数学分析 高等数学 微积分 英语课件 上海交通大学Chapter5b
《高等数学B》课程教学大纲

合重要作用,了解本学科中学教学领域的一些新研究成果和教学方法;掌握教育学、心理学和数学教育的基本理论,熟悉中小学教学技能以及教育法规;学习人类文明进步与文化发展的通识知识。
具有整合数学、教育技术、教育学、心理学及本学科的知识和教育技术并进行知识与技能重构的能力。
2、32.4教学能力具备良好的数学素养,深入理解高等数学并掌握的基本理论和方法,并能获得较强的逻辑推理能力和抽象思维能力。
初步掌握高等数学的基本思想方法,具有分析问题、解决实际问题等基本能力;具有较强的独立学习能力和创新思维方式,懂得教育教学基本规律,掌握现代教育教学、心理学的基本理论。
课程学习目标1、2、3三、课程各要素与课程学习目标的对应关系及达成度分析(一)课程教学内容、教学目标、学时分配与课程学习目标的对应关系第一章函数、极限与连续(可支撑课程学习目标1、2、3)1 . 教学目的和要求掌握集合及其运算、邻域、基本初等函数及初等函数的基本概念;数列、函数极限的基本概念、求极限的基本方法及极限的性质及其证明;两个重要极限的应用;无穷大与无穷小的基本概念及其关系、无穷小阶的比较;函数的连续性及其性质。
2 . 教学内容第1.1节:集合与函数第1.2节:数列极限的定义与计算第1.3节:函数极限的定义与计算第1.4节:极限性质第1.5节:两个重要极限第1.6节:无穷小与无穷大第1.7节:函数的连续性及其性质3 . 重点:数列极限的概念及性质,函数极限的概念与性质,函数极限与数列极限的关系,极限存在准则两个重要极限和闭区间上连续函数的性质4 . 难点:难点是数列极限与函数极限的概念。
5 . 参考习题:习题1-1:第1(4)、2、3、4题(3、5、6)、6(2、5-8)、9-11、14-15题习题1-2:第2(2-10)、3题习题1-3:第1(3、5、6、8-14)、2-4题习题1-5:第1-3(1)题习题1-6:第2-4题习题1-7:第1-12题6 . 学时:20学时第二章一元函数微分学及其应用(可支撑课程学习目标1、2、3)1 . 教学目的和要求掌握导数的基本概念及基本求导公式;求导数、高阶导数的方法与技巧;掌握微分的基本概念及微分的求法;掌握微分中值定理的内容、证明方法及其应用;熟练掌握函数单调性的判别方法、求函数的单调区间与极值、凹凸区间与拐点,求函数的最值、曲率,并可以解决一些简单的实际问题2 . 教学内容第2.1节:导数的概念及基本求导公式第2.2节:导数的计算法则第2.3节:微分的概念应用第2.4节:微分中值定理及其应用第2.6节:函数的性态与图形第2.7节:微分学的实际应用3.重点:导数的定义,函数的求导法则及函数的微分, 微分中值定理,洛必达法则,函数的单调性与凹凸性,函数的极值与最值;4.难点:复合函数的求导法则,反函数及参数方程求高阶导数,微分中值定理及其应用,函数图形的描绘。
托马斯微积分课件5.3 Lengths of Plane Curves

5.1 Volumes by Slicing and Rotation About an Axis 5.2 Modeling Volume Using Cylindrical Shells 5.3 Lengths of Plane Curves
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Supposed that a curve can be described by the parametric equations
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Exercises
P420 3, 15, 16.
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5.4 Springs, Pumping and Lifting 5.5 Fluid Forces
5.6 Moments and Centers of Mass
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5.3
Lengths of Plane Curves
(平面曲线长度)
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A smooth curve (光滑曲线)
lim Lk lim 1 f ck xk P 0
2
n
n
k 1
P 0
k 1
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Solution.
