非线性系统的分析相平面优秀课件
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
非线性系统分析 PPT课件
1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性
非线性系统分析方法PPT课件
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
97第七章 非线性控制系统的分析方法PPT课件
第七章 重点
重点掌握非线性系统的相平面分析法。
相平面、相轨迹的基本概念 奇点类型和极限环分析
二阶非线性系统的阶跃响应☆和斜坡响应分 析
饱和特性、死区特性和继电特性
1
概述
1
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
2
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
(1)运动收敛于状平态衡 系, 统稳定;
(2)运动 趋 于 平态衡的状过 程是 非 周 期 。性 的
16
17
§7-2-1ζ=2
18
§7-2-4用相平面分析法分析二阶非线性控制系统
C(s)
K
K
X(s) s(Ts 1) Ts 2 s
(Ts 2 s)C(s) KX(s)
Tc '' c ' Kx
5.间隙非线性:当输入量方向改变时,输 出量保持不变,一直到输入量变化超 过一定数值(间隙)后,输出量才跟着 变化。
4
§7非线性控制系统的分析方法 §7-1 概述
三.非线性控制系统的特殊性: 1.迭加原理不适用 2.传递函数、频率特性、根轨迹等方法不适用; 3.对正弦输入信号的响应除包含与输入同频率
10
§7-2-1ζ=0
11
§7-2-1基本概念:ζ=0H:\exp742328.mdl
x A2 2(xA '22ω 1式 ) , :中 A x2 0ω x' 022
(1) ζ=0时二阶线性系统相迹 为一些封闭曲线(长轴为A, 短轴为Aω的椭圆),表明系 统状态将沿封闭曲线回转不 息,说明非全0初始条件时系 统将产生周期运动解;
重点掌握非线性系统的相平面分析法。
相平面、相轨迹的基本概念 奇点类型和极限环分析
二阶非线性系统的阶跃响应☆和斜坡响应分 析
饱和特性、死区特性和继电特性
1
概述
1
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2
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(1)运动收敛于状平态衡 系, 统稳定;
(2)运动 趋 于 平态衡的状过 程是 非 周 期 。性 的
16
17
§7-2-1ζ=2
18
§7-2-4用相平面分析法分析二阶非线性控制系统
C(s)
K
K
X(s) s(Ts 1) Ts 2 s
(Ts 2 s)C(s) KX(s)
Tc '' c ' Kx
5.间隙非线性:当输入量方向改变时,输 出量保持不变,一直到输入量变化超 过一定数值(间隙)后,输出量才跟着 变化。
4
§7非线性控制系统的分析方法 §7-1 概述
三.非线性控制系统的特殊性: 1.迭加原理不适用 2.传递函数、频率特性、根轨迹等方法不适用; 3.对正弦输入信号的响应除包含与输入同频率
10
§7-2-1ζ=0
11
§7-2-1基本概念:ζ=0H:\exp742328.mdl
x A2 2(xA '22ω 1式 ) , :中 A x2 0ω x' 022
(1) ζ=0时二阶线性系统相迹 为一些封闭曲线(长轴为A, 短轴为Aω的椭圆),表明系 统状态将沿封闭曲线回转不 息,说明非全0初始条件时系 统将产生周期运动解;
第8章非线性系统分析PPT课件
奇点称为不稳定的节点。
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
相平面法ppt课件
9
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
e
y
0.5 0.5
e e 0 e e 0
e
区域（1） 区域（2）
（1）
0
e
（2）
e e 0
28
区域（1）：
e 0.5 e 0.5t c1 e 0.25t 2 c1t c2
代入初始条件 e(0) 6, e，(0有) 0
e
0 （2）
（1）
A(6,0) e
e e 0
c1 0, c2 6
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
e
y
0.5 0.5
e e 0 e e 0
e
区域（1） 区域（2）
（1）
0
e
（2）
e e 0
28
区域（1）：
e 0.5 e 0.5t c1 e 0.25t 2 c1t c2
代入初始条件 e(0) 6, e，(0有) 0
e
0 （2）
（1）
A(6,0) e
e e 0
c1 0, c2 6
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
自动控制理论最新版精品课件第7章 非线性系统的分析
倒特性
被线1性N部( A分) 的乃氏曲G(线j)
包围，则系统为不稳定的。
Im
G 0 Re
N
1
N A
Gj
a)
Gj
1
N A
b)
Im
Im
0 Re
B
Re
1
N A
A
Gj
c)
描述函数法分析非线性系统稳定性
二、非线性系统自持振荡分析
• 如果1 N与( A) G曲(线j相) 交，则可能产生自持振荡。
• 严格地讲，自持振荡不是正弦的，但可以用正弦 来近似。
二、描述函数
在谐波线性化系统中，非线性元件的特性， 与频率响应描述线性元件特性相类似，也可采 用一复变函数N(A,w)来描述。
N (A, w)
Y1 A
1
B1
jA1 A
A12 B12 tg 1 A1
A
B1
描述函数N(A,w)定义为非线性元件在输入信号 为正弦函数时，稳态输出的基波分量与输入信 号的复数比。
0
死区特性的描述函数为：
x2
a
a
0
0
2
t a)
N
( A,)
N ( A)
2
K
2
arcsin
a A
a A
1
a A
2
0
x2
x1
2 t
0
x1 b)
Aa Aa
3 滞环特性
K ( Asin t a)
x2
(t
)
K
(
A
a)
K ( Asin t a)
x2 a
0a
x2
3
x1
【优选】自动控制原理课件非线性系统讲义相平面PPT资料
例开上关半2线平面设———系向划右分统移不动同方线性程区域为的边界线 x (3 x 0 ，.5 )x x x 2 0
(相3)平奇面点法(平求（衡1）点系) ：统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。
相平面法（1）
xx0 解 令 相平面法（1）
当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,
x 0 xxx x 当非线性方程在某个区2域可以表示为线性微分方程时，奇点类型e 1决定该区域系统运动的形式。
性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附
近相轨迹的运动形式。
当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，奇点 类型决定该区域系统运动的形式。
若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点
位于其它区域，则称为虚奇点。
相平面法（1）
奇点的位置？过奇点时系统运动的速度和加速度？过奇点的相轨迹个数？相轨迹从奇点处过x轴？
2
( x1)( x1) 0 可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。
相通非轨过线迹横性上轴系斜时统率的不相 ，确平以xx定面90的 分°点析穿00越..55x轴 xx xx00
特征 方程
s2 s2
0.5s 1 0.5s 1
0 0
s 0.5 j0.97
s
0 x 0 — 向右移动 下半平面 x 0 — 向左移动
顺时针运动
通过横轴时(x 0)，以90°穿越 x
轴
d dx x d dx x d dttf(x x,x )0 0
一个初始条件对应一条相轨迹
(3)奇点 (平衡点) ：相轨迹上斜率不确定的点
• ••
•
相若轨在迹 某上点每处一f (点x,切x• )线和的斜x•率同为时dd为xx 零 xx•，即 f有(x•x,
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非线性系统的分析相平面优秀课件
➢1.相平面:以x和 x 为横轴和纵轴构成的坐标平
面. ➢2.相点:相平面上任一点 (x, x) ➢3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
M 1
x
M2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
x
x
x
(x 0,x 0)
(x 0,x 0)
x
x
(x,,x)
x
漸進穩定系統
不穩定
持續振蕩
二、相平面图绘制方法
1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化.
