复习笔记 2016 4
2016张宇高数笔记-第一版-带封面-第一次修订
( → ) ( )
( , , ), ( , , ), ( , , )
= , = + +
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= ，其中 、 为常数，
| | > ，证明 ′( )存在，且 ′( ) = 。 ( ) = ，则 ( ) = + ( )，其中 若
→• (
3、圆与椭圆
→•
( )=
( − ) +( − ) = = + = + 圆心( , ), 面积 =
[例] = ∭ , 由 = ②球面坐标系
平面切 锥面切 ⇒ 球面切
+
; = ; = 围成
( , , )
(
( ) ( , )
, ( ,
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) )
( + )< ； )⋯( +
→
=
( ) ( , )
1、由拉格朗日中值定理得 ( ) − ( ) = ′( )( − ) 令 ( ) = ( + ), 在[ , ]上用拉格朗日中值定理 ( + )− + 2、 = + + < ( + )= < + ( − )
（1）精确定义
( , , ) =
→
2、极限化积分
( + − , + − , + − ) − ∙ − ∙ −
→
=
→
( )=
( )
2、计算
（1）基础题 ①直角坐标系，柱面坐标系 1°先一后二法——投影穿线法
( )
第二讲 一元函数微积分学
综述：①定义；②计算；③应用(几何,物理)；④逻辑证明(中值,不等式,零点)
三、数列极限的计算 1、通项已知且易于连续化，用归结原则（海涅定理） 。
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：圆锥曲线的方程与性质 04圆锥曲线
第四讲 圆锥曲线
北京四中 李伟
一、复习
椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程
二、直线与圆锥曲线的位置关系
1.相离
2.相切
3.相交
三、典型例题
例1(1)已知点P 在焦点为12F F 、的椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b +=>>上，则
以1PF 为直径的圆C 1与圆O ：2
22x y a +=的位置关系是 。
(2)1F 、2F 是椭圆122
22
=+b
y a x (0)a b >>的两个焦点，M 是椭圆上与1F 、2F 不共线的任意点，21MF F ∆ 的内心是点P ，MP 交21F F 于N ，则PM NP 等于 .
例2（1）设12F F 、是双曲线22
4x y -
=的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，
从1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程为 .
（2）P 是双曲线229x 16y 144-=右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦
小结：
1.圆锥曲线的定义：
2.圆锥曲线的方程：
3.直线与圆锥曲线位置关系的判定。
2016年外交学院国际关系专业参考书讲解刘德斌《国际关系史》笔记讲义资料答题技巧真题解析-育明教育
2016年外交学院国际关系专业参考书讲解国关史笔记-育明教育一、外交学院国际关系专业考研专业课参考书讲解（育明课程中心资料）考试科目：“711政治学综合一”参考书①《国际关系理论：思想、范式与命题》，王帆、曲博主编，世界知识出版社，2013年版（14年新加）②《权力·制度·文化》，秦亚青著，北京大学出版社，2005年版；③《政治学基础》，王浦劬等，北京大学出版社，2006年版。
（14年新加）育明教育课程中心陈老师解析《国际关系理论：思想范式与命题》这本书是2014年新增的一本参考书，在14年和15年的考试中对于这本书的考察基本都是书中的重点章节，课后的思考题需要作为复习重点。
对于大部分考生来讲阅读这本书难度并不大，最重要的是如何利用书中的知识内容来答好试题。
这本书中有很多的内容是和《权力·制度·文化》这本书相重合的，对于重合的部分建议考生以《权力·制度·文化》中的内容为主进行记忆。
《权力·制度·文化》这本书几乎囊括了秦亚青老师最重要的学术思想和研究成果，从功利的角度分析秦亚青是我们外交学院的院长，他的这边论文集基本每年都会作为出题参照的重点。
对于这本书的考察经常会出现论述题，但是作为一本论文，书中部分章节间的联系还是欠缺紧密度的，建议考生在研读这本书的时候要通过整理笔记和专题来帮助自己理清整本书的脉络。
最后关于书中两大模块：理论和方法，建议考生要侧重于“理论部分”。
《政治学基础》这本书是在2014年代替《政治科学基础》加入到指定参考书之中，更确切的说应该的“回归”到参考书之中，因为在2008年以前这本书一直是指定参考书之一。
对于大部分考生来讲《政治学基础》这本书是最难的一本，总是感觉读了好多遍还是没有吃透。
建议考生第一遍阅读之后要通过全书的目录来把脉络和框架整理清晰：书中分6篇，每篇下3章，每章一般都是3节，一节下两个小标题，每个小标题再用关键词法进行填充。
【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学一轮总复习 第四章 平面向量与复数课堂过关 理
第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)60～62页)① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义．掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件．1. (必修4P 63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________． 答案：b －12a解析：BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a.2. (必修4P 65例4改编)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________．(用b 、c 表示)答案：23b ＋13c解析：因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，即3AD →＝AB →＋2AC →＝c ＋2b ，故AD →＝23b ＋13c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12DC →＝AB →且|AD →|＝||BC →，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB →＝12DC → AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴ 四边形ABCD 的形状为等腰梯形．4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．答案：－1解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴ 存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a ；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；④ 在 ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |²a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |²a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b . 变式训练如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解：设OM →＝m a ＋n b ， 则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .∵ A 、M 、D 三点共线，∴ AM →与AD →共线．∴ 存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴ (m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①∵ CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .∵ C 、M 、B 三点共线，∴ CM →与CB →共线．∴ 存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴ OM →＝17a ＋37b .题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →.∴ AB →、BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量，∴ k －λ＝λk －1＝0.∴ k 2－1＝0.∴ k＝±1. 备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．答案：λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋t μb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝t μ，所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案：12解析：如图所示，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →，∴ OM →＝－OB →，即O 是BM 的中点，∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12.备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵ AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴ 12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴ λ＝12.1. (2014²镇江期末)已知△ABC 中，点D 、E 分别为边AC 、AB 上的点，且DA ＝2CD ，EB＝2AE ，若BC →＝a ，CA →＝b ，则以a 、b 为基底表示DE →＝________．答案：13b －13a解析：由题知AB →＝CB →－CA →＝－a －b ，DE →＝DA →＋AE →＝23CA →＋13AB →＝23b －13a －13b ＝13b －13a .2. (2014²泰州期末)在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2＝________．答案：29解析：∵ BD →＝AD →－AB →，DC →＝AC →－AD →，代入BD →＝2DC →，知3AD →＝2AC →＋AB →，从而AD →＝23AC →＋13AB →，∴ λ1＝13，λ2＝23，∴ λ1λ2＝29. 3. 设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23DC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝12.4. 已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．答案：45解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.1. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n ＝________．答案：2解析：∵ O 是BC 的中点，∴ AO →＝12(AB →＋AC →)．又 AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴ AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵ M 、O 、N 三点共线，∴ m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2.2. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．