最新人教版高中数学必修2第一章《圆柱、圆锥、圆台和球》教案
高中数学必修二教案-1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球-人教B版
多面体与球一、教学目标：1.知识与技能：①.掌握球的截面的性质，会构造直角三角形解决多面体外接球的面积，体积等问题。
②.通过寻求如何判断直棱柱和正棱锥外接球的球心，进一步要求学生树立转化思想（通过“截面”把立体几何问题转化为平面问题）2.过程与方法：以启发引导，讲解习题为主线，用一题多变突破重难点。
培养学生空间想象能力、运算求解能力，体会转化，类比等数学思想在解题中的运用。
二、教学重点：能准确判断出直棱柱和正棱锥外接球的球心，会构造直角三角形解决球的有关问题。
三、教学难点：能够根据多面体的结构特征寻出多面体外接球的球心和半径．四、教学过程(1)..考情播报：纵观近5年全国卷，简单几何体的外接内切球的问题是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，其中又以三棱锥的外接球的考查居多。
(2).知识回顾：1.(12年全国卷,T8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B.43π C.46π D.63π(设计意图:掌握球的截面的性质，会构造直角三角形求出球的半径解决球的面积，体积等问题。
) 小结：球的性质①.球心与截面圆心的连线垂直于截面；②.球心O 到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系：22r R d -=(3)例题与练习题型一：直棱柱的外接球2.(2017全国2卷，T15)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 3,直三棱柱111C B A ABC -的各个顶点都在同一球面上，已知，3===BC AC AB ,61=AA 则该球的体积为 ；(设计意图:掌握直棱柱的外接球的球心是上下底面外心的连线的中点，并会用正弦定理R Aa2sin =求三角形外接圆的半径）A4，已知三棱锥D-ABC 的各个顶点都在同一球面上，若ABC DA 面⊥, 120=∠BAC ,2===AD AC AB ,则该球的体积为 ；变式： 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是 ；(设计意图:会将含有线面垂直关系棱锥补成直棱柱解决问题）。
第二高中数学《圆柱圆锥圆台和球》教案 必修
芯衣州星海市涌泉学校第二中学高一数学圆柱、圆锥、圆台和球教案必修2教学过程：复习引入1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。
2、通过篮球、排球、足球等等球体的形象引出课题.新授1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。
球面所围成的几何体叫球体，简称球。
指出球心、半径、直径。
值得注意的是：1〕球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联络。
2〕球面的概念可以用集合的观点来描绘。
球面是由点组成的，球面上的点有什么一一共同的特点呢？与定点的间隔等于定长的所有点的集合〔轨迹〕叫球面。
假设点到球心的间隔小于球的半径，这样的点在球的内部.否那么在外部.3〕球的表示：用表示球心的字母表示球，比方，球O.2、球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是圆面，把过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆.球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线OO1与截面圆O1会有什么关系呢？1） 球心与截面圆心的连线垂直于截面。
2） 设球心到截面的间隔为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，那么：r=22d R3、练习一：判断正误：〔对的打√，错的打×〕〔1〕半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。
〔〕〔2〕到定点的间隔等于定长的所有点的集合叫球。
〔〕〔3〕球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。
〔〕〔4〕经过球面上不同的两点只能作一个大圆。
〔〕〔5〕球的半径是5，截面圆的半径为3，那么球心到截面圆所在平面的间隔为4。
〔〕4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描绘地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。
5、球面间隔：假设我们要坐飞机从到巴西去，选择怎样的航线航程最短呢？我们把球面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面间隔。
因此，飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。
人教版数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表
面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的
364
体积和为________；
3
设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
− =1
R＝4
42 − 4 2 = 28
r＝3
∵棱长为a，∴BE＝
3
2
3
a× ＝ a.
2
3
3
∴在Rt△ABE中，AE＝
2
−
2
3
＝
6
a.
3
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
6
6 2
3
a，∴S球＝4π×( a) ＝ πa2.
4
4
2
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为( B )
∴R＝2.
4
3
∴V＝ πR3＝
32
.