设二阶系统 xf(x,x)0 (*)
若令 y x 则 yf(x,y)0 dyf (x, y)
dt
dydtdtf(x,y) dy f (x, y)
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
①稳定的极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。
因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在
x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x
的平均值 x a v 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增
f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 f ( x, x) 在原点附近展 成台劳级数
f(x,x)= a x b xg(x,x)
高阶无穷小量 g ( x, x ) 可以省略，得到
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
1.1
直线段交 a 2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
adxdx/dtxf(x,x) dx dx/dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称
的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
f(x,x )f(x,x ) f(x,x )f(x,x )
则相轨迹关于x 对称(左右对
称)。
则相轨迹关于 x对称(上下对
称) 。
f(x,x)f(x,x) 则相轨迹关于原点对称。
3)相平面图的奇点
奇点：相平面上同时满足 x0和 f(x,x)0
的点称为奇点。
设二阶系统 x+f(x,x)=0的平衡点在原点，即
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
4）极限环
在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
x2 A2
y2
(n A)2
1
其中
A
x0
2
y02
n2
上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界
稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。
⒉图解法之一：等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
二阶微分方程 xf(x,x)0令 y x dy f (x, y)
dx
y
若令 dy 常 数 a
dtdx dxdx Nhomakorabeay
直接积分,便解出相轨迹方程 yxf(x)
并由此画出相轨迹。
例：如无阻尼二阶系统 xn2x0
令x y 则
dy dx
n2
x y
，设初始条件为 (x0, y0)
整理上式并积分
y y0
ydy
x
x0 n
2
xdx
1 2(y2y02)1 2n2(x02x2)
n2x2y2n2x02y02
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
dx
f(x,y)ya0 等倾线方程
➢满足相轨迹上的切线斜率为a
➢相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 (x0, y0)沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似）
⑵画图步骤：
i.求出等倾线方程
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
➢1.相平面:以x和 x 为横轴和纵轴构成的坐标平
面. ➢2.相点:相平面上任一点 (x, x) ➢3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
M 1
x
M2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
x
x
x
(x 0,x 0)
(x 0,x 0)
x
x
(x,,x)
x
漸進穩定系統
不穩定
持續振蕩
二、相平面图绘制方法
1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化.
设二阶系统 xf(x,x)0 (*)
若令 y x 则 yf(x,y)0 dyf (x, y)
dt
dydtdtf(x,y) dy f (x, y)
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
①稳定的极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。
因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在
x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x
的平均值 x a v 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增
f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 f ( x, x) 在原点附近展 成台劳级数
f(x,x)= a x b xg(x,x)
高阶无穷小量 g ( x, x ) 可以省略，得到
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
1.1
直线段交 a 2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
adxdx/dtxf(x,x) dx dx/dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称
的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
f(x,x )f(x,x ) f(x,x )f(x,x )
则相轨迹关于x 对称(左右对
称)。
则相轨迹关于 x对称(上下对
称) 。
f(x,x)f(x,x) 则相轨迹关于原点对称。
3)相平面图的奇点
奇点：相平面上同时满足 x0和 f(x,x)0
的点称为奇点。
设二阶系统 x+f(x,x)=0的平衡点在原点，即
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
4）极限环
在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
x2 A2
y2
(n A)2
1
其中
A
x0
2
y02
n2
上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界
稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。
⒉图解法之一：等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
二阶微分方程 xf(x,x)0令 y x dy f (x, y)
dx
y
若令 dy 常 数 a
dtdx dxdx Nhomakorabeay
直接积分,便解出相轨迹方程 yxf(x)
并由此画出相轨迹。
例：如无阻尼二阶系统 xn2x0
令x y 则
dy dx
n2
x y
，设初始条件为 (x0, y0)
整理上式并积分
y y0
ydy
x
x0 n
2
xdx
1 2(y2y02)1 2n2(x02x2)
n2x2y2n2x02y02
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
dx
f(x,y)ya0 等倾线方程
➢满足相轨迹上的切线斜率为a
➢相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 (x0, y0)沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似）
⑵画图步骤：
i.求出等倾线方程
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的