2015-2016年福建省泉州市晋江一中高二(上)期中数学试卷和答案
福建省泉州市晋江市平山中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含答案
平山中学2015-2016学年度数学（文）试卷一、选择题(本大题共小题每小题5分共分) 1．命题“若a＝0, 则ab＝0”的逆否命题是(若ab＝0则a＝0 ．a≠0，则ab≠0 若ab＝0则a≠0 ．若ab≠0则a≠0 “x＞2”x－)2＞的() A．充分必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 命题“R，x2＋4x＋的否定是() A．?x∈R，x2＋4x＋5＞0 R，x2＋4x＋5≤0 R，x2＋4x＋5＞0 R，x2＋4x＋5≤0 一个物体的运s＝1－t＋t其中s的单位是米的单位是秒那么物体在3秒末的瞬时速度是() A．7米/秒 ．米/秒米/秒．米/秒 双曲线－＝1的渐近线方程为() A．y＝±＝± C．y＝±＝± 6.椭圆x＋my＝1的焦点在y轴上长轴长是短轴长的两倍则m的值为() A. B. C．2 D．4 7. 下列求导运算正确的是() A.＝1＋ ．()′＝(3x)′＝3(x2cos x)′＝－2x 8．命题“若a＜0时则一元二次方程x＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是() A．0 B．2 C．4 D．不确定 已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝则双曲线的离心率为() A. B. C. D. 10. f′(x)是f(x)的导函数(x)的图象如下图所示则f(x)的图象只可能是() 11．已知命题p：[0，＋∞)(x)＝x＋bx＋c在[0＋∞)上为增函数命题q：Z}，使＞0则下列结论判断为真的是() A． B． C．p∨ D． 12. 设f(x)(x)分别是定义在R上的奇x＜0时(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0且g(3)＝0则不等式f(x)g(x)＜0的解集是() A．(－3)∪(3，＋∞)(－3)∪(0，3) C．(－∞－3)∪(3＋∞)(－∞－3)∪(0) 二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分) 13. 函数f(x)＝x＋在(0＋∞)上的最小值是． 已知命题p：R，x＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题则实数a的取值范围是________． 已知抛物线C的顶点为原点焦点在x轴上直线＝与抛物线C交于A两点若P(22)为AB的中点则抛物线C的方程为__________． 下列四种说法： 命题“R，都有x－2＜3x”的否定是“R，使得x－2≥3x”； 若aR，则2＜2是a＞b的必要不充分条件； 把函数y＝(－3x)(x∈R)的个单位即可得到函数y＝(x∈R)的图象； 若向量a满足|a|＝1|b|＝2且a与b的，则|a＋b|＝ 其中正确的说法是______． (10分)已知p：－2≤x≤10；q：x－2x＋1－m(m＞0)．若的必要非充分条件求实数m的取值范围． (10分) 已知圆C的方程为(x－3)＋y＝4定点A(－3)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程． (12分)求函数f(x)＝－x(x－2)的极值． (12分) 如图直线l：y＝＋与抛物线C：x＝4y相切于点A. (1)求实数b的值； (2)求以点A为圆心且与抛物线C的准线相切的圆的方程． (12分)已知函数f(x)＝x＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2－6)处的切线方程； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直求切点坐标与切线的方程． 22．(12分)已知椭圆的中心在原点焦点在x轴上离心率为且经过点M(4)，直线l：y＝x＋m交椭圆于A两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l不过点M试问MA，MB与x轴能否围成等腰三角形？2015-2016学年度数学（文）试卷一、选择题(本大题共1小题每小题5分共0分) “若a＝0则ab＝0”的逆否命题为“若ab≠0则a≠0”．由“x＞2”可得“(x－1)＞1”由“(x －1)＞1”可得“＞或＜则“x＞2”是“(x－1)＞1”的充分不必要条件故选 3.选(C)4.根据瞬间速度的意义可得3 末的瞬时速度是v＝＝5. 由题意得双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0即y＝±故选 6.由椭圆x＋my＝1得x＋＝1焦点在y轴上长轴长是短轴长的两倍 ∴2＝1解得m＝ 7. 解析：＝1－ (log2x)′＝；(3)′＝3 (x2cos x)′＝2x＋x(－)． 故选 8. 当a＜0时＝1 －4a＞0所以方程x＋＋＝0有实根故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x＋x＋a＝0有实根则a＜0”因为方程有实根所以判别式＝1 －所以a≤显然a＜0不一定成立故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致可知否命题为假．故正确的命题有2个．由＝得b＝平方得b＝又b＝c－a代入解得＝ 10.如题图可知(x)在前半段递增后半段递减这表明(x)先递增幅度大后递增幅度小. (C) 12. ∵当x＜0时(x)g(x)＋(x)g′(x)＞0 即[f(x)g(x)]′＞0 ∴当x＜0时(x)g(x)为增函数又g(x)是偶函数且g(3)＝0(－3)＝0 ∴f(－3)g(－3)＝0故当x＜－3时(x)g(x)＜0； 由于f(x)g(x)是奇函数当x＞0时(x)g(x)为增函数且(3)g(3)＝0故当0＜x＜3时(x)g(x)＜0.因为p是假命题所以p是真命题即对任意的x都有x＋2ax＋a>0所以有(2a)－解之得a∈ 15. 设抛物线为y＝kx与y＝x联立方程组消去y得：x－kx＝0＋x＝k＝2×2故y＝4x. ①正确． 若2＜2则a＜b当a或b为负数时a＞b不成立若a＞b，∴0＜a＜b＜故②正确． 把y＝(－3x)的图象上所有点向右平移得到＝＝，故③不正确． 由题可知a·b＝1×2 ＝－1|a＋＝＋2a·b＋b＝3＋b|＝故④正确． 答案：①②④ (10分)已知p：－2≤x≤10；q：x－2x＋1－m(m＞0)．若的必要非充分条件求实数m的取值范围．解析： p：x＜－2或x＞10 A＝{x|x＜－2或x＞10}． q：x－2x＋1－m＞0＜1－m或x＞1＋m B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}． p是q的必要非充分条件 ∴B A，即 18. (10分) 已知圆C的方程为(x－3)＋y＝4定点A(－3)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程． 解析：因为圆P与圆C外切如图 所以|PC|＝|PA|＋2|PC|－|PA|＝2 因为0<|PC|－|PA|<|AC| 所以由双曲线的定义点P的轨迹是以A为焦点为实轴长的双曲线的左支其中a＝1＝3 所以b＝c－a＝9－1＝8. 故所求轨方程为x－＝1(x<0)． (12分)求函数f(x)＝－x(x－2)的极值． 函数f(x)的定义域为R. (x)＝－x(x－4x＋4)＝－x＋4x－4x ∴f′(x)＝－3x＋8x－4＝－(x－2)(3x－2) 令f′(x)＝0得x＝或x＝2. 列表： 从表中可以看出 当x＝时函数有极小值 且f＝－. 当x＝2时函数有极大值 且f(2)＝－2(2－2)＝0. (12分) 如图直线l：y＝＋与抛物线C：x＝4y相切于点A. (1)求实数b的值； (2)求以点A为圆心且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 分析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想、数形结合思想． 解(1)由得x－4x－4b＝0 因为直线l与抛物线C相切所以＝(－4)－(－4b)＝0解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1故方程①即为x－4x＋＝0解得x＝2代入x＝4y得y＝1.故点(2，1)，因为圆A与抛物线C的准线相切所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离即r＝－(－1)|＝2所以圆A的方程为(x－2)＋(y－1)＝ 21. (12分)已知函数f(x)＝x＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2－6)处的切线方程； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直求切点坐标与切线的方程． 解析：(1)可判定点(2－6)在曲线y＝f(x)上． (x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1 ∴f(x)在点(2－6)处的切线的斜率为k＝(2)＝ ∴切线的方程为 ＝13(x－2)＋(－6)即y＝13x－32. (2)∵切线与直线y＝－＋3垂直 ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标(x、y)、f′(x0)＝3x＋1＝4 ＝±1 ∴或 即切点为(1－14)或(－1－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. (12分)已知椭圆的中心在原点焦点在x轴上离心率为且经过点M(4)，直线l：y＝x＋m交椭圆于A两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l不过点M试问MA，MB与x轴能否围成等腰三角形？ 解析：(1)根据题意设椭圆的标准方程为＋＝(a＞＞)， 因为e＝－b＝c所以a＝4b 又椭圆过点M(4)，所以＋＝1 则可得b＝5＝20 故椭圆的方程为＋＝1. (2)将y＝x＋m代入＋＝1并整理得 ＋8mx＋4m－20＝0 Δ＝(8m)－20(4m－20)＞0得－5＜m＜5. 设直线MA的斜率分别为k和k(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x＝－＝＋k＝＋＝ 上式分子＝(x＋m－1)(x－4)＋(x＋m－1)·(x－4)＝2x＋(m－5)(x＋x)－8(m－1)＝－－8(m－1)＝0 即k＋k＝0. 所以直线MA与x轴能围成等腰三角形．。