3
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个
半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这
时容器中水的深度．
由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC
3
2
12
总结提升
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的
2
半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图．
总结提升
2．长方体的外接球
人教A版高中数学必修2教案圆柱、圆锥、圆台和球3
圆柱、圆锥、圆台和球(1)教学目标：1、圆柱、圆锥、圆台概念，2、掌握圆柱、圆锥、圆台的性质教学重点：掌握圆柱、圆锥、圆台的性质教学过程：一、基本概念(播放陶艺的主要制作过程.)(抓取实物照片)，思考：这个几何体的外部曲面是如何形成的？几何体是如何形成的？旋转面可看作一条曲线绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹,这条定直线叫做旋转轴,简称轴.这条曲线叫做旋转面的母线.封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体.旋转体也可以看作是由一封闭的平面图形包括其内部绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹.请学生思考：圆柱、圆锥、圆台可由什么平面图形如何运动而成？定义1：(线动成面,面围成体)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体.旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边的长度叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.定义2：(面动成体)以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（教师演示，学生观察总结）①平行于底面截圆锥可以得到圆台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.②圆台的上底变大可以得到圆柱；③圆台的上底变小可以得到圆锥.让学生举出一些圆柱、圆锥、圆台的实例，以及其他旋转体的实例.让学生思考：如图，一个半圆面绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体是什么？一个圆面绕一条直线旋转一周形成的几何体是什么？二、主要性质三、巩固练习1．下列命题中的真命题是（）（A）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（B）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；（C）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；（D）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.2．判断下列命题是否正确？①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形.3．长为4，宽为3的矩形绕其一边所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为_________.4．若圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的母线与轴的夹角的大小为_________.5.(P 13例1)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 ：4，截去的圆锥的母线长是3cm ，球圆台的母线长.解：设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，r 4，根据相似三角形的性质得rr l 433=+，解得9=l . 所以，圆台的母线长为9cm.小结：a) 圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体b) 以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台. c) 圆柱、圆锥、圆台的性质课后作业：略。
高中数学必修2人教版
高中数学必修2人教版篇一：人教版高中数学必修二全册教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
最新人教版高中数学必修二第一章空间几何体第一节第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.圆柱的结构特征(1)在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？提示：圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．(2)在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？提示：圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线．2．圆锥的结构特征在圆锥中，过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？提示：圆锥的轴截面是等腰三角形，轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线．3．圆台的结构特征经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？提示：因为圆台的任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4．球的结构特征球体与球面的区别和联系是什么？提示：区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体，包括球面及其所围成的空间部分5．简单组合体定义由简单几何体组合而成的几何体构成的基本形式由简单几何体拼接而成由简单几何体截去或挖去一部分而成1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线．( ×)提示：圆柱的母线与轴是平行的．(2)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点. ( √)提示：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确．(3) 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( ×)提示：用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台．(4) 用任意一个平面去截球，得到的是一个圆面．( √)提示：因为球是一个几何体，包括表面及其内部，所以用一个平面去截球，得到的是一个圆面．2．如图所示的图形中有( )A.圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球【解析】选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台．3．(教材习题改编)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的母线长为________．【解析】如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC ＝34AB2，所以 3 ＝34AB2，所以AB＝2.答案：2类型一圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(直观想象)1.下列说法中错误的是( )A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条侧面的母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径2．下列说法中正确的是( )①用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球面上任意三点可能在一条直线上；③球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．A．①B．①②C．①③D．②③3．下列几种说法：①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线；③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．【解析】1.选A.A错误．