答案：1解析：∵ A，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1) 求GA →＋GB →＋GO →；(2) 若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b .又a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书(文)、(理)63～64页)1. (必修4P 75习题2.3第3题改编)若向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－9)，且a∥b ，则实数x ＝________．答案：－6解析：a∥b ，所以2³(－9)－3x ＝0，解得x ＝－6.2. (必修4P 75习题2.3第2题改编)若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝________． 答案：(－2，－4)解析：BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(－2，－4)． 3. (必修4P 74例5改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．答案：－1解析：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，∵ 向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴ (λ＋2)³(－2)＝2λ³1，解得λ＝－1.4. (必修4P 75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 解析：设D(x ，y)，则由BC →＝2AD →，得(4，3)＝2(x ，y －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2（y －2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.5. 已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2.若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________． 答案：8解析：∵ A、B 、D 共线，∴ AB →与BD →共线，∴ 存在实数μ，使AB →＝μBD →.∵ BD →＝CD →－CB→＝(λ－2)e 1＋4e 2，∴ 3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ（λ－2）＝3，4μ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝8.1. 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b x 1y 2－x 2y 1＝0.[备课札记]题型1 向量的坐标运算例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1) 求3a ＋b －3c ；(2) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；(3) 求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1) 3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2) ∵ m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝(5，－5)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3) 设O 为坐标原点，∵ CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴ OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴ M 的坐标为(0，20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴ N 的坐标为(9，2)， ∴ MN →＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 备选变式（教师专享）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________． 答案：(－3，－5)解析：由题意，得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．题型2 向量共线的条件例2 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1) 若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2) 若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． 解：(1) a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k)，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2³(3＋4k)－(－5)³(2＋k)＝0，解得k ＝－1613.(2) 设d ＝(x ，y)，则d －c ＝(x －4，y －1)． 又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴ d 的坐标为(3，－1)或(5，3)． 变式训练已知向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)，若a ∥b ，求实数k 的值． 解：(解法1)∵ a ∥b ，∴ 存在实数λ，使b ＝λa ，∴ (－3，k)＝(6λ，2λ)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝－3，2λ＝k ，∴ k ＝－1.(解法2)∵ a ∥b ，∴ －36＝k2，∴ k ＝－1.题型3 平面向量基本定理 例3 如图，已知△ABC 的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE 与CD 交于P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ及μ；(2) 用a 、b 表示BP →； (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，即23a ＋μ(13a ＋b )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b . ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3) 设△ABC、△PAB、△PBC 的高分别为h 、h 1、h 2，h 1∶h ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，S △PAB ＝47S △ABC ＝8.h 2∶h ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴ S △PAC ＝4.备选变式（教师专享）如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．答案：12解析：由B 、H 、C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x)AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH→＝12xAB →＋12(1－x)AC →. 又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x)＝12.1. (2014²苏锡常镇一模)如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →.若CD →∥AG →，且AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ＝________．答案：65解析：由题易知AG →＝13(AB →＋AC →)，CD →＝CA →＋AD →＝15AB →＋(λ－1)AC →，又AG →∥CD →，∴ λ－1＝15即λ＝65. 2. (2014²湖北)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．答案：±3解析：因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )²(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3. (2014²无锡期末)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足条件________．答案：m≠－113解析：假设A 、B 、C 三点共线，即有AB →∥AC →.又AB →＝(2，1)，AC →＝(1－m ，m ＋6)，从而1－m 2＝m ＋61，即m ＝－113，所以当A 、B 、C 三点能够组成三角形时，m ≠－113.4. (2014²天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E 、F 分别在边BC 、DC上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →²AF →＝1，CE →²CF →＝－23，则λ＋μ＝________．答案：56解析：建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，C(1，0)，D(0，3)．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E(λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F(μ，3(1－μ))．又AE²AF＝(λ＋1，3(λ－1))²(μ＋1，3(1－μ))＝1①，CE →²CF →＝(λ－1，3(λ－1))²(μ－1，3(1－μ))＝－23②.由①－②得λ＋μ＝56.1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案：1＋32 32解析：(解法1)以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．令AB ＝2，则AB →＝(2，0)，AC →＝(0，2)，过D 作DF⊥AB 交AB 的延长线为F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3，3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x ，2y)．即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.(解法2)过D 点作DF⊥AB 交AB 的延长线为F.由已知可求得BF ＝DF ＝32AB ，AD →＝AF →＋FD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 2. (2014²陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x, y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1) 若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2) 设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解：(1) (解法1)∵ PA →＋PB →＋PC →＝0， 又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y)＋(2－x ，3－y)＋(3－x ，2－y)＝(6－3x ，6－3y)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.(解法2)∵ PA →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴ OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴ |OP →|＝2 2.