上海立信会计金融高等数学 b-微积分

高校数学课程是大学教育中不可或缺的一部分,而高等数学 b-微积分作为数学专业的基础课程之一,对于培养学生的数学思维和分析能力具有重要意义。
作为我国知名的高校之一,上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程在教学内容、教学方法以及学习效果等方面都具有一定的特色和优势。
一、教学内容全面上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程的教学内容全面,包括微积分的基本概念、导数与微分、积分与微分方程等内容,涵盖了微积分的各个重要知识点,并且教学内容与数学专业的发展趋势和实际应用密切相关,有助于学生全面系统地掌握微积分的基础知识和方法,为将来深入学习数学以及从事相关领域的工作打下坚实的基础。
二、教学方法灵活多样在教学方法上,上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程注重灵活多样的教学方式。
除了传统的课堂教学外,还注重引导学生进行实际应用和实验,通过案例分析和解决实际问题的方式,深化学生对微积分理论知识的理解和应用能力。
教师会根据学生的学习特点和需求,采用不同的教学方法和手段,例如小组讨论、课外辅导等,使学生在思维方式和学习方法上得到全面提高。
三、学习效果显著上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程在学习效果上表现显著。
通过对学生的学习情况进行全面的跟踪和评估,教师及时发现学生的学习困难和问题,采取相应的措施进行指导和辅导,使学生的学习效果得到进一步提高。
学校还注重对学生的认知能力、动手能力和创新能力的培养,使学生在学习微积分的过程中获得综合能力的提升,为其未来的学习和发展奠定坚实基础。
四、教学团队实力雄厚上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程的教学团队实力雄厚,拥有一支高素质的教师队伍。
教师们既具有扎实的数学理论基础,又具备丰富的教学经验和实践能力,能够根据学生的学习特点和需求,灵活运用教学手段和方法,使得教学过程生动有趣,引导学生主动参与学习,达到教学的最佳效果。
在总体上看,上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程具有教学内容全面、教学方法灵活多样、学习效果显著和教学团队实力雄厚等优点。
微积分讲义Chap 1 Completeness axiom of R

Chapter 1 The real number system1.3. Completeness axiom of R1.16 DefinitionLet R E ⊆ and φ≠E .(i).The set E is said to be bounded above if there is an R M ∈ s.t M a ≤ for allE a ∈.(ii).A number M is called an upper bound of the set E if M a ≤ for all E a ∈. (iii).A number S is called a supremum of the set E if S satisfies the followingconditions(1) if E a S a ∈∀≤,,(2) if M is an upper bound of E then M S ≤.Remark The supremum is also called the least upper bound.1.17: ExampleIf E=[0,1], prove that 1 is a supremum of E .Proof.1. ]1,0[,1=∈∀≤E a a .2. let M be an upper boundthen M a ≤ for all ]1,0[∈a])1,0[1(1∈≤⇒ M .We derive the result.1.18: RemarkIf a set has one upper bound, it has infinitely many upper boundsProof:. Let E be a subset of R .Let M a ≤ for all E a ∈.Then M is an upper bound.Let R b b ∈>,0 then M+b is also an upper bound.So, E has infinitely many upper bounds.1.19 . Theorem. Let E be a nonempty subset of R . Then the least upper bound of E is unique if it exists.Proof.Suppose that 21&s s are the least upper bounds of E.Then 21&s s are upper bounds of E .1221&s s s s ≤≤∴21s s =∴.NotationThe supremum is also called least upper bound . We use sup E to denote the supremum of nonempty set E .1.20. Theorem [Approximation property]E E R E sup and ,,φ≠⊆exists. Then E a ∈>∀an is there ,0ε s.t E a E sup sup ≤<-ε.Proof:. Suppose the conclusion is false. There is an 0>ε such that.,sup E a E a ∈∀-≤ε.ε-∴E sup is an upper bound.→←≥-⇒E E sup sup ε0>εE a ∈∃∴ s.t E a E sup sup ≤<-ε1.21. TheoremIf N E ⊆ has a supremum, then E E ∈supProof.Let supE=s.By Approximation property, there E x ∈∃0 s.t s x s ≤<-01.If s x =0 then E E ∈sup is obvious.If s x s <<-01, thenE x ∈∃1 s.t 001100x s x x s x x -≤-<⇒≤<.1. 