如图(1)所示旋转轴是直角三角形的斜边所在直线时，得到的旋转体不是圆锥；B正确．由圆锥的定义可知此说法正确；C正确．如图(2)，由圆锥侧面的母线相等可知，所得截面是等腰三角形；D正确．圆锥侧面的母线和底面圆的直径构成等腰三角形，当圆锥侧面母线和底面的直径所成的夹角大于60°时，圆锥侧面的母线长大于圆锥底面圆的直径．2．选C.由球的结构特征可知①③正确．3．由圆锥的定义及母线的性质知①②正确，圆柱的轴截面过上下底的直径，所以是过母线的截面中最大的一个．④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②③1．判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系．(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．2．与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面．(2) 圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．【补偿训练】下列说法正确的是________．(填序号)①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③到定点的距离等于定长的点的集合是球．【解析】①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．②正确．③错，应为球面．答案：②类型二简单组合体的结构特征(直观想象)【典例】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？【思路导引】依据简单旋转体的结构特征从上到下逐一分析．【解析】旋转后的图形如图所示．其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图(2)是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．由旋转体组成的简单几何体的确定(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_______．【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．类型三旋转体中的计算问题(直观想象、数学运算)角度1 有关圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题【典例】(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 2 C．4 D．4 2【解析】选B.设母线长为l，则底面周长为2 2 π，其侧面展开图半周长为πl，故πl＝2 2 π，所以l＝2 2 .角度2 旋转体表面的两点间的距离最大(小)值【典例】如图，圆台侧面的母线AB的长为20 cm，上、下底面的半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．【思路导引】转化为在圆台的侧面展开图中，求两个点距离最小值的问题．【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由Rt△OPA与Rt△OQB相似，得OAOA＋AB＝PAQB，即OAOA＋20＝510，解得OA ＝20，所以OB ＝40.设∠BOB ′＝α，由弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等， 得2×10×π＝π·OB ·α180°， 解得α＝90°.所以在Rt △B ′OM 中， B ′M 2＝OB ′2＋OM 2＝402＋302＝502，所以B ′M ＝50.即所求绳长的最小值为50 cm.1．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 2．与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．1．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6【解析】选D.圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ，R 满足关系式l 2＝h 2＋(R －r)2，求得h ＝2 6 ，即两底面之间的距离为2 6 .2．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M. (1)若OA ＝1，求圆M 的面积；(2)若圆M 的面积为3π，求OA. 【解析】(1)若OA ＝1，则OM ＝12 ，故圆M 的半径r ＝OA 2－OM 2 ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32 ，所以圆M 的面积S ＝πr 2＝34π.(2)因为圆M 的面积为3π，所以圆M 的半径r ＝ 3 ， 则OA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 2 2＋3，所以34 OA 2＝3，所以OA 2＝4，所以OA ＝2.。
新教材人教A数学必修二课件：8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
A.12 π C.8 2π
2
B.12π D.10π
2.若球的过球心的截面圆的周长是C，则这个球的表面
积是 ( )
A.
B.
C.
D.2πC2
3.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表
面积为________.
C2
C2
C2
4
2
【思维·引】1.根据条件画出图形，根据圆柱的侧面 展开图求出圆柱的底面半径. 2.根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径，再求 球的表面积. 3.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
【思考】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系： S圆柱侧=2πrl S圆台侧=π(r′+r)l S圆锥侧=πrl.
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V= (S′+ +S)h.
【解析】1.选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2 ，
底面圆的直径为2 ，所以该圆柱的表面积为
2×π×( )2+2π× ×2 =12π.
2
2
2
22
2.选C.由题意知大圆的半径即球的半径，设为R， 由2πR=C，得R= ，所以S球面=4πR2= .
C
S表 S侧
＝
2r（2 2＋1）＝1＋2
Hale Waihona Puke 42r22.4.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积 为( ) A.15π B.30π C.12π D.36π
2022版人教A版高中数学必修第二册--圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
提示:易知长方体的体对角线是外接球的直径,若长方体中过同一顶点的三条棱
长分别为a,b,c,则外接球的半径r2=
1 2
×
a2 b2 c2 ,如图所示.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
球与其他几何体的组合问题的解决方法 1.解决与球有关的组合体问题,其关键是作出适当的球的截面: (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意利用以球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d为三边长 的直角三角形,即R2=d2+r2. 2.球与其他几何体经常通过内切、外接等方式构成组合体,主要有球与柱、锥、 台体的组合,即球内切于柱、锥、台体或球外接于柱、锥、台体.作出适当的轴 截面,利用轴截面探究基本量的关系是解题的要点. 3.几个与球有关的切、接问题的常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R,若球为正方体的外接球,则2R= 3a;若球为正 方体的内切球,则2R=a;若球与正方体的各棱相切,则2R= 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R= a2 b2 c2. (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合,正棱锥的内切球和外接球球心都在 高线上,但不重合.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
提示:旋转得到的几何体为圆柱,该圆柱的底面半径r=1,高h=1,所以其侧面积为 2πrh=2π.
