2015年山东高考数学文科试卷带详细讲解
2015年山东省高考数学试题解析word版
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）
（A）4.56%（B）13.59%（C ）27.18%（D）31.74%
【解析】选B.用表示 零件的长度，根据正态分布的性质得：
（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
，总有指数函数 ，所以 成立时，令 ，只需考虑
及 即分三类： 和 及 （ ）考虑.
当 即 时，选项A、B都排除，只有 时满足题意.
当 时， ，此时 ；
当 时， ，若 ，则 时 .
故 的取值范围是 .
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
C1 0 =40
.
令 ，得 ；
令 ，得 .
所以 的单增区间为 ，单减区间为 .
（Ⅱ）因为 ，且 为锐角三角形，所以 .
由 ， ，得 ，所以 ，所以 .
即 面积的最大值为 .
(17) (本小题满分12分)
如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE,∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.
2015年全国高考数学卷文科卷1及解析
2015 年全国高考数学卷文科卷 1一、选择题1．已知集合 A { x x 3n 2,n N}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的元素个数为( )（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（A）14 斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛2．已知点A(0,1), B(3,2) ，向量AC ( 4, 3)，则向量BC ( ) 7．已知{ a n} 是公差为1 的等差数列，S n 为{a n} 的前n项和，若S8 4S4 ，则a10（）（）（）（） A ( 7, 4) (7, 4)( 1,4) (1,4)B C D3．已知复数z 满足( z 1)i 1 i ，则z （）（A）172（B）192（C）10 （D）128．函数 f (x) cos( x )的部分图像如图所示，则 f (x) 的单调递减区间为（A） 2 i （B） 2 i （C）2 i （D）2 i4．如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组（）勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）1205．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 2C : y 8x的焦点重合，A, B 是C的准线与 E 的两个交点，则AB ( ) （A）1 3(k ,k), k Z4 4（A） 3 （B）6 （C）9 （D）126．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有（B）1 3(2k ,2k ), k Z4 4委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，（C）1 3(k ,k), k Z4 4米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（D）1 3(2k ,2k ),k Z4 4试卷第 1 页，总 4 页9．执行右面的程序框图，如果输入的t 0.01 ，则输出的n （）二、填空题13．数列a中a1 2,a n 1 2a n,S n 为a n 的前n 项和，若S n 126，则nn .（）（）（）（） AB CD 12 56 1010．已知函数f (x)7543414（A）（x 1 x2 2, 1log (x1), x 12 ，且f (a)3 ，则f (6)a（）3114．已知函数f x axx1,f 12,7的图像在点的处的切线过点，则a.15．若x,y 满足约束条件x y 2 0x 2y 1 02x y 2 0****B）411．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何, 则z=3x+y 的最大值为．体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20 ，则r ( ) 16．已知F 是双曲线2y2C : x 1的右焦点，P 是C左支上一点， A 0,66 ，8当APF 周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题17．（本小题满分12 分）已知a,b,c 分别是ABC 内角A, B,C 的对边，2sin B 2sin A sin C .（Ⅰ）若 a b ，求cos B;（A）1 （B）2 （C）4 （D）8x a12 ．设函数y f (x) 的图像与y 2 的图像关于直线y x 对称，且（Ⅱ）若 B 90 ，且a 2, 求ABC 的面积.f ( 2) f ( 4) ，1 则a ( )（A） 1 （B）1 （C）2 （D） 4试卷第 2 页，总 4 页18．（本小题满分12 分）如图四边形ABCD为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE 平面ABCD ，x y w 8 2(x i x)882(w i w) ( x i x)( y i y)(w i w)( y i i 1 i 1 i 1 i 1 1.6356.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w =ix ，w =i818i1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx 与y c d x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x 的回归方程；（Ⅰ）证明：平面AEC 平面BED ；（III ）已知这种产品的年利润z 与x，y 的关系为z 0.2 y x ，根据（Ⅱ）的（Ⅱ）若ABC 120 ，AE EC, 三棱锥 E ACD 的体积为棱锥的侧面积.63，求该三（Ⅰ）当年宣传费x90 时，年销售量及年利润（Ⅱ）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？结果回答下列问题：附：对于一组数据(u ,v ) , (u2,v2 ) ，⋯⋯，(u n ,v n) , 其回归线v u 的斜1 119．（本小题满分12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了率和截距的最小二乘估计分别为：解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t ）和年利润z（单位：千元）n的影响，对近8年的宣传费x和年销售量y i i 1,2, ,8 数据作了初步处理，i得到下面的散点图及一些统计量的值. = i 1(u u)(v v)i in2(u u)ii 1，=v u3页，总4页试卷第20．（本小题满分12 分）已知过点 A 1,0 且斜率为k 的直线l 与圆C：23．（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程2 2x 2 y 3 1交于M，N两点. 2 2在直角坐标系xOy 中，直线C1 : x 2，圆C2 : x 1 y 2 1，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅰ）求C1,C2 的极坐标方程.（Ⅱ）OM ON 12，其中O为坐标原点，求MN .（Ⅱ）若直线 C 的极坐标方程为3 π4R ，设C2,C3 的交点为M , N ，求C MN 的面积.221．（本小题满分12 分）设函数2x lnf x e a x .（Ⅰ）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；（Ⅱ）证明：当 a 0 时f x 2a aln 2a.24．（本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲22．（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图AB是直径，AC是切线，BC交与点 E.已知函数 f x x 1 2 x a ,a0 . （Ⅰ）当 a 1 时求不等式 f x 1的解集；（Ⅱ）若f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE是切线；（Ⅱ）若OA 3CE ，求ACB 的大小.试卷第 4 页，总 4 页****【解析】参考答案∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为22x y221(0)a ba b1．D，c=2，试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.考点：集合运算∵eca12，∴a4，∴22212b a c，∴椭圆E方程为22x y16121，2．A将x2代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.【解析】考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质试题分析：∵AB OB OA=（3,1），∴BC AC AB=(-7,-4)，故选A.6．B 【解析】考点：向量运算3．C1试题分析：设圆锥底面半径为r，则423r8，所以16r，所以米堆的3【解析】试题分析：∴(z1)i1i，∴z=12i(12i)(i)2i i2i，故选C.11163292体积为3()5=433考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：复数运算7．B 4．C【解析】****【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求11试题分析：∵公差d1，1解得a=1，∴2S84S4，∴8a1874(4a143)，22119a a9d9，故选B.10122概率为110，故选C.考点：等差数列通项公式及前n项和公式8．D考点：古典概型【解析】5．