1,0101≥-⇒∈x x N x x .2. 1)1(1,0101=--<-⇒->≥s s x x s x x s .It is a contradiction.E E ∈∴sup● [Complete axiom of R ]Every nonempty subset E of R that is bounded above,then E has the least upper bound. .1.22 :[Archimedean Principle]N n b a R b a ∈∃⇒>∈0,,, s.t b<na.Proof:1. If b<a , then take n=1.2. If a<b , let };{b ka N k E ≤∈=.φ≠∴∈E E ,1 .⇒∈∀≤E k ab k ,E is bounded above. By Completeness of R , sup E exists.ba E E E E E >+∴∉+∴∈⇒)1(sup 1sup )21.1 Theorem by (suptake n=supE+11.23: Example.Let ,.......}41,21,1{=A and ,...}87,43,21{=B prove that supA=supB=1Proof.1. 1{;0}2n A n N or n =∈= 11,,0,1,2,..2n x x n ≥==. 1∴ is an upper bound.Let M be another bound..1sup 1210=∴=≥∴A M 2. };211{N n B n ∈-= N n n∈∀-≥,2111 1∴ is an upper bound of B.Let M be an upper bound of BTo show 1≥M .Suppose not 011>-⇒<⇒M MBy Archimedean principle, there exists N n ∈ such that M n-<11, M n-<∃⇒121 for some N n ∈. →←>-⇒-->-=-∴M M n n n n n 212)1(1212211 M is an upper bound. 1≥∴M1sup =∴B● [Well-Order Principle]⇒≠⊆φE N E ,E has a least element(ie.E a ∈∃ s.t E x x a ∈∀≤,)1.24. Theorem (Density of rational)Let R b a ∈, satisfy a<b , then there is a rationalnumber c s.t a<c<b.Proof:Let N n a b n∈-<,1(by Archimedean Principle). 1. If b>0, let }.;{nk b N k E ≤∈= By Archimedean Principle φ≠⇒E .By Well-Order Principle ⇒E has a least element, says 0k . .)..(1:0b n m e i E m k m <∉⇒-=∴ Let nm q =. We must show that a<q<b.q<b is obvious, now we show that a<q....11)(00b q a a q q n k n n k a b b a <<∴>∴=-=-<--=2. If b<0, then0>∃k , k is a natural number s.t b+k>0.Q c ∈∃∴ s.t a+k<c<b+kQk c Q c bk c a ∈-⇒∈<-<∴ie. There is a rational number between a & b.1.27. Definition.φ≠⊆E R E ,.1. s is called a lower bound of E if E x s x ∈∀≥,.In the case, E is called bounded below2.t is called the greatest lower bound of Eif1.Extx∈∀≥,,2. If M is a lower bound of E then tM≤.3.E is bounded if ExMx∈∀≤,for some M>0. (i.e. E is bounded above and below.)●Let E be a set of R. We define };{ExxE∈-=-.1.28. Theoremφ≠⊆ERE,.1.sup E exists ⇔inf(-E) existsin fact supE= -inf(-E)2.inf E exists⇔sup(-E) existsin fact inf E= -sup(-E)Proof:1.""⇒supE exists.Now we show that –supE=inf(-E).Show that 1.-sup E is a lower bound of –E.2. if s is a lower bound of EsE sup-≤⇒-.1.Esupis an upper bound of EExExExEx∈∀-≥-⇒∈∀≤∴,sup,supEsup-∴is a lower bound of –E2. Suppose that s is a lower bound of -ESuppose not EsEs supsup<-⇒->⇒on the other hands xE xs x-≤∴∈∀≥-,Hence, -s is a upper bound of E→←By 1.