第7章 立体

§7.2 平面与立体相交
7.2.1 平面与棱柱相交
截平面P是一正垂面，截交线为一五边形，其Ｖ面投影积聚在Pv
上。又五棱柱的五个侧棱面均垂直于Ｈ面，故截交线的Ｈ面投影均落 在棱面的Ｈ面积聚投影上。因此，仅求截交线的Ｗ面投影即可。
截平面
截交线 断面
§7.2 平面与立体相交
7.2.2 平面与棱锥相交
如图所示，为一个具 有切口的正四棱锥， 在Ｖ面投影中已表示 出被切割后的投影， 要求作出具有切口形 体的Ｈ、Ｗ面投影。 ［解］ ①作三棱锥的侧面投影 ②作截交线的三面投影 ③作断面的实形
(a)已知条件 作三棱锥的侧面投影、截交线的投影及断面实形
实形
7.2.2 平面与棱锥相交 求四棱锥被截 切后的水平和 侧面投影。
1’ 6’ 7’8’ 2’(5’) 3(4)
两个平面截切平面立体 6” 8’’ 5’’ 7’’ 2’’
4
●
●
3
5 8 1 6 7 2 3 4
注意： 三面共点： 1 、要逐个截平面分析和绘制 Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ……Ⅷ各点分 截交线。 别同时位于三个面上。
第七章 立体
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 立体的投影 平面与立体相交 直线与立体相交 两立体相交
第七章 立体
交线 交线
图7-1 工程构造物的表面交线 a)独立柱基础；b）涵洞的涵管与涵墙；c）闸门
§7.1 立体的投影
7.1.1棱锥体
特点：棱锥有一个多边形底面，各棱面是有一个公共顶点 的三角形，各侧棱线汇交于顶点。
§7.3 直线与立体相交
直线与立体相交 时，交点称之为贯穿 点。 它是直线与立体 表面共有点，一般成 对出现。若直线与立 体相切，那么只有一 个交点。 求作贯穿点的方 法，基本上和直线与 平面求交点相同。
· ·
m’
l’
·
l · · m
k’
· k
1.当立体表面或 直线的投影有积 聚性时，则可利 用积聚性，按面 上取点，或直线 上取点的方法求 贯穿点。
2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3.求出一般点Ⅴ； 4. 光滑且顺次地连接各点 ，作出截交线，并且判别 可见性； 5.整理轮廓线。
7.2.3.3.平面与回转体相交
例7-3 求回转体被铅垂面所截的截交线 作图步骤：
画出截交线的水平投影 求作正面投影： 特殊位置点： 底面上的点I、II(最低) 最高点IV 正面转向线上的点III 一般位置点： 一般位置点V、VI 一般位置点VII、VIII 判别可见性，连线
7.4.4
同坡屋面交线
特点
(1) 两个坡面交线是一条平行于檐口线的 水平线即屋脊线。它的水平投影与这两 檐口线的水平投影平行且等距
•(2)相邻两个坡面的檐口线相交，其交
线是一条斜脊或斜沟，它的水平投影必 定为两檐口线水平投影夹角的平分线。 •(3)如果在屋面上有两斜脊、两天沟或 一斜脊一天沟相交则交点上必然有另一
7.2.3.2 平面与圆锥相交
截平面与锥面上所有素线相交
7.2.3.2 平面与圆锥相交
截平面平行于圆锥面上一条素线
7.2.3.2 平面与圆锥相交 截平面与圆锥轴线平行
7.2.3.2 平面与圆锥相交 截平面通过圆锥顶
例7-2 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。 解题步骤
1. 分析 截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆；
最前、最后、最左、最右以及可见性的分界点
等，以便控制曲线形状。
7.2.3.1 平面截割圆柱
⑴截平面P位置垂直于圆柱轴线
7.2.3.1 平面截割圆柱
⑵截平面P位置倾斜于圆柱轴线
7.2.3.1 平面截割圆柱
⑶截平面P位置平行于圆柱轴线
7.2.3.1 平面截割圆柱
例7-1：求W投影
●
● ● ●
截交线的空 间形状？
(b)解题分析
§7.4 两立体相交
两平面立体相交的相贯线，一般情况下是由直线段 组合而成的空间折线多边形。构成相贯线折线的每一直线 段，都是两个平面体有关棱面的交线，每一个折点都是一 平面体的棱线对另一平面体的贯穿点。 求相贯线的一般步骤如下： (1)分析。认识两相贯体的形体特征，考察它们的相对 位置，研究它们哪些部分参与相贯，选择解题方法； (2)求相贯点。首先求特殊点，然后求出适当的一般点； (3)连线。根据相贯线的性质，依次连接所求各点； (4)补全立体投影及判别可见性位于同面投影的两立体 表面均 为可见时，其上的相贯线才可见。
2、当平面体只有局部被截切时， 补画棱线 先假想为整体被截切，求出 截交线后再取局部。
7.2.3 平面与曲面体相交 求平面与曲面体交线的实质是如何定出属
