高一各章节典型练习题
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (32)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+B（B表示事件B的对立事件）发生的概率为( )A．13B．12C．23D．562.若事件A与B为互斥事件，则下列表示正确的是( )A．P(A∪B)>P(A)+P(B)B．P(A∪B)<P(A)+P(B)C．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(A)+P(B)=13.某医院治疗一种疾病的治愈率为15．那么，前4个患者都没有治愈，第5个患者治愈的概率是( )A．1B．15C．45D．04.抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是( )A．1B．2C．4D．65.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C= {抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7B．0.65C．0.35D．0.56.甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A．0.95B．0.6C．0.05D．0.47.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发 1 个球．若在某局比赛中，甲发球贏球的概率为 12，甲接发球赢球的概率为 25，则在比分为 10:10 后甲先发球的情况下，甲以 13:11 赢下此局的概率为 ( ) A ． 225B ． 310C ． 110D ． 3258. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 ( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．19. 从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为奇数的概率是 ( ) A ． 15B ． 25C ． 12D ． 3510. 我们记事件 P 为明天会下雨，事件 Q 为明天会下暴雨，则有 ( ) A ． P ⊆Q B ． Q ⊆PC ． P =QD ．事件 P 与事件 Q 没有关系二、填空题（共6题）11. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为 x ，y ，则 xy 是整数的概率是 ．12. 思考辨析 判断正误某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )13. 设集合 A ={1,2}，B ={1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面上的一个点 P (a,b )，记“点 P (a,b ) 落在直线 x +y =n 上”为事件 C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件 C n 的概率最大，则 n 的所有可能值为 ．14. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．15. 某班有 42 名学生，其中选考物理的学生有 21 人，选考地理的学生有 14 人，选考物理或地理的学生有 28 人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ．16. 袋中 12 个小球，分别有红球、黑球、黄球各若干个（这些小球除颜色外其他都相同），从中任取一球，得到红球的概率为 13，得到黑球的概率比得到黄球的概率多 16，则得到黑球、黄球的概率分别是．三、解答题（共6题）17.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利润50元，若供大于求，则剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1) 若商店一天购进商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；(2) 商店记录了该商品50天内的日需求量n（单位：件，n∈N），将数据整理后得到下表：日需求量(单位:件)89101112频数(单位:天)91115105若商店一天购进10件该商品，以记录的50天内各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润（单位：元）在[400,550]内的概率．18.甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，如果向上的面的点数之和为偶数，则甲赢，否则乙赢．(1) 求两枚骰子向上的面的点数之和为8的概率；(2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．(1) 求甲连胜四场的概率；(2) 求需要进行第五场比赛的概率；(3) 求丙最终获胜的概率．20.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．高校相关人员抽取人数A18xB362C54y(1) 求x，y；(2) 若从高校B，C抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校C的概率．21. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29．(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．22. 海关对同时从 A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测．地区A B C 数量50150100(1) 求这 6 件样品中来自 A ，B ，C 各地区商品的数量；(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=46=23．【知识点】互斥事件的概率计算2. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算3. 【答案】B【解析】每一个患者治愈与否都是随机事件，故第5个患者被治愈的概率仍为15．【知识点】频率与概率4. 【答案】D【知识点】事件与基本事件空间5. 【答案】C【解析】因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P=1−P(A)=0.35．【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】A【解析】方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1−0.75)+(1−0.8)×0.75+0.8×0.75=0.95．方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1−0.2×0.25=0.95．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1=12×35×12×25=350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2=12×25×12×25=125．所以甲以13:11赢下此局的概率为P1+P2=110．【知识点】事件的相互独立性8. 【答案】B【解析】方法一：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），取出1个白球的方法有C101=10（种），取出1个红球的方法有C51=5（种），故取2个球，1白1红的方法有C101C51=50（种），所以P=50105=1021．方法二（间接法）：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），若取出的2个球是同色的，则取出的方法有C102+C52=55（种）．记“取出的2个球同色”为事件A，则P(A)=55105=1121．因此，取出的2个球不同色的概率为P=1−P(A)=1021．【知识点】古典概型9. 【答案】B【知识点】古典概型10. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】718【知识点】古典概型12. 【答案】×【知识点】频率与概率13. 【答案】3或4【解析】点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a,b)落在直线x+y=n上（2≤n≤5，n∈N），则当n=2时，P点是(1,1)，当n=3时，P点可能是(1,2)，(2,1)，当n=4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，当 n =5 时，P 点是 (2,3)，即事件 C 3，C 4 的概率最大，故 n =3 或 4． 【知识点】古典概型14. 【答案】13【解析】一次随机抽取两个数共有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 这六组，一个数是另一数的 2 倍的有 2 种， 故所求概率为 13．【知识点】古典概型15. 【答案】 16【解析】设选考物理的学生为集合 A ，选考地理的同学为集合 B ， 由题意得：Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B )， 即 28=21+14−Card (A ∩B )， 解得：Card (A ∩B )=7，所以该班有 7 人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 742=16， 故答案为：16． 【知识点】古典概型16. 【答案】 512，14【解析】因为得红球的概率为 13， 所以黑球或黄球的概率为 23．记“得到黄球”为事件 A ，“得到黑球”为事件 B ， 则 {P (A )+P (B )=23,P (B )−P (A )=16.所以 P (A )=14，P (B )=512． 【知识点】事件的关系与运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当 n ≥10 时，y =50×10+(n −10)×30=30n +200； 当 n <10 时，y =50×n −(10−n )×10=60n −100，所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ={30n +200,n ≥10,n ∈N60n −100,n <10,n ∈N ．根据题意求出当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式，应用了函数与方程思想． (2) 记录的 50 天内有 9 天获得的利润为 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有 15 天获得的利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元． 若当天的利润在 [400,550] 内，则该商品的日需求量可以为 9 件、 10 件、 11 件，其对应的频数分别为 11，15，10，则当天的利润在 [400,550] 内的概率 P =11+15+1050=3650=1825．【知识点】古典概型、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 若用 (x,y ) 表示甲得到的点数为 x ，乙得到的点数为 y ， 则样本空间可记为 Ω={(x,y )∣ x,y =1,2,3,4,5,6}， 则两人的投掷结果共有 36 个基本事件，两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的基本事件有 (2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，共 5 个， 所以两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的概率 P =536． (2) 这种游戏规则公平． 理由如下：设“甲胜”为事件 A ，“乙胜”为事件 B ．