第7章 相平面法
相平面法
7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。
该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。
也可把时间t 作为参变量，用x 与x之间的关系曲线来表示。
下面以线性二阶系统为例加以说明。
设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。
即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。
从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。
显然，如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。
用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的运动。
在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。
在自动控制理论中，把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。
相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。
相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。
对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。
对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。
对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。
相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。
首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =∙则有12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得xx x f dx xd ),(1= （7-21）解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。
自动控制原理第七章
§7.2
相平面法（10）
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类 型
I e 0
e1
s2 0
s0
II e e - 2 0 e2 2 s2 1 0 s j 中心点
III e e 2 0 e3 -2 s2 1 0 s j 中心点
解
线性部分
C(s) U(s)
1 s2
s
c c u
1 eh (I) 非线性部分 u e e h ( II )
1 e h (III)
比较点 e r c c
1 c h ( I )
整理
c c u c c h ( II)
1 c h (III)
间隙
继电特性
§7
非线性控制系统分析（2）
§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用
稳定性问题
— 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件
有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1
自振运动
— 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6
频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌)
xe1 xe2
0 1
x x
x x
xe1 xe 2
x x
1
线化
x x
0.5x 0.5x
x 0 (x 1)
(x
1)2
0
x 0.5x x 0 x 0.5x x 0
§7.2 相平面法
相平面法
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
相平面法ppt课件
有可能出现在x轴上。
11
忽略高阶无穷小， 一般情况下令 x10 x20 0
则有
P( x1,
x2 )
P( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
P( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
Q( x1,
x2 )
Q( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
Q( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
令 a P( x1, x2 )
平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
3 x1
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
1,2 ,表3示,相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。 从相轨迹起始点 ( x10, x20 ) 出发，平滑的将相邻等倾线上 的短线连起来，即得系统相轨迹。
§8.4 相平面法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的， 它是一种求解一、二阶常微分方程的图解 法。这种方法的实质是将系统的运动过程 形象地转化为相平面上一个点的移动，通 过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统 运动规律的全部信息。由于它能比较直观、 准确、全面地表征系统的运动状态，因而 获得广泛应用。
1,2
2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。 x2
0
x1
图8-32 纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统 的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面 两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。
自动控制原理复习资料——卢京潮版第七章
第七章 非线性控制系统分析§7.1 非线性系统概述● 非线性系统运动的规律，其形式多样。
线性系统只是一种近似描述 ● 非线性系统特征—不满足迭加原理1) 稳定性 ⎩⎨⎧平衡点灯可能有多个入有关关，而且与初条件，输不仅与自身结构参数有2) 自由运动形式，与初条件，输入大小有关。
3) 自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。
自振是非线性系统特有的运动形式。
4) 正弦响应的复杂性 (1) 跳跃谐振及多值响应 (2) 倍频振荡与分频振荡 (3) 组合振荡(混沌) (4) 频率捕捉 ● 非线性系统研究方法 1) 小扰动线性化处理2) 相平面法-----用于二阶非线性系统运动分析3) 描述函数法-----用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。
4) 仿真研究---利用模拟机，数字机进行仿真实验研究。
常见非线性因素对系统运动特性的影响：1. 死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ss σ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2. 饱和(如运算放大器，学习效率等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ 3. 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性 减小间隙的因素的方法：(1) 提高齿轮精度 ； (2) 采用双片齿轮； (3) 用校正装置补偿。
4. 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性 摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性5. 继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）§7.2 相平面法基础(适用于二阶系统)1. 相平面相轨迹二阶非线性系统运动方程：()[(),()]xt f x t x t = ――定常非线性运动方程即：[,][,]dxdx f xx dx dtdx f x x dx x⋅==()()xxt x t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩以为纵标，x为横标，构成一个平面（二维空间）称之为相平面（状态平面）系统运动时，，以t为参变量在相平面上描绘出的轨迹称为相轨迹（可以描述系统运动） 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。