于曲面的截交线上点的问题。其基本方法是采
用辅助平面法。 选择辅助面时，应使辅助平面与曲面立体 的截交线是简单易画的圆或直线。求截交线时， 应首先求出特殊的点，如截交线上最高、最低、
b
§7.1 立体的投影
7.1.2棱柱体 特点：棱柱有两个互相平行的底面，侧 棱互相平行。 投影：棱柱的三面投影图中,H面投影反 映底面实形，各个矩形棱面投影则积 聚为多边形,V、W面投影仍为矩形。
§7.1 立体的投影
7.1.2 棱柱体
棱锥体表面定点例题：如图所示，已知四棱柱 的三个投影，及四棱柱表面上点A、B的正面投影和点C 的侧面投影，试作出A、B、C三点的另外两个投影。
棱锥体表面定点的步骤： (1)由于各棱面的H投影积 聚，宜先求各点的H投影； (2)再根据已知两面投影求 第三面投影。 ☆注意立体表面的可见性 判断
c c’
a”
(b”)
a
b
§7.2 平面与立体相交
7.2.0 立体表面的截交线
平面和立体相交，可设想为立体被平面所截，此 平面叫做截平面，所得的交线叫做截交线，而由截平 面所截的图形称为断面，断面是截交线所围成的图形。 求平面立体的截交线可归为 下述的方法： 先求出立体上各棱线与截平 面的交点，然后把各点依次 连接，即得截交线。连接时， 在同一棱面上的两点才能相 连。 截交线的不可见部分，用虚 线表示。
例7-3 求回转体被铅垂面所截的截交线
例7-4求图7-10中水闸出口处1/4圆锥台与斜坡面的交线。
？
因斜坡面倾斜于圆锥轴线(圆锥顶角2α )与所有素线相截，故截交线 为部分椭圆。倾斜坡面是正垂面。截交线的Ｖ面投影重合在斜坡面Ｖ面投 影的积聚直线上，Ｈ面投影为部分椭圆。点e′、f′是椭圆长轴两个端点 在Ｖ面上投影，其中点c′是椭圆短轴的端点在Ｖ面的投影。
例7-14 求圆柱与圆锥的相贯线。
素线法
7.4.3 两曲面立体相交 相贯线为平面曲线
球面法求解的条件： 1、两立体为回转体。 2、两立体轴线平行 一投影面，且相交。 3、平行一投影面的 两立体交线可用球面 法求解。 4、两立体若存在一 公共内切球，则此相 贯线为平面曲线。 球面法求解
例7-15 如图所示，试求圆柱与圆锥的相贯线
图 作一般位置直线与圆锥的贯穿点，并表明可见性
§7-3 直线与立体相交
例7-7 如图所示， 求作一般位置直线 AB与斜圆柱的贯穿 点，并表明直线AB 的投影及其可见性。 ［解］
①向两侧延长底面的正 面投影，作为OX轴。 ②作贯穿点C、D的两 面投影。 ③表明直线AB的投影 及其可见性。 (a)已知条件 (c)作图过程和结果 图 作一般位置直线与斜圆柱的贯穿点，并表明可见性
●
●
● ●
截交线的已知投影？
● ●
截交线的侧面投影是 什么形状？
★找特殊点 ★补充中间点
★光滑连接各点
● ●
★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
截平面与圆柱轴线 成45°时。
什么情况下 投影为圆呢？
7.2.3.2 平面与圆锥相交 截平面垂直于圆锥轴线
§7.3 直线与立体相交
辅助平面求贯穿点
。 。
2.当直线和立体 表面都没有积聚 性时，直线与立 体表面的贯穿点 采用辅助面求出
§7.3 直线与立体相交
例7-5 求直线与棱锥的贯穿点。
s' f' k' e' a' a b' l' c'
作图原理：用过直线的假想截 平面截棱锥，得截交线，再求 直线与截交线的交点。
(b)解题分析 (c) (d) 作图过程和结果 清理图面后的投影图 (a)已知条件 图2.187 补全具有三棱柱孔的三棱锥的投影
§7.4.1 两平面立体相交
1 2 6
5
2 6 3
V
3
5 1 PH
2
用展开平面法求两三棱柱相贯线
7.4.2 平面立体和曲面立体相交
平面立体和曲面立体相交，其相贯线是由若 干段平面曲线或由若干段平面曲线和直线所组成。
投影：棱锥的三面投影图中,H面投影反映底面实形，各个 三角形棱面的V、H、W面投影一般仍为三角形。
§7.1 立体的投影
7.1.1 棱锥体
s’
2’ f’ e’
棱锥体表面定点的步骤： s’’
a’
1’ 2
a
1
b’ d’ c’ d
f e
c” a” （d”）
b”
s
c
(1) 过点e作棱线s1，由 此作出s′1′和s″1″， 并求点e′和e″。e′ 和e″均为可见。 (2) 若过点F作直线 FⅡ∥AB，则它们的同 面投影也必定平行，即 作f′2′∥a′b′，由 此作出2和2″，过2作 直线平行ab交sb于f点， 并求出对应的点f″。
空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于 H面，水平投 利用积聚性，采 用表面取点法。 影积聚为圆，根据相贯线的共有 ☆ 找特殊点 性，相贯线的水平投影即为该圆。 ☆ 补充中间点 大圆柱轴线垂直于 W面，侧面投 ☆ 光滑连接 影积聚为圆，相贯线的侧面投影 在该圆上。