2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）2．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=（）A．80 B．90 C．100 D．1353．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则边b等于（）A．B．C．D．4．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）在锐角△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=，则等于（）A． B．13 C． D．177．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q8．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S159．（5分）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[3，11] B．[3，10] C．[2，6]D．[1，5]11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜112．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=3a n﹣1，则其通项a n=．14．（5分）已知实数a，b满足+=1，则a2+b2的最小值是．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1•a n=a n+1﹣a n，则数列的通项公式a n=．16．（5分）“存在x∈（0，+∞）使不等式mx2+2x+m＞0成立”为假命题，则m 的取值范围为．三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=lag a x在（0，+∞）上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a 的取值范围．18．（10分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），且|﹣|=1．（1）求角C的度数；（2）若c=3，求△ABC面积的最大值．19．（12分）如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km 的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：（1）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（2）什么时候两人的距离最短？20．（12分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍．（Ⅰ）设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐标原点，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域内，求的取值范围．21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．表示a n；（1）求a1的值，并用a n﹣1（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设T n=+++…+，求证：T n＜．22．（13分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（Ⅰ）求证：数列log m a n=2n+2，{a n}是等比数列；（Ⅱ）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当m=时，求S n．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选：D．2．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=（）A．80 B．90 C．100 D．135【解答】解：利用等比数列{a n}的性质有S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6成等比数列，∴S2=40，S4﹣S2=a3+a4=60，则S6﹣S4=90，S8﹣S6=135故a7+a8=S8﹣S6=135．故选：D．3．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则边b等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，∴由正弦定理=得：b===．故选：C．4．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；故其逆否命题也为真命题；其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选：C．5．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A项中若x＜0，则不等式不成立；B项等号成立的条件时sin2x=4，故等号不可能成立．C项若0＜x＜1，则不等式不成立．D项．解答过程正确故选：D．6．（5分）在锐角△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=，则等于（）A． B．13 C． D．17==×||×||×【解答】解：∵||=4，||=1，S△ABCsinA=sinA，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=，cosA=，∴由余弦定理可得：==．故选：A．7．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q【解答】解：由平均不等式知．同理．故选：B．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S15【解答】解：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p．∴S13==13a7=p．故选：C．9．（5分）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选：C．10．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[3，11] B．[3，10] C．[2，6]D．[1，5]【解答】解：设z===1+2，设k=，则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率．即z=1+2k，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于直线OA上，斜率k最小为1，当Pw位于B（0，4）时，斜率k最大为，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：A．11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜1【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3⇒﹣2＜x＜3，故选：C．12．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由b n=n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=3a n﹣1，则其通项a n=．=3a n﹣1，变形为：a n+1﹣=3（a n﹣），【解答】解：由a n+1∴数列{a n﹣}是等比数列，公比为3．∴a n﹣=×3n﹣1，∴a n=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知实数a，b满足+=1，则a2+b2的最小值是25．【解答】解：a2+b2=（a2+b2）（+）=9+4++≥13+2=13+12=25，当且仅当a2=15，b2=10取等号，故a2+b2的最小值是25，故答案为：2515．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1•a n=a n+1﹣a n，则数列的通项公式a n=．•a n=a n+1﹣a n，【解答】解：∵a n+1•a n得∴两边除以a n+1，即，∵a1=﹣1，∴∴{}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，∴，∴．故答案为：﹣．16．（5分）“存在x∈（0，+∞）使不等式mx2+2x+m＞0成立”为假命题，则m 的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：原命题：“存在x∈（0，+∞）使不等式mx2+2x+m＞0成立”为假命题；原命题的否定：“∀x∈（0，+∞），不等式mx2+2x+m≤0成立”为真命题；当原命题的否定为真时：∀x＞0，mx2+2x+m≤0 化简后：m≤﹣令h（x）=﹣⇒h（x）=﹣2×∵x+2，⇒0＜⇒﹣1≤h（x）＜0故h（x）最小值为﹣1；此时m的取值范围为：（﹣∞，﹣1]；故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=lag a x在（0，+∞）上递增，若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a 的取值范围．【解答】解：命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△=（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命题q：函数f（x）=log a x在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣2＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥2∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．