自动控制原理第七章
条件下的时间响应曲线如图所示。
四、非线性控制系统的特点
3.稳定性 3.稳定性 从曲线及方程中可以看出， 系统有两个平衡状态，即 x=0和 x=1 。 按稳定性的定义对平衡状 态 x=1来说，系统只要有一 个很小的偏离，就再也不会 回到这一平衡状态上来。 因此，x=1的平衡状态是一个不稳定的平衡状态。
第七章 非线性系统的分析
§7
非线性系统的分析
教学内容：
§7-1 非线性控制系统概述 §7-2 描述函数法 §7-3 相平面法
§7-1 非线性控制系统概述
一、引言 二、研究非线性系统的一般方法 三、典型非线性特性 四、非线性控制系统的特点
一、引言
包含一个或一个以上非线性元件或环节的系统为非线性系 统。 实际上自动控制系统的各个环节不可避免的带有某种程度 的非线性，线性系统只是非线性系统的近似。 非线性系统程度不严重时，在一定范围内或特定条件下， 可采用微偏法进行线性化，这种非线性称为非本质非线性。 如果系统的非线性具有间断点、折断点，称为本质非线性。 这时采用线性系统分析方法去研究会引起很大的误差甚至导 致错误的结论。
四、非线性控制系统的特点
3.稳定性 3.稳定性
线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始 状态无关。 非线性系统的稳定性不仅仅和系统的结构与参数有关， 还和起始状态有直接关系。 一个非线性系统，他的某些平衡状态可能是稳定的， 某些平衡状态可能是不稳定的。因此对于非线性系统， 不存在系统是否稳定的笼统概念，要研究的是非线性系 统平衡状态的稳定性。
2 n
A +B
2 n
An ϕn = arctan Bn
一 描述函数的基本概念
非线性特性为奇对称，则直流分量 A0= 0； 同时，各谐波分量的幅值与基波相比一般都比较小； 因此，可以忽略式中的高次谐波分量，只考虑基波分量， 这种近似也称为谐波线性化。则
《自动控制原理》 相平面法
(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时，且 b 0 时，可得满
足k＝a的两条特殊的等倾线，其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时，上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
，可得等倾线方程为：
初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示，则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值，得到相轨迹上对应的点，并由此获
得一条相轨迹，如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2
7-2相平面法
当c > 0时，上述微分方程又可以表示为
2 2 n x n x 0 x
线性二阶系统的特征根
b b 4c s1 2
2
b b 2 4c s2 2
相轨迹方程为
dx bx cx dx x
假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[ (1) + (1.2) ] / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过B 点作斜率为的[ (1.2 ) + (1.4) ] / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的等 倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即 得系统近似的相轨迹。
x t4
(x, x0)
t3
0 t2 0
t1
x
x
t1
t2 t3 t4
4
当t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
t
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
7.3.2 相平面图的绘制
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 5 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
x
0
x
22
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自 由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平 面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系 统相平面图:
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图7-48 图7-46系统的相平面
52
图7-49 判断开关线 所用的对应关系
53
四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系 统的相平面
• 图7-50 具有非线性放大器的系统
54
图7-52（a）表示的系统方程为
得到
c Ku Tc ke e e0 u e e e 0 e r c e Ku T r Te r
其中
A
sin(d t )
（7-17）
2
x0
2
x0 x0n d
x0 x0 n arctg x0 d
12
• 相轨迹如图7－25所示。 从图中可以看出，欠阻 尼系统不管初始状态如 何，它经过衰减振荡， 最后趋向于平衡状态。 坐标原点是一个奇点， 它附近的相轨迹是收敛 于它的对数螺旋线，这 种奇点称为
如图7-36AD段，可用
x
轴上的P、Q、R点为圆心，以
PA
、
QB
、
RC 为半径的小圆弧来逼近，
这样就有
t AD t AB tBC tCD t AB tBC tCD
27
• 令
PA sin x
x OP PA cos
• 代入（7-32）式得
t AB
B
• 很明显，相平面以直线 c h 为界被分 成三个不同的区域，在每个区域里，系统 的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定
35
1、 在 c>h的区域
系统方程为
(t ) c (t ) KM Tc
c(t ) k1 k2e
其中
( 1/ T ) t
KMt
0 KM )T k1 c0 (c 0 KM )T k2 (c
d y (t ) c(t ) dt
将相变量定义为满足导函数关系的一组状态 变量。显然，相变量也不唯一 • 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统
3
c
c(t)
o
a)
c
c(t)
o
b)
t
o
t
c)
4
•
图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲 线，图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导 函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性 的“相轨迹”曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息，也包 含它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是 该点的导数 • 结论：控制系统的输出响应性能可由它的相 轨迹来获得，由响应特性曲线c(t)可读得响应 的最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时 间、调节时间等时域指标
系统当 m=+1 时的相轨迹
40
当m=-1时，系统微分方程为
KM (t ) c (t ) Tc KM ch c h 0 c h, c 0 c h, c
• 对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最 终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅 仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无 关。
10
相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过 横轴。 坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。
图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
图7-24的奇点(0,0)通 常称为 中心
11
（2）欠阻尼运动
0 1
nt
方程（7-12）的解为
x(t ) Ae
5
相平面法
一种求解二阶常微分方程的图解方法 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 • 令
f ( x, x ) x
x x1 , x x2
.