(2) ∵ OP →＝mAB →＋nAC →，∴ (x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.3. 如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵ AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴ 12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴ λ＝12.4. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )．∴ MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵ MG →与MN →共线，∴ 存在实数λ，使MG →＝λMN →. ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵ a 与b 不共线，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y＝4.1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 平面向量的数量积及平面向量 的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65～67页)1. (必修4P 77练习第2(1)题改编)已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a²b ＝________．答案：－3 2解析：a²b ＝|a |²|b |cos135°＝2³3³⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－3 2.2. (必修4P 80练习第3题改编)已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a²b ＝2，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：∵ cos 〈a ，b 〉＝a²b |a||b |＝12，∴ 〈a ，b 〉＝π3.3. (必修4P 81习题2.4第2题改编)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b|＝________．答案： 3解析：|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a²b ＝12＋22－2³1³2cos60°＝ 3.4. (必修4P 81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝________．答案：－6解析：b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝(e 1－2e 2)²(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1²e 2－8e 22.因为e 1、e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1²b 2＝3－2³12－8＝3－1－8＝－6.5. (必修4P 84习题4改编)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)²AC →＝0，则该四边形一定是________．答案：菱形解析：四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0知其为平行四边形，(AB →－AD →)²AC →＝0即DB →²AC →＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．1. 向量数量积的定义 (1) 向量a 与b 的夹角(2) 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ²b ，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 (1) e ²a ＝a ²e .(2) a ⊥b a ²b ＝0．(3) 当a 与b 同向时，a ²b ＝|a|²|b|； 当a 与b 反向时，a ²b特殊的，a ²a ＝|a |2或|(4) cos θ＝a ²b|a ||b |.(5) |a ²b |≤|a |²|b |. 3. 向量数量积的运算律 (1) 交换律：a ²b ＝b ²a .(2) 分配律：(a ＋b )²c ＝a ²c ＋b ²c .(3) 数乘结合律：(λa )²b ＝λ(a ²b )＝a ²(λb )． 4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.故a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2) 设a ＝(x ，y)，则|a |(3) 若向量a ＝(x 1，y 1)与向量b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则有cos θ＝a ²b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22.题型1 向量平行与垂直的充分条件例1 已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R . (1) 若a⊥b ，求x 的值；(2) 若a∥b ，求|a －b|的值．解：(1) 若a⊥b ，则a²b ＝(1，x )²(2x＋3，－x)＝1³(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2) 若a∥b ，则有1³(－x)－x(2x ＋3)＝0， 即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)，∴ |a －b|＝（－2）2＋02＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，∴ |a －b|＝22＋（－4）2＝2 5. 综上，可知|a －b|＝2或2 5. 变式训练已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－k a ＋1tb ，m ∈R ，k 、t 为正实数．(1) 若a∥b ，求m 的值； (2) 若a⊥b ，求m 的值；(3) 当m ＝1时，若x⊥y ，求k 的最小值．解：(1) 因为a∥b ，所以1²m－2²(－2)＝0，解得m ＝－4. (2) 因为a⊥b ，所以a²b ＝0， 所以1²(－2)＋2m ＝0，解得m ＝1. (3) 当m ＝1时，a ²b ＝0. 因为x⊥y ，所以x²y ＝0.则x²y ＝－k a 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1t －k （t 2＋1）a ²b ＋(t ＋1t )b 2＝0.因为t ＞0，所以k ＝t ＋1t≥2，当t ＝1时取等号，即k 的最小值为2.题型2 向量的夹角与向量的模例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1) ∵ (2a －3b )²(2a ＋b )＝61，∴ 4|a |2－4a²b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴ 64－4a²b －27＝61， ∴ a²b ＝－6.∴ cos θ＝a²b |a||b |＝－64³3＝－12.又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3.(2) 可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a²b ＋|b |2＝42＋2³(－6)＋32＝13， ∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.备选变式（教师专享）已知非零向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，向量a 、b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________．答案：90°解析：由题意，得c ＝－a －b ，a ²c ＝－a 2－a²b ＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋12|a||b|＝－|a|2＋12|a|²2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a⊥c ，即a 与c 的夹角为90°.题型3 平面向量与三角函数的交汇例3 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(2a ＋c)BC →²BA →＋cCA →²CB →＝0.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝23，试求AB →²CB →的最小值．解：(1) 因为(2a ＋c)BC →²BA →＋cCA →²CB →＝0， 所以(2a ＋c)accosB ＋abccosC ＝0，即(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0，所以(2sinA ＋sinC)cosB ＋sinBcosC ＝0， 即2sinAcosB ＋sin(B ＋C)＝0. 因为sin(B ＋C)＝sinA ≠0，所以cosB ＝－12，所以B ＝2π3.(2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2accos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以AB →²CB →＝accos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →²CB →的最小值为－2. 备选变式（教师专享）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79.(1) 求a ，c 的值；(2) 求sin(A －B)的值．解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) 在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sinA ＝asinB b ＝223，因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝13，因此sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝10227. 例4 (2014²常州期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.设向量m ＝(a ，c)，n ＝(cosC ，cosA)．(1) 若m∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2) 若m²n ＝3bsinB ，cosA ＝45，求cosC 的值．解：(1) ∵ m∥n ，∴ acosA ＝ccosC. 由正弦定理，得sinAcosA ＝sinCcosC. 化简，得sin2A ＝sin2C.∵ A 、C∈(0，π)，∴ 2A ＝2C 或2A ＋2C ＝π，从而A ＝C(舍)或A ＋C ＝π2.∴ B ＝π2.在Rt △ABC 中，tanA ＝a c ＝33，故A ＝π6.(2) ∵ m²n ＝3bcosB ，∴ acosC ＋ccosA ＝3bsinB.由正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sin 2B ，从而sin(A ＋C)＝3sin 2B.∵ A ＋B ＋C ＝π，∴ sin(A ＋C)＝sinB.从而sinB ＝13.∵ cosA ＝45>0，A ∈(0，π)，∴ A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sinA ＝35.∵ sinA>sinB ，∴ a>b ，从而A>B ，B 为锐角，cosB ＝223.∴ cosC ＝－cos(A ＋B)＝－cosAcosB ＋sinAsinB ＝－45³223＋35³13＝3－8215.备选变式（教师专享）(2014²无锡期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cosC ＝310.