18．（10分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），且|﹣|=1．（1）求角C的度数；（2）若c=3，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），∴=（cosA﹣cosB，sinA+sinB），又|﹣|=1．∴=1，化为2﹣2cos（A+B）=1，∴cosC=﹣，∵C∈（0，π），∴C=．（2）当c=3时，c2=a2+b2﹣2abcosC，∴9≥2ab﹣2ab×，∴ab≤3，∴S=ab，当且仅当a=b=时取等号．∴△ABC面积的最大值为．19．（12分）如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km 的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：（1）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（2）什么时候两人的距离最短？【解答】解：（1）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则AP=4t，BQ=4t，（Ⅰ）当0≤t≤时，PQ==．（Ⅱ）当t＞时，PQ==，综上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ═．（2）∵PQ2=48（t﹣）2+4，∴当t=时，（PQ）min=2，即在第15分钟末，PQ最短，最短距离为2 km．20．（12分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍．（Ⅰ）设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐标原点，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域内，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设肥料总数为z，z=x+y，由题意得约束条件，即画出可行域（如图）目标函数：z=x+y，即y=﹣x+z，表示斜率为﹣1，y轴上截距为z的平行直线系．当直线过点N时，z最大．联立方程，解得N（70，105）此时z max=x+y=70+105=175．∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨（Ⅱ），，θ为的夹角，∴s=10cosθ．有图可知：当点P在线段OM时，cosθ最大为，此时s最大值为；当点P在线段ON时，cosθ最小为，此时s最小值为．∴另解：，，代入可得21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．表示a n；（1）求a1的值，并用a n﹣1（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设T n=+++…+，求证：T n＜．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．令n=1时，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1由于：2S n=（n+2）a n﹣1①=（n+3）a n+1﹣1②所以：2S n+1=（n+3）a n+1﹣（n+2）a n，②﹣①得：2a n+1整理得：，则：，即：．（2）由于：，则：，…，，利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得：，即：当n=1时，a1=1符合上式，所以数列的通项公式是：．（3）证明：由于：，所以：，则：=2（），所以：…+=+++…++）=2（）=．22．（13分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（Ⅰ）求证：数列log m a n=2n+2，{a n}是等比数列；（Ⅱ）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当m=时，求S n．【解答】证明：（Ⅰ）由题意f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log m a n=2n+2，∴∴{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列解：（Ⅱ）当m=时，b n=a n f（a n）=（2n+2）2n+1，S n=4•22+6•23+8•24+…+（2n+2）•2n+1，…①2S n=4•23+6•24+…+（2n）•2n+1+（2n+2）•2n+2，…②②﹣①并整理，得S n=2n+3•n赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，，则（）A．B．C．D．3.函数的图象大致是（）4.如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A．B．C．D．5.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右6.已知函数，则该函数的定义域为（）A．B．C．D．7.已知下列命题中真命题的个数是（）（1）若，且，则或，（2）若，则或，（3）若不平行的两个非零向量，满足，则，（4）若与平行，则.A．B．C．D．8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05.则下列表述中正确的是（）A．有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95℅D．这种血清预防感冒的有效率为5℅9.下列选项叙述错误的是（）A．命题“若”的逆否命题是“若”B．若命题C．若为真命题，则p，q均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件10.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．11.定义运算，函数图像的顶点是，则（）A．0B．-14C．-9D．-312.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，设（e为自然对数的底），则（）A．B．C．D．F（2012）与F（0）的大小不确定二、填空题1.已知向量，，且，那么等于 .2.已知函数，则的极小值是 .3.已知函数. 若,且，则的取值范围是 .4.观察下列式子：，，，… ，根据以上式子可以猜想：.三、解答题1.已知平面向量，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值.2.已知集合，（Ⅰ）若=5，求；（Ⅱ）若，求的取值范围.3.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.4.已知函数；（Ⅰ）若，求过点的切线方程；（Ⅱ）若，求的值.5.国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y (美元)与其重量x (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（Ⅲ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n克拉，试证明：当m="n" 时，价值损失的百分率最大.(注：价值损失的百分率=×100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计)6.已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】解：，实部为负数，虚部为正数，因此为第二象限。
2014-2015年福建省泉州市晋江市养正中学高二上学期数学期中试卷及参考答案
2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．123．（5分）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1～5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453，254，341，134，543，523，452，324，534，435，535，314，245，531，351，354，345，413，425，553据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A．0.2 B．0.25 C．0.15 D．0.354．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，则的值为（）A．B．C．2 D．±5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．86.5，1.5 B．86.5，1.2 C．86，1.5 D．86，1.29．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．210．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（）A．﹣1或+1 B．﹣1 C．+1 D．2﹣12．（5分）判断下列命题真假，真命题个数有（）个①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x=1，则x2+x﹣2≠0”；②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．15．（5分）如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a﹣c=，那么椭圆的方程是．16．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．三、解答题（共70分）17．（10分）若a＞0，设命题p：{x|x2﹣4ax+3a2≥0}，命题q：{x|x2﹣x﹣6≥0，且x2+2x﹣8＜0}（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．