（7-9）
dx1 dx2 x2 ; f ( x1 , x 2 ) (7 10) dt dt
则
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
1 1 1 2 KT 2 kKT
假定
55
（1）阶跃输入 r(t)=R
• 系统方程变为
e Ke 0 Te
e kKe 0 Te
图7-51 阶跃输入下得相轨迹
56
（2）输入信号r(t)=Vt+R • 系统方程为
41
图7-41 系统当m=-1时的相轨迹
42
图7-42
m≠+1 振荡趋势加大示意图
43
图7-43 m逐渐减少时的相平面
44
二、速度反馈对继电系统自由运动的影响
图7-44
有速度反馈的继电器系统
45
系统的微分方程为
KM (t ) c (t ) 0 Tc KM
A2q2e
相轨迹如图7－26所示
14
图7-27 过阻尼运动的时间响应
坐标原点是一个奇点，
图7-26 过阻尼时的相轨迹 A2=0，曲线1；A1=0，曲线2
这种奇点称为
稳定的节点。
15
（4）负阻尼运动
1 0
• 相轨迹图如图7－28所 示，此时相轨迹仍是对 数螺旋线，但相轨迹的 运动方向与图7－25不 同，随着 t 的增长， 运动过程是振荡发散的。 这种奇点称为 不稳定的焦点 。
（7-12）
系统（7-12）的特征方程为
s 2 n 0
2 2 n
特征方程的根为
n n 1
2
式（7-12）所表示的自由运动，其性质 由特征方程根的分布特点所决定。
8
取相坐标
x 、 x
，式（7-12）可化为：
dx 2 (2 x n n x) dt dx x dt
7-3A 相平面法基础
,
返回子目录
1
r(t)
e(t)
K s2
y(t)
1 s
c(t)
相平面法是分析非线性系统的另一种常用的方 法，主要用于分析非线性系统的响应性能
相平面的“相”是指相变量。相变量是一组特 定的“状态变量” 状态变量是指“足以完全表征系统运动状态的 最小个数的一组变量”
2
• 例如图所示的二阶线性控制系统y(t)和 c(t)是 一组状态变量，e(t)和 y(t)也是一组状态变量。 可见，状态变量是不唯一的 • 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数 关系 • • •
• 相轨迹ABCD和A1B1C1D1 对应的周期运动， 他们的周期分别为T和T1 秒（角度：弧 度） • 则有 T 2(2 ) 4 ,
2 T1 2(1 2.21) 6.43
31
7-3B 非线性系统相轨迹分析
① 根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程
② 画相轨迹图
图7-28
16
1
• 系统的相轨迹图如 图7-29所示，奇点 称为
不稳定的节点。
图7-29
17
2 n x x 0 x
2 n
• 此时相轨迹如图 7-30所示。奇点称 为
鞍点
该奇点是不稳定的 。
图7-30 斥力系统的相轨迹
18
图7-31 特征根和奇点的对应关系
相轨迹方程 1
2 1 2 K 1 Mx c 2 x b （7-55） x 2 1 2 1 2 c x K Mx 式中 1 x0 K1Mx 0 0 1 0 c2 2 2
50
2 K 1 Mx c1 x
xb
（7-54）
图7-47 式（7-54）和式（7-55）的相轨迹
36
所以
c(t ) (c0 KM )e
当
( 1/ T ) t
KM
0 KM c
(t ) KM c
37
2、 在|c|<h区域
• 系统方程为
c 0 Tc
dc 1 dc T
1 c 0 c (c c0 ) T
（7-42）
38
3、 在c<-h区域
（7-11）
6
相平面:
把具有直角坐标（x,x) 的平面叫做相平面。
相轨迹:
描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫 相轨迹。
方程（7－9）称为相轨迹微分方程式，简称相 轨迹方程。 （7－11）式的积分结果称为相轨迹表达式。
7
一、线性系统的相轨迹
• 设系统的微分方程为
2 x 2 n x n x 0
PA sin PA sin
A
d A B
（7-33）
AB
28
• 图7-36 用小圆弧逼近相轨迹计算时间
29
例7-2
• 图示相平面上有两 条封闭的相轨迹， 已知AB和A1B1均是 圆弧的一部分，试 计算这两条封闭相 轨迹所对应的周期 运动的周期。
图7-37
30
图7-32
22
极限环
x (1 x ) x x 0
2
1
在图7-33中，出现 了一种孤立的简单 的封闭相轨迹。这 种相轨迹称为稳定 的极限环。
图7-33
23
图7-34 各种类型的极限环 a稳 定，b不稳定，c、d半稳定
24
三、由相平面图求时间解 • 相轨迹上坐标 x1 点移动到 的时间，可按下式计算
x2
点所需
t 2 t1
x2
x1
dx x
（7-32）
这个积分可用通常近似计算积分的方法求出， 因此求时间解的过程是近似计算的过程。
25
1、用
1/ x
曲线计算时间
利用式（7－32）计 算时间，在某些情 况下可直接进行积 分运算 。
图7-35
26
2、用小圆弧逼近相轨迹计算时间
• 在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆 心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。