控制工程基础 课本例题

例2-13 求)3()2(1)(3++=s s s s F 的拉氏变换。

解 32)2()2()(3213312311++++++++=s k s k s k s k s k s F 根据式（2-15）求得21)3(1)2)((22311-=+=+==-=s s s s s s F k41)3()32(])3(1[]3)2)(([2222212=++-=+=+=-=-=-=s s s s S s s s ds d s s F ds d k 83])3(1[!21)]2)(([!2122222213-=+=+=-=-=s s s s ds d s s F ds d k 241)3(3)2(1)(002=++====s s s s s s F k31)2(1)3)((333=+=+=-=s s s s F k s F(s)的部分分式为33/124/128/3)2(4/1)2(2/1F(s)23++++-+++-=s s s s s 分别查表可求得F(s)的拉式反变换为tt t t ee te e t s F L tf 32222131241834141)]([)(-----++-+-== 24131)23(41322++-+-=--t t e e t t例2-15试简化如图2-20a所示系统的框图，并求系统传递函数。

例3-1某单位反馈的位置控制系统，其开环传递函数为)1()(+=s s Ks G ，开环放大倍数K=4.（1）试确定该系统的特征参量n ω和ξ。

（2）试求出系统的最大的超调量和调试时间。

（3）若采用最佳阻尼比ξ=0.707，试确定系统的开环放大倍数K 值。

解 系统的闭环传递函数为Ks s Ks R s C ++=2)()( 标准形式为222)()(nn n s s R s C ωξωω++= （1）比较上面两式，由K n =2ω可得2==K n ω由12=n ζω，可得 25.021==nωζ（2）最大超调量有式（3-19）确定 47.0)1/(2==--πζζeM p %47%=p σ调整时间由式（3-21）确定s ts n63==ζω（允许误差为5%）（3）由于12=n ζω，ζω21=n ，求出5.0)707.021()21(222=⨯===ζωn K 由此题可以看出，若采用最佳阻尼比，必须降低系统的开环放大倍数例3-2某系统如图3-11所示，试求其无阻尼自然频率n ω，阻尼比ζ，超调量p M ，峰值时间p t ，调整时间s t (进入%5±的误差带)。

解 对于图3-11所示系统，首先对求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。

152.025502)450(10002.0)450(1001)450(100)()(2+⨯⨯+=++=⨯+++=s s s s s s s s s R s C s rad n /2.051==ω，2.0=ζ s e e M p 03.16222.012.01≈==----πζζπs t n p 03.162.012.0122≈-=-=πζωπs s t ns 752.02.033=⨯=≈ζω例3-3设单位反馈系统的开环传递函数为 212)(s s s G +=试求该系统的单位阶跃相应和单位脉冲相应。

解 欲求系统相应，可先求系统的闭环传递函数，然后求出输出变量的象函数，再进行拉式反变换即得相应的时域瞬态响应。

222)1(1212112)()(++=+++=s s s s s s s R s C （1）当单位阶跃输入时，r(t)=1(t),则ss R 1)(=所以 )(1)]e -(t[1c(t)-t t-e t ⨯+=（2）线性定常系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号的响应求导得出。

当单位脉冲输入时，dtt d t )](1[)(r(t)==ζ 则 )(1)2()(1)](1[c(t)t te e t dte te d t t t t ⨯-=⨯-+=----例3-4设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 0.6)s(s 10.4s G(s)++=试求系统对单位阶跃输入的响应，并求出其上升时间和最大超调量。

解 求解系统的单位阶跃响应可用例3-3的思路。

由于求出的系统传递函数不是典型的二阶振荡环节，其分子存在微分作用，因此采用公式求其上升时间和最大超调量将引起较大的误差，故宜按定义求其值。

114.0)6.0(14.01)6.0(14.0)()(2+++=+++++=s s s s s s s s s s R s C 当r （t ）=1（t ）时，ss R 1)(=，则 222)23()21()23(153)21(1114.0)()()()(++++-=+++==s s s s s s s R s R s C s C 进行拉式反变换，得)(1)23sin 15323(cos)(1)(2t t t et t c t⨯+-=- 求其上升时间，即求首次达到稳态值的时间，则有 1)23sin 15323(cos1)(2⨯+-=-r r t r t t et c r023sin 15323cos=+r r t t 31523tan-=r t 解之，得 s t r 946.1≈最大超调量为最大峰值与稳态值之差，而峰值处导数为零。

令,0)(=dtt dc 得,156.3s t p =则 18.01)]156.323sin(153)156.323[cos(11)(2156.3≈-⨯+⨯-=-=-e t c M p p例3-10 某单位的电液反馈伺服系统，其开环传递函数为 )10017.0)(1007.0)(12.0)(104.0()14.0(17)(2+++++=s s s s s s G 试分别求出该系统对单位阶跃、等速、等加速输入时的稳态误差。

