省新化一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
新化一中2014-2015学年上学期高二期中考试数学（理科）试题满分:150分 时量：120分钟 命题人:杨玉琳一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．命题“∀x ∈R ，sinx ＞1-”的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，sinx≤1-B ．∃x 0∈R ，sinx 0≤1-C ．∃x 0∈R ，sinx 0＞1-D ．不存在x ∈R ，sinx ＞1-2．在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若a= 则b=（ ）A ．．2 C ．1 D ．23．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4,n a a a a -++=则（ ）A.342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B.243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C.1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D.1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．25．在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为c b a ,,，则""b a ≤是"sin sin "B A ≤ 的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6．在R 上定义运算)1(:y x y x -=⊗⊗，若不等式x a x a x 对任意实数1)()(<+⊗-成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a |11<<-a }B ．{a |20<<a }C ．{a |2321<<-a } D ．{a |2123<<-a } 7．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2978．在ABC ∆，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且不等式0862>-+-x x 的解集为}|{c x a x <<，则b 等于（ ）A ．3B ．4C ．33D ．329．如果实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（ ）A.1B.2C.3D.410．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ．45 B ．2 C ．2 D ．35二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。
2014-2015学年上学期期中考试高一数学试题
2014-2015学年上学期期中考试高一数学试题（2014年10月）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下列表述：①联合国常任理事国；③方程210x x+-=的实数根；④全国著名的高等院校。
以上能够构成集合的是（）A．①③ B.①② C.①③④ D.①②③④2.给出下列四个对应，其中能构成映射的是（）3. 用列举法表示集合{}|,5x x N x∈≤为（）A. {}0,1,2,3,4B.{}0,1,2,3,4,5C.{}1,2,3,4D.{}1,2,3,4,54.已知集合{}|13A x x=-≤<，{}|25B x x=<≤,则A B（)A．()2,3B．[]1,5-C．()1,5-D．(]1,5-5.在下列四组函数中，()f x与()g x表示同一函数的是( )A.()1,()xf xg xx==B.()()f xg x==C.2(),()f x xg x==D.(),()f x xg x==6.函数()f x=( )A. ()(]-,-1-1,1∞B.()()-,-1-1,1∞C.()-,1∞D.(],1-∞7. 若{}21,,0,,ba a a ba⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则ba+的值为( )A.0B.1C.-1D. 1或-18.已知221,(2)()3,(2)x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，则(1)(4)f f -+的值是 ( ) A. 7- B. 3 C. 8- D. 49.已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是 ( ) A. 32x + B. 31x + C. 31x - D. 34x +10.下列说法中：①16的4次方根是2；2±；③当n 为大于1的奇数时，a R ∈都有意义；④当n 为大于10a ≥时才有意义。
其中正确的是 ( ) A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④11.设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序是 ( ) A. ()(2)(3)f f f π-<-< B. ()(2)(3)f f f π->-> C. ()(3)(2)f f f π-<<- D. ()(3)(2)f f f π->>-12.定义,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()(2)f x x x =⊗-的值域是 （ ） A.(),1-∞ B. (],1-∞ C. R D. ()1,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期第二次考试数学试卷(含答案)
华中师大一附中2024—2025学年度上学期高三年级第二次考试数学试题时限：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知为虚数单位，，则（）A. 1B. 2C. D. 2. 已知集合，，则的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 8D. 163. 设，向量，且，则（）A.B.C.D.4. 函数的图象大致是（）A B.C. D.5. 已知能被9整除，则整数的值可以是（）A B.C. 9D. 136. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（）A.B.C.D. i ()()()1i 2i i i ,a b a b --+=+∈R ab =2-1-(){},,Z,4A x y x y xy =∈=且(){},B x y x y =≤A B ⋂x ∈R ()(),1,1,2a x b ==- a b ⊥ cos ,a b a -=()()π21sin 3221x x x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-20244a +a 12-2:2C y px =()10F ,,l P C PQ l ,Q PQF PQ M MR //QF x RMR 0y +-=0y +-=0x +-=0x -=7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则的最大值为（）A.B.C.D. 8. 已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 定义在上的函数的值域为，且，则（）A. B. C. D.10. 下列命题正确的是（）A.“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件B. 若C. 在中，若，则为锐角三角形D. 已知，且，则11. 已知曲线，则下列结论正确是（）A. 随着增大而减小B. 曲线的横坐标取值范围为C. 曲线与直线相交，且交点第二象限D. 是曲线的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．