24.1.4圆周角PPT

C
O A B
求：∠ACB= 2、已知∠AOB＝120°， 求： ∠ACB =
3、已知∠ACD＝30°，
O A
B
C O D A
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B
求：∠ACB =
O
BБайду номын сангаас
A
C
思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等． 因为，在同圆或等圆中， 如果圆周角相等，那么它所 对的圆心角也相等，因此它 所对的弧也相等．
A
O
·
C B
1 BAC BOC 2
D
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半．
归纳
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所对 圆心角的一半。
A A
A
O
O
C B C B
O
B
C
∠A =
1 1/2 ∠ BOC 或 2
∠BOC=2∠A
C
1、已知∠AOB＝75°，
填空：1.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=_____ 圆的内接梯形一定是＿＿梯形。
A
D O
C
B
2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______
A B 80
D E
A
100
一、复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、 弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这 个结论是什么？ B C O
.
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距
有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别
相等。 3.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
D
求证：CE∥DF
C E O1
A 1 O 2 B F
连结AB ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E ∠E＋∠F＝180°
C
A 1 D
CE∥DF
O 1
E B
O 2
F
内容小结：
(1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
D E C B
O
B
C
A
A
O
D E
F
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
∴∠A＋∠ C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? B 能用圆周角定理证明你的结论吗？
D C
C
O
B
3.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______
4.四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证：四边形ABCD 是矩形。 A
O
B
D
C
• .如图，AB是⊙O的直径，∠A＝ 80°．求∠ABC的度数．
二.探究同弧所对圆周角与圆心角的关系
如图，在⊙O中，请画出 BC所对 的圆心角和圆周角。
O B
C
如图， ⊙O中，同弧所对的圆心 角和圆周角情况： A
A O B 圆心在圆 周角一边上 O A O
C B
C
B
C
圆心在 圆周角内部
圆心在 圆周角外部
（1）在圆周角的一条边上；
A O B
∵OA=OC， ∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C 1 ∴∠BOC=2∠A 即 A BOC 2 （2）在圆周角的内部． 圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利 用（１）的结果，有 1 DAC DOC 2
该弧所对的圆心角的一半；
(3)四个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
练 习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少 种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B
A
乙C
甲O
丁E
B
一、概念
什么叫做圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
如图： ∠ ADB, ∠ACB, ∠ AEB都是⊙O的圆周角
C D A O
·
B
E
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C C
E D D E D C E
D
E
C
两边都和圆相交。 圆周角：顶点在圆上 __________，并且角的______________ 圆心角: 顶点在圆心 ___________ 的角.
解 ：∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=900 ∴ ∠ ABC＝180°－∠A－ ∠ACB ＝180°－80°－ 90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
图 23.1.12
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
O
1
B
C
E
四、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
BC AB AC 10 6 8
2 2 2 2
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以 通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站 在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学 丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？ 丙D
A C F G
·
O
E
B
90度 1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿
2.若∠ACB= 90 0 ，弦AB是直径吗？
A O
C
B
推论2: 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
∵ AB是直径,
∴∠ACB=900
∵ ∠ACB= 90 0 ，
∴弦AB是直径
三.圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上， 那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这 个圆叫做这个多边形的外接圆。
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
A
· O
B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
练习：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 3.90°圆周角所对的弦是直径（ √ ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于3（ × ）
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
推论3
如果三角形一边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。
C
∵在△ABC中
CD=AD=BD
A D
B
∴∠ACB=90°.
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
A
D
·
O
C
圆内接四边形的对角互补。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=1800
推论：
圆内接四边形任意一个外角 都等于它的内对角.
思考：延长BC到E，∠DCE 与 ∠A的数量关系？
∠DCE＋∠1 ＝ 180° A
D
又 ∠A ＋∠1＝ 180° ∠ A 与∠ DCE 所以∠A＝∠DCE 为内对角
1 BAD DAC (BOD DOC ) 2
·
C
A
O B
·
C
D
1 BAC BOC 2
（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
1 BAD BOD 2
1 DAC DOC 2 1 DAC DAB (DOC DOB) 2
A
O