解 该系统的稳态误差系数为17)()()(2lim 0lim 0lim0==∞==∞==→→→s G s Ka s sG Kv s G Kp s s s所以该系统对三种典型输入的稳态误差分别为0)1/(1 =+=p ssp K e 位置误差 速度误差 v ssv K e /1= 加速度误差 059.0/1==a ssa K e例5-1 某系统传递函数为237+s ，当输入为)4532sin(71 +t 时，试求出其稳态输出。

解 当给线性系统输入正弦函数信号时，系统将输出一个与输入同频率的正弦函数信号，其输出的幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性。

已知 237)(+=s s G 则 2)(37)(+=ωωj j G)23arctan()(497)(2ωωϕωω-=+=A又有 )4532sin(71)( +=t t r 则424)32(9771)32(712=+⋅=A045)3223arctan(45)3/2(=+⨯-=+ϕ所以 t t c 32sin 42)(=例5-3 作)1025.0)(25()5.025.0(24)(+++=s s s s G 的bode 图。

解 (1) 将G(s)化为由基本环节组成的形式 )1025.0)(15.2()15.0(24)(+++=s s s s G由上式可见，系统由比例环节（K=3）、一阶微分环节和两个惯性环节串联而成。

(2) 令ωj s =，得系统的频率特性 )1025.0)(15.2()15.0(24)(+++=ωωωωj j j j G(3) 求各环节的转角频率，作各环节的对数幅频特性渐近线，如图5-18所示。

（1）3)(1=ωj G dB L 5.93lg 20)(1==ω （2）ωω5.01)(2j j G += s r a d T /25.012==ω，高频渐近线的频率为20dB/dec 。

（3） ωω5.211)(3j j G +=s r a d T /4.05.213==ω，高频渐近线的频率为dec dB /20-。

（4）ωω025.011)(4j j G +=,/40025.014s rad T ==ω高频渐近线的频率为-20dB/dec 。

例5-9 某一液压控制系统，其开环传递函数为 )122()()(2++=s s s K s H s G nnnωζω式中 n ω：液压系统的固有频率； n ζ：液压系统阻尼。

通常液压系统阻尼比较小，试分析该闭环系统的相对稳定性。

解 因n ζ小，其开环奈氏图和Bode 图如图5-36所示。

由图可见，该系统的相角裕度γ较大(因穿越频率c ω较低）。

而幅值裕度K 。

( dB)较小 （因n ζ小）。

若仅以γ来评价该系统的相对稳定性，则会片面得出该系统相对稳定性较好的 结论，而实际上系统的稳定程度不高。

故必两种稳定裕度指标兼用。

(2)对开环稳定的系统而言，当G(ωj ) H(ωj )曲线不包围临界点（-1，j0），亦即其相 角裕度γ和幅值裕度g K (dB)为正值。

如图5-36a 、5-36b 所示，系统稳定。

对开环不稳定的系统而言，只有当G(ωj )H(ωj )曲线包围临界点（-1，j0）时系统一可能稳定，故这类系统，若闭环稳定，其幅值裕度和相角裕度可能为正值，也可能为负值，这要选取离( -l ，j0)点最近的裕度值。

例如对图5-37所示系统，根据奈氏判据可知其开环不稳定而闭环稳定，该系统4 的幅值裕度1<g K ，(l l/K g >)，即dB) (K g 为负值，而相角裕度γ此时为正值。

（3）对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角裕度60~30 =γ，即意味着幅值穿越频率c ω处，对数幅值曲线)(ωL 的斜率应大于40dB/dec -，通常要求为20dB/dec -，如果此处斜率40dB/dec -，则即使系统能够稳定，相角裕度也偏小。

如果在c ω处的对数幅值曲线斜率降至0dB/dec 6-，系统就不稳定了。

由此可见，一般I 型系统稳定性好，Ⅱ型系统稳定性较差，！曩曩及其以上系统就难于稳定了。

例5-10 设控制系统的开环传递函数为 )5)(1(G(s)H(s)++=s s s k试求：k=10和k=100时的相角裕度γ和幅值裕度(dB)K g 。

． 解 1）将G(s)H(s)化为由基本环节组成的形式： )15)(1(1)5s 1)(s(s k/5G(s)H(s)++=++=ss s K式中，系统开环放大系数5kK =。

当k=10时，K=2；当k=100时，K=20。

2) 求相角裕度γ和幅值裕度)(dB K g 的关键是要求出开环系统的剪切频率c ω和相角穿越g ω。

这里介绍四种求解方法。

解法一：a ）求剪切频率c ω⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=ωωωωωωω52.0lg 2051lg 201lg 20)(32K K K L 由0)(=c L ω解得 ⎩⎨⎧===20/202/2K srad K srad c ω，进而求得相角裕度γ⎩⎨⎧=-==---=+=srad srad c c c c c /202.29/25.192.0arctan arctan 90180)(180ωωωωωϕγb ）求相角穿越频率g ω，由,180)(-=g ωϕ即1802.0arctan arctan 90)(-=---=g g g ωωωϕ 得到，。