B【解析】2试题分析：∵抛物线C:y8xx2的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E的右焦点为（2,0），试题分析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以答案第1页，总8页****f (x) cos( x ) ，令2k x 2k , k Z ，解得4 41k ＜x42试题分析：∵ f (a) 3，∴当a 1时， a 1f (a) 2 2 3 ，则a 12 1，32k ，k Z ，故单调减区间为（＜4考点：三角函数图像与性质12k ，432k ），k Z ，故选 D.4此等式显然不成立，当 a 1时，l og (a 1) 3，解得 a 7 ，29．C 【解析】∴f (6 a) f ( 1) = 1 172 24，故选 A.试题分析：执行第 1 次，考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质t=0.01,S=1,n=0,m= 12=0.5,S=S-m=0.5,mm =0.25,n=1,S=0.5 ＞t=0.01,211．B【解析】是，循环，试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱执行第 2 次，S=S-m =0.25, 执行第 3 次，S=S-m=0.125,mm =0.125,n=2,S=0.25 ＞t=0.01, 是，循环，2mm =0.0625,n=3,S=0.125 ＞t=0.01, 是，循环，2的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为122 24 r r 2r r 2r 2r =2 25 r 4r =16 + 20 ，解得r=2 ，故选B.执行第 4 次，S=S-m=0.0625,mm =0.03125,n=4,S=0.0625 ＞t=0.01, 是，循2考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12．C环，【解析】执行第 5 次，S=S-m=0.03125,mm =0.015625,n=5,S=0.03125 ＞t=0.01, 是，2试题分析：设(x, y)是函数y f (x) 的图像上任意一点，它关于直线y x 对循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, 是，循环，mm =0.0078125,n=6,S=0.015625 ＞t=0.01,2x a y a称为（y, x ），由已知知（y, x ）在函数y 2 的图像上，∴x 2 ，解得y l o g x ( ，a ) 即 f (x) log2 ( x) a ，∴2执行第7 次，S=S-m=0.0078125,mm =0.00390625,n=7,S=0.0078125 ＞2f ( 2) f ( 4) log 2 a log 4 a 1，解得a 2，故选 C.2 2t=0.01, 否，输出n=7，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算考点：程序框图13．610．A【解析】【解析】试题分析：∵a1 2,a n 1 2a n ，∴数列a n 是首项为2，公比为 2 的等比数答案第 2 页，总8 页列，【解析】∴n2(12)nS126，∴264 n12考点：等比数列定义与前n项和公式14．1【解析】试题分析：∵2f(x)3ax1，∴f(1)3a1，即切线斜率k3a1，f(1)a2a212,7又∵，∴切点为（，），∵切线过（），∴解得a 1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；a27123a1，F共线，1x y∵A0,66，F1（－3,0），∴直线AF1的方程为136615．4【解析】266960y y，解得y26或试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x y0，平移直线l，当直线l:z=3x+y过点A时，z取最大值，由0x y2=0x2y1=0解得A（1,1），y86(舍)，所以P点的纵坐标为26，∴S S S=APF AFF PFF111166662622=126.∴z=3x+y的最大值为 4.考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题考点：简单线性规划解法16．12617．（Ⅰ）【解析】14（Ⅱ）1答案第3页，总8页试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将2sin B2sin A s in C化为变得关系，结合试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC^ BD，因为BE^平面ABCD，所以AC^BE，故AC^平面BED.条件a b，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的又ACì平面AEC，所以平面AEC^平面BED余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的面积.22b=ac，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC3（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由D ABC=120°，可得AG=GC=2xx,GB=GD=2.试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得又a=b，可得b=2c,a=2c,22b=ac.因为AE^EC，所以在RtD AEC中，可得EG=32x.由余弦定理可得cos B2221a+c-b==.2ac4由BE^平面ABCD，知D EBG为直角三角形，可得BE=22x.22（Ⅱ）由(1)知b=ac.因为B=90°，由勾股定理得222a+c=b.由已知得，三棱锥E-ACD的体积故x=211663V AC GD BE x-=醋?=.E ACD32243故222a+c=ac，得c=a=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以D ABC的面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力所以D EAC的面积为3，D EAD的面积与D ECD的面积均为5.18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3+25故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.【解析】考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC^BD，由BE^平面ABCD知AC^BE，算；逻辑推理能力；运算求解能力由线面垂直判定定理知AC^平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC 平面BED；（Ⅱ）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示19．（Ⅰ）y c d x适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型出来，在Rt D AEC中，用x表示EG，在RtD EBG中，用x表示EB，根据条件三（Ⅱ）y100.668x（Ⅲ）46.24棱锥E ACD的体积为63求出x，即可求出三棱锥E ACD的侧面积.【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）答案第4页，总8页令w x ，先求出建立y 关于w的线性回归方程，即可y 关于x的回归方程；∴当x =1.642=6.8 ，即x 46.24 时，z取得最大值.（Ⅲ）( ⅰ) 利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利故宣传费用为46.24 千元时，年利润的预报值最大. ⋯⋯12 分率z 与x、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意结果知，年利润z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法识即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x适合作为年销售y关于年20．（Ⅰ）骣- +4 7 4 7琪,琪3 3桫（Ⅱ）2宣传费用x的回归方程类型.【解析】（Ⅱ）令w x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于试题分析：（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（Ⅱ）设M (x1, y1), N (x2, y2) ，将直8d i 1 (w w )y( y )i i108.816=82(w w)ii 1=68 ，线l 方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将x1x2, y1 y2用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及O M ON 12列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.∴c y dw =563-68 ×6.8=100.6.试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为y = kx +1 . ∴y 关于w的线性回归方程为y 100.6 68w，∴y 关于x的回归方程为y 100.6 68 x . 因为l 与C交于两点，所以|2k - 3 +1|21+ k< 1.（Ⅲ）( ⅰ)由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值y 100.6 68 49 =576.6 ，解得4 - 7 4 + 7< k < .3 3z 576.6 0.2 49 66.32.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值骣-+4 7 4 7琪所以k 的取值范围是,琪3 3桫.z 0.2(100.6 68 x) x x 13.6 x 20.12，（Ⅱ）设M (x , y ), N(x , y ) .1 12 2答案第 5 页，总8页22将y=kx+1代入方程()()x-2+y-3=1,整理得当a>0时，因为2xe单调递增，a-单调递增，所以f￠(x)在(0，+￥)单调递x22(1+k)x-4(k+1)x+7=0,增.又f￠(a)>0,当b满足0a<b<且41b<时，f￠(b)<0,故当a>0时，44(k+1)7x+x=,x x=.