& 2, EEE sup)inf(&)inf(-=-∃-.The proof of converse is similar.Remark. The largest lower bound is also called infimum. Remark. The completeness axiom of R is equivalent to“ Every nonempty, bounded below subset of R has the infimum”.1.29. Theorem.inf inf ,sup sup ,,A B A B B A R B A ≤≥⇒≠⊆⊆φif B B inf and sup exist.Hence, B A A B sup sup inf inf ≤≤≤Proof:1. suppose sup B exists.,sup .,sup A x B x B A B x B x ∈∀≤∴⊆∈∀≤∴A ∴ is bounded above & supB is an upper bound of ABy complete axiom of R, .sup sup &sup B A A ≤∃2. S ppose that inf B exists..,inf ,inf A x B x B A Bx B x ∈∀≥∴⊆∈∀≥∴A ∴ is bounded below & infB is an lower bound of A.By complete axiom of R, B A A inf inf &:inf ≥∃.Def:sup ,inf φφ=-∞=∞1.4 Functions, countability and the algebra of sets.DefinitionLet A & B be two sets of R.A function f is a relation between A &B s.t f assigns each element x of A to aunique By∈Definition:f→ABf is called 1-1 if )x≠y⇒≠f(yx)(fDef::f→BAf is called onto if A∈∀,s.t f(x)=y∃xBy∈Definition 1.34:Let E be s a set of R.1. E is said be finite if φ&∃}...3,2,1{∈.....},2,1{:=n→E or EnnNfs.t f is 1-1 & onto.2. E is called countably infinite if E∃:s.t f is 1-1 & onto.Nf→3. E is called countable if E is finite or countably infinite.4. E is called uncountable if E is not countable1.35. Theorem .The open interval (0,1) is uncountablePf:Suppose (0,1) is countable.Then there is a list for (0,1) says.....................................................................0............................................................................0.........0.........0321333231323222121312111n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ==== Let .......0321ααα=x where {=k α10==k k αα .1f ,1if ≠=kk kk a i a kk k a ≠∴α x ∴ is not in this list →← (0,1) is uncountable1.37. TheoremB B A ,⊆ is countable A ⇒ is countable1.38 Theoremn A A A ,......,21 are countable. },:{:1N j A x x A A E j j j N j j∈∈===∞=∈ .If j A is countable for E N j ⇒∈ is countable.。
(完整)上海交通大学年数学分析

上海交通大学2007年数学分析一、(每小题6分,共24分)判断下列命题的真伪,正确的命题请简要证明,错误的命题举出反例.1、若{}n x 为有界数列,记{}sup n x β=,则{}n x 必有子列{}k n x ,使得lim k n k x β→∞=. 2、若函数()f x 和()g x 在[),a +∞上一致连续,则()()f x g x 在[),a +∞上一致连续.3、若函数列{}()n f x 在区间(],a c 和[),c b 上一致收敛,那么{}()n f x 在(),a b 上一致收敛。
4、若级数1n n a ∞=∑绝对收敛,而lim 1n n b →∞=,则1n n n a b ∞=∑绝对收敛.二、(每小题8分,共64分)计算下列各题。
1、计算极限2sin sin sin lim()121n n n n n n n n πππ→∞++++++. 2、计算极限112112ln(1sin(1))lim()11x x x e x x e -→-++-+-+。
3、设221()arctan 1x f x x+=-,求高阶导数()()n f x ,其中n N ∈. 4、设广义积分20sin()px I dx x +∞=⎰(1p >-)。
试问p 为何值时广义积分绝对收敛,p 为何值时广义积分条件收敛?5、设()f x 在闭区间[]0,1上连续且恒正,20()n n a x f x dx =⎰。
求函数项级数0n n n x a ∞=∑的收敛域。
6、设二元函数222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧+≠⎪+=⎨⎪+≠⎩,0α>.问α为何值时函数(,)f x y 在点(0,0)处可微?.7、计算三重积分3()arctan I y z zdxdydz Ω=-⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面2221()2x y z R +-=,0z =,z h =所围成的立体。
数学分析(一):一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.9.1) Taylor展开和近似计算

一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。
上海财经大学英语高数课件05
Example 2: Find the area under the parabola y=x2+1 from 0 to 2.