的在ABC V A B C a b c ABC V 24a22b c bc+1+()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧-<⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩(),(0)t t t ->5y tR ()f x (),0-∞()()()20f x f x y f x y ++-=()01f =-()()24[1]0f f +=()()1f x f x -=()()2f x f x +-≤-:p α:q cos 0α<p q α=ABC V tan tan 1A B ⋅>ABC V π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos2α=tan α=:148x x y yE +=y x E []22-,E 1.4y x =-()00,M x y E 00y +(]0,412. 在的展开式中，的系数为_________________．13. 在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为______．14. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.（1）过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.16. 在中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c，，（1）求A 的大小：（2）点D 在BC 上，（Ⅰ）当，且时，求AC 的长；83x ⎛- ⎝3x ABC V A ∠B ∠C ∠AC =BA BC ⋅O 12O O 2EF 1O D 2O DEF O ；M MEF 111ABC A B C -12AA AB ==,E F 111,BB A C ,,A E F 11C B P 1B P AEF 11BCC B ABC V cos sin B b A -=2c =AD AB ⊥1AD =（Ⅱ）当，且时，求的面积．17. 从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中：若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q ，（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作次后，恰好将袋中全部置换为”为，记．（ⅰ）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ⅱ）试探究与的递推关系，并说明理由．18. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设P 为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P 分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值；19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的，在Q 中存在，使得，则称Q 为连续可表数列．（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若为连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若为连续可表数列，且，求证：．的2BD DC =1AD =ABC V ABC S ()*1n n +∈NK Q nA ()nn PP A =Q 1n P +n P 1C 1 2C 2 12△∽△1C 2C 1 2 1C 2C 221:12x C y +=22222:1(0)x y C a b a b+=>>2C 1C 2C (0)λλ>2C 12,AA λ=1C 12,PB PB 12,B B 12,PB PB 12,k k 12k k 12:,,,k Q a a a {1,2,,}n m ∈ 12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ 12i i i i j a a a a n +++++++= m -:2,1,4Q 5-6-12:,,,k Q a a a 8-12:,,,k Q a a a 20-1220k a a a +++< 7k ≥华中师大一附中2024—2025学年度上学期高三年级第二次考试数学试题时限：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】ACD10.【答案】ACD11.【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 【答案】22413.【答案】14. 【答案】①.②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 【解析】【分析】（1）将平面延展得到点，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.【小问1详解】由正三棱柱中，，又因为点分别为棱的中点，可得如图所示，延长交的延长线于点，连接交于点，则四边形为所求截面，过点作的平行线交于，所以因此，所以.【小问2详解】(]0,64π532⎤++⎦AEF P 111ABC A B C -12AA AB ==,E F 111,BB A C AF AE ==AF 1CC M ME 11B C P AFPE E BC 1CC N 1MPC MEN ∽1123MC PC MP ME MN EN ===1142,33PC B P ==以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则，设平面的法向量为，则取，则，所以，取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.16. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值；的A 1,AC AA ,y z A yAz x 2AB =()())0,0,0,0,1,2,A F E())0,1,2,AF AE ==AEF (),,n x y z = 0,20,n AE y z n AF y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =2,y x =-=2,1n ⎫=-⎪⎭BC D AD ABC AD BC ⊥1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1AD BB ⊥1BC BB B = 1,BC BB ⊂11BCC B AD ⊥11BCC B 3,02D ⎫⎪⎪⎭3,02AD ⎫=⎪⎪⎭11BCC B )m =AEF 11BCC B α5cos cos ,8m n m n m n α⋅===AEF 11BCC B 58tan A (0,)A π∈A（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【小问1详解】，，又，所以，因为为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；【小问2详解】（Ⅰ）此时，，所以所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）设，由，有，由于，所以，所以cos AB AD ABC ABC C BD BD ∠==∠===cos sin B b A -=cos sin sin A B B A C -=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin sin sin B A A B -=B sin 0B >sin A A -=tan A =(0,π)A ∈2π3A =22AB AD ==AD AB ⊥D B ==2π1cos sin 32AB AD ABC ABC C B BD BD ⎛⎫⎛⎫∠==∠===+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC V sin sin sin sin AC AB AB ABCAC ABC C C∠=⇒==∠=CAD α∠=ABC BAD CAD S S S =+ 2π2sin()sin 3b αα=-+2πsin 2sin()3b αα-=-2,2πsin sin sin sin()3b CD BD ADC ADB αα==∠∠-2BD DC =sin sin 12πsin 22sin()3b ADB ADC αα∠⨯=∠-2πsin()13sin sin 2b ααα-==⇒b =则．17. 【解析】【分析】（1）由题意可知，的所有取值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求出即可；（2）（ⅰ）利用条件概率公式求解；（ⅱ）设事件表示“次操作后袋中还剩1张”，则（B ），为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，分2种情况求得（B ），代入（B ），即可得到与的递推关系．