21．（12分）在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（﹣1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．（1）求E的标准方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．22．（12分）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证•为一定值，并求出这一定值；（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0【解答】解：∵命题为全称命题，∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．2．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．12【解答】解：抽样距==40．故选：A．3．（5分）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1～5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453，254，341，134，543，523，452，324，534，435，535，314，245，531，351，354，345，413，425，553据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A．0.2 B．0.25 C．0.15 D．0.35【解答】解：该人第三次才打开门，则计算机的模拟数据前两个数字应是3，4，5中的某两个，而第三个数字为1或2，从模拟出现的20个结果看，只有341，452，531，351四种情形，故该人第三次才打开门的概率p==0.2．故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，则的值为（）A．B．C．2 D．±【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，∴q2==4，∴q=2，或q=﹣2（舍），∵===．故选：B．5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选：A．7．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1、F2，点P在椭圆上．若P、F 1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为，故选：D．8．（5分）某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．86.5，1.5 B．86.5，1.2 C．86，1.5 D．86，1.2【解答】解：由已知的茎叶图七位评委打出的分数为：78，85，85，86，86，88，90，去掉一个最高分93和一个最低分78后，所剩数据的平均数==86，方差S2=[（85﹣86）2+（85﹣86）2+（86﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2]=1.2，故选：D．9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．2【解答】解：由程序框图得：第一次运行S==﹣3，i=2；第二次运行S==﹣，i=3；第三次运行S==，i=4；第四次运行S==2，i=5；第五次运行S==﹣3，i=6，…S的值是成周期变化的，且周期为4，当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，∴输出S=﹣．故选：B．10．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（）A．﹣1或+1 B．﹣1 C．+1 D．2﹣【解答】解：如图所示，由△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°．在RT△AF1F2中，|AF1|=c，|AF2|=c．∴c+c=2a．可得：=﹣1．故选：B．12．（5分）判断下列命题真假，真命题个数有（）个①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x=1，则x2+x﹣2≠0”；②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”；故①错误，②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，正确，比如x0=时，不等式成立，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx等价为＞sinx，即＞1，即0＜cosx＜1，则q为真命题．，则p∧q为真命题；故②正确，③由ab+1＞a+b得ab+1﹣a﹣b＞0，即（a﹣1）（b﹣1）＞0，则a＞1，b＞1或a＜1，b＜1，则a2+b2＜1不一定成立，若a2+b2＜1，则﹣1＜a＜1且﹣1＜b＜1则（a﹣1）（b﹣1）＞0成立，即必要性成立，综上可知：“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件，故③正确，故真命题的个数为2个，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，所以不等式x2+ax+1≥0在x∈R上恒成立．由函数y=x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线可知，判别式△≤0即a2﹣4≤0⇒﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的标准方程为y2﹣=1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2=4，∴m=﹣，故答案为﹣．15．（5分）如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a﹣c=，那么椭圆的方程是．【解答】解：如图，由已知的正三角形，可得，联立，解得，∴椭圆的方程是．故答案为：．16．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；…如图，6个点中有2个点在直线的下侧．则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，故这点恰好在回归直线下方的概率P==．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）若a＞0，设命题p：{x|x2﹣4ax+3a2≥0}，命题q：{x|x2﹣x﹣6≥0，且x2+2x﹣8＜0}（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．【解答】解：a＞0，设命题p：x2﹣4ax+3a2≥0，解得a＜x＜3a，设A=（a，3a）．命题q：联立，解得﹣4＜x≤﹣2，设B=（﹣4，2]．（1）如果a=1，A=（1，3），∵p∧q为真，∴，解得1＜x≤2．∴实数x的取值范围是（1，2]．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，则q是p的充分不必要条件．∴，解得．∴实数a的取值范围是．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵a3=5，S6=36．∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）可得，∴==．19．（12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．【解答】解：（1）依题意，得，解得，n=100，a=35，b=0.2（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，c1}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c1}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c 1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【解答】解：（1）由csinA=acosC，结合正弦定理得，==，∴sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=；（2）由（1）知B=﹣A，∴sinA﹣sin（B+）=sinA﹣cosB=sinA﹣cos（﹣A）=sinA﹣cos cosA﹣sin sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，当A+=时，sinA﹣sin（B+）取得最大值1，此时A=，B=．21．（12分）在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（﹣1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．（1）求E的标准方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．【解答】解：（1）设（x，y）∵l是BC的垂直平分线，∴|DB|=|DC|∴|DB|+|DA|=|AC|=2 ＞2=|AB|∴D点的轨迹图形E是A，B为焦点的椭圆其中2a=2 ，c=1，∴a=，b2=a2﹣c2=1∴D点的轨迹图形E：（2）设，则PO2=x2+y2，PF2=（x﹣1）2+y2∴|PO|2+|PF|2=2x2﹣2x+2y2+1点P（x，y）满足，∴2y2=2﹣x2∴|PO|2+|PF|2=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2∵x∈[﹣，]，∴当x=1时，|PO|2+|PF|2的最小值为222．（12分）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证•为一定值，并求出这一定值；（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，b=1，联立，解得a2=9，c2=8，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为y=（x+3），y=（x ﹣3），将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为D（4，），E（4，）．由（1），F1（﹣2，0），F2（2，0），∴•=（4+2，）•（4﹣2，）=8+，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，得，∴•=；（3）设过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，设m：x=ty+1，再设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（，0），联立，得（t2+9）y2+2ty﹣8=0．△=4t2+32（t2+9）＞0，，x1+x2=t（y1+y2）+2，∴=，==x2+y1y2==+x==≠0．∴不存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥．。