Solution Since y=x2+1 is continuous, the limit (1) must exist for all possible partition P of the interval [a, b] as long as ||P|| 0. To simplify things let us take a regular partition. Then the partition points are x0=0, x1=2/n, x2=4/n, … , xi=2i/n, … , xn=2n/n=2
a
f ( x)dx lim
|| P|| 0
f ( x i )xi i 1
n
if this limit exists. If the limit does exist, then f is called integrable on the interval [a, b]. Note 1:
So the norm of P is
||P||=2/n Let us choose the point xi to be the right-hand endpoint:
xi = xi=2i/n
By definition, the area is
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i 2 14 A lim f ( xi )xi lim f ( 2 ) n n 3 || P|| 0 i 1 n i 1
sin b
/section 5.2 end
上交大高等数学
上交大高等数学引言高等数学是大学数学教育中的一门重要课程,而上海交通大学(以下简称上交大)的高等数学课程则是学生理工类专业不可或缺的一部分。
本文旨在介绍上交大高等数学课程的主要内容、教学方法以及学习资源,以便学生更好地了解和应对该门课程。
课程概述上交大的高等数学课程主要分为两个学期,分别为上学期的高等数学A和下学期的高等数学B。
这门课程是一门基础课程,为学生提供了数学思维和分析问题的基本方法。
课程的主要内容包括微积分的基本概念和基本运算、不定积分与定积分、多元函数微分学、多元函数积分学等。
教学方法上交大高等数学课程注重理论与实践相结合的教学方法,以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力为目标。
在教学中,教师会通过讲解、示范、练习和实例分析等方式,引导学生掌握数学知识和技能。
此外,学生也会参与小组讨论和课堂演示,以培养团队合作和表达能力。
学习资源为了帮助学生更好地学习高等数学,上交大提供了丰富的学习资源。
首先,学生可以获得教师精心编写的教材和讲义,这些教材详细介绍了每个章节的知识点和解题技巧。
其次,学生还可以参加教师组织的习题讲解课程或者预习课程,以巩固所学内容。
此外,上交大还建立了一个在线学习平台,学生可以在上面找到课程相关的视频教程、习题和答案等资源。
学习建议对于上交大高等数学课程,以下是一些建议,帮助学生更好地学习和掌握该门课程:1.当及时复习与巩固:高等数学是一门理论与实践相结合的课程,所以学生需要在学习新知识后及时复习,并通过练习题来巩固所学内容。
2.积极参与课堂讨论:课堂讨论是学生与教师和同学们互动交流的重要机会,可以帮助学生更好地理解和应用所学知识。
3.使用学习资源:上交大提供的学习资源是学生学习高等数学的重要辅助手段,可以在学习过程中发挥重要作用,学生应积极利用。
4.创造性解决问题:高等数学课程强调培养学生的解决实际问题的能力,学生应该尝试从多个角度思考问题,寻找创造性的解决方法。
高职数学课件 第5章定积分
i1
f (i )xi.
其中, 称为积分号,x称为积分变量, f (x)称为被积
函数, f (x)dx称为积分表达式,[a,b]称为积分区间,
a和b分别称为积分上限和下限.
关于定积分的定义的几点说明:
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而 与积分变量的记法无关,即
b
b
b
a f (x)d x a f (t)dt a f (u)du
所示.