【小问1详解】由题意可知，的所有取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为：012所以；【小问2详解】（ⅰ）记事件表示“第1次取到”，事件表示“总共4次操作恰好完成置换”，则（E ），依题意，若第一次取到，则剩余的3次操作，须将袋中全部置换为，①若第二次也取出，则第三次和第四次均须取出，其概率为，②若第二次取出，则第三次取出，第四次取出，其概率为，综上所述，，1sin 2ABC S bc A == X X ()E X B n K P 4n P =1n P +2n +K Q 1312n n P P ++=+316⨯P 4n P =1n P +n P X 211(0)448P X ==⨯=22235(1)44448P X ==⨯+⨯=221(2)444P X ==⨯=X XP1858141519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=E QF P 12=Q K Q Q K 12211244432⨯⨯⨯=K Q K 12313244464⨯⨯⨯=135()326464P EF =+=所以，即在第1次取到的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为；（ⅱ），理由如下：设事件表示“次操作后袋中还剩1张”，依题意，为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，而发生这样的情况需次操作后袋中还剩1张，且第次抽中，则，即，为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，发生这样需2种情况：①次操作后袋中还剩2张（即前次全取，概率为，并且第次和次全取，②次操作后袋中还剩1张，第次取，第次取，所以（B ）又因为，所以．18. 【解析】【分析】（1）首先得到、，从而得到（2）设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案；【小问1详解】对于椭圆：，则长轴长为2，焦距为2，5()564(|)1()322P EF P F E P E ===Q 532131324n n n P P ++=+B n K n P 1n +K Q n K 1n +K 1()4n P P B =P ()4n B P =1n P +2n +K Q n K n Q 12n 1n +2n +K n K 1n +Q 2n +K 1121244n n P P +=⨯⨯+()3311344216n P B +⨯⨯=+⨯P ()4n B P =131324n n n P P ++=+1C 2C =b a =1PB ()010y y k x x -=-C ()2220100102210x k x y k y --+-=()2220200202210x k x y k y --+-=20122012y k k x -=-2200122y x =-1C 2212x y +=椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，，所以，则椭圆的离心率.【小问2详解】，解得，所以椭圆：，设，则直线的方程为，即，记，则的方程为，将其代入椭圆的方程，消去，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，所以为关于的方程的两根，所以．又点在椭圆上，所以，所以为定值．2C ()222210x y a b a b+=>>2a 2b =b a =2C e ======2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2C 22142x y +=1PB ()010y y k x x -=-1010y k x y k x =+-010t y k x =-1PB 1y k x t =+1C y ()22211214220k x k tx t +++-=1PB C ()()()22211Δ4421220k t k t =-+-=221210k t -+=010t y k x =-()2220100102210x k x y k y --+-=()2220200202210x k x y k y --+-=12,k k k ()22200002210x k x y k y --+-=20122012y k k x -=-222:142x y C +=2200122y x =-2012201211222x k k x --==--【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19.【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）先证明，再说明时不合题意，找出且满足题意的数列即可得解．【小问1详解】，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．【小问2详解】若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，，．【小问3详解】先证明从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即.若，最多可以表示个正整数，由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数，既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插人一个负数项，更不能连续表示的3k ≤4k =6k ≥6k =7k =21a =12a =123a a +=34a =235a a +=Q 5-,i j 16i i i j a a a +++++= Q 6-3k ≤:Q ,,a b c ,,,,,a b b c a b c a b c ++++84k =:1,4,1,2Q 11a =42a =343a a +=24a =125a a +=1236a a a ++=2347a a a ++=12348a a a a +++=min 4k ∴=6k ≥5432++++115=6k ≥6k =65432121+++++=Q 20-1220k a a a +++< 1~20正整数.所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故.当时，数列满足题意，．1~20Q 7k ≥7k =1,2,4,5,8,2,1--7k ∴≥。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2019-2020学年度高二上学期开学检测数学试题
华中师大一附中2019—2020学年度高二上学期开学检测数 学 试 题考试时间：120分钟 卷面满分：150分9月1日第I 卷（选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合{|,}6A k k Z πααπ==+∈，集合2{|230}B x x x =--≤，则A B =IA ．∅B ．{}6πC ．{,}66ππ-D ．7{,}66ππ 2．已知m n l 、、是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若m α⊂，n ⊂α，l β⊂，//m l ，n l ∥，则//αβB ．若//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβC ．若m α⊂，m n A =I ，l m ⊥，l n ⊥，l β⊥，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 3．已知(0,)απ∈，2sin cos 1αα-=，则tan α= A ．34-B ．34-C ．43D ．344．已知函数2()2log x f x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 A ．0x a <B ．0x a >C ．0x b <D ．0x c <5．已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12//l l ，则直线1l 与2l 的距离为A．5 B．5 C．5D6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，12(log 3)b f =， 1.6(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是 A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=8．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20196057S =，则2201814a a +的最小值为 A ．