(1) 若CB →²CA →＝92，求c 的最小值；(2) 设向量x ＝(2sinB ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2B ，1－2sin 2B 2， 若x ∥y ，求sin(B －A)的值．解：(1) ∵ CB →²CA →＝92，∴ abcosC ＝92，∴ ab ＝15.∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ≥2ab －2ab²310＝21.∵ c>0，c ≥21，∴ c 的最小值为21.(2) ∵ x∥y ，∴ 2sinB ⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2＋3cos2B ＝0， 整理得2sinBcosB ＋3cos2B ＝0，即sin2B ＋3cos2B ＝0， ∴ tan2B ＝－3，∴ 2B ＝2π3或5π3，∴ B ＝π3或5π6.∵ cosC ＝310>12，∴ C>π3，∴ B ＝5π6舍去，∴ B ＝π3.∴ sin(B －A)＝sin[B －(π－B －C)]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π3＝sinCcos π3－cosCsin π3＝9110²12－310²32＝91－3320.探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．学生错解：解： ∵ e 1²e 2＝|e 1|²|e 2|²cos60°＝2³1³12＝1，∴ (2t e 1＋7e 2)²(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1²e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.∵ 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角， ∴ (2t e 1＋7e 2)²(e 1＋te 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.审题引导： 当(2t e 1＋7e 2)²(e 1＋te 2)<0时，其夹角一定为钝角吗？ 规范解答：解： ∵ e 1²e 2＝|e 1|²|e 2|²cos60°＝2³1³12＝1，(2分)∴ (2t e 1＋7e 2)²(e 1＋te 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1²e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.(4分)∵ 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴ (2t e 1＋7e 2)²(e 1＋t e 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.(9分)当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7 2t 2＝7 t ＝－142或t ＝142(舍)．(12分)故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.(14分) 错因分析： 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，可得(2t e 1＋7e 2)²(e 1＋t e 2)<0，但由(2t e 1＋7e 2)²(e 1＋t e 2)<0，并不能推出向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角．如t ＝－142时，(2t e 1＋7e 2)²(e 1＋t e 2)<0，向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，所以(2t e 1＋7e 2)²(e 1＋t e 2)<0仅是向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件．探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．1. (2014²南京猜想题)如图：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD→＝－12，则AD →²BC →＝________．答案：0解析：以AB →、AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，即∠BAD＝60°，故AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²⎝⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0.2. (2014²江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →²BP →＝2，则AB →²AD →的值是________．答案：22解析：AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →²BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →²⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →²AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →²AB →－316³64，解得AD →²AB →＝22.3. (2014²江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．答案：223解析：cos β＝a²b |a||b|＝（3e 1－2e 2）²（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 21－9e 1e 2＋2e 229e 21－12e 1²e 2＋4e 229e 21－6e 1²e 2＋e 22＝9－9³13＋29－12³13＋4²9－6³13＋1＝83³22＝223.4. (2014²盐城三模)在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，∠BAD ＝π3，E 为CD 中点，若AC →²BE→＝4，则AB 的长为________．答案：6解析：AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →，4＝AC →²BE →＝(AB →＋AD →)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－12AB →2＋12AB →²AD →＋AD →2＝－12|AB →|2＋12|AB →|²4cos π3＋16，所以|AB →|2－2|AB →|－24＝0，解得|AB →|＝6.1. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2，1)，A(1，0)，B(cos θ，t)．(1) 若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2) 若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解：(1) ∵ AB →＝(cos θ－1，t)，又a ∥AB →，∴ 2t －cos θ＋1＝0.∴ cos θ－1＝2t.①∵ |AB →|＝5|OA →|，∴ (cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②，得5t 2＝5，∴ t 2＝1.∴ t＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴ B(－1，－1)，∴ OB →＝(－1，－1)．(2) 由(1)可知t ＝cos θ－12，∴ y ＝cos 2θ－cos θ＋（cos θ－1）24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴ 当cos θ＝35时，y min ＝－15.2. 已知f(x)＝a²b ，其中a ＝(2cosx ，－3sin2x)，b ＝(cosx ，1)(x∈R )．(1) 求f(x)的周期和单调递减区间；(2) 在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(A)＝－1，a ＝7，AB →²AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c)．解：(1) 由题意知，f(x)＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴ f(x)的最小正周期T ＝π.∵ y ＝cosx 在[2k π，2k π＋π](k∈Z )上单调递减，∴ 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，得k π－π6≤x ≤k π＋π3.∴ f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2) ∵ f(A)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. 又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴ 2A ＋π3＝π，∴ A ＝π3. ∵ AB →²AC →＝3，即bc ＝6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(b ＋c)2－3bc ，即7＝(b ＋c)2－18，故b ＋c ＝5.又b ＞c ，∴ b ＝3，c ＝2.3. (2014²北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →²AC →＝BA →²BC →＝k(k∈R )．(1) 判断△ABC 的形状； (2) 若c ＝2，求k 的值．解：(1) ∵ AB →²AC →＝cbcosA ，BA →²BC →＝cacosB ， 又AB →²AC →＝BA →²BC →，∴ bccosA ＝accosB ，∴ sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0， ∴ sin(A －B)＝0.∵ －π＜A －B ＜π，∴ A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2) 由(1)知，AB →²AC →＝bccosA ＝bc²b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k.∵ c＝2，∴ k ＝1.4. 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1) 求a²b 及|a ＋b|；(2) 若f(x)＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．解：(1) a²b ＝cos 3x 2²cos x 2－sin 3x 2²sin x2＝cos2x.|a ＋b|＝a 2＋2a²b ＋b 2＝2＋2cos2x ＝2cos 2x ＝2|cosx|.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ cosx ≥0，∴ |a ＋b |＝2cosx.(2) f(x)＝cos2x －4λcosx ，即f(x)＝2(cosx －λ)2－1－2λ2.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 0≤cosx ≤1.① 当λ<0时，当且仅当cosx ＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；② 当0≤λ≤1时，当且仅当cosx ＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，即－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③ 当λ>1时，当且仅当cosx ＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a²a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．