甲胜即点数之和为偶数，所包含的基本事件有 (1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共 18 个， 所以 P (A )=1836=12，P (B )=1−1836=12，所以 P (A )=P (B )，故此游戏规则公平． 【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 甲连胜四场的概率为116．(2) 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为 116；乙连胜四场的概率为 116；丙上场后连胜三场的概率为 18．所以需要进行第五场比赛的概率为 1−116−116−18=34． (3) 丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况；胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 116，18，18．因此丙最终获胜的概率为 18+116+18+18=716． 【知识点】事件的相互独立性、古典概型20. 【答案】(1) 由题意可得x 18=236=y54，所以 x =1，y =3．(2) 记从高校B 抽取的 2 人为 b 1，b 2，从高校C 抽取的 3 人为 c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b 1,b 2)，(b 1,c 1)，(b 1,c 2)，(b 1,c 3)，(b 2,c 1)，(b 2,c 2)，(b 2,c 3)，(c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 10 种，设选中的 2 人都来自高校C 的事件为 X ，则 X 包含的基本事件有 (c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 3 种，因此 P (X )=310，故选中的 2 人都来自高校C 的概率为 310． 【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 设 A 、 B 、 C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有 { P(A ⋅B)=14,P(B ⋅C)=112,P (A ⋅C )=29, 即 { P (A )⋅(1−P (B ))=14, ⋯⋯①P (B )⋅(1−P (C ))=112, ⋯⋯②P (A )⋅P (C )=29. ⋯⋯③ 由①、③得P (B )=1−98P (C ).代入②得 27[P (C )]2−51P (C )+22=0． 解得 P (C )=23 或119（舍去）．将 P (C )=23 分别代入 ③、② 可得 P (A )=13,P (B )=14. 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 13,14,23．(2) 记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则P (D )=1−P(D)=1−(1−P (A ))(1−P (B ))(1−P (C ))=1−23⋅34⋅13=56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 56. 【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) A ，B ，C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300，抽样比为 6300=150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150=1，150×150=3，100×150=2， 所以 A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1，3，2．(2) 方法一：设 6 件来自 A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2． 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：{A,B 1}，{A,B 2}，{A,B 3}，{A,C 1}，{A,C 2}，{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 1,C 1}，{B 1,C 2}，{B 2,B 3}，{B 2,C 1}，{B 2,C 2}，{B 3,C 1}，{B 3,C 2}，{C 1,C 2}，共 15 个．每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件 D ：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有：{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 2,B 3}，{C 1,C 2}，共 4 个． 所以 P (D )=415，即这 2 件商品来自相同地区的概率为415．方法二：这 2 件商品来自相同地区的概率为 C 32+C 22C 62=3+115=415．【知识点】分层抽样、古典概型。
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高中物理必修一各章节课后练习题(附答案解析)
高中物理必修一各章节课后练习题(附答案解析)1．在研究下述运动时，可以把物体看作质点的是()A．研究地球的自转问题B．研究体操运动员参赛时的姿势C．研究乒乓球的旋转效应D．研究火车从北京到上海所用时间【解析】在研究火车从北京到上海的运动时，火车的长度、形状与北京到上海的距离相比可以忽略，可以把火车视为质点，而对地球的自转、运动员的姿势、乒乓球旋转等现象中的物体，其大小或形状不能忽略，不能视为质点．【答案】D2．关于参考系，下列说法正确的是()A．参考系必须是静止不动的物体B．参考系必须是静止不动或正在做直线运动的物体C．研究物体的运动，可选择不同的参考系，但选择不同的参考系观察结果是一样的D．研究物体的运动，可选择不同的参考系，但选择不同的参考系对于研究同一物体的运动而言，一般会出现不同的结果【解析】参考系的选取是任意的，A、B错误；选择不同的参考系，对同一物体运动的描述一般是不同的，C错误、D正确．【答案】D3．下列关于运动的说法中，正确的是()A．物体的位置没有变化就是不运动B．两物体间的距离没有变化，两物体一定都是静止的C．自然界中没有不运动的物体，运动是绝对的，静止是相对的D．为了研究物体的运动，必须先选参考系，平常说的运动或静止是相对于地球而言【解析】物体的位置对某一参考系不变，但对另一参考系位置可能变化，物体在运动，故A错误；两物体间距离没有变化，两者可能静止，也可能以相同的速度运动，故B错误；对于不同的参考系，同一物体可能静止，也可能运动，由于参考系的选择是任意的，故C、D正确．【答案】CD4．(2012·杭州二中高一检测)明代诗人曾写下这样一首诗：“空手把锄头，步行骑水牛；人在桥上走，桥流水不流．”其中“桥流水不流”中的“桥流”应理解成其选择的参考系是()A．水B．桥C．人D．河岸【解析】“水不流”是以水为参考系，而桥相对于水是运动的，故A正确．【答案】A图1－1－105．在我国东南部的某大城市，有一天下午，在该城市的中心广场行人拥挤，有人突然高喊“楼要倒了！”其他人猛然抬头观看，也发现楼在慢慢倾倒，便纷纷狂奔逃生，引起交通混乱，但过了好久，高楼并没有倒塌．人们再仔细观望时，楼依然稳稳地矗立在那里，如图1－1－10所示．下面有关探究分析这一现象原因的说法中正确的是()A．是一种错觉，不可能发生B．感觉楼要倾倒的原因是人在运动C．是因为选择了高空运动的云作为参考系D．是因为选择了旁边更高的楼作为参考系【解析】若人以旁边的楼作为参考系，两个楼之间是相对静止的，人会感觉楼是静止的，D错．若人以高空运动的云作为参考系，认为云是静止的，那么楼相对云是运动的，人就感觉楼在动，即感觉楼在慢慢倾倒，C对，A、B错．【答案】C6．(2012·郑州一中高一检测)公路上一辆卡车紧急刹车，由于惯性，卡车上的货物相对车厢向前滑行了x＝5 cm，为了测出这个距离x，我们选取的最合理的参考系应该是()A．树木B．行人C．卡车D．公路【解析】参考系的选取是任意的，但当研究具体问题时，要以简单为准，本题中以卡车为参考系最方便，故选项C正确．【答案】C7.图1－1－11某空军红鹰飞行表演队驾驶我国自主研制的k－8高级教练机首次亮相，飞出特高难动作，如图1－1－11为六机低空拉烟通场表演，以非常一致的飞行姿态通过观礼台．飞机编队保持队形不变．下列关于飞机运动情况的说法正确的是() A．地面上的人看到飞机飞过，是以地面为参考系B．飞行员看到观礼台向后掠过，是以飞机为参考系C．以编队中某一飞机为参考系，其他飞机是静止的D．以编队中某一飞机为参考系，其他飞机是运动的【解析】飞机相对地面及地面上的建筑物向前飞行，而地面上的建筑物相对飞机向后运动．可见，地面上的人看到飞机飞过是以地面为参考系．飞行员看到观礼台向后掠过是以飞机为参考系，A、B正确，由于飞机编队保持队形不变，所以以某一飞机为参考系，其他飞机是静止的，C对、D错．【答案】ABC图1－1－128．(2012·石家庄一中高一期中)如图1－1－12是体育摄影中“追拍法”的成功之作，摄影师眼中清晰的滑板运动员是静止的，而模糊的背景是运动的，摄影师用自己的方式表达了运动的美．请问摄影师选择的参考系是()A．大地B．太阳C．滑板运动员D．步行的人【解析】由于摄影师眼中运动员是静止的，所以摄影师选择的参考系是滑板运动员，此时背景相对运动员是运动的，从而模糊不清，故C正确．【答案】C9．为了提高枪械射击时的准确率，制造时会在枪膛上刻上螺旋形的槽．这样，当子弹在枪管中运动时，会按照旋转的方式前进．离开枪管后，子弹的高速旋转会降低空气密度、侧风等外部环境对子弹的影响，从而提高子弹飞行的稳定性．下列关于子弹运动的说法中正确的是()A．当研究子弹的旋转对子弹飞行的影响时可以把子弹看做质点B．当研究子弹射击百米外的靶子所用的时间时可以把子弹看做质点C．无论研究什么问题都可以把子弹看做质点D．能否将子弹看做质点，取决于我们所研究的问题【解析】在研究子弹的旋转对子弹飞行的影响时不能忽略子弹的大小和形状，因而不可以把子弹看做质点；但研究子弹射击百米外的靶子所用的时间时，其大小和形状可以忽略，可以看做质点，故选项B、D正确．【答案】BD10．如图1－1－13所示，某人从学校门口A处开始散步，先向南走了50 m 到达B处，再向东走100 m到达C处，最后又向北走了150 m到达D处，则A、B、C、D各点位置如何表示？图1－1－13【解析】可以以A点为坐标原点，向东为x轴的正方向，向北为y轴的正方向，如图所示，则各点坐标为A(0,0)、B(0，－50 m)、C(100 m，－50 m)、D(100 m，100 m)．【答案】见解析11．以某十字路口的交通岗亭为坐标原点，向东为x轴正方向，向南为y轴正方向，画出用坐标系描述坐标为(－60 m,80 m)的建筑物相对交通岗亭的位置，并求该建筑物距岗亭的距离．【解析】二维坐标系的坐标值顺序为x坐标、y坐标，故该建筑物的坐标x＝－60 m、y＝80 m，该建筑物位于交通岗亭西60 m、南80 m处，由勾股定理可知该建筑物距交通岗亭100 m.【答案】见下图100 m图1－1－1412．如图1－1－14所示，一根长0.8 m的杆，竖直放置，今有一内径略大于杆直径的环，从杆的顶点A向下滑动，向下为正方向，(1)取杆的下端O为坐标原点，图中A、B两点的坐标各是多少？环从A到B的过程中，位置变化了多少(OB间距离为0.2 m)?(2)取A端为坐标原点，A、B点的坐标又是多少？环从A到B的过程中位置变化了多少？(3)由以上两问可以看出，坐标原点的不同是对位置坐标有影响还是对位置变化有影响？【解析】(1)由于杆长0.8 m，OB为0.2 m，题目给出坐标系向下为正方向，故以O点为坐标原点，A、B的坐标分别为x A＝－0.8 m，x B＝－0.2 m．由A到B位置变化为x B－x A＝－0.2 m－(－0.8) m＝0.6 m.(2)由题意知，AB长为0.6 m，以A为原点，A、B两点的坐标分别为x A＝0，x B＝0.6 m．A到B位置变化为x B－x A＝0.6 m－0＝0.6 m.(3)坐标原点选的不同，同一位置的坐标不同，但位置变化相同．【答案】(1)x A＝－0.8 m x B＝－0.2 mx B－x A＝0.6 m(2)x A＝0x B＝0.6 mx B－x A＝0.6 m(3)坐标不同位置变化相同1．关于矢量和标量，下列说法中正确的是()A．矢量是既有大小又有方向的物理量B．标量是既有大小又有方向的物理量C．