2014-2015年福建省泉州市晋江二中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年福建省泉州市晋江二中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每小题5分共60分）1．（5分）如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．4．（5分）若数列{a n}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2a n}是（）A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列5．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件6．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a8是方程x2﹣3x﹣5=0的两个根，则S10是（）A．15 B．30 C．50 D．7．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}8．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y=x+B．y=C．y=e x+4e﹣x D．y=sinx+，（0＜x＜π）9．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 10．（5分）已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S411．（5分）下列结论中正确的个数是（）①在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形②若等差数列的通项公式为a n=4n﹣21，则S5为最小值；③当0＜x＜2时，函数f（x）=x（4﹣2x）的最大值为2④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．.1 B．2 C．.3 D．412．（5分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．设正项数列{a n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（）A．4 B． C．8 D．62二．填空题（每小题4分共20分）13．（4分）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆命题是．14．（4分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成递增等差数列{a n}前三项，则数列{a n}的第四项为．15．（4分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=a2+b2+ab，则∠C=．16．（4分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．17．（4分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图的幻方记为N3=15，那么N12的值为．三．解答题18．（8分）已知命题p：关于x的方程ax﹣1=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）（1）已知两正数x，y满足x+2y=1，求xy的最大值（2）当x∈（1，+∞），不等式x+≥a恒成立，求a的取值范围．20．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若A，B，C成等差数列，且AB=2，AC=2，求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cos B的值．21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．22．（12分）现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S n）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．（1）求出累计维修费S n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=）23．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．2014-2015学年福建省泉州市晋江二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分共60分）1．（5分）如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a【解答】解：根据实际情况α、β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．故选：A．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．4．（5分）若数列{a n}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2a n}是（）A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列【解答】解：由题意得a n=2•4n﹣1=22n﹣1，log2a n=log222n﹣1=2n﹣1则所以数列{log2a n}是公差为2的等差数列故选：A．5．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故选：A．6．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a8是方程x2﹣3x﹣5=0的两个根，则S10是（）A．15 B．30 C．50 D．【解答】解：由题意可得：a3，a8是方程x2﹣3x﹣5=0的两个根，所以a3+a8=3，因为在等差数列{a n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m+a n=a p+a q．所以a3+a8=a1+a10=3，由等差数列的前n项和的公式可得：，所以S10=15．故选：A．7．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}【解答】解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0解得a=﹣5，b=30．则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x故选：B．8．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y=x+B．y=C．y=e x+4e﹣x D．y=sinx+，（0＜x＜π）【解答】解：A．当x＜0时，=﹣4，当且仅当x=﹣2时取等号．因此此时A无最小值；B.==4，当且仅当x2+2=1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；C.=4，当且仅当，解得e x=2，即x=ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；D．当0＜x＜π时，sinx＞0，∴=4，当且仅当，即sinx=2时取等号，但是sinx不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．综上可知：只有C满足条件．故选：C．9．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．10．（5分）已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．故选：C．11．（5分）下列结论中正确的个数是（）①在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形②若等差数列的通项公式为a n=4n﹣21，则S5为最小值；③当0＜x＜2时，函数f（x）=x（4﹣2x）的最大值为2④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．.1 B．2 C．.3 D．4【解答】解：对于①结论正确，在△ABC中，若acosB=bcosA，有正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，sinAcosB﹣sinBcosA=0得sin（A﹣B）=0，又A，B，C是三角形内角，∴A﹣B=0，∴A=B，∴△ABC为等腰三角形对于②结论是正确的，若等差数列的通项公式为a n=4n﹣21，n=1，2，3，4，5，时a n＜0，∴S n最小值=S5对于③结论是正确的，当0＜x＜2时，函数f（x）=x（4﹣2x）=2x（2﹣x）≤2•（）2=2，对于④结论是不正确的，两个相交平面可以同时垂直同一个平面．