1B ．23C ．136D ．329．甲、乙两人同时从寝室出发去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同（步行速度与跑步速度不相等），则 A ．两人同时到教室 B ．谁先到教室不确定 C ．甲先到教室D ．乙先到教室10．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，6AB =，13AA =，5AC BC ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，则三棱锥1A AEF -的体积为A ．6B ．12C ．24D ．3611．已知点(5,0)(1,3)A B ---、，点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点，则PAB ∆面积的最大值是A ．11B ．232C ．13D ．27212．设向量a b c r r r 、、满足||=1a r ，||=2b r ，0a b ⋅=r r，()0c a b c ⋅+-=r r r r ，则||c r 的最大值等于 A ．1 B ．2 C．1 D第II 卷 （非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在平面直角坐标系xoy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(3,4)--，则cos(2)3πθ+= ．14．已知函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(,)m n ，且()22g x mx bx n =-+在[)1,+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是 ．15．55cossin 1616sin cos 1616ππππ-=．16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对称轴为1x =，已知当[0,1]x ∈时，11()()2x f x -=，则有下列结论：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数()f x 的最小值是0，最大值是1；④当(3,4)x ∈时，31()()2x f x -=．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题10分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-． （1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）若数列{}n b 为等差数列，且3273,b a b a ==，求数列{(1)}n n a b +⋅的前n 项n T ．18．（本小题12分）设函数()24f x ax x b =++．（1）当2b =时，若对于[]1,2x ∈，有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）已知a b >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x R ∈，使得20040ax x b ++=成立，求22a b a b+-的最小值．19．（本小题12分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()2sin()cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值．（1）若关于x 的方程()f x t =在(0,)2π上有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积．20．如图，在梯形ABCD 中，//DC AB ，1DA AB BC ===，DC AC =． （1）求DC ；（2）利用（1）中求出的结论，求sin18︒的值；（3）平面内点P 在DC 的上方，且满足3DPC ACB ∠=∠，求DP CP +的最大值．21．（本小题12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值；（3）设点M 在线段BD 上，且//AM 平面BEF ，求BM 的长．22．（本小题12分）已知函数2()||1af x x x=+-，（a 为常数）． （1）当1a =时，判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并用定义证明； （2）若对任意x R ∈，不等式(2)0x f >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）讨论函数()f x 的零点的个数．华中师大一附中2019—2020学年度上学期高二开学检测数学试题参考答案二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．750+-14．[1,)-+∞ 15．2 16．①②④ 三、解答题： 17．解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =， 因为2n n S a n =-①，所以当2n ≥时，112(1)n n S a n --=--②， ①—②得1221n n n a a a -=--，所以121n n a a -=+（2n ≥），111111211222111n n n n n n a a a a a a -----++++∴===+++，且112a +=， 所以{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列． ………………4分（2）由（1）知，1122n n a -+=⋅，所以21n n a =-， 因为233,7a a ==，所以32733,7b a b a ====，设{}n b 的公差为d ，则73(73)b b d =+-⋅，所以1d =， 所以3(3)n b b n d n =+-⋅=， ………………6分设()12n n n n c a b n =+⋅=⋅，则1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅L ， 234121222322n n T n +∴=⋅+⋅+⋅++⋅L ，以上两式相减得：()23111121222222222212n nn n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=--⋅-L ，所以111222(1)22n n n n T n n +++=-++⋅=-+． (10)分18．解：（1）据题意知，对于[]1,2x ∈，有2420ax x ++≥恒成立， 即224224x a x x x --≥=--恒成立，因此2max24a x x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，设11,,12t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，所以()()2224212g t t t t =--=-++， Q 函数()g t 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减的，()max 1522g t g ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，52a ∴≥-，即实数a 的取值范围为5[,)2-+∞． ………………6分 （2）由()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，可得0,1640a ab >∆=-≤且，又因为存在0x R ∈，使得20040ax x b ++=成立，16-40ab ∴∆=≥， 16-404ab ab ∴∆==∴=，， ………………9分()()2222288()a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++∴===-+≥=----当且仅当a b -=时等号成立，所以22a b a b+-的最小值为4． ………………12分 19．解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-，…………2分 因为()f x 在512x π=处取得最大值，所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈，即2,3A k k Z ππ=-+∈，(0,)A π∴∈，3A π∴=，()sin(2)3f x x π∴=-， (4)分(0,)2x π∈Q ，22(,)333x πππ∴-∈-，sin(2)123x π∴-<-≤，因为关于x 的方程()f x t =在(0,)2π上有解，所以t 的取值范围为(．