位移－10 m比5 m小D．－10 ℃比5 ℃的温度低【解析】由矢量的定义可知，A正确，B错误；位移的正、负号只表示方向，不表示大小，其大小由数值和单位决定，所以－10 m的位移比5 m的位移大，故C错误；温度的正、负是相对温度为0 ℃时高出和低于的温度，所以－10 ℃比5 ℃的温度低，故D正确．【答案】AD2．关于路程和位移的关系，下列说法正确的是()A．物体沿直线向某一方向运动时，通过的路程就是位移B．物体沿直线向某一方向运动时，通过的路程等于位移的大小C．物体通过的路程不为零，位移也一定不为零D．物体的位移为零，路程也一定为零【解析】位移是有向线段，是矢量，而路程是标量，二者是不同概念，A 错．当物体做单向直线运动时，位移大小与路程相等，B正确．位移大小和路程无直接关系，路程不为零，但可能是运动物体又回到出发点，位移为零，即C、D均错．【答案】B3．(2012·西安一中检测)根据材料，结合已学的知识，判断下列说法正确的是()(甲)(乙)(丙)图1－2－5A．图(甲)为我国派出的军舰护航线路图，总航程4 500海里，总航程4 500海里指的是位移B．图(甲)为我国派出的军舰护航线路图，总航程4 500海里，总航程4 500海里指的是路程C．如图(乙)所示是奥运火炬手攀登珠峰的线路图，由起点到终点火炬手所走线路的总长度是火炬手的位移D．如图(丙)所示是高速公路指示牌，牌中“25 km”是指从此处到下一个出口的位移是25 km【解析】 4 500海里的总航程指路程，B正确，A错误；火炬手所走路线总长度指路程，C错误；25 km指从此处到下一出口的路程，D错误．【答案】B图1－2－64．如图1－2－6所示，“神舟八号”飞船于2011年11月1日5时58分10秒在酒泉卫星发射中心发射升空，583秒后精准进入轨道．从“神舟八号”飞船发射到与“天宫一号”对接，大约耗时2天．此后飞船绕地球稳定运行．下列说法正确的是()A．5时58分10秒表示时间间隔B．“神舟八号”绕地球运行过程中位移大小始终小于路程C．2天表示时刻D．研究“神舟八号”绕地球运行的轨迹时，可以将飞船看成质点【解析】5时58分10秒表示时刻，2天表示时间间隔，A、C错误；“神舟八号”绕地球运行过程中，轨迹为曲线，位移大小始终小于路程，B正确；研究“神舟八号”绕地球运行的轨迹时，飞船大小对轨迹影响不大，可以将飞船看成质点，D正确．【答案】BD图1－2－75．由天津去上海，可以乘火车，也可以乘轮船，如图1－2－7所示，曲线ACB和虚线ADB分别表示天津到上海的铁路线和海上航线，线段AB表示天津到上海的直线距离，则下列说法中正确的是()A．乘火车通过的路程等于其位移的大小B．乘轮船通过的路程等于其位移的大小C．乘火车与轮船通过的位移大小相等D．乘火车与轮船通过的位移大小不相等【解析】只有在单向直线运动中位移大小才等于路程，A、B错误；位移只与初末位置有关，与路径无关，C正确，D错误．【答案】C6．一个物体从A点运动到B点，下列结论正确的是()A．物体的位移一定等于路程B．物体的位移与路程的方向相同，都从A指向BC．物体位移的大小总是小于或等于它的路程D．物体的位移是直线，而路程是曲线【解析】位移是矢量，路程是标量，A、B错误；物体做单向直线运动时，位移的大小等于路程，做其他类型运动时，位移的大小小于路程，C正确；位移和路程都是描述物体运动的物理量，位移与初、末位置有关，路程与运动轨迹有关，不一定是曲线，D错误．【答案】C7．在2012年国际田联室内世锦赛男子800 m决赛中，埃塞俄比亚选手阿曼以1分48秒36夺冠．对于材料中800 m比赛的说法正确的是() A．位移相同比较运动的时刻B．位移相同比较运动的时间间隔C．路程相同比较运动的时刻D．路程相同比较运动的时间间隔【解析】800米比赛时，选手的起点位置是不同的，但跑过的路程相同．比赛比较的是完成全程所用的时间，指的是时间间隔．故D项正确．【答案】D8．北京时间2012年10月25日23时33分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，将第16颗北斗导航卫星发射升空并送入太空预定轨道．这标志着中国北斗卫星导航系统工程建设又迈出重要一步，北斗卫星导航系统将免费提供定位、测速和授时服务，定位精度10 m，测速精度0.2 m/s.以下说法正确的是()A．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位移B．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位置C．北斗导航卫星授时服务提供的是时间间隔D．北斗导航卫星授时服务提供的是时刻【解析】由位置、位移、时间间隔、时刻的定义可知，北斗导航卫星定位提供的是一个点，是位置，不是位置的变化，A错、B对．北斗导航卫星授时服务提供的是时刻，C错，D对．【答案】BD图1－2－89．(2012·保定一中高一检测)如图1－2－8所示，自行车的车轮半径为R，车轮沿直线无滑动地滚动，当气门芯由轮子的正上方第一次运动到轮子的正下方时，气门芯位移的大小为()A．πR B．2RC．2πR D．R4＋π2【解析】如图所示，气门芯由轮子的正上方第一次运动到轮子的正下方的过程中，初末位置之间的距离，也就是位移大小为x＝(2R)2＋(πR)2＝R4＋π2，因此选项D正确，其他选项均错误．【答案】D10．在图1－2－9中，汽车初位置的坐标是－2 km，末位置的坐标是1 km.求汽车的位移的大小和方向．图1－2－9【解析】由题意知，汽车在初、末位置的坐标分别为x1＝－2 km，x2＝1 km.所以汽车的位移为Δx＝x2－x1＝1 km－(－2) km＝3 km，位移的方向与x轴正方向相同．【答案】 3 km与x轴正方向相同11．某测绘规划技术人员在一次对某学校进行测量时，他从操场上某点A处开始，先向南走了30 m到达B处，再向东走了40 m到达C处，最后又向北走了60 m到达D处，则：(1)这人步行的总路程和位移的大小各是多少？(2)要比较确切地表示此人的位置变化，应该用位移还是路程？【解析】(1)如图，三角形AED为直角三角形，AE＝40 m，DE＝30 m，所以AD＝AE2＋DE2＝50 m，A、D分别为起点和终点，所以位移的大小是50 m.他走过的路程为：30 m＋40 m＋60 m＝130 m.(2)为了确切描述此人的位置变化，应该用位移，这样既能表示他相对出发点的距离，又能表示他相对出发点的方位．【答案】(1)130 m50 m(2)位移图1－2－1012．(2012·杭州一中高一检测)图1－2－10为400 m的标准跑道，直道部分AB、CD的长度均为100 m，弯道部分BC、DA是半圆弧，其长度也为100 m．A 点为200 m赛跑的起点，经B点到终点C.求：(1)200 m赛跑的路程和位移；(2)跑至弯道BC的中点P时的路程和位移．(结果保留一位小数)【解析】(1)在200 m赛跑中，200 m指路径的长度，即路程是200 m；位移是从起点A指向终点C的有向线段，因BC是半圆弧，则直径d＝2×100πm≈63.7 m，故位移的大小AC＝AB2＋d2≈118.6 m，方向由A指向C.(2)跑至弯道BC的中点P时，路程是s＝AB＋BP＝100 m＋50 m＝150 m；位移的大小AP＝(AB＋d2)2＋(d2)2≈135.6 m方向由A指向P.【答案】(1)200 m118.6 m，方向由A指向C(2)150 m135.6 m，方向由A指向P.1．关于矢量和标量，下列说法中正确的是()A．矢量是既有大小又有方向的物理量B．标量是既有大小又有方向的物理量C．位移－10 m比5 m小D．－10 ℃比5 ℃的温度低【解析】由矢量的定义可知，A正确，B错误；位移的正、负号只表示方向，不表示大小，其大小由数值和单位决定，所以－10 m的位移比5 m的位移大，故C错误；温度的正、负是相对温度为0 ℃时高出和低于的温度，所以－10 ℃比5 ℃的温度低，故D正确．【答案】AD2．关于路程和位移的关系，下列说法正确的是()A．物体沿直线向某一方向运动时，通过的路程就是位移B．物体沿直线向某一方向运动时，通过的路程等于位移的大小C．物体通过的路程不为零，位移也一定不为零D．物体的位移为零，路程也一定为零【解析】位移是有向线段，是矢量，而路程是标量，二者是不同概念，A 错．当物体做单向直线运动时，位移大小与路程相等，B正确．位移大小和路程无直接关系，路程不为零，但可能是运动物体又回到出发点，位移为零，即C、D均错．【答案】B3．(2012·西安一中检测)根据材料，结合已学的知识，判断下列说法正确的是()(甲)(乙)(丙)图1－2－5A．图(甲)为我国派出的军舰护航线路图，总航程4 500海里，总航程4 500海里指的是位移B．图(甲)为我国派出的军舰护航线路图，总航程4 500海里，总航程4 500海里指的是路程C．如图(乙)所示是奥运火炬手攀登珠峰的线路图，由起点到终点火炬手所走线路的总长度是火炬手的位移D．如图(丙)所示是高速公路指示牌，牌中“25 km”是指从此处到下一个出口的位移是25 km【解析】 4 500海里的总航程指路程，B正确，A错误；火炬手所走路线总长度指路程，C错误；25 km指从此处到下一出口的路程，D错误．【答案】B图1－2－64．如图1－2－6所示，“神舟八号”飞船于2011年11月1日5时58分10秒在酒泉卫星发射中心发射升空，583秒后精准进入轨道．从“神舟八号”飞船发射到与“天宫一号”对接，大约耗时2天．此后飞船绕地球稳定运行．下列说法正确的是()A．5时58分10秒表示时间间隔B．“神舟八号”绕地球运行过程中位移大小始终小于路程C．2天表示时刻D．研究“神舟八号”绕地球运行的轨迹时，可以将飞船看成质点【解析】5时58分10秒表示时刻，2天表示时间间隔，A、C错误；“神舟八号”绕地球运行过程中，轨迹为曲线，位移大小始终小于路程，B正确；研究“神舟八号”绕地球运行的轨迹时，飞船大小对轨迹影响不大，可以将飞船看成质点，D正确．【答案】BD图1－2－75．由天津去上海，可以乘火车，也可以乘轮船，如图1－2－7所示，曲线ACB和虚线ADB分别表示天津到上海的铁路线和海上航线，线段AB表示天津到上海的直线距离，则下列说法中正确的是()A．乘火车通过的路程等于其位移的大小B．乘轮船通过的路程等于其位移的大小C．乘火车与轮船通过的位移大小相等D．乘火车与轮船通过的位移大小不相等【解析】只有在单向直线运动中位移大小才等于路程，A、B错误；位移只与初末位置有关，与路径无关，C正确，D错误．【答案】C6．一个物体从A点运动到B点，下列结论正确的是()A．物体的位移一定等于路程B．物体的位移与路程的方向相同，都从A指向BC．物体位移的大小总是小于或等于它的路程D．物体的位移是直线，而路程是曲线【解析】位移是矢量，路程是标量，A、B错误；物体做单向直线运动时，位移的大小等于路程，做其他类型运动时，位移的大小小于路程，C正确；位移和路程都是描述物体运动的物理量，位移与初、末位置有关，路程与运动轨迹有关，不一定是曲线，D错误．【答案】C7．在2012年国际田联室内世锦赛男子800 m决赛中，埃塞俄比亚选手阿曼以1分48秒36夺冠．对于材料中800 m比赛的说法正确的是() A．位移相同比较运动的时刻B．位移相同比较运动的时间间隔C．路程相同比较运动的时刻D．路程相同比较运动的时间间隔【解析】800米比赛时，选手的起点位置是不同的，但跑过的路程相同．比赛比较的是完成全程所用的时间，指的是时间间隔．故D项正确．【答案】D8．北京时间2012年10月25日23时33分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，将第16颗北斗导航卫星发射升空并送入太空预定轨道．这标志着中国北斗卫星导航系统工程建设又迈出重要一步，北斗卫星导航系统将免费提供定位、测速和授时服务，定位精度10 m，测速精度0.2 m/s.以下说法正确的是()A．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位移B．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位置C．北斗导航卫星授时服务提供的是时间间隔D．北斗导航卫星授时服务提供的是时刻【解析】由位置、位移、时间间隔、时刻的定义可知，北斗导航卫星定位提供的是一个点，是位置，不是位置的变化，A错、B对．北斗导航卫星授时服务提供的是时刻，C错，D对．【答案】BD图1－2－89．(2012·保定一中高一检测)如图1－2－8所示，自行车的车轮半径为R，车轮沿直线无滑动地滚动，当气门芯由轮子的正上方第一次运动到轮子的正下方时，气门芯位移的大小为()A．πR B．2RC．2πR D．R4＋π2【解析】如图所示，气门芯由轮子的正上方第一次运动到轮子的正下方的过程中，初末位置之间的距离，也就是位移大小为x＝(2R)2＋(πR)2＝R4＋π2，因此选项D正确，其他选项均错误．【答案】D10．在图1－2－9中，汽车初位置的坐标是－2 km，末位置的坐标是1 km.