所以1221221+k1+kf￠(x)存在唯一零点.4k(1+k)2OM?ON x x+y y=1+k x x+k x+x+1=+8 1212121221+k ,（Ⅱ）由（Ⅰ），可设f￠(x)在(0，+￥)的唯一零点为x，当()x?0，x时，00由题设可得4k(1+k)21+k+8=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.f￠(x)<0;故圆心在直线l上，所以|MN|=2.当x违(x0，+)时，f￠(x)>0.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21．（Ⅰ）当a￡0时，f￠(x)没有零点；当a>0时，f￠(x)存在唯一零点.故f(x)在(0，x)单调递减，在()x0，+￥单调递增，所以当x=x0时，f(x)故f(x)在(0，x)单调递减，在()（Ⅱ）见解析取得最小值，最小值为f(x).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分a￡0与a>0考虑f x的单调性及性质，2x a a22由于02e-=0，所以f(x0)=+2ax0+aln?2a a ln.x2x a a00即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设f￠(x)在(0，+￥)的唯一零点为x，故当a>0时，2f(x)?2a aln.a根据f x的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.明其最小值不小于22a+a ln，即证明了所证不等式.a22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】2x a试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，+￥)，()f￠(x)=2e-x>0.x 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=9°0，即当a￡0时,f￠(x)>0，f￠(x)没有零点；∠OED=9°0，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理得2BE12x，由直角三角形射影定理可得答案第6页，总8页2AE CE BE ，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小. 试题解析：（Ⅰ）因为x cos , y sin ，试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴ C 的极坐标方程为cos 2 ，C2 的极坐标方程为1连结O E，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=9°0，2 2 cos 4 sin 4 0 . ⋯⋯ 5 分∴∠OED=9°0，∴DE是圆O的切线.（Ⅱ）设C E=1，AE=x, 由已知得AB=2 3， 2BE 12 x ，（Ⅱ）将=解得2 2 cos 4 sin 4，得代入41 =2 2 ， 2 = 2 ，|MN|= 1 － 2 = 2 ，2由射影定理可得，∴AE CE BE ，2 12 2x x ，解得x= 3，∴∠ACB=60°.1o因为C 的半径为1，则C2 MN 的面积2 1 sin 4522考点: 直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系=12.24．（Ⅰ）【解析】2{ x | x 2} （Ⅱ）（2，+∞）3试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1 化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将 f ( x) 化为分段函数，求出 f (x) 与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范考点: 圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理围.23．（Ⅰ）cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0 （Ⅱ）12试题解析：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1| ＞1，【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C ，C2 的极坐1 等价于x 1或x 1 2x 2 11 x 1x 1 2x 2 1或x 1x 1 2x 2 1，解得标方程；（Ⅱ）将将=4 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 即可求出|MN| ，23x 2 ，利用三角形面积公式即可求出C MN 的面积.2答案第7 页，总8页所以不等式f(x)>1 的解集为2{ x | x 2} .3x 1 2a, x 1（Ⅱ）由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a，x 1 2a, x a所以函数 f (x) 的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为2a 1A( ,0) ，3B(2 a 1,0) ，C(a, a+1) ，所以△ABC的面积为232 (a 1) .由题设得232(a1) ＞6，解得 a 2 .所以a的取值范围为（2，+∞）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法答案第8 页，总8 页。
2015年高考文科数学全国2卷(含详细解析)
绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合,,则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为实数,且,则( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得 ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）{}|12A x x =-<<{}|03B x x =<<A B =()1,3-()1,0-()0,2()2,3a 2i3i 1ia +=++a =4-3-34()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 考点：柱形图4. 已知,,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.考点：向量数量积.5. 设是等差数列的前项和,若,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题解析：,.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）()1,1=-a ()1,2=-b (2)+⋅=a b a 1-01222=a 3,⋅=-a b ()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b n S {}n a n 1353a a a ++=5S =5791113533331a a a a a ++==⇒=()15535552a a S a +===【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（ ）【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为（ ）1A.81B.71C.61D.51615(1,0),A B C ABC 5A.33 C.34D.3,a b a A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图. 9．已知等比数列满足,,则（ ）【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得,所以,故 ,选C.考点：等比数列.10. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==B A ,O ︒=∠90AOBC ABC O -O π36π64π144π256,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数 ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.BOP x ∠=()f x 21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由可得 .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】考点：双曲线几何性质16. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则()32f x ax x =-()32f x ax x =-()1242f a a -=-+=⇒=-50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩(12y x =±2214x y -=ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . （I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以 由（I ）知, 11y x'=+ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ∆=-=⇒=∠sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠所以 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图tan 30.B B ∠=∠=（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体中AB =16,BC =10,,点E ,F 分别在 上,过点E ,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）或1111ABCD A B C D -18AA =1111,A B D C 11 4.A E D F ==αα9779考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为,点在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）（II ）见试题解析()2222:10x y C a b a b+=>>2(2222184x y +=考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知.