综上，结论①②③是正确的．故选：C．12．（5分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．设正项数列{a n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（）A．4 B． C．8 D．62【解答】解：根据题意，得a22﹣a12=2，a32﹣a22=2，a42﹣a32=2a52﹣a42=2，…a n2﹣a（n﹣1）2=2，∴a n2﹣a12=2（n﹣1）∴a n2=a12+2（n﹣1）=2n+2∴a n=，∴a31==8，故选：C．二．填空题（每小题4分共20分）13．（4分）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆命题是若方程x2+x ﹣m=0有实数根，则m＞0．【解答】解：∵“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，将原命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”写成“若p，则q”的形式时，p：m＞0；q：方程x2+x﹣m=0有实数根故其逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”故答案为：若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞014．（4分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成递增等差数列{a n}前三项，则数列{a n}的第四项为3．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0可得﹣1＜x＜3∵x∈Z，则x=0，1，2．由数列为递增数列，从而可得该等差数列的前三项为0，1，2．∴a4=3．故答案为：3．15．（4分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=a2+b2+ab，则∠C=120°．【解答】解：∵△ABC中，c2=a2+b2+ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，则∠C=120°．故答案为：120°16．（4分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．17．（4分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图的幻方记为N3=15，那么N12的值为870．【解答】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角上的两个数相加正好等于1+n2，根据等差数列的求和公式数列的和S=，N12==870故答案为：870三．解答题18．（8分）已知命题p：关于x的方程ax﹣1=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵ax﹣1=0，显然，a≠0，∴x=．∵x∈[﹣1，1]，故||≤1∴p：|a|≥1只有一个实数满足x2+2ax+2a≤0即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点∴△=4a2﹣8a=0．∴q：a=0或2．∴命题“p或q是真命题时”，|a|≥1或a=0∵命题“p或q”为假命题∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}．19．（12分）（1）已知两正数x，y满足x+2y=1，求xy的最大值（2）当x∈（1，+∞），不等式x+≥a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵两正数x，y满足x+2y=1，∴，化为，当且仅当x=2y=时取等号，∴xy的最大值是．（2）∵x∈（1，+∞），不等式x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x=2时取等号．∵当x∈（1，+∞），不等式x+≥a恒成立，∴，∴a≤3．∴a的取值范围是（﹣∞，3]．20．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若A，B，C成等差数列，且AB=2，AC=2，求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cos B的值．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=180°∴B=60°设BC=x，由余弦定理得12=4+x2﹣4xcos60°x2﹣2x﹣8=0，解得x=6，即BC=6∴=（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB∴ac=a2+c2﹣2accosB又∵c=2a，∴2a2=a2+4a2﹣4a2cosB∴21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为4122．（12分）现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S n）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．（1）求出累计维修费S n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=）【解答】解：由A（5，1.05）与B（10，4.1）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上得解得a=0.04，b=0.01所以y=0.04x2+0.01x由（n，S n）在y=0.04x2+0.01x 知S n=0.04n2+0.01nn=1，a1=S1=0.05n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=0.08n﹣0.03所以，a n=0.08n﹣0.03（2）由于在保修期间的维修费用由车企业承担所以当n≥3时，车主所承担的累计维修费为：a3+a4+…+a n=S n﹣S2=0.04n2+0.01n ﹣0.18万元车价+车主承担的维修费=0.04n2+0.01n﹣0.18+9.18=0.04n2+0.01n+9万元年平均耗资为万元当且仅当n=15取等号即使用15年这款汽车的年平均耗资费用最少为1.21万元23．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n +1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1． （3）由（2）可得式=．∴赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设M=2a2﹣4a，N=a2﹣2a﹣3，则有（）A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N2．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2＜b2B．C．ab＜b2D．3a＜4b3．（5分）已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）A．31 B．32 C．63 D．644．（5分）若数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+3，则a n=（）A．3 B．3n+3 C．3n D．3n+65．（5分）已知x，y，z∈R，若﹣1，x，y，z，﹣3成等比数列，则xz的值为（）A．B．C．D．36．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2x+y+1的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．5 D．38．（5分）已知数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b8，则一定有（）A．a3+a9≤b9+b7B．a3+a9≥b9+b7C．a3+a9＞b9+b7 D．a3+a9＜b9+b79．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥410．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）A．19 B．20 C．21 D．2211．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2=5，a7a8=10，则a4a5=（）A．B．6 C．7 D．12．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y ∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）与，这两个数的等比中项是．14．（4分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式．16．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是．三、解答题（本题共6小题，共74分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．）17．（12分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．18．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．19．（12分）已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值．20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？22．（14分）数列{a n}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2|a n|，设T n为数列的前n项和，若T n≤λb n+1对一切n ∈N*恒成立，求实数λ的最小值．