求汽车的位移的大小和方向．图1－2－9【解析】由题意知，汽车在初、末位置的坐标分别为x1＝－2 km，x2＝1 km.所以汽车的位移为Δx＝x2－x1＝1 km－(－2) km＝3 km，位移的方向与x轴正方向相同．【答案】 3 km与x轴正方向相同11．某测绘规划技术人员在一次对某学校进行测量时，他从操场上某点A处开始，先向南走了30 m到达B处，再向东走了40 m到达C处，最后又向北走了60 m到达D处，则：(1)这人步行的总路程和位移的大小各是多少？(2)要比较确切地表示此人的位置变化，应该用位移还是路程？【解析】(1)如图，三角形AED为直角三角形，AE＝40 m，DE＝30 m，所以AD＝AE2＋DE2＝50 m，A、D分别为起点和终点，所以位移的大小是50 m.他走过的路程为：30 m＋40 m＋60 m＝130 m.(2)为了确切描述此人的位置变化，应该用位移，这样既能表示他相对出发点的距离，又能表示他相对出发点的方位．【答案】(1)130 m50 m(2)位移图1－2－1012．(2012·杭州一中高一检测)图1－2－10为400 m的标准跑道，直道部分AB、CD的长度均为100 m，弯道部分BC、DA是半圆弧，其长度也为100 m．A 点为200 m赛跑的起点，经B点到终点C.求：(1)200 m赛跑的路程和位移；(2)跑至弯道BC的中点P时的路程和位移．(结果保留一位小数)【解析】(1)在200 m赛跑中，200 m指路径的长度，即路程是200 m；位移是从起点A指向终点C的有向线段，因BC是半圆弧，则直径d＝2×100πm≈63.7 m，故位移的大小AC＝AB2＋d2≈118.6 m，方向由A指向C.(2)跑至弯道BC的中点P时，路程是s＝AB＋BP＝100 m＋50 m＝150 m；位移的大小AP＝(AB＋d2)2＋(d2)2≈135.6 m方向由A指向P.【答案】(1)200 m118.6 m，方向由A指向C(2)150 m135.6 m，方向由A指向P.1．下列所说的速度中，哪些是瞬时速度()A．百米赛跑的运动员以9.5 m/s的速度冲过终点线B. 2011年8月28日铁路调整列车运行后，部分高铁和客专的动车组速度悄然降低，如济南西—杭州的G51次列车，在沪杭高铁段时速由350 km降至300 kmC. 返回地面的太空舱以8 m/s的速度落入太平洋D. 由于堵车，在隧道内的车速仅为1.2 m/s【解析】9.5 m/s是运动员冲线瞬间的速度，8 m/s是太空舱落入太平洋瞬间的速度，对应的都是一个时刻，都是瞬时速度；350 km/h、300 km/h、1.2 m/s 说的都是行程中的平均速度，故应选A、C两项．【答案】AC2．(2012·海口一中高一检测)对于瞬时速度和平均速度的理解，下列说法正确的是()A．瞬时速度为0，平均速度一定为0B．瞬时速度为0，平均速度可以不为0C．瞬时速度不为0，平均速度一定不为0D．瞬时速度不为0，平均速度可以为0【解析】车辆中途刹车停止后，再启动运行的一段时间内平均速度不为0，但停止时的瞬时速度为0，A错误；B正确；物体沿一圆周运动一圈的过程中，瞬时速度不为0，但位移为0，所以平均速度为0，C错误，D正确．【答案】BD图1－3－53．(2012·玉溪高一检测)2012伦敦奥运会中，牙买加选手博尔特是公认的世界飞人，他在男子100 m 决赛和男子200 m 决赛中分别以9.63 s 和19.32 s 的成绩破两项世界纪录，获得两枚金牌，如图1－3－5所示．关于他在这两次决赛中的运动情况，下列说法正确的是( )A ．200 m 决赛中的位移是100 m 决赛的两倍B ．200 m 决赛中的平均速度约为10.35 m/sC ．100 m 决赛中的平均速度约为10.38 m/sD ．100 m 决赛中的最大速度约为20.64 m/s【解析】 200 m 决赛是曲线，指路程，其位移小于200 m ，因此选项A 错误．由于200 m 决赛的位移x 1<200 m ，则平均速度v 1＝x 1t 1<20019.32 m/s ≈10.35 m/s ，故选项B 错.100 m 决赛的平均速度v 2＝x 2t 2＝1009.63 m/s ≈10.38 m/s ，故C 选项正确.100 m 决赛中的最大速度无法求得，故选项D 错误．【答案】 C4．下列说法中正确的是( )A ．在相等的时间内发生的位移相等则物体一定做匀速直线运动B ．做匀速运动的物体，在任何一个时刻的速度都相等C ．如果物体运动的路程跟所需时间的比值是一恒量，则该物体的运动一定是匀速直线运动D ．以上说法都不对【解析】 匀速直线运动中，在任何相等的时间内发生的位移相等，且瞬时速度不变，B 正确．【答案】 B5．用同一张底片对着小球运动的路径每隔110 s 拍一次照，得到的照片如图1－3－6所示，则小球在图示过程的平均速度是( )。
人教版高一数学必修一各章节同步练习(含答案)
第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。
高一全套练习必修1各章节练习及期末复习卷39第七章 单元检测题
高一全套练习必修1各章节练习及期末复习卷39第七章单元检测题一、选择题(每题有一个或两个选项符合题意) 1.下列说法正确的是( )A.锗、硅元素的单质都是半导体材料B.CH4、SiH4、GeH4C.H2CO3、H2SiO3、H2GeO3的酸性依次增强 D.C、Si、Ge、Sn、Pb的熔 2.下列物质中，可做光导纤维重要原料的有( ) A.石灰石 B.玻璃 C.二氧化硅 D. 高温3.SiO2+3C SiC+2CO反应中，还原剂与氧化剂物质的量之比为( ) A.3∶5B.5∶3C.1∶2D.2∶1 4.下列说法正确的是( ) A.SiO2 B.CO2C.SiO2D.高温时SiO2可和Na2CO3反应放出CO2，是制造玻璃的反应之一，生成的Na2SiO3是玻璃成分5.生石灰中往往含有杂质碳酸钙和二氧化硅，检验是否存在这两种杂质最好选用( ) A.水 B.盐酸 C.硫酸 D. 6.人类已知的化合物，种类最多的是( ) A.第ⅡA族元素的化合物 B.第ⅢA C.第ⅣA族元素的化合物 D.第ⅤA 7.关于硅的下列叙述中，正确的是( ) A. B. C. D.8.用足量CO原14g铁的氧化物或铁的氧化物的混和物，将生成的CO2通入澄清的石灰水中，得到25g沉淀，则该物质不可能是( )A.FeO、Fe2O3B.Fe2O3、Fe3O4C.FeO、Fe3O4D. Fe2O3 9.在标准状况下，将CO2和CO的混合气体(密度为10g/L)充满一盛有足量Na2O2的密闭器7中(容积为22.4L)，用间断的电火花引发至充分反应，反应完成后，对容器里存在的物质的叙述正确的是( )A.存在0.5mol COB.存在0.125mol O2C.存在0.25mol Na2CO3D.存在0.5mol Na2 CO3 10.下列各组物质均属于硅酸盐工业产品的是( )A.陶瓷、水泥B.单晶硅、玻璃C.普钙、漂白粉D.2-11.可以肯定溶液中大量存在CO3的理由是( ) A.加入AgNO3 B.C.加入CaCl2溶液时有白色沉淀产生，再加稀盐酸沉淀溶解，产生可使澄清石灰水变浑浊的感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (55)
高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 某位教师 2018 年的家庭总收入为 80000 元，各种用途占比统计如下面的折线图．2019 年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2019 年的就医费用比 2018 年的就医费用增加了 4750 元，则该教师 2019 年的旅行费用为 ( )A ． 21250 元B ． 28000 元C ． 29750 元D ． 85000 元2. 总体由编号为 01，02，⋯，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 11 列和第 12 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 ( )4698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707A ． 11B ． 14C ． 16D ． 203. 设 x 1，x 2，⋯，x n 为样本数据，令 f (x )=∑(x i −x )2n i=1，则 f (x ) 的最小值点为 ( )A ．样本众数B ．样本中位数C ．样本标准差D ．样本平均数4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ( ) A ． 134 石B ． 169 石C ． 338 石D ． 1365 石5. 如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 ( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，76. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( )A ．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B ．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间7. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差． 其中根据数据能得到的统计结论的编号为 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8. 某项测试成绩满分为 10 分，现随机抽取 30 名学生参加测试，得分情况如图所示，假设得分值的中位数为 m e ，平均数为 x ，众数为 m 0，则 ( )A ． m e =m 0=xB ． m e =m 0<xC ． m e <m 0<xD ． m 0<m e <x9. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数，众数，极差分别是 ( )125202333124489455577889500114796178A ． 46，45，56B ． 46，45，53C ． 47，45，56D ． 45，47，5310. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“联系 5 天的日平均温度均不低于 22∘C ”．现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）． ① 甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ② 乙地：5 个数据的中位数为 27，平均数为 24；③ 丙地：5 个数据中有一个数据是 32，平均数为 26，方差为 10.8． 则肯定进入夏季的地区有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个二、填空题（共6题）11. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12．三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲 ，乙 ，丙 ．12. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中A 种型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n = ．13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程 y ^=0.67x+54.9．零件数x/个1020304050加工时间y/min62■758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．14.下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于22.5∘C的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5∘C的城市个数为．15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=（结果保留3位小数）．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的三组学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为．16.