请使用课时训练(A )第3课时(见活页)．[备课札记]第4课时 复 数(对应学生用书(文)、(理)68～69页)1. (课本改编题)复数z ＝2＋i 的共轭复数为________． 答案：2－i解析：∵ z＝2＋i ，∴ z －＝2－i. 2. (课本改编题)已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝________．答案：1解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i.∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. (课本改编题)已知i 是虚数单位，计算（2＋i ）23－4i的结果是________．答案：－725＋2425i解析：（2＋i ）23－4i ＝（3＋4i ）（3＋4i ）25＝－7＋24i 25＝－725＋2425i.4. (课本改编题)设(1＋2i)z －＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案： 5解析：由已知，得|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，即5|z －|＝5， ∴ |z|＝|z －|＝ 5.5. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 对应的复数为________．答案：5－3i解析：BC →对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，AD →对应复数为z D －(3＋3i)，平行四边形ABCD 中，AD →＝BC →，则z D －(3＋3i)＝2－6i ，即z D ＝5－3i.1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i 2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2) 代数形式：a ＋bi(a 、b∈R )，其中a 叫实部，b 叫虚部． 2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b∈R )中，z 是实数 b ＝0，z 是虚数 b ≠0， z 是纯虚数 a ＝0，b ≠0．3. a ＋bi 与a －bi(a 、b∈R )互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R ) a ＝c 且b ＝d. 特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b∈R ) a ＝0且b ＝0.5. 设复数z ＝a ＋bi(a 、b∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.6. 运算法则z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R )． (1) z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2) z 1²z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(3) z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc －ad c 2＋d 2i. [备课札记]题型1 复数的概念例1 已知复数z ＝m 2－7m ＋6m 2－1＋(m 2－5m －6)i (m∈R )，试求实数m 分别取什么值时，z分别为：(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数．解：(1) 当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6＝0，m 2－1≠0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝6，m ≠±1，所以m ＝6，即m ＝6时，z 为实数．(2) 当z 为虚数时，则有m 2－5m －6≠0且m 2－7m ＋6m 2－1有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.所以m≠±1且m≠6.所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3) 当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6≠0，m 2－7m ＋6m －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1且m≠6，m ＝6且m≠±1.故不存在实数m 使z 为纯虚数．变式训练已知m∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时．(1) z∈R ； (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数．解：(1) 由z∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2) 由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0， 解得m≠1且m≠－3.(3) 由z 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.题型2 复数相等的条件例2 若(a －2i)i ＝b －i ，其中a 、b∈R ，i 是虚数单位，求点P(a ，b)到原点的距离．解：由已知ai ＋2＝b －i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴ 点P(－1，2)到原点距离|OP|＝ 5. 备选变式（教师专享）(2014²常州市期末)若1＋mii＝1＋ni(m 、n∈R ，i 为虚数单位)，则mn ＝________．答案：－1。
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06
第6章 御天鉴·玄门卷 （卷十二）
作为大陆新武侠第一刊，《今古传奇·武侠版》承载着弘扬原创武侠的历史使命，给予了武侠作者一个原创 阵地，让他们得以在大陆新武侠的旗帜下，开创一片盛事江湖。扬武侠精神，赏国风精粹，卫侠道不朽。
第1章 流梨卷·一瓣河川
第2章 墓法墓天·立地成佛（上）
第3章 朗月吟·不如归
第4章 一点红·盟主难为
第5章 刹倭·原野小白
第6章 御天鉴·玄门卷（卷十二）
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01 第1章 流梨卷·一瓣河 川
02
Байду номын сангаас
第2章 墓法墓天·立地 成佛（上）
03 第3章 朗月吟·不如归
04
第4章 一点红·盟主难 为
05 第5章 刹倭·原野小白
2016届新课标数学一轮复习课件 第四章 第1讲 平面向量的概念及线性运算
栏目 第十八页，编辑于星期五：十九点 导五十引四分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点二 平面向量的线性运算(高频考点)
栏目 第十九页，编辑于星期五：十九点 导五十引四分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
C
栏目 第二十页，编辑于星期五：十九点 导五十引四分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
A
A
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目 第十页，编辑于星期五：十九点 五导十四引分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目 第十一页，编辑于星期五：十九点 导五十引四分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
B
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目 第十三页，编辑于星期五：十九点 导五十引四分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点一 平面向量的有关概念
考点二 平面向量的线性运算(高频考点)
考点三
平面向量共线定理的应用
栏目 第十四页，编辑于星期五：十九点 导五十引四分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：集合与函数的性质 04函数的单调性
函数的单调性北京四中 苗金利考纲导读1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
知识要点：（一）定义说明：1．函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质。
2．因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点。
3．初等函数均可分段单调（二）函数的单调性与函数的图象之间的关系。
1．)(x f 是增（减）函数⇔图象自左到右上升（下降）2．图象的峰（谷）⇔函数增（减）变减（增）点⇔函数的极大（小）值点典型例题分析例题1．已知：函数1()f x xx =+（1）讨论()f x 的单调性。
（2）试作出()f x 的图像。
例题2．判定函数2()((1,1))1ax f x x x =∈--的单调性。
例题3．讨论函数f (x )=x 2-2|x |-3，f (x )= |x 2-2x -3|的单调区间。
例题4．设()()y f u u R =∈是增函数，()()u x x R ϕ=∈是减函数， 求复合函数(())f x ϕ在R 的单调性。
小结：1．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过 画出函数图象，观察图象，确定单调区间）； (3)定义法；(4)求导法. 注意：单调区间一定要在定义域内.2．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围 判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数 法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.3. 注意复合函数单调性的讨论方法课后练习题判定下列函数的单调性1、f(x)＝-x2+2|x|-32、y＝|x|·（1－x）3、y＝6＋12x－x3。
2016届高三数学一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-1
→ EB
＋
F→C＝－12(B→A＋B→C)－12(C→A＋C→B)＝－12(B→A＋C→A)＝12(A→B＋A→C)＝12
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
第十七页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识点三 共线向量定理 5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
第二十四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
【思维启迪】 以概念为判断依据，或通过举反例来说明其 不正确．
第二十五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
听 课 记 录 ①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故
a，b不一定相等；
②不正确．因为
→ AB
第五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识梳理
知识点一
向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有 方向 的量叫向量；向量的大小叫 做向量的 模 ．
(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量． (4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫共线向
【思维启迪】
(1)A、C、D三点共线⇔存在实数λ使
→ AC
＝
→ λCD.
