7、小升初分班奥数工程应用题

精锐 讲义编号： 学员编号: 年 级：小六 课时数：3 学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师： 课 题 工程应用题综合 授课时间： 备课时间：

教学目标 1. 明确题目中的工作总量、工作效率、和工作时间具体指向；

2. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的转换。 教学内容

【专题知识点概述】 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。

一． 工程问题的基本概念 定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变， 即：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率； 在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=51，即为所求，同时51也是甲完成这项工作的速度，所以51就是这道题中甲的工作效率。 在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。 二、解决工程问题的基本思路 (1) 工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。

(2) 先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。

(3) 求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。

三、划分工程问题的基本题型 (1) 水管问题：从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

(2) 工资问题：从数学本质解法来看，工资问题与工程问题是一样的，抓住每个人发放的工资与发放总工资之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。

(3) 牛吃草问题：从数学本质解法来看，牛吃草问题与工程问题是一样的，抓住牛头数与牛吃草的总数及吃的天数之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。

(4) 周期问题：从数学本质解法来看，同上。 【授课批注】 要想解决好工程问题，一定要求学生充分理解掌握多个单位“1”转换为统一单位“1”的方法，这是用算术方法解决分数应用题的基本思路也是重点难点，教师应该在授课过程中有耐心的将转换过程一一展示给学生。

【习题精讲】 【例1】（难度等级 ※） 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【分析与解】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。 如果乙独做，所需时间是250753天 如果甲独做，所需时间是23030503天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 【例2】（难度等级 ※※） 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 【分析与解】 先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率的20/15=2/3(倍)甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做421283天 因此，乙还要做28+28= 56 （天） 答：乙还需要做 56天. 【举一反三】（难度等级 ※※） 一项工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后，乙接着做，还需几小时完成？ 【分析与解】 同一件工作，甲先做6小时，乙接着做12小时，或者甲先做8小时，乙接着做6小时都可完成，比较发现甲多做2个小时，乙少做了6小时，所以甲2小时的工作量乙6小时的工作量。即甲1小时的工作量乙3小时的工作量。 若甲单独做需要612310（小时） 若乙单独做需要631230（小时） 所以甲先做3小时后，乙接着做: (103)321（小时） 【例3】（难度等级 ※※※） 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 【分析与解】 甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量111382103016余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是1311(1)()11510302+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天. 【举一反三】（难度等级 ※※※） 一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲、乙、丙三个合作完成此工程。在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天？

【例4】（难度等级 ※※※） 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 【分析与解】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成136，甲丙两人合作每天完成160，乙丙两人合作每天完成145，甲、乙、丙三人合作每天完成1116()2364560180减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成6111804590，甲独做需要119090天 答：甲一人独做需要90天完成.

【举一反三】（难度等级 ※※※） 一项工程，乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成。已知乙队完

成的是甲队完成的31，丙队完成的是乙队完成的2倍。甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？

【例5】（难度等级 ※※※） 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么五个小队一起合作需多少天才能完成这项工程？ 【分析与解】 这道题采用列表法，题中所给的数字都是工作时间，所以先转换成工作效率。 第一小队 第二小队 第三小队 第四小队 第五小队 工作效率和 √ √ √ 121

121

√ √ √ 71

71

√ √ √ 81

81

√ √ √ 421

421

根据观察，第一小队与第三小队出现三次，第二、四、五小队只出现两次，我们应将五个小队构造成出现次数一样多的情况，然后求出五个小队的效率和，然后对应求出工作时间。 因为第二、四、五小队少出现一次，而且在已知条件中，我们还能求出这三个队的工效和，所以可以让五个小队都出现三次。

五个小队的效率和：613814218171121 所以五个小队完成这项工程需：6611（天） 【例6】（难度等级 ※※※） 有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成? 【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为11111012154 6天完成的工程量为116142 ，而实际6天完成了的工程量为1，即 甲队少做了12，甲队完成12，需115210(天)，所以 甲队只修了1天，即 当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天． 【举一反三】（难度等级 ※※※） （2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？

【例7】（难度等级 ※※※） 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 【分析与解】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