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是．三、解答题（共6题）17.要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？18.某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74分别求男生、女生得分的四分位数．19.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如表所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．20.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，试计算样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和．21.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40人．为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8环，8.5环，8.1环，试估计该武警大队队员的平均射击水平．22.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量(单位:度)[0,200](200,400](400,+∞)电价(单位:元/度)0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65=266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元200×0.61+(400−200)×0.66+(410−400)×0.91=263.1元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88，268，370，140，440，420，520，320，230，380．(1) 完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2) 根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3) 设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意可知，2018年的就医花费为80000×10%=8000（元），×35=则2019年的就医花费为8000+4750=12750（元），2019年的旅行费用为1275015 29750（元）．【知识点】频率分布直方图2. 【答案】D【解析】由随机数法的抽样过程及题意知，选出的5个个体的编号为：16，11，14，10，20，故第5个个体的编号是20．【知识点】简单随机抽样3. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征4. 【答案】B≈169石，故选：B．【解析】由题意，这批米内夹谷约为1534×28254【知识点】简单随机抽样5. 【答案】A【解析】由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3．【知识点】茎叶图、样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%，故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（万元），超过6.5万元，故C错误．综上，给出结论中不正确的是C ． 故选：C ．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确． 【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】D【解析】由图知 m 0=5．由中位数的定义知应该是第 15 个数与第 16 个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第 15 个数是 5，第 16 个数是 6， 所以 m e =5+62=5.5，x =3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×230≈5.97>5.5,所以 m 0<m e <x ．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图9. 【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 45+472=46，众数是 45，极差为 68−12=56．所以选A ．【知识点】茎叶图、样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】甲地肯定进入，因为众数为 22，所以 22 至少出现两次，若有一天低于 22∘C ，则中位数不可能为 24；丙地肯定进入，令 x 为其中某天的日平均温度，则 10.8×5−(32−26)2=18>(x −26)2，若 x ≤21，上式显然不成立；乙地不一定进入，如 13，23，27，28，29．【知识点】样本数据的数字特征二、填空题（共6题）11. 【答案】众数；平均数；中位数【解析】甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x=4+6×3+8+9+12+138=8；丙：该组数据的中位数是7+92=8．【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】80【知识点】分层抽样13. 【答案】68【解析】由表知x=30，设模糊不清的数据为m，则y=15×(62+y+75+81+89)=307+m5，因为y=0.67x+54.9，即307+m5=0.67×30+54.9，解得m=68．【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】9【解析】设样本容量为n，则(0.1+0.12)n=11，解得n=50，故气温不低于25.5∘C的城市个数为50×0.18=9．【知识点】频率分布直方图15. 【答案】0.030；3【解析】因为0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1，所以a=0.030．设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的三组学生分别有x，y，z人．则x100=0.030×10，解得x=30．同理，y=20，z=10．故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为1030+20+10×18=3．【知识点】分层抽样、频率分布直方图16. 【答案】5；7【解析】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，因为10×50%=5，所以该组数据的第50百分位数是4+62=5．因为10×75%=7.5，第75百分位数是7．【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题）17. 【答案】分组，频数累计，计算频数和频率．【知识点】频率分布直方图18. 【答案】对男生得分由小到大排序为35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94，共20个数据，所以20×25%=5，20×50%=10，20×75%=15，则25%分位数为46+542=50，50%分位数为58+582=58，75%分位数为70+732=71.5．对女生得分由小到大排序为51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100，共18个数据．所以18×25%=4.5，18×50%=9，18×75%=13.5，则25%分位数为63，50%分位数为69+702=69.5，75%分位数为77．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】根据题意，全班平均成绩为x=90×2040+80×2040=85，第一组的平均数为x1=90，方差为s12=16．第二组的平均数为x2=80，方差为s22=36．则该班学生的方差为s2=2040[s12+(x1−x)2]+2040[s22+(x2−x)2]=12[16+(90−85)2]+12[36+(80−85)2]=51.所以s=√51．综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和√51．11 【知识点】样本数据的数字特征20. 【答案】根据题意，设分布在 [40,50)，[50,60) 内的数据个数分别为 x ，y ．因为样本中数据在 [20,60) 内的频率为 0.6，样本容量为 50，所以4+5+x+y 50=0.6，解得 x +y =21．即样本在 [40,50)，[50,60) 内的数据个数之和为 21．【知识点】频率与频数21. 【答案】该武警大队共有 30+30+40=100（人），按比例分配所以第一中队参加考核人数为30100×30=9（人），第二中队参加考核人数为 30100×30=9（人）， 第三中队参加考核人数为 40100×30=12（人）．所参加考核的 30 人的平均射击环数为 930×8.8+930×8.5+1230×8.1=8.43（环）．所以估计该武警大队的平均射击水平为 8.43 环．【知识点】分层抽样22. 【答案】(1) 频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2) 该 100 户用户 11 月的平均用电量 x =50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324 度，所以估计全市住户 11 月的平均用电量为 324 度．(3) y 1=0.65x ，y 2={0.61x,0≤x ≤2000.66(x −200)+122=0.66x −10,200<x ≤4000.91(x −400)+254=0.91x −110,x >400． 由 y 2≤y 1 得 {0.61x ≤0.65x,0≤x ≤200或 {200<x ≤400,0.66x −10≤0.65x 或 {0.91x −110≤0.65x,x >400, 解得 x ≤1100.26≈423.1，因 x ∈N ，故 x 的最大值为 423，根据频率分布直方图，x ≤423 时的频率为 0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.26=0.7598>0.75，故估计“阶梯电价”能给不低于 75% 的用户带来实惠．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、函数模型的综合应用。
人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》单元练习题卷含答案解析(30)