(2)A、C、F三点共线⇔存在实数λ使A→C＝λA→F.
第三十八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
2016届高考数学(理)二轮复习热点专题突破课件考前30天专题3复习笔记3三角函数、解三角形、平面向量
解析：由题意可知 f(0)＝0，即 lg(2＋a)＝0，解得 a＝－ 1＋x 1，故 f(x)＝lg ，函数 f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义 1－x 1＋x 域中，f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数 y1＝lg(1＋x) 1－x 是增函数，函数 y2＝lg(1－x)是减函数，故 f(x)＝y1－y2 是增 函数．
复习笔记 3
三角函数、解三角形、平面 向量
[基础知识要记牢] 1．三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义： 设 α 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x， y y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符 号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α.
π sin2x＋4－ π 2 π π π 且当 x＝8时， sin 2x＋4 ＝sin2×8＋4＝1， 4，
π 因此函数 f(x)的图象关于直线 x＝8对称．
2．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半 1 轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 sin 2θ＝( 1 A.5 2 B.5 3 C.5 ) 4 D.5
π f(x) ＝ 2sin 3－x 的单调递减区间为
解析：由
π π f(x)＝2sin3－x＝－2sinx－3，
π π π 令－2＋2kπ≤x－3≤2＋2kπ， π 5π 则－6＋2kπ≤x≤ 6 ＋2kπ，k∈Z. ∴函数
π π 5π f(x)＝2sin 3－x 的单调递减区间为[－6＋2kπ， 6
4 4 解析：选 B 依题意得 sin α＝5，tan α＝3，tan β＝tan[α 4 1 tan α－tanα－β 3＋3 －(α－β)]＝ ＝ 4 1＝3. 1＋tan α· tanα－β 1－3×3
《2016年5月心理咨询师 三级 理论知识复习全书 核心讲义 》读书笔记思维导图
一、心理咨询 师考试介绍
二、心理咨询 师考试复习指 南
第二部分 心理咨询师（三级）理 论知识核心...
01
第一章 基 础心理学知 识
02
第二章 社 会心理学知 识
03
第三章 发 展心理学知 识
04
第四章 变 态心理学与 健康心理学 知识
06
第六章 咨 询心理学知 识
05
第五章 心 理测量学知 识
道德...
感谢观看
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书
笔
记
2015年11月心理咨 询师三级（职业道 德...
2015年5月心理咨 询师三级（职业道
德、...
2014年11月心理咨 询师三级（职业道 德...
2014年5月心理咨 询师三级（职业道 德、...
2013年5月心理咨 询师三级（职业道
德、...
2013年11月心理 咨询师三级（职业
道德...
2012年11月心理 咨询师三级（职业
《2016年5月心理咨询 师 三级 理论知识复习
全书 核心讲义 》
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心理
情绪
社会
人格
理论
需要
对象
目录
01 内容简介
第二部分 心理咨询师
03 （三级）理论知识核 心...
01
第一节 绪 论
02
第二节 心 理活动的生 理基础
03
第三节 感 觉和知觉
04
第四节 记 忆
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2016/4/24 1华南地区常见的观叶树种：红乌桕，红背桂，花叶榕，黄榕，金连翘 2北方地区常见的观叶树种：银杏，鹅掌楸，鸡爪槭，黄栌，红叶李 3八种国宝植物：水杉，珙桐，金花茶，望天树，桫椤，秃杉，银杉，人参 4花草四雅：兰，菊，水仙，菖蒲 5昙花：月下美人 6花中四君子：松，竹，梅，菊 7品种：经过人工选育而形成种性基本一致，遗传性比较稳定，具有人类需要的某种经济性状或观赏性状，作为特殊生产资料用的栽培作物群体 8五大公园树种：南洋杉，雪松，金钱松，日本金松，巨杉（长叶世界爷） 9欧洲五大行道树：银杏，悬铃木属，鹅掌楸属，椴树属，七叶树属