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设M=2a2﹣4a，N=a2﹣2a﹣3，则有（）A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N【解答】解：∵M=2a2﹣4a，N=a2﹣2a﹣3，、∴M﹣N=a2﹣2a+3=（a+1）2+2＞0，∴M＞N，故选：C．2．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2＜b2B．C．ab＜b2D．3a＜4b【解答】解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，故A错误；ab＞0，两边同除ab得：，故B正确；两边同乘b得：ab＞b2，故C错误；3a与4b的大小无法确定，故D错误；故选：B．3．（5分）已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由=2，a4=8，得，解得：．∴．故选：B．4．（5分）若数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+3，则a n=（）A．3 B．3n+3 C．3n D．3n+6=a n+3，∴a n+1﹣a n=3，【解答】解：由a n+1∴数列{a n}是等差数列，公差为3．则a n=3+3（n﹣1）=3n．故选：C．5．（5分）已知x，y，z∈R，若﹣1，x，y，z，﹣3成等比数列，则xz的值为（）A．B．C．D．3【解答】解：∵﹣1，x，y，z，﹣3成等比数列，则xz=﹣1×（﹣3）=3，故选：D．6．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=2，∴xy=（2x•y）≤（）2=，当且仅当x=，y=1时取等号，故则xy的最大值为，故选：A．7．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2x+y+1的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．5 D．3【解答】解：画出可行域，将z=2x+y+1变形为y=﹣2x﹣1+z，画出直线y=﹣2x平移至A（0，1）时，纵截距最小，z最小故z的最小值是z=2×0+1+1=2故选：B．8．（5分）已知数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b8，则一定有（）A．a3+a9≤b9+b7B．a3+a9≥b9+b7C．a3+a9＞b9+b7 D．a3+a9＜b9+b7【解答】解：因为≤．且．所以a6=b8⇒a3+a9≥b9+b7．故选：B．9．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4【解答】解：要使函数的定义域R，则ax2﹣ax+1≥0恒成立，若a=0，则不等式ax2﹣ax+1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a≠0，要使ax2﹣ax+1≥0恒成立，则，即，解得0＜a≤4，综上0≤a≤4．故选：C．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a 1+a9=S1+S9﹣S8=（1+1+1）+（81+9+1﹣64﹣8﹣1）=21．故选：C．11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2=5，a7a8=10，则a4a5=（）A．B．6 C．7 D．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a1a2=5，a7a8=10，∴两式相除，可得q12=2，∴q6=∵a1a2=5，∴a4a5=（a1a2）q6=5故选：D．12．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y ∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）【解答】解：∵函数y=f（x）为奇函数，定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则d=表示区域内的点和原点的距离．由下图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）与，这两个数的等比中项是±1．【解答】解：设A为与两数的等比中项则A2=（）•（）=1故A=±1故答案为：±114．（4分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2的最小值为2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2．当且仅当a=b=1时取等号．∴a2+b2的最小值为2．故答案为：2．15．（4分）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n+1（n∈N*），∴n=1时，a1=2．n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=n，∴na n=1，可得a n=．则数列{a n}的通项公式a n=．故答案为：a n=．16．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2} ．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=4．由解得x＞2．由解得x＜1．故不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2}，故答案为{x|x＜1或x＞2}．三、解答题（本题共6小题，共74分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．）17．（12分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，（Ⅰ）根据题意得：，解得，∴a n=3+（n﹣1）×1=n+2；（Ⅱ）∵b n=2=2n，∴b1=2，则，∴数列{b n}是公比为2等比数列，∴．18．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0解得：﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）．由x2+x﹣6＜0解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．∵不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个实数根．由方程的根与系数关系可得：，∴．19．（12分）已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）∵，∴xy≤10，（当且仅当x=5且y=2时等号成立）．所以u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1∴u=lgx+lgy的最大值为1（2）∵2x+5y=20，∴∴（当且仅当时等号成立）∴的最小值为20．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n•3n﹣1=（2n+1）•3n﹣1T n=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n﹣2T n=3+2•3+2•32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n•3n．21．（12分）某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？【解答】解：（1）生产大衣x条，裤子y条，则根据条件建立不等式组，作出不等式组对应的平面图象如图：（2）设收益为z，则目标函数z=120x+80y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z也最大，由，解得，即B（100，200），代入目标函数z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．即z的最大值为28000元．22．（14分）数列{a n}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2|a n|，设T n为数列的前n项和，若T n≤λb n+1对一切n ∈N*恒成立，求实数λ的最小值．【解答】解：（1）∵S3，S2，S4成等差数列∴2S2=S3+S4即2（a1+a2）=2（a1+a2+a3）+a4所以a4=﹣2a3∴q=﹣2a n=a1q n﹣1=（﹣2）n+1（2）b n=log2|a n|=log22n+1=n+1=T n=（﹣）+（﹣）+…+（）=﹣λ≥==×因为n+≥4，所以×≤所以λ最小值为。