第一章《集合与常用逻辑用语》单元练习题（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知函数 f (x )=x 2+bx +c ，则“∃x 0∈R ，使 f (x 0)<0”是“c <0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2. 集合 S ={0,1,2,3,4,5}，A 是 S 的一个子集．当 x ∈A 时，若有 x −1∉A 且 x +1∉A ，则称 x 为集合 A 的一个“孤立元素”，那么 S 中无孤立元素的四元子集的个数是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．73. 设 x ∈R ，则“1<x <2”是“∣x −2∣<1”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知集合 A ={x∣ x <a }，B ={x∣ x <2}，且 A ∪(∁RB )=R ，则 a 满足 ( ) A ． a ≥2 B ． a >2 C ． a <2 D ． a ≤25. 函数 y =(13)√x−1的值域是 ( )A ． (−∞,0)B ． (0,1]C ． [1,+∞)D ． (−∞,1]6. 如图 U 为全集，M ，N ，S 是 U 的子集，则图中的阴影部分所示的集合是 ( )A ． (∁U M ∩∁U N )∩SB ． (∁U (M ∩N ))∩SC ． (∁U N ∩S )∪MD ． (∁U N ∪S )∪N7. 已知 x ∈[12,2]，函数 f (x )=x 2+px +q 与 g (x )=3x 2+32x 在同一点处取得相同的最小值，那么 f (x ) 在 [12,2] 上的最大值是 ( ) A ．134B ． 4C ． 8D ． 548.已知p：“0<a<1，b>1”，q：“f(x)=a x−b（a>0，且a≠1）的图象不经过第一象限”，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.已知实数a，b，c满足c<b<a，那么“ac<0”是“ab>ac”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )A．∁I S1∩(S2∪S3)=∅B．S1⊆(∁I S2∩∁I S3)C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆(∁I S2∪∁I S3)二、填空题（共6题）11.设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2+2x−8>0，且q是p的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．12.已知A={x∣ x<2或x>5}，B={x∣ a<x<3a}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是．13.若集合{x∣ x∈Z且∣∣x−7∣∣<m}中只有一个元素，则实数m的取值范围是．514.已知集合M={1,m+2,m2+4}，如果5∈M，那么实数m的取值集合为．15.已知集合A={(x,y)∣ ∣ x∣ +∣ y∣ ≤1}，集合B={(x,y)∣ x2+y2≤a2,a>0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．16.已知p：x<−2或x>10，q：x<1+a或x>1−a．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6题）17.已知集合A={x∣−5<x<2}，B={x∣∣x<−5或x>1}，C={x∣m−1<x<m+1}．(1) 求A∪B，A∩(∁R B)；(2) 若B∩C≠∅，求实数m的取值范围．18.设全集U=R，集合A={x∣ 2x2−x<0}，B={x∈R∣ ax−1>0}．(1) 当a=1时，求A∪B，∁U A．(2) 若B⊆∁U A，求a的取值范围．19.已知命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，命题q：实数x满足2<x<4．(1) 若a=1，且p与q均为真命题，求实数x的取值范围．(2) 若a>0，且q为p的充分不必要条件，求实数a的取值范围，20.设集合A={x∣ x2−x−6<0}，B={x∣ 0<x−m<9}．(1) 若A∪B=B，求实数m的取值范围．(2) 若A∩B=∅，求实数m的取值范围．21.已知数集A={a1,a2,⋯,a n}(1≤a1<a2<⋯a n,n≥2)具有性质P；对任意的i,j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a ja i两数中至少有一个属于A．(1) 分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；(2) 证明：a1=1，且a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1=a n；(3) 证明：当n=5时，a5a4=a4a3=a3a2=a2a1．22.已知P={x∣ −2≤x≤10}，非空集合S={x∣ 1−m≤x≤1+m}．(1) 若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．(2) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】f(x)=x2+bx+c，开口向上，要满足“∃x0∈R，使f(x0)<0”成立，只需保证Δ>0，此时，b2−4c>0，即c<b24，而“c<b24”是“c<0”的必要不充分条件．【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】C【解析】由题意可知，一个集合中由相邻数字构成的元素都不是“孤立元素”，例如1，2在S中无“孤立元素”的四元子集可分为两类：第一类是子集中的四个元素为相邻的四个数字，有{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}三个；第二类是子集中的四个元素为两组，每一组的两个元素为相邻的两个数字，有{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,4,5}三个共有6个．【知识点】包含关系、子集与真子集3. 【答案】A【解析】不等式∣x−2∣<1的解集为{x∣1<x<3}，由1<x<2可以推出1<x<3反之不成立，所以“1<x<2”是“∣x−2∣<1”的充分而不必要条件．故选A．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】∁RB={x∣ x≥2}，则由A∪(∁RB)=R，得a≥2．【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】B【知识点】函数的值域的概念与求法6. 【答案】A【知识点】集合基本运算的Venn图示7. 【答案】B【知识点】函数的最大（小）值8. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件9. 【答案】A【解析】因为实数 a ，b ，c 满足 c <b <a ， 若“ac <0”，则 a >0，“ab >ac ”成立； 若“ab >ac ”，则 a >0，但“ac <0”不一定成立． 故“ac <0”是“ab >ac ”成立的充分不必要条件． 【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】C【解析】因为 S 1∪S 2∪S 3=I ， 所以 ∁I (S 1∪S 2∪S 3)=∅． 因为 ∁I S 1∩∁I S 2=∁I (S 1∪S 2)，所以 ∁I S 1∩∁I S 2∩∁I S 3=[∁I (S 1∪S 2)]∩∁I S 3=∁I (S 1∪S 2∪S 3)=∅． 【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−∞,−4]【知识点】充分条件与必要条件12. 【答案】 (53,2)【解析】因为 A ={x∣ x <2或x >5}，B ={x∣ a <x <3a }，且 A ∪B =R ， 所以 {a <2,3a >5,解得 53<a <2，即 a ∈(53,2)．【知识点】交、并、补集运算13. 【答案】 (25,35]【解析】由 ∣∣x −75∣∣<m 得：75−m <x <75+m 且 m >0， 因为 y =∣∣x −75∣∣ 图象关于 x =75对称， 所以当整数解为 x =1 时，{0≤75−m <1,75+m ≤2, 解得：25<m ≤35，当整数解为 x =2 时，{75−m ≥1,2<75+m ≤3,无解． 综上所述：m ∈(25,35]．【知识点】元素和集合的关系14. 【答案】{1,3}【解析】因为5∈{1,m+2,m2+4}，所以m+2=5或m2+4=5，即m=3或m=±1．当m=3时，M={1,5,13}，符合题意；当m=1时，M={1,3,5}，符合题意；当m=−1时，M={1,1,5}，不满足集合中元素的互异性，舍去．所以m的取值集合为{1,3}．【知识点】元素和集合的关系15. 【答案】[1,+∞)；(0,√22]【解析】根据题意，集合A={(x,y)∣ ∣ x∣ +∣ y∣ ≤1}，其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，集合B={(x,y)∣ x2+y2≤a2,a>0}，其几何意义为圆x2+y2=a2的圆周及其内部区域，而圆x2+y2=a2的圆心为(0,0)，半径r=a，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则正方形ABCD在圆x2+y2=a2的内部，必有a≥1，此时a的取值范围为[1,+∞)；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则圆x2+y2=a2在正方形ABCD的内部，必有a≤√22，此时a的取值范围为(0,√22]．【知识点】充分条件与必要条件16. 【答案】{a∣ a≤−9}【解析】因为q：x<1+a或x>1−a，所以a≤0．因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以{1+a≤−2,1−a≥10,a≤0,解得a≤−9．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为A={x∣−5<x<2}，B={x∣∣x<−5或x>1}，所以A∪B={x∣x≠−5}．又∁R B={x∣−5≤x≤1}，所以A∩(∁R B)={x∣−5<x≤1}．(2) 若B∩C≠∅，则需m−1<−5或m+1>1，解得m<−4或m>0．所以实数m的取值范围为(−∞,−4)∪(0,+∞)．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】(1) a=1时，B={x∈R∣ x−1>0}={x∈R∣ x>1}，因为A={x∣ 2x2−x<0}={x∣ x(2x−1)<0}={x∣ 0<x<12}，所以A∪B={x∣ 0<x<12或x>1}，∁U A={x∣ x≤0或x≥12}．(2) 由（1）知∁U A={x∣ x≤0或x≥12}，① a=0时，B=∅，则B⊆∁U A；② a>0时，B={x∈R∣ ax−1>0}={x∈R∣ x>1a}，若B⊆∁U A，则1a ≥12即0<a≤2；③ a<0时，B={x∈R∣ ax−1>0}={x∈R∣ x<1a}，若B⊆∁U A，则1a<0即a<0，综上所述，a的取值范围是(−∞,2]．【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】(1) 若a=1，则命题p:(x−1)(x−3)<0，解得：1<x<3，因为p与q为真命题，且q:2<x<4，所以2<x<3，故x范围为(2,3)．(2) 若a>0，则a<3a，则命题p为a<x<3a，因为q⇒p，p⇒q，所以{a≤2,3a≥4,且等号不能同时成立，解得：43≤a ≤2，经验证合题， 所以 a 的范围是 [43,2]．【知识点】复合命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件20. 【答案】(1) A ={x∣ x 2−x −6<0}={x∣ −2<x <3}，B ={x∣ m <x <m +9}， 若 A ∪B =B ，则 A ⊆B ，得 {m ≤−2,m +9≥3,即 −6≤m ≤−2．(2) 若 A ∩B =∅，得 m +9≤−2 或 m ≥3，即 m ≤−11 或 m ≥3． 【知识点】交、并、补集运算21. 【答案】(1) {1,3,4} 不具有；{1,2,3,6} 具有． (2) 因为 A ={a 1,a 2,⋯a n } 具有性质 P ， 所以 a n a n 与a n a n中至少有一个属于 A ，由于 1≤a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a n a n >a n ， 故 a n a n ∉A ，从而 1=a n a n∈A ，所以 a 1=1．因为 1=a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a k a n >a n ，故 a k a n ∉A (k =2,3,⋯,n )，由 A 具有性质 P 可知 an a k∈A (k =1,2,3,⋯,n )，又因为 a n a n<a n a n−1<⋯<a n a 2<a n a 1，所以a n a n =1，a na n−1=a 2，⋯a n a 2=a n−1，a n a 1=a n ，从而 an a n=a nan−1+⋯+an a 2+an a 1=a 1+a 2+⋯+a n−1+a n ，所以 a 1+a 2+⋯+ana 1−1+a 2−1+⋯+a n−1=a n ． (3) 由（2）知，当 n =5 时，有 a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即 a 5=a 2a 4=a 32，因为 1=a 1<a 2<⋯<a 5， 所以 a 3a 4>a 2a 4=a 5，所以a3a4∉A，由A具有性质P可知a4a3∈A，由a2a4=a32，得a3a2=a4a3∈A，且1<a3a2=a2，所以a4a3=a3a2=a2，所以a5a4=a4a3=a3a2=a2a1=a2．【知识点】元素和集合的关系22. 【答案】(1) 若x∈P是x∈S的必要条件，则x∈S是x∈P的充分条件；所以S⊆P，即{1−m≤1+m, 1−m≥−2,1+m≤10,解得0≤m≤3，所以m的取值范围是[0,3]．(2) x∈P是x∈S的充分条件时，P⊆S，所以{1−m≤1+m, 1−m≤−2,1+m≥10,解得m≥9，由（1）知，x∈P是x∈S的必要条件时，0≤m≤3，由此知x∈P是x∈S的充要条件时，m的值不存在．【知识点】包含关系、子集与真子集、充分条件与必要条件。
