随机环境中马氏链状态的常返性与暂留性
六.马尔可夫链3
例6.3.2 设状态空间S={1,2,3,4,5}的齐次马氏链,一步转 移概率矩阵为
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 1 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 0 ⎟ ⎠
P
试分析马氏链的状态的常返与否
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
(1) 若fii = 1, 则称状态i是常返的(返回的) 若fii < 1, 则称状态i是非常返的(滑过状态) (2) 若i是常返状态,且µii < +∞, 则称状态i为正常返状态.
若i是常返状态,且µii = +∞, 则称状态i为零常返状态. （消极常返状态） (3) 若di > 1, 则称状态i为周期状态,且周期为di . 若di = 1, 则称状态i为非周期状态. 若状态i是正常返的非周期状态.则称之为遍历状态.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
µii = +∞ ⎧非常返 ⎪ di > 1 状态 ⎨ f = 1 ⎧零常返 ii ⎪ 常返 ⎪ ⎧ 周期 ⎨ µ < +∞ ii ⎩ ⎪正常返 ⎪ ⎨ di = 1 ⎩ ⎪非周期 ⎩
fii < 1
遍历态
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
状态类型的判断
⋅P ( X n = j X n −1 = in −1 )
= ∑ ∑ L ∑ pii1 ⋅ pi1i2 ⋅L ⋅ pin−1 j
i1 ≠ j i2 ≠ j in−1 ≠ j
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
(n) (3) pij = P{ X n = j X 0 = i}
= P{U ( X l = j, X k ≠ j, k = 1, 2,L , l − 1), X n = j X 0 = i}
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
第3章马氏过程(应用随机过程,陈萍)
p
(n) ij
pij (0, n) pij (m, n)
(1) p p 特别地, n=1时,简记 ij ij
以下仅限于讨论齐次马氏链.
11
( n) 3) 记 Pn ( pij ) ,称Pn为{X k，k=0,1,2,… }的n步转移概 率矩阵. 若马氏链的状态空间E={1，2，··· ，N}，则称此马氏链 是有限马氏链。此时，其k步转移矩阵是一个N 阶方 阵 k k k
0.9 0.1 0
0 .3 0 .1 0 .6 P 0 0 .1 0 .9 0 0 1
14
二 若干实例
例3.1.1 独立随机变量和的序列
设{ξn, n≥0}为独立同分布随机变量序列，分布
律为P{ξn = k}= qk, k=0,1,…，
令 X n k ,则易证{Xn, n≥0}是一Markov链， k 0 且 q j i , j i , pij j i. 0, 显然，{ξn, n≥0}本身也是一Markov链.
2
回顾:Markov过程的定义 设随机过程
P{X t B | X t1 x1,..., X tn xn} P{X t B | X tn xn},
t1 t2 ... tn t, xi , i 1,..., n
X t ; t 若对
则称该过程为Markov过程，简称“马氏过程”。 (s t ) 称 P(s, x; t, B) P( X t B | X s x) 为转移概率函数.
P( X t0 i0 , , X tn1 in 1 X tn in ) P( X tn1 in 1 , , X tnm in m X tn in )
11.3 马 氏 链
一、马氏过程
马 氏 链
马尔科夫过程是由前苏联数学家A. A. Markov 首先提出和研究的一类随机过程, 已成为内容丰富, 理论较完善, 应用十分 广泛的一门数学分支, 应用涉及计算机、 自动控制、通信、生物学、 经济、气象、 物理、化学等等领域.
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系统特征 在已知系统现在所处状态下, 系统将来的演变规律与过去无关, 称为无后 效性.
p (0<p<1), 则各级输入状态和输出状态的转
移矩阵为
p 1 p P ( pij ) p 1 p E {0,1}, i , j E .
数字传输过程是齐次马氏链.
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EX.11.3 Polya模型（传染病模型） 设坛子中有b个黑球 , r 个红球. 从坛子中 随机地摸出一个球，然后将球放回并加入c 只同色球， 如此取和放 , 不断进行下去. 研 究坛子中黑色球个数.
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分析 设ξ(n)表示第n次摸球后坛子中的黑 球个数. 每取放一次后黑球或者增加 c 个黑 球, 或者不变. 显然, {ξ(n), n≥1}是马氏链，但 pij (n,1) P{ξ(n 1) j ξ(n) i } n时刻转移 i j i c; 概率与n有 b r nc , 关 , {ξ(n), i 1 , j i; n≥1}是非齐 b r nc 次马氏链 0,其他.
在时刻m, 老鼠处于各状态的概率只与第 m－1次时所处状态与转移概率有关，而与 第m－1次前的状态无关.
老鼠的随机转移状态运动过程是一个马氏链.