求曲边梯形的面积A,可以利用微积分“以直代曲”的 极限方法解决(见上图(右) ),方法归结为以下三步: (1)任意分割
在区间[a,b]内任意插入n-1个点:
a x0 x1 xn1 xn b.
即把区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度
记为xi xi xi1 ,(i 1,2, ,n).过各点x作轴的垂线,
(4) 2 (2x 1)d x .
5.2 定积分的简单性质
5.2 定积分的简单性质
关于定积分的两点规定:
a
(1) f (x)d x 0. a
b
a
(2) f (x)d x f (x)d x.
a
b
下面各性质的前提条件:设 f (x)和 g (x)都是闭区间
[a,b]上的可积函数,k为常数.
1 (1 1)(2 1). 6n n
因为 1 ,所以当时 0 ,n .于是,
n
1 x2 d x 0
lim 0
n i1
f
(i )xi
lim 1 (1 n 6
1)(2 n
1) n
1 3
问题,后面的牛顿-莱布尼兹公式很好地解决了这个 问题.
5.1.3 定积分的几何意义
由上面的引例可知,在区间上[a,b],当 f (x) 0时 ,
微积分第五版
不定积分在物理学中也有广泛的 应用,例如对物体的运动状态进 行描述、计算物体的能量和动量 等
不定积分在经济中也有广泛的应 用,例如对市场需求和价格变化 进行分析、计算成本和利润等
06
第五部分:定积分
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种形式,它是在一 个有界区间上对一个函数进行积分, 得到的是一个常数。
08
第七部分:微分方程初步
第七部分:微分方程初步
微分方程的基本概念
• 微分方程的表达式:描述变量之间的变化关系 • 初值条件:确定微分方程的初始状态 • 边界条件:确定微分方程的边界条件
一阶微分方程
• 简单的一阶微分方程: dy/dx = f(x) • 初始条件:y(x0) = y0 • 解法:分离变量法、积分法、图解法
01
02
导数在物理中的应用
瞬时速度:根据物体运动的加速度和时间间 隔可以计算物体的瞬时速度。
03
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瞬时加速度:根据物体运动的瞬时速度和时 间间隔可以计算物体的瞬时加速度。
瞬时功率:根据物体运动时的瞬时速度和阻 力可以计算瞬时功率。
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瞬时速度场:根据物体运动时的瞬时速度和 时间间隔可以计算瞬时速度场。
导数在经济学中的应用
01
02
03
04
05
导数的经济学应用
边际分析:利用导数分析 函数的一阶导数或二阶导 数,可以分析函数边际效 应的变化规律。
最优化问题:利用导数可 以求解函数的极值点,从 而解决最优化问题。
弹性分析:利用导数可以 分析函数的弹性性质,研 究自变量变化对因变量的 影响程度。
经济学中的优化问题:经 济学中的优化问题通常涉 及到约束条件下的极值点 求解,可以利用导数将问 题转化为求解函数极值点 的问题。
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there exists a number [a,b] such that
b
b
a f (x)g(x)dx f ( )a g(x)dx.
Proof. Let M max f (x), m min f (x). Since g(x) 0,
b
x[a,b]
x[a,b]
we have a g(x)dx 0 and mg(x) f (x)g(x) Mg(x).
h(x) d
b
f (t)dt f (x).
dx x
The most general form for a definite integral with varying
b(x)
limits is (x) f (t)dt. To investigate its properties, a(x)
between a and b, the definite integral defines a function:
x
g(x) a f (t)dt.
Ex. Find a formula for the definite integral with varying
x
limit g(x) a tdt.
0
Sol. d (1)
x2 t 2etdt 2x5ex2 8x2e2x.
dx 2x
(2) d x x(5 t)2 dt d x x (5 t)2 dt x (5 t)2 dt x(5 x)2.
dx 0
dx 0
0
dy
Ex. Find if
y etdt
x
cos tdt 1.
f (x) 2x 3x2 .