高一数学必修一知识+典型习题整理
第一章集合一、集合有关概念1. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性•如：世界上最高的山(2) 元素的互异性•如：由HAPPY的字母组成的集合H,A, P,丫⑶元素的无序性•如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合2. 常用数集的表示：非负整数集(自然数集)：N ;正整数集N或N ;整数集：Z ;有理数集：Q 实数集：R3. 集合的分类：(1) 有限集：含有有限个元素的集合(2) 无限集：含有无限个元素的集合⑶空集：不含任何元素的集合，记作：.例：x|x25二、集合间的基本关系1. “包含”关系一一子集注意：A B有两种可能：① A是B的一部分；② A与B是同一集合.反之：集合A不包含于集合B ,或集合B不包含集合A，记作A B或B A2•“相等”关系：A B ( A B且B A)实例：设A x | x2 1 0 , B 1, 1 “兀素相同则两集合相等”3.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集即A A.C②真子集：如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A芒B或(B A)③如果A B, B C ,那么A C .④如果A B同时B A那么A B .4.子集个数问题规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集1个真子集.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n四、典型例题：1.下列四组对象，能构成集合的是( )A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2. 集合a,b,c的真子集共有_______ 个3. 若集合M y | y x2 2x 1, x R , N x| x 0 ,则M与N的关系是.4. 设集合A x|1 x 2，A x|x a，若A B，则a的取值范围是_—5. 已知集合A x | x22x 8 0 , B x | x25x 6 0 , C x | x2mx m219 0 ,若B C，求m的值.第二章函数、函数的相关概念1 函数的对应形式：一对一、多对一.2 •定义域：能使函数式—X的集合称为函数的定义域.常见定义域类型：①分母0;②偶次方根的被开方数0 ;对数式的真数N 0 ；④指数、对数式的底a 0且a 1 :⑤x0中x 0. 相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ；②定义域一致(两点必须同时具备)3. 值域：先考虑其定义域(1)观察法⑵配方法(3) 代换法4. 函数图象变换规律：①平移变换：左________ ;②翻折变换： f (x) _______ 去左留右、右翻左f(x)f (x)________ 去下留上、下翻上I f (x)二、函数的性质I. 函数的单调性(局部性质)I•增函数：x1, x2 D 且％x2，都有f(xj f (x2)减函数：x1, x2D且x x2，都有f(xj f (x2)II. 图象的特点增函数：图象从左到右是上升的；减函数：图象从左到右是下降的.III. 函数单调区间与单调性的判定方法A.定义法：(证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论)B .图象法：从图象上看升降C .复合函数的单调性规律：“同增异减”2•函数的奇偶性(整体性质)I. 用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；0确定f (x)与f ( x)的关系；◎作出相应结论：若为奇函数，则有f( x) f (x)或f (x) f( x) 0 ；若为偶函数，则有f( x) f (x)或f (x) f( x) 0II. 函数图象的特征奇函数：图象关于原点对称；偶函数：图象关于y轴对称.3.函数解析式主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法三、典型习题：1. 已知函数f(x)满足2f(x) f( x) 3x 4,贝U f (x) = ________ . _____2. 设函数f (x)的定义域为［0, 1］，则函数f (x2)的定义域为_________________ ；若函数f(x 1)的定义域为［2, 3］，则函数f(2x 1)的定义域是3. 设f(M是R上的奇函数，且当x ［0,)时，f(x) x(1 3 x),则当x ( ,0)时f(x)= __________________ f(x)在R上的解析式为____________________________8. 求下列函数的单调区间： ⑴ y―2x~3（ 2） y x 2 6 x 129. 设函数 仁口 匚二判断它的奇偶性并且求证：f（1） f （x ）.1 x 2第三章基本初等函数「、指数函数（一）指数与指数幕的运算1 •根式的概念： 一般地，如果x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1,且n € N • 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0，记作n 0 0.na na (n 为奇数)；na n|a|a (a0)（n 为偶数） a (a0)2 •分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定：ma n va m(a 0, m,n N *, n 1), am齐1n 1 *——(a 0,m,n N ,n 1) ma na0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义 3•实数指数幕的运算性质rrr sr srsrr s① a r • a r a r s ；②（a ）a ；③（ab ） a a（二）指数函数及其性质 1. 指数函数：形如 y a x （a 0,且a 1）叫做指数函数2. 指数函数的图象和性质x 2(x4.函数2f (x) x ( 1 x 2x(x 2)5.求下列函数的定义域： 1)2)-H-，若 f(x) 3，则 x =⑴ x 2 2x 15⑴y⑵ y 、1(x 1)26.求下列函数的值域： （1） y x 2 2x 34x 57.已知函数f (x 1)x 2 4x ,求函数f （x>, f （2x 1）的解析式.二、对数函数 （一）对数1 •对数的概念：一般地，如果 a x N （a 0,a 1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数, 记作：x log a N （ a —底数，N —真数，log a N —对数式） 说明：①注意底数的限制a 0，且a 1 ；g a x N log a N x ；◎注意对数的书写格式. log a_N-i两个重要对数：............① 常用对数：以10为底的对数IgN ；② 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数In N .指数式与对数式的互化幂值 真数=N log a N = b底数如果a 0，且a 1 , M 0, N 0，那么: ◎ Iog a (M • N) log a M + log a N ； ② lOg a M log a M - log a N ；N◎ log a M n n log a M (n R).注意：换底公式log c blog a b c( a 0 ,且 a 1 ； c 0，且 c 1 ； b 0). log c a利用换底公式推导下面的结论(1)log a m b n— log a b ； ( 2) log a b 1 m log b a(二)对数函数1.对数函数：形如 y log a x(a 0，且a 1)叫做对数函数，其中 x R . 注意：y 2log 2x , y lo ^x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.552. 对数函数的图象和性质：指数2.对数的运算性质对数定点（1, 0）（三）幕函数1. 幕函数：形如y x （a R ）的函数称为幕函数，其中 为常数.2. 幕函数性质归纳I. 所有的幕函数图象都不经过第四象限，但都过点（ 1，1）；II.0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间 [0,）上是增函数;特别地：①当1时，幕函数的图象下凸，概括为“高高昂起”②当0 1时，幕函数的图象上凸，概括为“匍匐前进”；III.0时，幕函数的图象在区间 （0,）上是减函数.四、典型习题1.已知a 12.计算：① log32；② 24|og 23= ________ ； 253叭27 2log 52=;log 27 64③0.0643( 7)0［( 2)3］； 16 0.75 0.01；= ---------------83. 函数 f(x) a" 5x6 ___________________________ 2(a 0且a 1)过定点 ;函数f(x) = log a (2x + 1) - 2恒过定点 _______________ ; 函数 f(x) log a (x 2 2x 2)5(a0且a 1)过定点 ___________________ .4. 函数y log 1 (2x 2 3x 1)的递减区间为 _____________ .25. 若函数f(x) log a x(0 a 1)在区间［a 2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a6. 已知 f(x) log a 1_ (a 0且a 1)，求：1 x(1) f (x>的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求使f(x) 0的x 的取值范围. 7. 画出下列函数图象 (2) f(x) = |log 3x|(1, 0)(1) f(x) = ln|x|0且a 1，函数ya x 与y log a （ x ）的图象只能（W ⑻(C)(D ］8. 已知函数f(x) = log a(x2 - 2x - 3) (a> 0且a工1)，讨论f(x)的单调性9. 求函数f(x) ln( x2 4x 3)的值域.。
(共45套)最新人教版高一物理必修1(全册)各单元配套练习 同步练习题(含全部课时)
（共45套）最新人教版高一物理必修1（全册）各单元配套练习同步练习题（含全部课时）目录第一章 1基础夯实一、选择题(1～5题为单选题，6题为多选题)1．(海南省华侨中学、三亚学校2017～2018学年高一上学期期中)下列关于质点的说法中，正确的是导学号 1321411(D)A．质点是一个理想化模型，实际上并不存在，所以，引入这个概念没有多大意义B．只有体积很小的物体才能看作质点C．凡轻小的物体，皆可看作质点D．如果物体的形状和大小对所研究的问题属于无关或次要因素时，即可把物体看作质点解析：根据质点的定义易判选项D正确。
2.(浙江省金兰教育组织2016～2017学年高一上学期期中联考)如图为正在航拍的旋翼无人机，下列过程能将无人机看成质点的是导学号 1321411(C)A．调节无人机旋翼转速B．调节摄像机镜头方向C．研究无人机空中停留时间D．研究风力、风向对无人机的影响解析：调节飞机旋翼的转速时，飞机旋翼的大小和形状不能忽略不计，不能看作质点，则A错误；调整飞机上摄像机镜头的方向时，摄像头的大小不能忽略，则B错误；研究无人机空中停留时间，飞机的大小可忽略，则C正确；研究风力、风向对无人机的影响，飞机的大小和形状不能忽略不计，不能看作质点，则D错误，故选C。