10按树木的生长类型分类： 常绿 落叶 针叶树类 白皮松 油松 侧柏 落叶杉 池杉 水杉 阔叶乔木类 女贞 广玉兰 石楠 白毛杨 悬铃木 柳 阔叶灌木类 黄杨 月桂 假连翘 山桃 榆叶梅 迎春 藤木类 常春藤 洛实 紫藤 地锦 竹类 早园竹 黄槽竹 佛肚竹
11观赏红色枝条：红瑞木，红茎木，野蔷薇，杏，山杏 12观赏古铜色枝条：山桃，桦木 13落羽杉与池杉 一是春观枝条。春天枝芽萌动，这时观察枝干的生长状态是区分二者的最佳视点，即看枝干是向上或水平展开，枝干向上伸展的为落羽杉，枝干水平开展的为池杉。
二是夏秋观叶。池杉、落羽杉发芽、落叶较晚，一般4月初发芽，10月底枯黄，池杉、落羽杉在叶方面的最大区别是池杉叶锥形螺旋状不成二列，而落羽杉叶条形羽状二列。
三是冬看树皮。冬季池杉、落羽杉的明显区别在于树皮的颜色上，即池杉树皮呈黑褐色，而落羽杉树皮呈棕红色。 14防火树种的特点：树脂少，枝叶含水分多，不易燃烧，萌芽再生能力强，根部分蘖力强，如珊瑚树，银杏，厚皮香，山茶。 15树皮分类：鳞片状开裂，浅纵裂，长条状浅裂，纵裂，片状剥落。 16枝条类型：长枝，短枝。 17叶形：刺形，条形，针形，四棱状条形，披针形，磷形，钻性，椭圆形 18叶着生方式：针叶束生；螺旋状互生；叶在长枝上互生，短枝上簇生；叶轮生；叶交互对生 19 松科球果特征：种鳞和苞鳞完全分离 20 球果：松杉柏科成熟的雌球花，由多数腹面着生种子的种鳞和种鳞背面的苞鳞组成 21 裸子植物的主要特征： a 陆生，孢子体发达，有根茎叶的分化和次生生长 b 有明显的世代交替现象，配子体寄生在孢子体上 c 胚珠裸露，雌配子体保留有颈卵器（少数高等类群除外） d 传粉时花粉直达胚珠，珠孔常分泌传粉滴，协助传粉过程的完成，精子靠花粉管传送 e 具多胚现象 f 产生种子 22白兰与黄兰p84、樟树与阴香的主要区别p89-90 白兰：花白色，香；叶无毛，托叶痕不到叶柄的一半，不结果。 黄兰：花橙黄色，香；叶有毛，托叶痕超过叶柄的一半；结果。 樟树：树皮块裂，脉腋有腺窝，有樟脑气味，叶面波状。 阴香：树皮不裂，脉腋无腺窝，有异于樟脑的芳香气味，叶面较平。 23熟记以下常见植物的属名 1.苏铁属Cycas 2.银杏属Ginkgo 3.松属Pinus 4.油杉属Keteleeria 5.杉木属Cunninghamia 6.落羽杉属Taxodium 7.柏木属Cupressus 8.福建柏属Fokienia 9.罗汉松属Podocarpus 10.竹柏属Nageia 11.木兰属Magnolia 12.含笑属/白兰属Michelia 13.鹅掌楸属Liriodendron 14.樟属Cinnamomum 15.李(樱)属Prunus 16.金合欢属Acacia 17.杜鹃花属Rhododendron 18.羊蹄甲属Bauhinia 19.铁刀木属（决明属）Cassia 20.圆柏属Sabina 21.红豆树属Ormosia 22.黄檀属Dalbergia 23.大戟属Euphorbia 24.变叶木属Codiaeum 25.(山）茶属Camellia 26.紫薇属Lagerstroemia 27.杜英属Elaeocarpus 28.榕属Ficus 29.乌桕属Sapium 30.红苞木属Rhodoleia 31.朱槿属Hibiscus 32.枇杷属Eriobotrya 33.桉属Eucalyptus 34.蒲桃属Syzygium 35.柑桔属Citrus 36.九里香属Murraya 37.米仔兰属Aglaia 38. 非洲楝属Khaya 39.荔枝属Litchi 40.芒果属Mangifera 41.桂花（木犀）属Osmanthus 42.女贞属Ligustrum 43.凤凰木属Delonix 44.蒲葵属Livistona 45.棕榈属Trachycarpus 46.鱼尾葵属Caryota 47.王棕（大王椰子）属 Roystonea 48.单竹属Lingnania 49.毛(刚)竹属Phyllostahys 50.刺（簕）竹属Bambusa
每天记五个植物拉丁名： 2016/4/24 苏铁 Cycas revolute Thunb 银杏 Ginkgo biloba L. 南洋杉 Araucaria heterophylla (Salisb) Franco 肯氏南洋杉 Araucaria cunninghamii Swett 油杉 Keteleeria fortunei (Murr.) Carr.