（I ）讨论的单调性；（II ）当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围.【答案】（I ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II ）. 【解析】()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明；（II ）若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 （t 为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I ）求与交点的直角坐标；（II ）若与 相交于点A ,与相交于点B ,求最大值.EF BC AE MN ==xOy 1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩0t ≠0απ≤<23:2sin ,:.C C ρθρθ==2C 3C 1C 2C 1C 3C AB【答案】（I ）；（II ）4. 【解析】 试题分析：（I ）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：（I ）若 ,（II ）的充要条件.【答案】【解析】 ()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭2C 3C 2220x y y +-=22230x y x +-=,,,a b c d a b c d +=+ab cd >>>a b c d -<-试题分析：（I ）由及,可证明,开方即得（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I ）因为考点：不等式证明.a b c d+=+abcd>22>>22a b c d =++=++。
文科数学-2015山东高考数学(文)试题下载_2015高考真题精编版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案卸载试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合A={X|2<X<4}，B={X|（X-1）（X-3）<0}，则A B= （A ）（1,3） （B ）（1,4） （C ）（2,3） （D ）（2,4）（2）若复数Z 满足1zi-=i ，其中i 为虚数单位，则Z=（A ）1-i （B ）1+I （C ）-1-I （D ）-1+i（3）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a（4）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）．向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）.向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（5）若, 如题“m>0,则方程+-=0有实根 的逆否命题是(A)若方程+-=0有实根，则>0 (B)若方程+-=0有实根，则0 ()若方程+-=0没有实根，则>0 ()若方程+-=0没有实根，则0（6）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。
2015山东高考数学答案及解析
CABDA,BCBDC,4^(n-1),1,11/6,-3/2,3/2
1.C
解析：由已知集合A等价于(1,3) 故选C
2.A
解析：由已知z的共轭为1+i 所以z=1-i
3.B
解析：左加右减且直接作用于x
4.D
解析：由向量数量积的定义可知选D
5.A
解析：特殊值检验可知选A
6.B
解析：由已知，可行域的三个边界分别为（0,0）（1,1）（2,0）带入检验可知选B
7.C
解析：该几何体为一个大圆柱扣去一个小圆锥，作差即可得到体积
8.B
解析：根据题目信息可知误差在(-3,3)的概率为68.26%误差在(-6,6)的概率为95.44%
所以误差在(0,3)的概率为34.13%，误差在(0,6)的概率为47.72%
故误差在(3,6)之间的概率为13.59%所以选B
9.D
解析：由题目可知该反射光线过点（2，-3）设其斜率为k则该直线方程为y+3=k(x-2) 化为一般式的kx-y-3-2k=0 又因为它与题目所给出的圆相切，所以它到圆心的距离为1 由点到直线的距离公式可以解出k=-4/3或-3/4
10.C
解析：特殊值检验可知选C
11.4^(n-1)
解析：观察题目所给等式易知答案为4^(n-1)
12.1
解析：当x在[0,π/4]上时tanx最大值为1 故m最小值为1 13.11/6
解析：由程序框图可知T=1+1/2+1/3=11/6
14.-3/2
解析：分两种情况0<a<1与1<a
分类讨论可知有一种不符,可知a+b=-3/2
15.3/2
解析如下。
2015年全国高考数学卷文科卷1及解析(1).docx
2015 年全国高考数学卷文科卷 1（D ）120一、选择题5．已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 1，E 的右焦点与抛物线 C : y 2 8x 的1 ． 已 知 集 合2焦点重合， A, B 是 C 的准线与 E 的两个交A { x x 3n2, n N}, B {6,8,10,12,14} ，则点，则 AB ( )集合 A I B 中的元素个数为 ( )（ A ） 5 （ B ） 4（ C ） 3（ A ） 3（ B ） 6（C ） 9（D ）12（D ）22．已知点uuur( 4, 3) ， 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰A(0,1), B(3,2) ，向量 ACuuur( )富的数学名着，书中有如下问题：“今则向量 BC有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，（A ） ( 7, 4)（ B ）(7, 4)（C ） 问：积及为米几何？”其意思为：“在( 1,4)（D ） (1,4)屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个3．已知复数 z 满足 ( z 1)i1 i ，则 z （ ） 圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆（A ） 2i（B ） 2 i（C ） 放的米各为多少？”已知1 斛米的体积2 i（D ） 2 i约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算4．如果 3 个正整数可作为一个直角三角 出堆放的米有（）形三条边的边长，则称这3 个数为一组142236（A ） 斛 （B ） 斛 （C ） 斛 （D ）勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，66 斛则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）7．已知 { a n }是公差为 1 的等差数列， S n 为{ a n }的前 n 项和，若 S 8 4S 4 ，则 a 10 （ ）（ A ） 3（B ）1（C ）1105 10（A）17（B）19（ C）10 22（D）128．函数f ( x)cos( x) 的部分图像如图所示，则 f ( x) 的单调递减区间为（）（A）( k 1, k3), k Z 44（B）(2 k 1,2 k3), k Z 44（C）( k 1, k3), k Z 44（D）(2 k 1,2 k3), k Z 449．执行右面的程序框图，如果输入的t 0.01，则输出的n（）（ A）5（B）6（C）10（D）1210．已知函数f ( x)2x 12, x1，且log2 (x1), x 1f (a)3 ，则 f (6 a)（）（A）7（）5（）34B C44（D）1411．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20，则r( )（A）1（B）2（C）4（D）812．设函数y f ( x) 的图像与 y2x a的图像关于直线y x对称，且f ( 2) f ( 4) 1 ，则 a( )（ A）1（B）1（C）2（D）4二、填空题13．数列a n中a12, a n 1 2a n , S n为a n的前 n 项和，若S n126 ，则 n. 14．已知函数 f x ax3x 1 的图像在点1, f 1的处的切线过点2,7，则a.x y20 15．若 x,y 满足约束条件x 2 y 10,2 x y20则 z=3x+y 的最大值为．16．已知F是双曲线C : x2y21 的右焦8点， P 是 C 左支上一点，A 0,6 6 ，当APF 周长最小时，该三角形的面积的影响，对近 8 年的宣传费x i和年销售量为．y i i 1,2, L ,8 数据作了初步处理，得到下三、解答题17．（本小题满分12 分）已知a, b, c分别是ABC 内角A, B,C的对边，sin 2 B 2sin Asin C .（Ⅰ）若 a b ，求cos B;（Ⅱ）若 B 90o，且 a2,求ABC 的面积.18．（本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD为菱形， G 为AC 与BD 交点，BE 平面 ABCD ，（Ⅰ）证明：平面AEC平面BED；（Ⅱ）若ABC 120o， AE EC ,三棱锥E ACD 的体积为6，求该三棱锥的侧面3积.19．（本小题满分12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润 z（单位：千元）面的散点图及一些统计量的值.46.6 56.3 6.8 289.8 1.61表中 w i=ur18x i， w =w i8i 1（Ⅰ）根据散点图判断， y a bx 与 y c d x ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z 与 x，y的关系为 z 0.2 y x，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（Ⅰ）当年宣传费 x 90 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（Ⅱ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：于一数据(u1 , v1 ) , (u2 ,v2 ) ，⋯⋯，(u n ,v n ) ,其回v u 的斜率和截距的最小二乘估分：n(u i u)(v i v)μ i 1，μμ=n=v u(u i u)2i 120．