3．(北京市昌平区临川育人学校2016～2017学年高一上学期期中)下列对物体运动的描述中，有关参考系的说法正确的是导学号 1321411(C)A．“一江春水向东流”以水面上的船为参考系B．“地球绕太阳的公转”以地球为参考系C．“钟表的时针在转动”以表盘为参考系D．“火车行驶出站台”以该列车上的乘客为参考系解析：“一江春水向东流”是以地面为参考系得出的，故A错误；“地球绕太阳的公转”以太阳为参考系，故B错误；“钟表的时针在转动”以表盘为参考系，故C正确；“火车行驶出站台”以站台为参考系，故D错误，故选C。
4.(浙江省温州十校联合体2016～2017学年高一上学期期末)南朝梁代僧人傅大士，是中国维摩禅祖师，他有一首很著名的偈诗：“空手把锄头，步行骑水牛；人在桥上走，桥流水不流。
高一下学期第一二章练习题
高一下学期地理一、二章测试题 第I卷（选择题，20道，共40分） 图1为我国沿海某省1960—2060年间出生率与死亡率的变化及预测图，读图回答1—2题。 1．关于该省人口自然变化的叙述，正确的是 A．a曲线为人口死亡率 B．b曲线1980年后上升与老年人口数量增加有关 C．在K时间点之后，人口总数仍将继续增加 D．在K时间点之后，．少年儿童比例上升 2．该省目前人口增长模式为（ ） A．原始型 B．传统型 C．现代型 D．传统型向现代型过渡阶段 下图中a、b、c分别表示0～14岁、15～64岁、65岁以上三种年龄人数所占总人口比重。据此回答3-4题。 3. 图中①②③④四个国家中，人口增长最快的是( ) A.① B.② C. ③ D.④ 4. 图中③国65岁以上年龄人数所占总人口比重大小及应采取的相应措施是( ) A.20℅，鼓励生育 B.15℅，采取移民政策 C.60℅，计划生育 D.30℅，鼓励人员出国 下图是“我国部分省区某年人口出生率、人口自然增长率和人口总数的统计图”,据此回答5～6题。
5、据图分析，下列判断正确的是（ ） A．人口死亡率最高的是北京 B．人口死亡率最低的是西藏 C．每年净增加人口数最多的是江苏 D．每年净增加人口数最少的是宁夏 6、从图中可以看出（ ） A．西藏、上海的人口增长呈现出较高的出生率、低死亡率、较高的自然增长率特点 B．经济发达地区人口出生率较低,经济欠发达地区人口出生率较高 C．经济发展水平与人口出生率、人口自然增长率呈正相关 D. 上海人口自然增长率比北京低,主要是因为经济发展水平比北京低 浙江省是2014年全国率先放开“单独二胎”政策的省份。下图为不考虑“单独二胎”实
施情况下浙江省三项常住人口统计及预测数据，其中抚养比是指总体人口中非劳动年龄人口与劳动年龄人口数之比。读图完成7～8题。
7.在不考虑“单独二胎”实施情况下，2013～2020年( ) A．人口总抚养比先降后升 B．劳动年龄人口比重先升后降 C．总人口最大峰值在2016年 D．人口总抚养比增长先慢后快 8.实施“单独二胎”政策后十年内，浙江省( ) A．应积极推进养老产业发展 B．劳动年龄人口的抚养压力减轻 C．总人口规模提前达到峰值 D．“用工荒”问题会得到部分缓解 9.读甲、乙、丙、丁四地的人口统计图，关于图中四地人口状态，正确的是（ ）
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——1—— 高一各章节典型练习题 第一章 力 §一 力【 典型题目 】 （1）画出以下几个力的图示，并指出受力物体和施力物体． a．人对车水平向右的推力250N． b．铁锤对钉子竖直向下的打击力400N． c．水对船竖直向上的浮力3.5×105N．
§二 重力 【 典型题目 】 （1）画出下面几个物体受到的重力的图示． a．放在水平桌面上的质量m=0.05kg的墨水瓶． b．竖直向上飞行的质量m=2×103kg的火箭． c．沿着滑梯下滑的质量m=20kg的小孩． d．抛出后在空中飞行的质量m=4kg的铅球．
§三 弹力 【 典型题目 】 （1）质量均匀的钢管，一端支在水平地面上，另一端被一根竖直绳悬吊着（图1-17），钢管受到几个力的作用？各是什么物体对它的作用？各是哪种性质的力？各力的方向是怎样的？画出钢管受力的示意图．
§四 摩擦力 【 典型题目 】 （1）重量为100N的木箱放在水平地板上，至少要用40N的水平推力，才能使它从原地开始运动．木箱与地板间的最大静摩擦力Fmax=_______． 木箱从原地移动以后，用38N的水平推力，就可以使木箱继续做匀速运动．这时木箱所受的滑动摩擦力F=______，动摩擦因数μ=____． （2）在上题中，如果用20N的水平推力推木箱，木箱是否会从原地移动？有没有相对运动的趋势？所受静摩擦力F=_____． 用80N的水平推力推着木箱运动，木箱所受的滑动摩擦力F=______．
§五 力的合成 【 典型题目 】 （1）两个力互成30°角，大小分别是90N和120N．用作图法求出合力的大小和方向．如果这两个力的大小不变，两力间的夹角变为150°，用作图法求出合力的大小和方向．
§六 力的分解 【 典型题目 】 （1）一个物体的重量为20N，把它放在一个斜面上，斜面长与斜面高之比是5∶3．把重力分解，求出平行于斜面使物体下滑的分力和垂直于斜面使物体紧压斜面的分力．
【 综合练习 】 （1）如图1′-15所示，重100N的物体放在水平桌面上，用与水平方向成37°角、大小为10N的拉力向右拉它时，物体仍处于静止状态．此时物体所受的静摩擦力多大？方向怎样？ ——2——
（2）质量为m的木箱在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动（如图1′-16）．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么物体受到的滑动摩擦力应为下列各值的哪个： （A）μmg （B）μ（mg+Fsinθ） （C）μ（mg-Fsinθ） （D）Fcosθ． （3）下列各图（图1′-3）中，物体A静止．画出物体A所受弹力的示意图．（标出方向，大小不限）
第二章 直线运动 §一 机械运动 【 典型题目 】 （1）如图2－5甲，一根细长的弹簧系着一个小球，放在光滑的桌面上．手握小球把弹簧拉长，放手后小球便左右来回运动，B为小球向右到达的最远位置．小球向右经过中间位置O时开始计时，其经过各点的时刻如图2-5乙所示．若测得OA=OC=7cm，AB=3cm，则自0时刻开始： a．0.2s内小球发生的位移大小是_______，方向向__________，经过的路程是__________． b．0.6s内小球发生的位移大小是_______，方向向__________，经过的路程是__________．
§二 位移和时间的关系 【 典型题目 】 （1）图2-8是一架民航飞机的位移图象．这架飞机做什么运动？从这个图象求出：飞机在30min内的位移，飞行700km所用的时间．
§三 运动快慢的描述 速度 【 典型题目 】 （1）图2-13是两个匀速直线运动的位移图象．哪条直线所表示的运动的速度大？各是多大？ ——3——
§四 速度和时间的关系 【 典型题目 】 （1）图2-20是一个物体运动的速度图象．请你根据此图说出物体在这1min内各阶段的运动情况．
（2）图2-21是一个物体运动的位移图象，请你根据此图说出物体在这1min内各阶段的运动情况． §五 速度改变快慢的描述 加速度 【 典型题目 】 （1）图2-22中的直线①和②分别表示两个匀加速直线运动的速度图象．它们的初速度各是多大？哪一个的加速度大？经过多长时间它们的速度大小相同？
§六 匀变速直线运动的规律 【 典型题目 】 （1）一辆电车，原来的速度是18 m/s．在一段下坡路上以 0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，求加速行驶了20 s时的速度．
（2）钢球在斜槽上做初速度为零的匀加速运动，开始运动后0.2s内通过的路程是3 cm， 1s内通过的路程是多少？如果斜面长1.5 m，钢球由斜面顶端滚到底端需要多长时间？
§七 匀变速直线运动规律的应用 【 典型题目 】 （1）一辆卡车，它急刹车时的加速度的大小是5 m/s2．如果要求它在急刹车后22.5 m内必须停下，它的行驶速度不能超过多少千米每时？
§八 自由落体运动 【 典型题目 】 （1）一个物体从22.5 m高的地方自由下落，到达地面时的速度是多大？下落最后1s内的位移是多大？
【 综合练习 】 （1）关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是 [ ] A．物体加速度方向保持不变，速度方向也一定保持不变． B．物体速度变化量越大，则加速度一定越大． C．物体速度变化越快，则加速度一定越大． D．物体运动的速度随着加速度的减小一定减小． ——4——
（2）物体作自由落体运动，把下落的距离分成相等的两段，则物体通过上半段距离的时间和通过下半段距离的时间的比为 [ ]
（3）图2-30为某汽车直线运动的______图象．从图象可知，汽车在前10s做的是______运动，初速度大小等于______，加速度大小等于______，通过的位移等于______．汽车在10s末至40s末这段时间内做______运动，通过的位移等于______．汽车在最后10s内做_______运动，初速度大小等于________，末速度等于_______，通过的位移等于______．汽车在50s时间内的总位移等于_______． 第三章 牛顿运动定律
§一 牛顿第一定律 【 典型题目 】 （1）被踢出的冰块以2m/s的速度在阻力可以忽略的水平冰面上滑动，冰块受不受向前的作用力？5s后它的速度将是多大？
§二 物体运动状态的改变 【 典型题目 】 （1）关于运动状态与所受外力的关系，下面说法中正确的是： A．物体受到恒定的力作用时，它的运动状态不发生改变． B．物体受到不为零的合力作用时，它的运动状态要发生改变． C．物体受到的合力为零时，它一定处于静止状态． D．物体的运动方向一定与它所受的合力的方向相同． §三 牛顿第二定律 【 典型题目 】 （1）一个物体受到F1=4N的力，产生a1=2m/s2的加速度．要使它产生a2=3m/s2的加速度，需要施加多大的力？
（2）质量是2kg的物体，受到互成90°角的两个力的作用，这两个力都是14N，这个物体产生的加速度的大小和方向是怎样的？
§四 牛顿第三定律 【 典型题目 】 （1）一个物体静止地放在水平支持物上，试证明物体对支持面的压力的大小等于物体所受重力的大小．在证明过程中说出你的依据．
§六 牛顿运动定律的应用 【 典型题目 】 （1）列车在机车的牵引下在平直铁轨上行驶，在50s内速度由36km/h增加到54km/h，列车的质量是1.0×103t，机车对列车的牵引力是1.5×105N．求列车在运动中所受的阻力．
§七 超重和失重 【 典型题目 】（1）弹簧秤的秤钩上挂一个4kg的物体，在下列情况下，弹簧秤读数是多大？ a．以0.2m/s2的加速度竖直加速上升． b．以0.2m/s2的加速度竖直减速上升． c．以0.2m/s2的加速度竖直加速下降． d．以0.2m/s2的加速度竖直减速下降． ——5——
【 综合练习 】 （1）关于运动状态与所受外力的关系，下面说法中正确的是：（ ） A．物体受到恒定的力作用时，它的运动状态不发生改变． B．物体受到不为零的合力作用时，它的运动状态要发生改变． C．物体受到的合力为零时，它一定处于静止状态． D．物体的运动方向一定与它所受的合力的方向相同． （2）关于作用力和反作用力，下面说法中正确的是：（ ） A．一个作用力和它的反作用力的合力等于零． B．作用力和反作用力可以是不同性质的力． C．作用力和反作用力同时产生，同时消失． D．两物体处于相对静止时，它们之间的作用力和反作用力的大小才相等． （3）一个物体从光滑斜面的顶端由静止开始下滑，物体受到哪几个力的作用？有人说，物体受到重力、斜面的支持力和方向沿斜面向下的下滑力．这种说法是否正确？设光滑斜面长5m，高2.5m，物体的加速度有多大？物体从斜面顶端下滑到底端，要用多长时间？
第四章 物体的平衡 §一 共点力作用下物体的平衡 §二 共点力平衡条件的应用 【 典型题目 】 （1）一个质量为50kg的物体，在平行于斜面的拉力F作用下，沿倾角为30°的斜面匀速运动（图4-4），已知斜面的摩擦因数为0.3．求拉力F为多大．
§三 有固定转动轴物体的平衡 【 典型题目 】 （1）一根木料，抬起它的右端要用480N竖直向上的力，抬起它的左端要用650N竖直向上的力．这根木料有多重？
§四 力矩平衡条件的应用 【 典型题目 】 （1）如图4-18所示，一根均匀直棒OA可绕轴O转动，用水平力F=10N作用在棒的A端时，直棒静止在与竖直方向成30°角的位置．直棒有多重？
【 综合练习 】 （1）如图4-17所示，一个质量为m的均匀球体放在倾角为θ的光滑斜面上，并被斜面上一个垂直于水平面的光滑挡板挡住，处于平衡状态．求物体对挡板和斜面的压力．