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三、齐次马氏链
定义11.3.3 若马氏链 {ξ(n), n≥0}的一步 转移概率与起始时刻无关，即对任意m pij (m,1) P{ξ(m 1) j ξ(m) i } pij (1) pij，
马氏链的极限分布和平稳分布
马氏链的极限分布和平稳分布马氏链是一种离散时间随机过程，具有马氏性质，即未来的状态只与当前的状态有关，而与过去的状态无关。
马氏链的极限分布和平稳分布是研究马氏链长期行为的重要概念。
在本文中，我们将详细介绍马氏链的极限分布和平稳分布的概念、性质以及计算方法。
首先，我们来介绍一下马氏链的极限分布。
马氏链的极限分布是指在长时间内，马氏链的状态分布趋于稳定的分布。
也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布将不再发生变化，而是收敛到一个固定的分布。
这个分布就是马氏链的极限分布。
马氏链的极限分布具有以下性质：1. 极限分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的极限分布就是唯一的。
2. 极限分布与初始分布无关：马氏链的极限分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。
3. 极限分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的极限分布是存在的。
接下来，我们来介绍马氏链的平稳分布。
平稳分布是指在长时间内，马氏链的状态分布保持不变的分布。
也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布不再发生变化，而是保持在一个固定的分布。
这个分布就是马氏链的平稳分布。
马氏链的平稳分布具有以下性质：1. 平稳分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的平稳分布就是唯一的。
2. 平稳分布与初始分布无关：马氏链的平稳分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。
3. 平稳分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的平稳分布是存在的。
在实际应用中，我们常常需要计算马氏链的极限分布和平稳分布。
下面，我们将介绍一些常用的计算方法。
对于有限状态的马氏链，可以通过迭代法来计算极限分布和平稳分布。
迭代法的基本思想是从一个初始的概率分布开始，通过不断地迭代计算，直到收敛到极限分布或平稳分布为止。
具体的迭代计算方法有很多种，常用的有幂法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
马尔科夫链初步
马氏链性质：常返性
• i常返当且仅当fii = 1 • i正常返当且仅当 Eiτi(1) = sum(n,0, ∞,n*f(n)ii) < ∞ • 状态i能到达j的充分必要条件是fij > 0 • 设j常返，k != j， j → k则 k常返 j↔k fjk = fkj = 1
马氏链性质：常返性
马氏链性质：周期性
• 定义{n : n ≥ 1, p(n)ii > 0}的最大公约数di为 状态i的周期 • 如果di > 1，则称为i的周期 • 如果di = 1，则称i为非周期的 • 如果i ↔ j，i与j有相同的周期或同为非周期 的
马氏链性质：不可约性
• 等价类：互通关系 i↔i i↔j⇔j↔I i ↔ j, j ↔ i ⇒ i ↔ k • 若状态空间只有一个类 则称马氏链是不可约的
不变测度和平稳分布：
• 设{Xn}为马氏链，P为其转移矩阵，如果 ν = {νj , j ∈ S} 为一列非负实数，并且满足 ν‘ =ν’P 则我们称ν为马氏链{Xn}的不变测度 • 如果ν为不变测度并且满足 sum(j∈S, νj )= 1 则我们称ν为马氏链{Xn}的不变测度
平稳分布的存在唯一性：
马氏链性质：常返性
• 定义： τi(0) = 0, τi(1) = inf{m ≥ 1,Xm = i}. 在(τi(1) < ∞)上，定义τi(2) = inf{m > τi(1) : Xm = i}，依次我们得到τi(n + 1) = inf{m > τi(n) : Xm = i}
马氏链性质：常返性
再给出一些等价和非等价的命题：
（另记N ∈ F{Xt, t ≥ tn},M ∈ F{Xt, t ≤ tn}） • 4. P{N|M,Xtn = in} = P{N|Xtn = in} • 5.（非等价）P{N|M,Xtn ∈ A} 6= P{F|Xtn ∈ A}
绕积马氏链的状态
Ｊ ×Ｂ
／ Ｐ ， × Ｂ （ × ） 皿 Ｂ：ｒ） ； Ｔ） ｄ ） （ ） ７ （ ＝ × （ Ｂ
是平稳环境－ 马氏 ４中 链．
设 是 至多可数 集 ， 是 的离散 一代数 ． （ ， ） 任意 的可测空 间． ｛ ， ∈ｅ 是 ０Ｂ 是 Ｐ（ ） ）
（ ） ， 上的转 移概率族 ，对 于任意 给定 的 ， ， （；，） Ｙ∈ Ｐ ｚＹ 是关 于 ０的 一代 数 的 实值可测 函数 ．记 ｚ是整 数集 ， 是非负整 数集 ， ：（ ｏｑ － ：（ ｚ是 定义在概 率空 间 ｘ ） － ∈ ）∈ － － ４
收稿日期：０９０ ８ ２０ － １ ２
基金项 目：安徽省高校省级 自然科学研究项 目 （ ２ １Ｂ １） ＫＪ００ ２ ６
数 学 研 究
２１ ０ ０矩
（， Ｐ 上 的随机序 列，且分别取值于 与 ０ 若 满 足 Ｑ ， ） ，
ＰＸ ∈ １ ： （０ ０ ） ０ ． Ａ （ｏ Ａ Ｙ） ＰＸ ∈ － ．Ｖ ｓ Ａ∈
。
记 Ｔ： ｚ— ｅ ， ∈０ ， ０ ｚｖ ｚ
） １事 实上 ，对任意 Ｂ∈１ ，若令 丌Ｂ ：Ｐ ∈Ｂ ＝ ＝ 卅 ． ３ ｚ （） （ ）
Ⅲ（ ×Ｂ ， ） 由于 皿是 不 变 测 度 ，则 有
Ｂ × ） ， ） ） ） 一 × （ ） ＝ Ｂ／ ； Ｂ ×
摘 要 主要研究了绕积马 链的各种状态，得到了相应的一些充要条件．同时利用 Ｆ ｇｅ 的 Ｌ 一理论对单 ｏ ｕｌ １
链 常返性与瞬时性进行了讨论，回答了单链 Ｘ 是 ７一 不可约链的本质，即绕积马氏链的相空间是最小闭 ｒ
集பைடு நூலகம்
关键词
随机环境；绕积马夭链；闭集；正则本质；不可约性 ｏ６１ ２ １． ６ 文献标识码 Ａ