……6分 （2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==105由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225b c bc =+-，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== …………12分 20．解：（1）∵DC ∥AB ，AB ＝BC ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝∠ACB ，在△ACD 中，记DC ＝AC ＝t ，由余弦定理得：2221cos 2t ACD t-∠=， 在△ACB 中，222cos 22AC BC AB tACB AC BC +-∠==⋅， 由222122t tt -=，得32210t t -+=，即2(1)(1)0t t t ---=，解得1t =，或12t =，∵1t =与ABCD 是梯形矛盾，舍去，又0t >，t ∴=，即DC = ………………4分（2）由已知得：∠CAD ＝∠ADC ＝∠BCD ＝∠ACD +∠ACB ＝∠ACD +∠CAB ＝2∠ACD ，故5∠ACD ＝180°，所以∠ACD ＝∠ACB ＝36°，在△DAC 中，由余弦定理得：22222212cos362(1cos36)4sin 18DC AC DC AC DC DC =+-⋅︒=-︒=︒，11sin1824DC ∴︒===． ………………8分（3）由（2）知：∠DPC ＝3∠ACB ＝108°，在△DPC 中，由余弦定理得：2222cos DC DP PC DP PC DPC =+-⋅∠， 即2222()2(1cos108)()4cos 54DC DP PC DP PC DP PC DP PC =+-⋅+︒=+-⋅︒ ∵2()4DP PC DP PC +≥⋅（当且仅当DP ＝CP 时等号成立）， 222()(1cos 54)DC DC PC ∴≥+-︒，22222()sin 54cos 36DC DC DC PC ∴+≤=︒︒222225124(12sin 18)5112()DC ⎛⎫+ ⎪ ⎪===-︒- ⎪-⋅ ⎪， ∴DP ＋C P ≤2（当且仅当DP ＝CP 时等号成立），故当DP ＝CP ＝1时，DP ＋CP 的最大值为2． ………………12分 21．解：（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 又BD ，DE 交于点E ，所以AC ⊥平面BDE ． …………4分 （2）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以可以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，所以3EDDB =，由3AD =可知36DE =，6AF =，则()3,0,0A ，()3,0,6F ，()0,0,36E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，所以()0,3,6BF =-，()3,0,26EF =-u u u v，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ， 即3603260y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令6z =，则()4,2,6n =r ，因为AC ⊥平面BDE ，所以CA u u u v为平面BDE 的法向量，且()3,3,0CA =-u u u v ，所以13cos<,>132632n CA n n CA CA⋅===⨯u u u vr r u u u u u v r r u ， 所以二面角F BE D --的余弦值为13． …………8分 （3）点M 是线段BD 上一个动点，设(),,0M t t ，则()3,,0AM t t =-u u u u v，因为//AM 平面BEF ，所以0AM n ⋅=u u u u rv ，即()4320t t -+=，解得2t =．此时，点M 坐标为()2,2,0，123BM BD ==． …………12分22．解：（1）当1a =，且0x <时，2()||1af x x x=+-是单调递减函数．证明如下：设120x x <<，则1212211212222()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+， 又120x x <<Q ，210x x ∴->且12210x x +>，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，故当1a =时，()f x 在(,0)-∞上是单调递减函数． ………………4分（2）由(2)0x f >得：22102x xa+->，即2(2)220x x a -+>，即22(2)2x x a >-+， 设2(2)2x x y =-+，令2,0x t t =>，则2,0y t t t =-+>，0t >Q 时，max 14y =，所以当22(2)2x x a >-+对x R ∈恒成立时，124a >，所以实数a 的取值范为1(,)8+∞． ………………8分 （3）由()0f x =可得2||10ax x+-=，即2||,0a x x x x =-+≠，令222211(),024()||11(),024x x x x g x x x x x x x x ⎧-+=--+>⎪⎪=-+=⎨⎪+=+-<⎪⎩，作出()y g x =的图像及2y a =图像如图所示，由图像可得：①当124a >或124a <-，即18a >或18a <-时，()f x 有1个零点；②当18a =或18a =-或0a =时，()f x 有2个零点； ③当108a -<<或108a <<时，()f x 有3个零点． ………………12分。
整合湖北省武汉华中师范大学第一附属中学自主招生考试数学试题word版含解析名师精品资料
2华师一附中 2015 年高中招生考试数学测试题详解考试时间 :80 分钟 卷面满分 :150 分一.选择题（ 6 分×6=36 分）2221, 如果实数 a,b, c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式aa b c2ac a可以化简为A. a b cB.a b cC. a b cD.a b c【解析】由图知b c a 0 ,故a2a a, ab a b , c22ac a2c a a ca 2a bc242ac a 2a ab a ca b c ,选 D .2. 反比例函数 y的图象与直线 ykx b 交于 A x 1,m , B n,1两点 ,则△ OAB 的面积为A.11B.4C.15 D. 13 222【解析】（补形）xy 4.A 1, m 代入:-m 4, m 4;B n,1 代入:n4 .故有 A （－ 1,4）,B （－ 4,1） .作 AE ⊥y 轴于 E,BD ⊥ x 轴于 D .可知：△AOE ≌△ BOD .且 S AOE S BOD1 1 42 .2延长 EA,DB 交于 C,则四边形 CDOE 是边长为4 的正方形 ,且 S CDOE416, △ ABC 是腰长为 3 的等腰直角三角形 ,且S ABC1 329 .22于是△ OAB 的面积为S ABC16 2 29 15 223. 设 x , x 是一元二次方程 x2x 3 0 的两根 ,则 x34x215 等于1212A. － 4B.8C.6D.0【解析】（降次）由韦达定理: x x 1 x 1 x . x2 x 3, x2 x 31 2 1 2 1 1 2 2x3 4x2 15 x 3 x 24 1 x 15 3x x2 4 1 2x x2 151 2 1 1 1 1 1 1 15 x2 x 3 4 4 ,故选 A.1 14 4 4 2 2 2 24. 已知a, b,c分别是ABC 的三边长,且满足2a2b c 2 a c 2b c ,则△ABC 是A. 等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注: 原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知a,b,c分别是ABC 的三边长, 且满足2a 42b 4 c42a 2c22b 2c20 , 则△ABC 是?.【解析】由条件得: 4a 44b 42c44a 2c24b 2c2 0,即2a 2 c22b 2 c20, c2 2 a22b 2, 或a b且a 2 b2c2 .故△ABC 是等腰直角三角形,选B.5. 