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
探究与球有关的切、接问题 如图,一个水平放置的无盖正方体容器高为8 cm,将一个球放在容器口,再向容器 内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器的厚度,如何求出球 的体积?
第1讲 描述运动第的八基章本概念立体几何初步
新课标人教A版高中数学必修2教学案(完整版)
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
人教版高中数学必修2-1.1《圆柱、圆锥、圆台、球》名师课件
●活动① 理清多面体和旋转体的关系
●活动② 截面问题 请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？ 对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借 助于多媒体手段进行切割实验．对于切割所得的平面图形可根据它 的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状．
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探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如 下各种肯定或否定性的
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形． （2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形． （3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形； 截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行． （4）截面不能是直角梯形． （5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相 等；截面五边形不可能是正五边形． （6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等． （7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形．
简单组合体的构成有两种方式： 1.由简单几何体拼接而成； 2.由简单几何体截去或挖去一部分而成．
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将下列几何体按结构特征分类填空： （1）集装箱；（2）运油车的油罐；（3）排球；（4）羽毛球；（5）魔方； （6）金字塔；（7）三棱镜；（8）滤纸卷成的漏斗；（9）量筒；（10）量 杯；（11）地球；（12）一桶方便面；（13）一个四棱锥形的建筑物被飓风 挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；
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示范教案 整体设计 教学分析 本节教材展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，从整体上认识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律． 值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点．本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受． 三维目标 1．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力． 2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想． 重点难点 教学重点：了解圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征． 教学难点：归纳圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 设计1.在小学和初中，我们已经接触到了圆柱、圆锥、圆台和球，那么这些几何体有什么特征性质呢？教师点出课题． 设计2.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，现有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？教师点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 (1)观察下图所示的几何体，分别是圆柱、圆锥、圆台，那么圆柱、圆锥、圆台有什么结构特征呢？
(2)阅读教材，给出几何体的轴、高、底面、侧面、母线的定义． 讨论结果： (1)通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如下图)． (2)旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．如上图中，直线O′O，SO是轴，线段O′O，SO是高，A′A，SA是母线． 提出问题
1球是大家非常熟悉的几何体，那么球集合具有什么特征性质呢？2阅读教材，给出球心、球的半径和直径的定义？3球的截面是什么形状？具有什么性质？4阅读教材，什么叫球面上的两点距离？ 讨论结果： (1)让我们做一个实验： 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，研究半圆运动的轨迹是怎样的空间图形． 通过观察可以发现，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球(如下图)．
(2)形成球的半圆的圆心叫球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．如下图中点O为球心，OA为球的半径，AB为球O的直径． 一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O. 球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合． (3)用一个平面α去截半径为R的球O(下图)，不妨设平面α水平放置且不过球心，OO′为平面α的垂线，并与平面α交于点O′，OO′＝d，则对于平面α与球面的交线上任意一点P，都有O′P＝R2－d2，是一个定值．这说明截面与球面的交线是在平面α内，并且到定点O′的距离等于定长的点的集合．因此平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以r＝R2－d2(R是球的半径)为半径的一个圆．也就是说，截面是一个圆面(圆及其内部)． 如果平面α过球心，则d＝0，r＝R.截面是半径等于球的半径的一个圆面． 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆(如左下图)．
(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．事实上，人们把这个弧长叫做两点的球面距离．例如，右上图中劣弧PQ的长度就是P，Q两点的球面距离．飞机、轮船都是尽可能地以大圆弧(劣弧)为航线航行的． 提出问题 阅读教材，给出组合体的定义. 讨论结果： 我们观察周围的物体，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的．这些几何体叫做组合体．如下图所展示的机械可以看成是由一些基本几何体构成的组合体．对组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究．
应用示例 思路1
例1用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长(下图)． 解：设圆台的母线长为y，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x,4x，根据相似三角形的性质，得 33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.