2
2 1 x2 x3
Letting f (x) 0, we get the only critical number x 2 .
3
By the closed interval method, we find the range for f(x):
69
69 b
1
9
dx 0
(2) Let u x, by chain rule,
d x cost2dt d u cost2dt du 1 cos x.
dx 0
du 0
dx 2 x
(3) d 1 ln(1 t2 )dt d x2 ln(1 t2 )dt 2x ln(1 x4 ).
dx x2
dx 1
Theorem(product integrability) Suppose f and g are integrable on [a,b], then f g is integrable on [a,b].
Properties of definite integral
Theorem(additivity with respect to intervals)
Therefore, g(x) lim g lim f ( ) f (x).
x x0
x0
Definite integral with varying limits
The definite integral with varying lower limit is
b
x
h(x) x f (t)dt, Since h(x) b f (t)dt, we have
b
b
2. If f (x) g(x) for a x b, then a f (x)dx a g(x)dx.
3. If m f (x) M fora x b, then
b
m(b a) a f (x)dx M (b a).
b
b
4. f (x)dx | f (x) | dx.
Function defined by definite integrals with varying limit
Suppose f is integrable on [a,b]. For any given x [a,b],
x
the definite integral a f (t)dt is a number. Letting x vary
x
g(x) a f (t)dt
is continuous on [a,b].
The fundamental theorem of calculus (I)
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1 If f is
continuous on [a,b], then the definite integral with varying
dx 0
0
Sol.
d
dx
y etdt
0
x
cos tdt
0
0
dy dx
ey
cos
x
0
dy dx
cos ey
x
.
Example
x2
Ex. Find the limit
Sol. By interpretation of definite integral, we have
x
1
x2 a2
g(x) a tdt 2 (a x)(x a) 2 .
Properties of definite integral with varying limit
Theorem(continuity) If f is integrable on [a,b], then the definite integral with varying limit
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx.
Remark In the above property, c can be any number, not
necessarily between a and b.
When the upper limit is less than the lower limit in the
x
limit g(x) a f (t)dt is differentiable on [a,b] and
g(x) d
x
f (t)dt f (x).
dx a
xx
x
xx
Proof g f (t)dt f (t)dt f (t)dt f ( )x
a
a
x
is between x andx x, as x 0, x,and f ( ) f (x).
Hence
b
b
b
m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx,
x)g(x)dx
or m a b
M . By intermediate value theorem
a g(x)dx
Mean value theorems for integrals
First mean value theorem for integrals Let f C[a,b],
definite integral is the area of the region under the curve
from 0 to a. From the graph, we see the region is a quarter
disk with radius a and centered origin. Therefore,
Ex. Find derivatives of the following functions
(1)
x t2 sin tdt, (2)
0
x cos t2dt,
0
(3)
1 x2
ln(1 t2 )dt,
(4)
x2 et2 dt.
sin x
d
Sol. (1)
x t2 sin tdt x2 sin x.
a a2 x2 dx 1 a2.
0
4
Example
Ex. By interpretation of definite integral, find
5
2
(1)
3
sin
xdx
(2) 2xdx. 1
3 5
Sol. (1)
3
sin
xdx
0
3
2
(2) 1 2xdx 3
Properties of definite integral
Theorem(linearity of integral) Suppose f and g are
integrable on [a,b] and , are constants, then f g
is integrable on [a,b] and
b
b
b
a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx.
By the chain rule, we have the formula
b(x)
a f (t)dt f (b(x)) b(x)
b(x)
b(x)
a(x)
f (t)dt f (t)dt f (t)dt
a(x)
a
a
f (b(x)) b(x) f (a(x)) a(x)
Example
we can write it into the sum of two definite integrals with
varying upper limit
b(x)
b(x)
a(x)
(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt.
a(x)
a
a
Definite integral with varying limits