（本小分 12 分）已知点A 1,0且斜率k的直l与C：22交于 M，N两点 .x 2y 31（Ⅰ）求 k 的取范；uuuur uuur（Ⅱ） OM ON 12 ，其中O坐原点，求MN .21 ．（本小分12 分）函数f x e2 x a ln x .（Ⅰ） f x 的函数 f x 的零点的个数；（Ⅱ）明：当a0f x2a a ln 2 .a22．（本小分10 分）修 4-1 ：几何明如 AB是直径，AC是切，BC交与点 E.（Ⅰ）若 D AC中点，求： DE是切；（Ⅱ）若 OA3CE，求ACB 的大小. 23．（本小分10 分）修 4-4 ：坐系与参数方程在直角坐系xOy中，直 C1 : x 2 ，2y 22，以坐原点极C2 : x 11点,x 正半极建立极坐系.（Ⅰ）求 C1 ,C2的极坐方程.（Ⅱ）若直C3的极坐方程πR ， C2, C3的交点 M , N ，求4C2MN的面.24．（本小分 10 分）修 4-5 ：不等式已知函数 f x x 1 2 x a , a 0 .（Ⅰ）当a 1 求不等式f x 1 的解集；（Ⅱ）若f x 像与x成的三角形面大于 6，求 a 的取范 .3．C参考答案1．D【解析】试题分析：由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故A∩B={8,14}, 故选 D.考点：集合运算2．A【解析】uuur uuur uuur uuur uuur uuur试题分析：∵ AB OB OA =（3,1），∴ BC ACAB =(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算【解析】试题分析： ∴ ( z 1)i1 i ，∴z=1 2i(1 2i )( i )2 i ，故选ii 2C.考点：复数运算4．C【解析】试题分析：从 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5 ，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为1，故选C.10考点：古典概型5．B【解析】试题分析：∵抛物线 C : y28x 的焦点为（2,0），准线方程为 x 2 ，∴椭圆E的右焦点为（2,0），∴椭圆 E的焦点在 x 轴上，设方程为x2y21(a b 0) ，，a2b2c=2∵ e c 1，∴ a 4 ，∴b2a2c212 ，∴椭圆E方程为a2x2y21，1612将x 2 代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6 ，故选 B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6．B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 r ，则123r 8 ，所以 r16 ，43所以米堆的体积为11 3 (16)25= 320，故堆放的米约为4339320÷1.62 ≈22，故选 B.9考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7．B【解析】试题分析：∵公差 d 1， S84S4，∴8a114(4 a114 3) ，解得a1=1，∴8 722 2a10a1 9d1919，故选 B.22考点：等差数列通项公式及前n 项和公式8．D【解析】1+试题分析：由五点作图知，4 2 ，解得= ， =，5344+2所以 f ( x)cos( x)，令 2kx2k, k Z ，解得134413＜x k Z，故单调减区间为（ 2k，2k），2k＜ 2k，44 44k Z ，故选D.考点：三角函数图像与性质9．C【解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m= 1=0.5,S=S-m=0.5, mm=0.25,n=1,S 22=0.5 ＞t=0.01, 是，循环，执行第 2 次， S=S-m =0.25, m m=0.125,n=2,S=0.25＞2t=0.01, 是，循环，执行第 3 次， S=S-m =0.125, m m=0.0625,n=3,S=0.125 2＞t=0.01, 是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625, mm=0.03125,n=4,S=0.06252＞t=0.01, 是，循环，执行第5次，S=S-m =0.03125, m m =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，2循环，执行第6次，S=S-m=0.015625, mm=0.0078125,n=6,S=0.015625＞2t=0.01, 是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞2t=0.01, 否，输出 n=7，故选 C.考点：程序框图10．A【解析】试题分析：∵ f (a)3，∴当a 1 时，f (a) 2a 12 3 ，则2a 11，此等式显然不成立，当 a 1 时，log 2 (a 1) 3 ，解得a7 ，∴ f (6 a) f ( 1) =2 1 127，故选 A. 4考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11．B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为14 r 2r 2rr 22r 2r =5 r 24r 2=16 + 220，解得 r=2 ，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12．C【解析】试题分析：设 ( x, y) 是函数 y f ( x) 的图像上任意一点，它关于直线 y x 对称为（y, x），由已知知（y, x ）在函数y 2x a的图像上，∴x2y a，解得 y log 2 ( x) a ，即f ( x)log 2 ( x) a ，∴ f (2) f ( 4)log 2 2 a log 2 4 a 1，解得 a2，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算13．6【解析】试题分析：∵ a12, a n 12a n，∴数列a n是首项为2，公比为 2 的等比数列，∴ S n2(12n )126 ，∴ 2n64 ，∴n=6.12考点：等比数列定义与前n 项和公式14．1【解析】试题分析：∵ f (x) 3ax2 1 ，∴ f (1) 3a 1 ，即切线斜率k 3a 1，又∵ f (1) a 2，∴切点为（ 1，a 2 ），∵切线过（2,7），∴ a2 73a1，解得 a 1. 12考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x y 0 ，平移直线 l0，当直线l:z=3x+y过点A时，z取最大值，由xy2=0解得 A（1,1 ），∴ z=3x+y 的最大值为x 2 y1=04.考点：简单线性规划解法16．12 6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线定义知，| PF | 2a| PF1 | ，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a | PF1 | +|AF|=|PA|+| PF1 | +|AF|+15．42a ，由于 2a | AF |是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+ | PF1 |最小，即 P、A、F1共线，∵ A 0,66， F1（－3,0），∴直线 AF1的方程为xy1，366即 x y 3 代入 x2y2 1 整理得 y 2 6 6 y 960 ，解得268y 2 6 或 y8 6 (舍)，所以P点的纵坐标为 2 6 ，∴ S APF S AFF1SPFF1=16 6 61 6 2 6 =12 6 . 22考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17．（Ⅰ）1（Ⅱ） 14【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将sin 2 B 2sin A sin C 化为变得关系，结合条件 a b ，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知b2 = 2ac ，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC 的面积.试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得b2 = 2ac .又a = b ，可得 b = 2c , a = 2c ,由余弦定理可得 cos B =a2+ c2- b2 =1.2ac4（Ⅱ）由 (1) 知b2= 2ac .因为 B = 90°，由勾股定理得a2 + c2 = b2.故 a2 + c2 = 2ac ，得c = a =2 .所以 D ABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3+2 5【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC^BD，由BE^平面 ABCD知 AC^ BE，由线面垂直判定定理知 AC^平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面 AEC 平面BED；（Ⅱ）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x 表示出来，在 RtD AEC中，用x表示EG，在 RtD EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥 E ACD 的体积为6求出x，即可求出三棱3锥E ACD 的侧面积.试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以 AC^ BD，因为 BE^平面 ABCD，所以 AC^ BE，故 AC^平面 BED.又 ACì平面 AEC，所以平面 AEC^平面 BED 因为 AE^ EC，所以在RtD AEC中，可得 EG=3x .2由BE^平面 ABCD，知D EBG为直角三角形，可得 BE=2x .2由已知得，三棱锥 E-ACD的体积V E - ACD =1醋1AC GD ?BE 6 x3=6. 故x =232243从而可得 AE=EC=ED=6 .所以 D EAC的面积为3，D EAD的面积与 D ECD的面积均为5 .故三棱锥 E-ACD的侧面积为3+2 5 .考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力（Ⅱ）设 AB=x，在菱形 ABCD中，由D ABC=120°，可得19．