在一节 3 数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住, 这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）A.80 2B.40 10C.25 17D.100【解析】当 3 个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD 的外接圆O,这里AB∥CD 且CD =40,AB =80.设此等腰梯形的对称轴交AB 于M,交CD 于N,则MN =80.∵AB >CD ,∴OM<ON.设OM=40 －x,ON=40+ x,圆半径为r .△AOM 中, r 2△DON 中, r 2402202240 x 1240 x 2（1）－（2）：1200 160 x0, x 15,代入（2）22 2r 2 400 9025 10625 625 17 , r 2517.4 4 4 2故所求最小圆的直径为2r 25 7 ,故选C.6. 如图,△ABC 内接于圆O,BC=36, ∠A=60 °,点D 为BC 上一动点,BE⊥直线OD 于E,当点D 由B 点沿BC 运动到点 C 时,点E 经过的路线长为A.12 3B.8 3C.27 3D.54【解析】（轨迹法）如解图,连结OB,分别在BC 上取B, D1 , D2 , D3 , C, 其中OD2BC ,则相应的动点依次为B, E1 , E2 , E3 , N .BE1O BE2O BE3O BNO 90 .故点E 的轨迹是OB为直径的优弧BE2 N .已知BC=36, ∴BE218. BOE 2 是含30°角的直角三角形,∴OB 12 3 .设M 为OB 的中点（优弧圆心）,连MN .则圆M 的半径MB= 6 3 .注意到∠ BOC=120°,∴∠ BON =60°,∠BMN =120°, 优弧BE2N 之长为圆M 周长的2, l3 BE2 N 22 63 8 3 . ,故选B. 3二.填空题（7×7=49 分）7. 方程x3 16 4x x 1 的所有根的和为【解析1】x3 4 x2 4 x 16 0 .根据广义韦达定理,此方程 3 根之和为 4.即x1 x2 x3b, 这里aa1,b 4【解析2】由原方程得: x 4x 2 x 2 0, x14, x22,x3 2.x1 x2 x3 4 .8. 在5 瓶饮料中,有2 瓶已过了保质期,随机地从这 5 瓶饮料中取 2 瓶,取到至少有 1 瓶过保质期饮料的概率为【解析】（正繁则反）由于从这5 瓶饮料中任取 2 瓶,没有过期饮料的概率为3 , 故取 2 瓶,取到至少有 1 瓶过保质期饮料的概率为 513 2 5 5 2 a9. 关于 x 的方程 a 1 无解,则 a 的值是x 1【解析】由原方程得 : 2a a 1 x 1 1关于 x 的方程（ 1）只有唯一解 x 1 ,代入（ 1）得 a 0 ,此时原方程无解 ;又在方程（ 1）中令 a 1, 得 a 0 .矛盾.此时方程（ 1）无解 ,从而原方程无解 . 故若原方程无解 ,则必 a0或1 .10. 一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地 ,两车同时出发 ,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶 ,1 小时后 ,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地 ,结果快车先到达乙地 .慢车继续行驶到甲地 .设慢车行驶速度为 x （ h ）,两车之间的距离为 y （ km ） ,y 与 x 的函数图象如图所示 ,则 a 【解析】慢车 12.5 小时走完全程 ,12.5x 1000 x 80 km设快车速度为 t （ h ）∵ 1 小时后两车相距 800km,即1 小时两车共行 200km,∴ t=120km （h ）∵ a 小时后两车相遇 ,此时慢车走 80akm,快车走 120（ a－1） km,故有 :80a 120 a 1 1000200a 1120, a 5.6 h11. 已知 a4,当1 x 3时,函数 y 22 x3ax 4 的最小值为－ 23,则 a =【解析】 原式配方得 : y22 x3 a4 9a ,抛物线开口向上且对称轴为x 3 a .当 a 4时, 3 a 43 ,故当 1 x4 843 时,y 随 x 增大而减小 .故当 x=3 时有:2 323a 3 423 9a 45, a 5.12. 如 图 , 在 单 位 为 1 的 正 方 形 的 网 格 纸上 , A 1A 2 A 3, A 3 A 4A 5 , A 5A 6 A 7 ,, 都是斜边在x轴上 ,且斜边长分别为2,4,6,? 的等腰直角三角形. 若A 1A 2A 3 的顶点分别为 A 1 2,0 ,A 2 1,-1 ,A 30,0 ,则依图中的规律 , A 2015 的坐标为【解析】注意到点A 1 , A 3 , A 5, , A 2 n 1 全在 x 轴上 ,设其横坐标依次为 x 1 , x 3 , x 5 ,, x 2015 ..继续分析 .点 A 4 n 1 都在原点右边 ,其横坐标取正值 ,点 A 4 n 1 都在原点左边（其中A 3 为原点） ,其横坐标取 0 或负值（其中仅 A 3 横坐标为 0） .∵ 2015=4×504－ 1,故 A 2015 必在原点左边 ,其横坐标必为负值 .易求 x 3x 4 1 1 0, x 7 x 4 2 1 02 1, x 11 x 43 10 2 2 4,x 2015x 4 504 1 0 2 5031006,故所求点 A 的坐标为 : A 20151006,0 .13. 有一张矩形风景画 ,长为 90cm,宽为 60cm,现对该风景画进行装裱 ,得到一个新的矩形 ,要求其长 ,宽之比与原风景画的长 ,宽之比相同 ,且面积比原风景画的面积大 44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为 a cm,左 ,右边衬都为b cm,那么 ab【解析】依题意有 :90 2 a 60 2b90 3 2a 6022b3 （据等比定理）2故 2a又: 3b 90 2a 160 2b90 60144 100120a 180b 4ab 54 442（ 1）代入（ 2）： 60 3b 180b 6b254 44 b260b 396 0.解得： b 6或b 66 舍 ,从而 a 9, ab 54 .33 三.解答题14.（ 14 分）已知 m,n 是方程x23 x1 0 的两根 ,（ 1）求 m 5162m 10 2 的值 ;5 m 3 m m（ 2）求mn的值n m【解析】（ 1）∵ 2m3m 1 0, 故m 516 2m 10 2 m 5 m 5 16 2 m 52 5 m3 mmm 5m 3m2 m292 2 m23m 1 2 m 320 .m 3mmm（ 2） m,n 是方程 x23 x 1 0 的两根 ,m n 3mn 1m3n3m3n3m3n3m4n4设 x, 则 x2nm2 2 nmn m mn m 2n 2mn 1, x2m2n2 2m 2n 2222m n2mn29 249x 7,即 mn3=7.nm15.（ 15 分）如图 ,△ ABC 中,AC=BC,I 为△ ABC 的内心 ,O 为 BC 上一点 ,过 B,I 两点的圆 O交 BC 于 D 点, tan CBI1, AB 6, 3（ 1）求线段 BD 的长 ;（ 2）求线段 BC 的长【解析】（ 1）如解图 ,I 为△ ABC 内心,故 BI 平分∠ABC .设∠ ABI =∠ CBI =α.连 CI ,并延长交 AB 于 E,∵ CA=CB,∴ CE ⊥ AB,且AE=BE=3.于是 IE=BE tan31 1, B I3321210 .连 DI ,∵ BD 为圆 O 的直径 ,∴∠ BID =90°.于是2310 10 10 DI BI tan , BD 10 .3 9 3（2）连OI ,∵OI =OB= 5,∴∠ DOI =2α,故OI ∥AB, 3△COI ∽△CBE,OI COBE CB 53 CO3 CO 535 3CO,9 3CO 5CO 25, B C 25 5 15 .12 12 3 416.（18 分）如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD =90°,AD =6,BC=3,DE ⊥AB 于E,AC 交DE 于F,（1）求AE·AB 的值;（2）若CD =4,求AFFC的值;（3）若CD =6,过A 点作MEAM∥CD ,交CE 的延长线于M , 求EC的值.【解析】（1）如解图1,作AG∥BC ,交CB 延长线于G,则四边形AGCD 为矩形.∴GC=AD=6, 但BC=3,∴GB=3.已知DE⊥AB 于E,∴△ AGB∽△ DEA.于是AB BGAB AE AD BGAD AE18. （2）延长AB ,DC 交于H.∵AD ∥BC,且AD =2BC,∴BC 为△ AHD 的中位线,故CH =DC =4. 由勾股定理知AH =10,AB=BH =5.