数学111正弦定理人教A版必修18页PPT
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1.1.1正弦定理
3．解三角形是指求出三角形中未知的所有______． 4．三角形三个内角和为________． 练习2：在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，则C＝ ______. 答案：3．角的大小和边的长度 4．180°
练习2：解析：因为A＋B＋C＝180°，
所以C＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105°
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已知两角及一边解三角形 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，
解三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又 C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即 c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
7．解析：由sin B＝，0°＜B＜180°，知B＝30°或150°， 但当B＝150°时A＋B＞180°，矛盾，所以B＝30°.
答案：30° 8．45°或135° 金品质•高追求 我们让你更放心！
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自测自评 1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
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基础梳理 1．三角形分类：按三个角的特点分为________．按 边长特点分为_______________． 2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即________________________________． ＝
练习2：解析：因为A＋B＋C＝180°，
所以C＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105°
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已知两角及一边解三角形 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，
解三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又 C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即 c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
7．解析：由sin B＝，0°＜B＜180°，知B＝30°或150°， 但当B＝150°时A＋B＞180°，矛盾，所以B＝30°.
答案：30° 8．45°或135° 金品质•高追求 我们让你更放心！
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自测自评 1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
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基础梳理 1．三角形分类：按三个角的特点分为________．按 边长特点分为_______________． 2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即________________________________． ＝
余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
高中数学人教A版必修正弦定理PPT精品课件
由c sin C
=
a sin A
得
c 16
=
5 12
，解得c=
4 3
65 13
证明：作外接圆O，过B作直径BC’，
连接AC’
∵ BAC 90, C C '
sin C sin C ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
B
a
O
C
b
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C’
a b c 2R sin A sin B sin C
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法1：都化为边
把sinA= a , sin B b 代入上式，得
2R
2R
a a =b b 2R 2R
[例 3] 在△ABC 中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC 的形状．
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法2：都化为角 把a=2R sin A，b=2R sin B代入上式，得 2R sin2 A=2R sin2 B
a sin A sin A
sin A
=2 cos A=2 3 = 3 42
例4.三角形ABC中 （3）b=2asinB，则A=______.
2R sin B=2 2RsinAsinB 1=2sinA sin A= 1 A=300 或1500
2
下课了!
Байду номын сангаас
正 弦定 理
第二课时
正弦定理: a b c
sin A sin B sin C 已知两角及一边解三角形
例1.在ABC中，a=8，B=600，C=750，求c边。
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高一下学期数学人教A版必修第二册余弦定理、正弦定理应用举例(二)课件
a sin
sin180 (
)
a sin sin(
)
应用举例
B
例1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸
A
（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的
方法，并求出A，B间的距离.
δ
D
γ
β
图（1-2）
α
C
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
AB
AC2 BC2 2AC BC cos
课堂小结
问题3：回顾本节课所学的知识，思考：将实际问题数学化，进而使问题解 决的步骤是怎样的？
追问2：测量底部不可到达的建筑物高度的思路是怎样？ 答案：（1）在水平基线上选定两个基点，（2）测得基点距离和两个基 点的仰角，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到建筑物顶端距离的表达式， （4）利用锐角三角函数求出建筑物的高度，不要忽略了仪器的高度.
追问6：在上述测量的方案下，还有其他计算A， D
C
图（1-2）
B两点间距离的方法吗？
答案：在测得CD的长度以及 ACB，ACD，CDB 和BDA的角度后，在△ADC 和△BDC中利用余弦定理得到AB的大小.
应用举例
B
例1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸
A
（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的
a2 sin2 ( ) sin2 ( )
sin
a2 sin2 2 (
)
2a2
sin(
sin(
)sin cos )sin(
)
应用举例
B
例1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸
A
（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的
人教A版必修五 1.1.3 正、余弦定理综合ppt课件
栏 目 链 接
基础 梳理
3．在△ABC 中，若 c2＞a2＋b2，则△ABC 必是______ 三角形．
a ＋b － c 解析：∵cos C＝ <0，∴∠C 2ab 为钝角． 答案：钝角
2
2
2
栏 目 链 接
基础 梳理
两 条边相等或____ 两 个内角相等的三角形为等腰 4．有____ 三 条边均相等或______ 三 个内角均相等的三角形 三角形；____ 叫等边三角形． 1 1 1 5．S△ABC＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A. 2 2 2 已知a＝2，b＝3，C＝30° ，则三角形ABC的面积S△ABC
栏 目 链 接
点评：在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、 余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求 栏 边也可以求角． 目
链 接
跟踪 训练
4 6 6 2．在△ABC 中，已知 AB＝ ，cos B＝ ，AC 边上的中线 3 6 BD＝ 5，求 sin A.
分析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识， 同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力．
栏 目 链 接
3 2 ＝________.
自测 自评
1．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 ( C ) A．b＝20，A＝45° ，C＝80° B．a＝30，c＝28，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° 栏 目 D．a＝12，c＝15，A＝120°
链 接
自测 自评
2．在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120° ，则 sin A 的值为( A ) 57 21 A. B. 19 7 3 57 C. D．－ 38 19