（Ⅰ）y c d x适合作为年销售y关于年宣传费用x的3x回归方程类型（Ⅱ）$100.6 68 x （Ⅲ）46.24.yAG=GC=x ,GB=GD=22【解析】分析：（Ⅰ）由散点及所函数像即可出适合作合的函数；（Ⅱ）令 w x ，先求出建立y 关于 w 的性回方程，即可 y 关于 x 的回方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用 y 关于 x 的回方程先求出年售量 y 的，再根据年利率z 与 x、y 的关系z=0.2y-x 即可年利 z 的；（ⅱ）根据（Ⅱ）的果知，年利 z 的，列出关于x的方程，利用二次函数求最的方法即可求出年利取最大的年宣用 .解析：（Ⅰ）由散点可以判断，y c d x 适合作年售 y 关于年宣用x 的回方程型.（Ⅱ）令 w x ，先建立 y 关于 w 的性回方程，由于8$(w i w)( y i y)108.8i 1=，d8=68( w i w) 216i 1∴$$=563-68×6.8=100.6.c y dw∴ y 关于 w 的性回方程$，y 100.668w∴ y 关于 x 的回方程$.y 100.6 68 x（Ⅲ） ( ⅰ) 由（Ⅱ）知，当x =49 ，年售量y的$100.66849 =576.6，y$576.60.24966.32 .z（ⅱ）根据（Ⅱ）的果知，年利z 的$x 13.6 x 20.12 ，z 0.2(100.6 68 x ) x∴当 x =13.6，即 x$取得最大 .=6.846.24 ， z2故宣用 46.24 千元，年利的最大 . ⋯⋯ 12分考点：非性合；性回方程求法；利用回方程行预报预测；应用意识骣7 4 + 74 -（Ⅱ） 220．（Ⅰ）琪,琪33桫【解析】试题分析：（Ⅰ）设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出 k 的取值范围；（Ⅱ）设 M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ) ，将直线l方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将x1 x2 , y1 y2用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及uuuur uuur12 列OM ON出关于 k 方程，解出 k，即可求出 |MN|.试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为y = kx +1 .因为 l 与 C交于两点，所以| 2k - 3 +1|< 1.1 +k 2解得4 -7 < k < 4 + 7.33骣7 4 + 74 -.所以 k 的取值范围是琪,琪3桫3（Ⅱ）设 M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ) .将代入方程22,整理得y = kx +1(x - 2) +( y - 3) =1(1+ k2 )x2 -4( k +1)x + 7 = 0 ,所以 x1+ x2=4( k +21), x1 x2 =72 .1+ k 1 + kuuuur uuur2 x1 x2+1= 4k (1+k )+8 ,OM ?ON x1 x2 + y1 y2 =1+k+k x1 +x21+k 2由题设可得 4k(1+ k)+ 8=12 ，解得k =1，所以l 的方程为1 + k2y = x +1.故圆心在直线 l 上，所以| MN |=2 .考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21．（Ⅰ）当a￡0时，f￠(x)没有零点；当a > 0时，f￠(x)存在唯一零点 . （Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数， 分 a ￡0 与 a > 0 考虑 f x 的单调性及性质，即可判断出零点个数； （Ⅱ）由（Ⅰ）可设￠，根据 f x 的正负，即可判f ( x) 在 (0，+￥)的唯一零点为 x 0定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 2a+aln 2，即证明了所证不等式 .a试 题 解 析 ：（ Ⅰ ） f (x) 的 定 义 域 为 (0，+￥) ，￠2xa f ( x)=2 e- x (x > 0).当 a ￡0 时, f ￠(x) > 0， f ￠(x) 没有零点；当 2 xa 单调递增，所以￠a > 0 时，因为 e单调递增， -f (x) 在xa1(0，+￥) 单调递增 . 又￠, 当 b 满足 0 < b < 且 b < 时，f (a) > 044￠￠存在唯一零点 .f (b) < 0 , 故当 a > 0 时， f (x)（Ⅱ）由（Ⅰ），可设 f ￠(x) 在 (0，+￥)的唯一零点为x 0 ，当￠;x ? (0，x 0)时， f ( x) < 0当 x 违(x 0，+ ￠.)时， f ( x) > 0 故 f ( x) 在 (0，x 0 ) 单调递减，在 (x 0，+￥) 单调递增，所以当x = x 0 时， f ( x) 取得最小值，最小值为 f ( x 0 ) .由于 2e2 x 0- a=0 ，所以 f ( x 0 )= a + 2ax 0 + a ln 2? 2a a ln 2.x 0 2x 0 a a故当 a > 0 时， f (x) ? 2aa ln 2.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力 .22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 60°【解析】分析：（Ⅰ）由的切性及周角定理知，AE⊥BC，由射影定理可得，AE 2CEgBE ，AC⊥AB，由直角三角形中性知DE=DC，OE=OB，利用等量代可∠ DEC+∠OEB=90°，即∠ OED=90°，所以 DE是O 的切；（Ⅱ） CE=1,由OA3CE 得，AB=2 3 ，AE=x，由勾股定理得BE12 x2，由直角三角形射影定理可得 AE 2CE gBE ，列出关于 x 的方程，解出 x ，即可求出∠ACB的大小 .解析：（Ⅰ） AE，由已知得， AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得 DE=DC，∴∠ DEC=∠DCE，OE，∠ OBE=∠OEB，∵∠ ACB+∠ABC=90°，∴∠ DEC+∠OEB=90°，∴∠ OED=90°，∴ DE是 O的切 .（Ⅱ） CE=1，AE=x , 由已知得 AB=2 3，BE12 x2，∴ x212 x2，解得x= 3 ，∴∠ACB=60°.考点 : 的切判定与性；周角定理；直角三角形射影定理23．（Ⅰ）cos2 ,2 2 cos4 sin4 0 （Ⅱ）12【解析】分析：（Ⅰ）用直角坐方程与极坐互化公式即可求得 C1， C2的极坐方程；（Ⅱ ）将将=代入422cos4sin4 0 即可求出|MN|，利用三角形面公式即可求出VC2MN 的面.解析：（Ⅰ）因 x cos , y sin，∴ C1的极坐方程cos 2 ， C2的极坐方程22 cos 4 sin4 0. ⋯⋯ 5分（Ⅱ ）将=代入2 2 cos 4 sin4 0，得423 240，解得1 =2 2 ，2= 2 ，|MN|=1－2 = 2，因为 C2的半径为1，则 VC2 MN 的面积12 1sin 45o=1. 22考点 : 直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24．（Ⅰ）{ x |2x 2} （Ⅱ）（，∞）32+【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将 f ( x) 化为分段函数，求出 f ( x)与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于 a 的不等式，即可解出 a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，等价于x1或1x1或 x 1，x 1 2 x 2 1x 1 2 x 2 1x 1 2x 2 1解得2x 2 ，3所以不等式f(x)>1的解集为 { x |22} .x3x12a, x1（Ⅱ）由题设可得， f ( x)3x12a, 1x a ，x12a, x a所以函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(2a1,0) ， B(2 a 1,0) ， C (a, a+1) ，所以△ABC的面积为32(a 1)2.3由题设得2(a 1)2＞6，解得a 2 .3所以 a 的取值范围为（2，+∞）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 2020-2-8。
2015届山东省高考压轴卷数学(文)Word版含解析
2015山东高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5. 一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7.A.0B.1C.2D.38.设P为双曲线的一点，分别为双曲线C的左、右焦点，若则△ 的内切圆的半径为A． B． C． D．9.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A.54B.45C.36D.2710.（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.14.若，则的最大值为.15.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是；三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.已知函数，.（1）设.① 若函数在处的切线过点，求的值；② 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱，，点P、Q 分别为和的中点.（I）证明：PQ//平面；（II）求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）从某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm）情况如下表：（I）求的值；（II）按表中的身高组别进行分层抽样，从这100名学生中抽取20名担任某国际马拉松志愿者，再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出两名担任迎宾工作，求这两名担任迎宾工作的志愿者中至少有一名的身高不低于180cm的概率.20.（本小题满分12分）已知函数，且。
2015山东高考数学
2015山东高考数学2015年山东高考数学试题分析2015年山东高考数学试题在整体难度上与往年相比较为适中，题型设计也比较典型。