沿DE ,CB 交于T,有△ AED∽△ BTE.Rt△ADH 中,DE ⊥AH, AE2AD 36 18,BE AB AEAH18 75 .于是5 510 5BT BE BT 75 7 7 7 16AD AE, BT6 18 185,CT 33 3 3由△ AFD ∽△ CFT ,知AF AD FCCT6 9.16 3 8（ 3）如解图 3 有 ABBH 3 5,AE36 6, EH 6 56 246 5 555∵△ AEM ∽△ HEC ,ME AE ECEH6 5 1 .24 4517. （ 18分 ） 二 次 函 数 y 4 x22 m x n 的 图 象 与 x 轴 交 于A x 1,0 ,B x 2 ,o 两点 x 1 x 2 ,与 y 轴交于 c 点.（ 1）若 AB=2,且抛物线的顶点在直线y=－ x － 2 上,试确定 m,n 的值 ;（ 2）在（ 1）中 ,若点 P 为直线 BC 下方抛物线上一点 ,当△ PBC 的面积最大时 ,求 P 点坐标;（ 3）是否存在整数 m,n,使得 1 x 12,1 x 22, 同时成立 ?请证明你的结论 .【解析】（ 1） AB=2x 1 x 2x 2 x 12m2 m2x 2x 14 x 2 x 14 .由韦达定理 :x 1 x 2,故有 :n 44n 4 1抛物线的顶点为m 4n m 2, ,代入 y=－x － 2:4 44n m 2m m2m 2n2 2 代入（ 1）：4 4442m 0, m 48, 从而 n 12 .（ 2）在（ 1）的条件下 ,有： y24 x16x 12此抛物线的顶点为（ 2,－ 4）,交 x 轴于 A （ 1,0） ,B （ 3,0） ,交 y 轴于 C(0,12）易求直线 BC 的解析式为 y4 x 12 .为使△ PBC 面积最大 ,只需点 P 与直线 BC 距离最远 .2设过P 且平行于BC 的直线解析式为y 4 x b ,代入抛物线解析式;4 x216x 12 4 x b 4 x212x 12 b 0.令144 16 12 b 0 9 12 b, b 3 .此时有x 3, y 433 3.即所求点的坐标为2 2 P3, 3 .2（3）（反证法）假如存在这样的整数m,n, 使得方程4x22mx n 0 之 2 根满足1 x , x2 .那么: 2< x x m<4, 4< m8, m为整数, m 5,6,7; 11 2 1 221<x1x2n<4, 44n 16, n为整数, nm25,6,7, ,15; 24m216n 0, n 34方程之 2 根为: x2m4m2 16n m m2 4n8 4由m m2 4n1 m 44m2 4n m28m 16 m24n n 2m 4 4由m m2 4n24m2 4 n8 m m2 4n 64 16m m2n 4m 16 5m2当m=5 时,2m－4=6>4 m－16=4,根据（3）,（4）,取2m－4< n ,即46 n 614,无整数解,舍去;m2当m=6 时, 2m－4=8=4 m－16, 根据（3）,（4）,取2m－4< n ,即48 n 9, 无整数解,舍去;2当 m=7 时, 2m － 4=10<4 m －16=12. 根据（ 5）（,4）,取 4m 16 n m, 即 12 4n 12 14无整数解 ,舍去 .据上分析 ,不存在整数 m,n,使得 1 x 1 2,1 x 22, 同时成立 .。
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2014-2015学年湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高二上学期期中考试数学(理)一、选择题（共10小题；共50分）1. 为了了解某地参加计算机水平测试的500名学生成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，500名学生成绩的全体是______A. 总体B. 个体C. 从总体中抽取的一个样本D. 样本的容量2. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组数据x i,y i i=1,2,⋯,n，用最小二乘法建立的回归直线方程是y=0.85x−85.71，则下列结论不正确的是______A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本的中心x,yC. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg．D. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg3. 二项式1x −x xn的展开式中含x3项，则n可能的取值为______A. 5B. 6C. 7D. 84. 8912被100除所得的余数是______A. 1B. 21C. −21D. 815. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x−3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______A. x−32+ y−732=1 B. x−22+y−12=1C. x−12+y−32=1D. x−322+y−12=16. 三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的两名学生不能相邻，那么不同的排法有______A. 36B. 72C. 108D. 1207. 小王设计了一个求数列a n的前2014项的和的程序框图，如图所示，则图中判断框的条件和运行的结果S分别为______A. i>2014? 2013×22014−2B. i>2014? 2013×22015+2C. i≥2014? 2014×22015−2D. i≥2014? 2014×22015+28. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B，C分别在l1和l2上，且BC=32，则过A，B，C三点的动圆所形成的区域的面积为______A. 18πB. 16πC. 8πD. 6π9. 现有数轴上的正整数1,2,3,4,5,⋯,n，一质点从第一个数1出发顺次向右跳动，质点的跳动步数通过掷骰子来决定，骰子的点数小于等于4时，质点向前跳两步；骰子的点数大于4时，质点向前跳一步，则质点恰好到达正整数4的概率为______A. 49B. 727C. 1327D. 172710. 如果一个n位非零正整数a1,a2,⋯,a n适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零正整数a1,a2,⋯,a n为n位"等比数"，如124，913，555等都是三位"等比数"，那么三位"等比数"的个数为______A. 21B. 27C. 33D. 36二、填空题（共5小题；共25分）11. 2012年的NBA全明星赛于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奥兰多市举行，如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是______12. 若1−mx6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，且a1+a2+⋯+a6=728，则实数m的值为______13. 定义某种运算 ⊗，a ⊗b 的运算原理如图所示，设 f x = 0⊗x x − 2⊗x x ，则 f 2x 的表达式是______．14. 在圆 x 2+y 2=5x 内，过点 52,32 有 n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项 a 1，最长弦长为 a n ．若公差 d ∈ 16,13，那么 n 的取值集合为______．15. 已知集合 A = 1,2,3,4,5,6 ，B = b 1,b 2,b 3,b 4 ，且 b 1<b 2<b 3<b 4．若以 A 为定义域，B 为值域构成函数，能构造______ 个不同的函数；能构造______ 个满足条件 f 1 ≤f 2 ≤f 3 ≤f 4 ≤f 5 ≤f 6 的函数．三、解答题（共6小题；共78分） 16. 解答下面两个问题：（1）甲，乙，丙，丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次，甲，乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说："很遗憾，你和乙都没有得到冠军．"对乙说："你当然不会是最差的．"从上面回答分析，5 人的名次排列有多少种不同情况?（2）用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位数中，能被 2 整除但不能被 3 整除的有多少个?（本大题写出解题过程，结果用数字作答）17. 