2016年4月27日星期三 1 日本柳杉与柳杉的主要区别： 柳杉：叶锥形，直伸，先端通常不内曲，球果较大，径1.5~2.5cm，发育种鳞具2~5个种子； 日本柳杉：叶微镰形，先端向内微弯，球果较小，径1.2~2cm，发育种鳞具2种子 2 落羽杉与池杉的区别： 池杉叶钻形，长4~10mm，斜上伸展，不排成两列； 落羽杉锥形叶在主枝上螺旋状排列，基部下延，条形叶在侧生枝上排成两列 3 竹柏与长叶竹柏的主要区别： 长叶竹柏：叶宽披针形，长8~18cm，宽2.2~5cm，雄球花常3~6簇生，种子径1.5~1.8cm； 竹柏：叶长卵形，卵状披针形或针状椭圆形，长2~9cm，宽0.7~2.5cm，雄球花腋生，种子径1.2~1.5cm 4 红豆杉与原变种的主要区别：叶线形，较短直，长1.5~2.2cm，上部微窄，先端急尖或微急尖。 5 南方红豆杉与与原变种的主要区别：叶质地较厚，边缘不反卷，中脉带不明显，种子卵圆形。 6 小叶买麻藤与罗浮买麻藤的主要区别：小叶买麻藤小枝较细，叶稀疏，叶片较小，长4~10cm，宽2~5cm，种子无柄。 7被子植物（又称为有花植物）与裸子植物的不同点：输导组织的木质部中具有导管，韧皮部中具有筛管和伴胞，同时具有真正的花，胚珠包被于子房中，子房发育为果实，胚珠发育为种子，而且具有特殊的双受精作用，能产生三倍体的胚乳。 8 北美鹅掌楸与鹅掌楸的主要区别：叶片较宽短，两侧有2~3裂，侧裂较浅，叶端常凹入，幼叶背面有细毛，老叶下面无白粉。 9 含笑和榕树的区别：含笑为木兰科，无乳汁，有绒毛 榕树为桑科，有乳汁，无绒毛 10 樟科几种代表植物的区别特征： 肉桂 樟树 阴香 黄南樟 黄樟 叶脉方式 三出 三出 三出 羽状脉 羽状脉 叶质地 厚革质 薄革质 较革质 密披平状毛 无毛 叶形态 椭圆或披针形 卵圆形或卵圆状披针形 长椭圆形 长椭圆形 长椭圆形
腺体 无 有 无 有 无 11 大叶樟和黄樟的区别：大叶樟的圆锥花序通常多花密集，长9~20cm，叶多为卵圆形； 黄樟 花序较少花，花序较短小，叶形多变异，多为椭圆状卵形和长椭圆状卵形 12 榆科和桑科的特征比较： 乳汁 花序 果实 榆科 无 单生 聚伞或簇生 翅果 坚果或核果 桑科 有 柔荑头状或隐头花序 聚花果 13 叶子花与光叶子花的区别： 叶子花枝叶密披柔毛，叶卵形，先端钝，基部较阔，苞片椭圆状卵形； 光叶子花无毛或疏生柔毛，叶卵形或卵状披针形或阔卵形，基部圆形或阔楔形。 14 红花银桦与银桦的主要区别： 红花银桦叶一回羽状全裂，总状花序顶生，萼片粉红至鲜红色； 银桦叶二回羽状深裂，总状花序腋生，萼片橙黄色 15 澳洲坚果：常绿乔木，双子叶植物，叶3~4片轮生，披针形，革质，光滑，边缘有刺状锯齿，总状花序腋生，坚果。 16 世界三大饮料植物：可可，咖啡，茶 17 红荷木与木荷的主要区别： 红荷木嫩枝有柔毛，叶椭圆形，长10~17cm，全缘，背面灰白色，有柔毛； 木荷嫩枝通常无毛，叶椭圆形，长7~12cm，边缘有钝齿，基部楔形 18 白千层与红千层的主要区别： 白千层叶小而坚硬，披针状椭圆形、狭椭圆形或倒披针形，平行纵脉五条，穗状花序，蒴果木质； 红千层叶条形，革质，坚硬而尖，穗状花序生于枝顶，蒴果半球形 19 洋蒲桃与蒲桃的主要区别： 洋蒲桃叶近无柄，其叶长或狭心形，叶片腺点不甚明显，果梨形或倒圆锥形，肉质 蒲桃主干多分枝，，叶革质，长椭圆状披针形，叶面多透明小腺点，果球形或卵形 20 重阳木与秋枫的主要区别： 重阳木：落叶乔木，小叶卵形至椭圆状卵形，纸质，基部圆形或渐心形，缘有细锯齿，花成总状花序；核果熟时红褐色； 秋枫：常绿或半绿乔木，小叶卵形或长椭圆形，薄革质，圆锥花序，核果熟时淡褐色 21 木油桐与油桐的主要区别： 木油桐：叶广卵圆形，全缘或3 裂，在裂片底部有腺体，叶柄顶端的2枚腺体有柄，核果卵圆形，有三条纵棱和网状皱纹； 油桐：叶卵圆形，全缘，稀1~3浅裂，叶柄顶端的2枚腺体无柄，核果近球形，表面光滑 22 大戟花序：每个杯状聚伞花序由1朵位于中央的雌花和多数位于周围的雄花同生于1个杯状总苞内而组成。 23 海棠花和垂丝海棠的主要区别： 海棠花：萼片宿存，果黄色，果梗洼隆起； 垂丝海棠：萼裂片钝，果紫色 24 南洋楹与楹树的主要区别： 南洋楹：常绿大乔木，小叶菱状长圆形，先端尖，中脉稍偏上缘，托叶锥形，穗状花序 楹树：落叶乔木，，小叶线状矩圆形，顶端偏斜而短锐尖，中脉紧贴上边缘，托叶大，心形，头状花序 25 无忧花与中国无忧花的主要区别： 无忧花：萼片4枚，椭圆形，长6~7cm，种子4~8枚 中国无忧花：萼片5枚，卵形，长1~1.2cm，种子12枚 26 细枝木麻黄，粗枝木麻黄，与木麻黄的区别： 细枝木麻黄：小枝稍硬，节部不易折断，鳞叶通常8枚，果序0.1~0.2cm，原产于澳大利亚 木麻黄：小枝细软，下垂，退化鳞片7枚，果序1.5~2.5cm，原产于大洋洲及其邻近的太平洋地区 粗枝木麻黄：小枝蓝绿色或披白粉，节间长1~1.6cm，直径1.3~1.7mm，鳞叶通常10~16枚，反卷，果序长1.2~1.5cm，原产于澳大利亚 27 榉树与大叶榉树的区别： 榉树：小枝紫褐色，冬芽单个着生，叶质地略薄，光绿色，下面有疏毛或无毛，小桃形锐锯齿的刺尖向外扩张 大叶榉树：小枝有毛，叶厚纸质，锯齿整齐，近桃形，表面被粗毛 28 五叶地锦与爬山虎的主要区别： 五叶地锦：掌状复叶，小叶5枚，卵状长椭圆形至倒长卵形，卷须嫩时顶端尖细卷曲， 爬山虎：主枝或短枝为复叶（3枚），侧出长枝为单叶，卷须嫩时顶端膨大呈珠形 29 齿叶黄皮与黄皮的主要区别： 齿叶黄皮： 小叶5~15枚，卵形至披针形，花序腋生，子房无毛，果熟时紫红至紫黑色 黄皮：小叶5~11枚，宽卵形至椭圆状卵形，花序顶生，子房密披柔毛，果熟时黄色 30 吴茱萸与楝叶吴茱萸的主要区别： 吴茱萸：幼枝，叶轴及花轴均被锈色柔毛，裸芽密披褐紫色长绒毛，小叶全缘或有不明显的