以下将逐题对试题进行分析，并给出解题思路和解题方法。
一、选择题1.已知曲线y=f(x)满足f(0)=2，且在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x+2，则f(x)=________。
这道题考察了函数与切线的关系。
已知在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x+2，则其斜率为3，因此f'(1)=3。
由于f'(x)是曲线在该点的斜率，而曲线在点(1,f(1))处的斜率为3，因此f'(x)=3。
对f(x)进行求导，得到f'(x)=3，所以f(x)=3x+k。
再根据已知条件f(0)=2，代入得到2=3×0+k，可得k=2。
所以f(x)=3x+2。
2.在∠AOB的平分线上取一点P，使得OP=OB，若∠ABP=72°，则∠AOb=________。
这道题目主要考察了角平分线的性质。
根据题意已知∠ABP=72°，且OP=OB。
根据题意再联立等式OB=OP，可以得到OP=OB=2R （其中R表示向量OB）。
由于矢量OA、OP和OB之间的关系为OP=OA+AP，可以得到AP=OP-OA=OB-OA=R-(-R)=2R。
因此，∠AOP=∠OPA=∠OAP，即∠AOP=∠OPB=36°。
由于∠AOP与∠AOB互为互补角，所以∠AOB=2×36°=72°。
3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的抛物线在经过点(1,4)，并且与x轴交于点(-1,0)和(3,0)。
若二次函数y=6x2+bx+3c，求b的值。
此题是一道典型的二次函数与坐标点的关系题。
已知抛物线经过点(1,4)，可得1×a+b+c=4，即a+b+c=4。
(1,4)在函数y=ax2+bx+c上，所以1×a+b+c=4，可得a+b+c=4。
2015年高考文科数学试题与答案(全国卷Ⅰ)
2015年高考文科数学试题与答案(全国卷Ⅰ)2015年高考文科数学试题与答案（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试卷上作答，答题无效。
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x=3n-2,n∈N}，集合B={6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为A) 5.(B)。
4.(C)。
3.(D) 22.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(-4,-3)，则向量BC=A) (-7,-4)。
(B) (7,4)。
(C) (-1,4)。
(D) (1,4)3.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=A) -2-i (B) -2+i (C) 2-i (D) 2+i4.如果三个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这三个数为一组勾股数。
从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这三个数构成勾股数的概率为A) 3/11 (B) 1/5 (C) 1/2 (D) 2/55.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为1/2，E的右焦点与抛物线C:y=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=A) 3.(B) 6.(C) 9.(D) 126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有______。
2015年全国统一高考数学试卷(完整版+答案解析)(新课标ⅱ)
2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．116．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．149．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai＝（1+i）（3+i）＝2+4i，则a＝4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）•（1，﹣1）＝1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1＝，∴剩余部分体积为1﹣＝，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P（1，p），由PA＝PB得|p|＝，得p＝圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体＝V C﹣AOB＝＝＝36，故积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABCR＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tan x，AP＝＝，此时f（x）＝+tan x，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ＝﹣＝﹣，∴OQ＝﹣，∴PD＝AO﹣OQ＝1+，PC＝BO+OQ＝1﹣，∴PA+PB＝，当x＝时，PA+PB＝2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB＝﹣tan x，由对称性可知函数f（x）关于x＝对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）﹣，导数为f′（x）＝+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝﹣2．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4＝﹣a+2；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z＝2x+y，得z＝2×3+2＝8．即z＝2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，可得3﹣＝λ，∴λ＝﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．【分析】求出y＝x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y ＝ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△＝0得到a的值．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD＝2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC＝60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B＝sin∠C，∴tan∠B＝，即∠B＝30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（∁A），P（∁B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（∁A）＝（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6得P（∁B）＝（0.005+0.02）×10＝0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH＝＝6，AH＝10，HB＝6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8．因为EFGH为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y＝kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8＝0，故x M＝＝，y M＝kx M+b＝，于是在OM的斜率为：K OM＝＝，即K OM•k＝．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）＝lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝﹣a＝，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为f（）＝﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）＝lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；﹣S （2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC计算即可．△AEF【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE＝AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE＝AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE＝2，∴AO＝4，OE＝2，∵OM＝OE＝2，DM＝MN＝，∴OD＝1，∴AD＝5，AB＝，∴四边形EBCF的面积为×﹣××＝．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2＝a+b+2，（+）2＝c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b＝c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
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2015年高考数学卷（文科） 第一卷(共50分) 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1. 已知集合A={x| 2 A . (1 , 3) B . (1 , 4) C . (2 , 3) D. (2 , 4) 【参考答案】C 【测量目标】集合交集及其运算，简单不等式的解法. 【试题分析】因为B={x|1
2. 若复数z满足 i1iz ，其中i为虚数单位，则z=( ) A . 1－i B . 1+i C . －1－i D . －1+i 【参考答案】A 【测量目标】共轭复数及其运算.