因此，圆台的母线长为9 cm. 点评：解决本题的关键是利用截面三角形来解决问题．圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形．
变式训练 1．(2008 湖北，理3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A.8π3 B.82π3 C．82π D.32π3 解析：设球半径为R，截面小圆的半径为r，则πr2＝πr＝1.又R2＝12＋r2＝2， ∴R＝2.∴V＝43πR3＝82π3. 答案：B 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线 与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径． 分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系． 解：圆台的轴截面如下图，
设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S. 在Rt△SOA中，∠ASO＝45°， 则∠SAO＝45°. 所以SO＝AO＝3x. 所以OO1＝2x.
又12(6x＋2x)·2x＝392， 解得x＝7(负值舍去)， 所以圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝2OO1＝142 cm，而底面半径分别为7 cm和21 cm. 答：圆台的高14 cm，母线长142 cm，底面半径分别为7 cm和21 cm. 例2我国首都北京靠近北纬40°.求北纬40°纬线的长度(单位：km，地球半径约为6 370 km，结果保留四位有效数字)． 解：如下图，设A是北纬40°圈上的一点，AK是它的半径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为∠AOB＝∠OAK＝40°，所以
c＝2π·AK＝2π·OA·cos∠OAK ＝2π·OA·cos40° ≈2×3.141 6×6 370×0.766 0 ≈3.066×104(km)． 即北纬40°的纬线长约为3.066×104 km. 点评：赤道是地球的大圆，纬线(东西方向)是地球的小圆． 变式训练 1．圆心到球的截面距离d＝3 cm，截面圆的半径r＝4 cm，则球的半径R＝________ cm. 解析：截面半径、球的半径、球心到截面距离构成直角三角形，则R2＝d2＋r2，即R2
＝32＋42＝25，∴R＝5. 答案：5 2．（2008 四川 高考，8）（理）设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( ) A．3∶5∶6 B．3∶6∶8 C．5∶7∶9 D．5∶8∶9 (文)设M是球O半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为( )
A.14 B.12 C.23 D.34 解析：(理)设过N、M、O且垂直于OP的三个圆的半径分别为r1，r2，R， 则r1＝R2－23R2＝53R，r2＝R2－13R2＝223R.
∴三个圆的面积比等于它们的半径平方之比，即(53R)2∶(223R)2∶R2＝5∶8∶9. (文)如下图所示，
∵M为OP中点， ∴OM＝R2. ∴MA＝OA2－OM2＝R2－R22＝32R. ∴小圆面积S1＝π·(32R)2，大圆面积S2＝πR2. ∴两圆面积比为S1S2＝34. 答案：(理)D (文)D
思路2 例3说出下列几何体的主要结构特征：
解：(1)由圆锥与圆台构成的组合体． (2)由棱锥和四棱柱构成的组合体． 点评：本题主要考查组合体的结构特点以及简单几何体的判断方法． 变式训练 1. （2008 浙江高考，理14）如左下图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．
解析：如右上图，据题意可知，球O即棱长为3的正方体外接球，其半径r＝32＋32＋322＝32，V＝43πr3＝92π.
答案：92π
2．下图所示是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的． 答案：半球、圆柱、圆台 知能训练 1．下图所示几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5) 答案：D 2．将一个边长分别是2 cm和5 cm、两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边上的高所在直线旋转一周形成的几何体是(写出一种情况)________． 答案：高为3，两底半径分别为4,5的圆台 拓展提升 1. （2008 陕西高考，文8）长方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB∶AD∶AA1＝2∶1∶3，则A，B两点的球面距离为( )
A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3 解析：由题意知，长方体内接于球，此时具有两个性质： ①长方体的体对角线为球体的直径(由题意，直径为2)； ②长方体的中心就是球心O.
先由性质①：BD1＝AB2＋AD2＋AA21＝2， 再结合条件“AB∶AD∶AA1＝2∶1∶3”，可设AB＝2k，AD＝k，AA1＝3k，所以
有4k2＋k2＋3k2＝2，解得k＝22(负值舍去)．