某中学 1000 名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：数学成绩分数 0,30 30,60 60,90 90,120 120,150人数6090300x 160（1）为了了解同学们前一阶段复习的得失，以便制定下一阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取 100 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分．求他被抽中的概率；（2）已知本次数学成绩的优秀线为 110 分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数； （3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．18. 已知 x 3−xn展开式中偶数项的二项式系数和比 3a −b 2n a ,b >0 的展开式中奇数项的二项式系数和小 120．（1）求第一个展开式的中间项； （2）求第二个展开式中系数最大的项19. 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机抽取一个．（1）求连续去取三次都是白球的概率（2）假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，一个黑球记0分，若连续取四次，则分数之和为4分的概率是多少?20. 已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l:y=43x−12被圆M截得的弦长为3，且圆心M在直线l的下方．（1）求圆M的方程；（2）设A0,t，B0,t+6−5≤t≤−2，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．21. 定义函数g x，x为正整数，其原理如图所示，记a n=g1+g2+g3+⋯+g2n，其中n∈N∗．（1）分别计算g1+g3+g5+g7；g1+g2+g3+g4；g2+g4+g6+ g8．（2）求g1+g3+g5+⋯+g2k−1，并证明g1+g2+g3+⋯+g2n−1= g2+g4+g6+⋯+g2n．（3）记b n=2n3a n−2，证明b1+b2+b4+⋯+b2n−1<78．答案第一部分 1. A 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. C第二部分11. 64 12. −2 或 413. f 2x= −4x ,x ≤1−2x +1,x >114. 4,5,615. 1560；10 第三部分16. （1） 由于甲和乙都没有得到冠军，所以冠军是其余 3 人中的一个，有 A 31 种；乙不是最差的，所以是 2,3,4 名中的一种，有 A 31 种可能，上述位置确定后，其余 3 人，有 A 33 种排法，所以名次排列的可能种数是 A 31A 31A 33=54．（2） 个位为 0 的无重复数字的四位数有 A 53=60 个，个位为 2 和 4 的无重复数字的四位数有2A 41⋅A 42=96 个，无重复数字的四位偶数共有 60+96=156 个，下面计算这些四位数能被 3 整除的数的个数．（i ）个位是 0，令前 3 个数字为 1,2,3 或 1,3,5 或 2,3,4 或 3,4,5，则共有 4A 33=24 个；（ii ）个位是 2，令前 3 个数字为 0,1,3 或 0,3,4 或 1,4,5，则共有 A 33+2A 21⋅A 22=14 个；（iii ）个位是 4，令前 3 个数字为 0,2,3 或 0,3,5 或 1,2,5，则共有 A 33+2A 21⋅A 22=14 个，则既能被 2整除又能被 3 整除的数共有 24+2×14=52 个，故能被 2 整除但不能被 3 整除的有 156−52=104 个．17. （1） 分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲被抽中的概率 P =110．（2） 依题意：x =1000− 60+90+300+160 =390，故估计该中学达到优秀线的人数 m =160+390×120−110120−90=290 人．（3） 频率分布直方图，如图所示： x =60×15+90×45+300×75+390×105+160×1351000=90 分，估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分．18. （1） 依题意：2n−1+120=22n−1，则 22n −2n −240=0，解得 2n =16，或 2n =−15（舍）， 所以 n =4．x 3x 4的展开式共有 5 项，中间项为第 3 项，则 T 3=C 42x 2−1 2x 2=24x −1．（2） 因为展开式中的系数有正有负，设系数绝对值最大的项为 t r +1，则 t r +1≥t r ,t r +1≥t r +2⇒C 8r ⋅38−r ≥C 8r−1⋅39−r C 8r ⋅38−r ≥C 8r +1⋅37−r .所以 54≤r ≤94，由 r ∈Z ，所以 r =2，所以第三项的系数绝对值最大，又第三项系数为正，所以系数最大的项为第三项，t 3=C 82 3a 6 −b 2=20412a 6b 2．19. （1） 从袋中连续取三次球，共有 43 种不同的方法，取到三个白球共有 23 种不同的方法，所以取球取三次都是白球的概率为2343=18．（2） 记事件 A ："分数之和为 4 分"，B ："取 2 红 2 黑"，C ："取 1 红 1 黑 2 白"，D "取 4 白"，则 A =B +C +D ，又 B ,C ,D 两两互斥，P B =C 42=6P C =C 41C 312244=48256P D =24=16所以 P A =P B +C +D =P B +P C +P D =6+48+16256=70256=35128．20. （1） 设圆心 M a ,0 ，由已知得点 M 到直线 l :8x −6y −3=0 的距离 d =∣8a−3∣10= 12− 32 2，解得 a =1 或 a =−14．又点 M 在直线 l 的下方，所以 8a −3>0，所以 a =1，故圆 M 的方程为 x −1 2+y 2=1． （2） 设 l AC :y =k 1x +t ，l BC ：y =k 2x +t +6，由 y =k 1x +t y =k 2x +t +6，得 x C =6k 1−k 2，又 ∣AB ∣=t +6−t =6，所以S △ABC =12×6×6∣k1−k 2∣=18∣k1−k 2∣.因为圆 M 与 AC 1 k 1+1=1，即 k 1=1−t 22t，同理 k 2=1− t +6 22 t +6，所以 k 1−k 2=3 t 2+6t +1 t 2+6t．则S =6 t 2+6t t 2+6t +1=6 1−1t 2+6t +1 .因为 −5≤t ≤−2，所以 t 2+6t +1= t +3 2−8∈ −8,−4 ，所以 S max =6 1+14 =152，S min =6 1+18 =274．21. （1） 当 x 为奇数时，\（ 0=x \bmod x\），t =x ，所以 g x =x ；当 x 为偶数时，x =2n x 0，其中 x 0 为奇数，\（ 0=x \bmod x_0 \），t =x 0，所以 g x =x 0． 若 s =2t ，t =2n x 0，其中 x 0 为奇数，s =2n +1x 0，g t =g s =x 0． 所以 g 1 +g 3 +g 5 +g 7 =1+3+5+7=16； g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =1+1+3+1=6；g 2 +g 4 +g 6 +g 8 = 1 +g 2 +g 3 +g 4 =6．（2） g 1 +g 3 +g 5 +⋯+g 2k −1 =1+3+5+⋯+ 2k −1 =k 2； 证明：g 2 +g 4 +g 6 +⋯+g 2n = 2×1 +g 2×2 +g 2×3 +⋯+g 2×2n−1=g 1 +g 2 +g 3 +⋯+g 2n−1 .（3） a 1=g 1 +g 2 =2，a n=g1+g2+g3+⋯+g2n=g1+g3+g5+⋯+g2n−1+g2+g4+g6+⋯+g2n=1+3+5+⋯+2n−1+g1+g2+g3+⋯+g2n−1=22n−2+a n−1=4n−1+a n−1.可得a n−a n−1=4n−1，a n−1−a n−2=4n−2，⋯a2−a1=4．上述n−1个式子相加得a n−a1=4+42+⋯+4n−1=44n−1−13，整理得a n=4n+23．所以b n=2n3a n−2=12n．b1+b2+b4+⋯+b2n−1=12+12+12+⋯+122n−1=12+12+116+116+⋯+1162n−3.当n>2时，1 162n−3<116n−3，所以b1+b2+b4+⋯+b2n−1<34+116+1162+⋯+116n−3=34+1−116n−315<34+115<78.。