【试题分析】 由题意得z=i(1－i)=1+i,所以，z=1－i,故选A.
3. 设a=0.60.6，b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. a【参考答案】C 【测量目标】指数函数的性质以及函数值比较大小.
【试题分析】由y=0.6x在区间（0，）是单调减函数可知，0<0.61.5<0.60.6<1,又1.50.6>1,故选C. 4.要得到函数y=sin(4x－π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象 （ ）
A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位 C. 向左平移π3个单位 D.向右平移π3个单位 【参考答案】B 【测量目标】三角函数图象的变换.
【试题分析】因为y=sin(4x－π3)=sin4(x－π12),所以，只需将函数y=sin4x的图象向右平
移π12个单位，故选B. 5. 设mR,命题“若m>0,则方程x2+x－m=0有实根”的逆否命题是（ ） A.若方程x2+x－m=0有实根，则m>0 B.若方程x2+x－m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x－m=0没有实根，则m>0 D.若方程x2+x－m=0没有实根, 则m≤0 【参考答案】D 【测量目标】命题的四种形式. 【试题分析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D. 6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：
第6题图 ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差； 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【参考答案】B 【测量目标】茎叶图，平均数，方差，标准差. 【试题分析】甲地数据为：26,28,29,31,31；乙地数据为：28,29,30,31,32；
所以，x甲=26+28+29+31+315=29，x乙=28+29+30+31+325=30，
2s
甲=15[（26－29）2+（28－29）2+（29－29）2+（31－29）2+（31－29）2] =3.6，
2s
乙=15[（28－30）2+(29－30)2+(30－30)2+(31－30)2+(32－30)2]=2, 即正确的有
①④，故选B.
7. 在区间[0,2]上随机的取一个数x,则事件“－1≤121log()12x≤”发生的概率为（ ）
A. 34 B. 23 C. 13 D. 14 【参考答案】A 【测量目标】几何概型以及对数函数的性质.
【试题分析】由－1121log()12x≤≤得，11122211log2log()log,22x≤≤112,22x≤≤ 302x≤≤，所以由几何概型概率的计算公式得，P=3032204, 故选A.
8. 若函数21()2xxfxa是奇函数，则使()3fx成立的x的取值围为（ ） A. (－,－1) B. (－1，0) C.(0，1) D.(1，+) 【参考答案】C 【测量目标】函数的奇偶性以及指数运算.
【试题分析】由题意()(),fxfx即-212+1,22xxxxaa所以1(222)0xxa（）,
所以a=1,21(),21xxfx由21()321xxfx得，22,x则1,x又因为210,x则0,x所以01,x故选C.
9.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A. 22π3 B.42π3 C.22π D.42π 【参考答案】B 【测量目标】旋转体的几何特征以及几何体的体积.
【试题分析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，斜斜边上的高为2，所得
旋转体为同底等高的全等圆锥，所以其体积为2142ππ222=33（），故选B. 10. 设函数3,1()2,1xxbxfxx≥，若5(())4,6ffb则（ ） A. 1 B. 78 C. 34 D. 12 【参考答案】D 【测量目标】分段函数以及函数与方程.
【试题分析】 由题意，555()3,662fbb由5152(())4,563()42bffbb得或 52
5112,224bbb≥
解得，故选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________.
第11题图 【参考答案】13 【测量目标】算法与程序框图.
【试题分析】第一次执行程序，满足条件2,112;xx第二次执行程序，不满足条件
22,32113,13,xyy输出
结束答案为13.
12. 若,xy满足约束条件13,1yxxyy≤≤≥则3zxy的最大值为____________. 【参考答案】7 【测量目标】简单线性规划.
【试题分析】 画出可行域及直线30,xy平移直线30,xy当其经过点A(1，2)时，
直线的纵截距最大，所以3zxy最大值为1327.z
第12题图 13. 过点P(1，3)作圆221xy的两条切线，切点分别为A,B则PAPB__________. 【参考答案】32 【测量目标】直线与圆的位置关系以及平面向量的数量积.
【试题分析】 如图，连接PO,在直角三角形PAO中，OA=1,PA=3,所以， 3tan3APO, cosAPB 22
22
31()1tan131+tan231()3APOAPO
,故PAPB =cosPAPB=3312.
第13题图 14.定义运算“”：22(,xyxyxyxyR,0xy)当0,0(2)xyxyyx时，的最小值是___________. 【参考答案】2 【测量目标】新定义运算以及基本不等式.
【试题分析】由新定义运算知，2222(2)4(2),(2)2yxyxyxyxxy因为0,0,xy所以
2222224222(2)+2222xyyxxyxyxyyxxyxyxyxy
≥，当且仅当
2(2)xyxyyx时，的最小值是2.
15.过双曲线C:22221(0,0)xyabaa的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点 P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为_______________.
【参考答案】2+3 【测量目标】双曲线的几何性质与直线方程.
【试题分析】双曲线22221xyaa的右焦点为（c,0）,不妨设所作直线与双曲线的渐近线 byxa平行，其方程为()byxca，代入22221xyaa,求得点P的横坐标为
22,2acxc
由222,2acxac得2410,ccaa（）解得23,23ccaa（舍去，因为离心率1ca），故双曲线的离心率为2+3.
三、解答题：（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分） 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1,2345,,,AAAAA,3名女
同学123.BBB，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，求1A被选中且1B未被选中的概率. 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30
【测量目标】(1)古典概型; (2)随机事件的概率. 【试题分析】 （1）有调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30=15人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参
加上述一个社团的概率为151453P. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，其一切可能的结果组成的基本事件有11121321222331ABABABABABABAB，，，，，，，，，，，，，,
323341424351ABABABABABAB，，，，，，，，，，，，5253ABAB，，，,
共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“1A被选中且1B未被选中”所包含的基本事件有： 1213,,,ABAB,共2个.因此
1A被选中且1B未被选中的概率为215P.
17.(本小题满分12分)
ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.知cosB=36,sin(),2339ABac.
求sinA和c的值. 【测量目标】两角和差的三角函数及正弦定理.