2016-2017年福建省泉州市泉港一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．52．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）4．（5分）设命题p：﹣1＜log x＜0，q：2x＞1，则p是q成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．157．（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上，若•=0，tan∠PF1F2=，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．9．（5分）已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红球、黑球各一个D．恰有一个白球；白球、黑球各一个10．（5分）AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）A．bc B．ac C．ab D．b211．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A 落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0，1]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是．14．（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于．15．（5分）从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．16．（5分）设椭圆两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p ：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x2﹣2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．2．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选：B．3．（5分）下列各数中，最小的数是（）A．75 B．111111（2）C．210（6）D．85（9）=25+24+23+22+21+20=63．【解答】解：B中，111111（2）C中，210（6）=2×62+1×6=78；D中，85（9）=8×9+5=77；最小，故111111（2）故选：B．4．（5分）设命题p：﹣1＜log x＜0，q：2x＞1，则p是q成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由﹣1＜log x＜0，得：1＜x＜2，故p：1＜x＜2；由2x＞1，得：x＞0，故q：x＞0，则p是q成立的充分必要条件，故选：A．5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选：B．6．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．7．（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上，若•=0，tan∠PF1F2=，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由•=0，可知△PF1F2为直角三角形，又tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|，联立|PF1|+|PF2|=2a，解得：|PF1|=，|PF2|=．由，得，即．∴．故选：D．8．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．【解答】解：根据原命题与逆否命题的定义即可知道A正确；方程x2﹣3x+2=0的根为x=1，或2，∴x=1能得到x2﹣3x+2=0，而x2﹣3x+2=0得不到x=1，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，即B是错误的；“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”，故命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题，故C正确；若￢（p∧q）为真命题，则p∧q是假命题，则p，q至少1个是假命题；故D正确，故选：B．9．（5分）已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红球、黑球各一个D．恰有一个白球；白球、黑球各一个【解答】解：∵袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，从中随机任取2个，结果有：两红，两白，一红一白，一红一黑，一白一黑，A中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑与都是白球不互斥；B中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑；至少有一个红球包括两红，一红一白，一红一黑，故至少有一个白球与至少有一个红球不互斥；C中，至少有一个白球包括两白，一红一白，一白一黑与一红一黑互斥，且不对立；D中，恰有一个白球包括一红一白，一白一黑与白球、黑球各一个不互斥．故选：C．10．（5分）AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）A．bc B．ac C．ab D．b2【解答】解：△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故选：A．11．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A 落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0，1]【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是“∃x∈R，|x﹣2|≥3”．【解答】解：∵命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”为全称命题，∴“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是“∃x∈R，|x﹣2|≥3”，故答案为：“∃x∈R，|x﹣2|≥3”14．（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于3或5．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．故答案为：3或5．15．（5分）从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．【解答】解：{a，b，c，d，e}的所有子集有25=32个，{a，b，c}的所有真子集有23﹣1=7个，∴从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率为．故答案为：．16．（5分）设椭圆两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围为[，1）．【解答】解：∵点P满足PF1⊥PF2，∴点P的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2+y2=c2．又∵椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，∴以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，∴b≤c，即≤c，化简得a2≤2c2，解得a≤．因此，椭圆C的离心率e=≥．∵椭圆离心率在（0，1）之间取值，∴椭圆C的离心率e∈[，1）．故答案为：[，1）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p ：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x2﹣2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：当命题p 为真命题时，，解得2＜m＜4…（3分），当命题q为真命题时，△=4﹣4m＜0…解得m＞1…（5分）因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，∴p、q一个是假命题，一个是真命题…（6分），当p是真命题，q 是假命题时，解得m∈φ…（8分），当q是真命题，p 是假命题时，解得1＜m≤2或m≥4…（10分）18．（12分）某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，空气污染指数在[0，50]的频率为0.003×50=0.15，因此样本容量为，空气污染指数在（100，150]的天数为y=100﹣15﹣50﹣25=10；…（3分）画出完整的频率分布直方图，如图所示；…（6分）（Ⅱ）在该周期中空气污染指数大于150ug/m3的天数占；…（8分）该周期的平均空气污染指数为；…（11分）因此该周期有达到预期目标．…（12分）19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．【解答】解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：a+c=3，，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由已知得直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴|AB|=|x1﹣x2|=•=•．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，x≠（2）设MN的中点坐标为（x 0，y0），联立得（2k2+1）x2+4kx=0，所以，由x0+2y0=0，得k=1，所以直线的方程为：y=x+121．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为x=，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且x=≤1，即2b≤a．若a=1，则b=﹣1；若a=2，则b=﹣1，1；若a=3，则b=﹣1，1，∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（Ⅱ）由（1）知当且仅当2b≤a．且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{}构成所求事件的区域为三角形部分．由，解得a=，b=，即交点坐标（，），∴所求事件的概率为P=．22．（12分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：2a=4，得a=2，又点P（1，）在椭圆上，∴，解得b2=1．∴椭圆C的方程为，焦点；（Ⅱ）设椭圆上的动点Q（x0，y0），线段F1Q中点T（x，y），由题意得：，得，代入椭圆的方程得，即为线段F 1Q 中点T 的轨迹方程；（Ⅲ）由题意得直线l 的斜率存在且不为0， 设l ：y=kx +2，代入整理，得（1+4k 2）x 2+16kx +12=0，△=（16k ）2﹣4（1+4k 2）•12=16（4k 2﹣3）＞0，得 …①设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴．∵∠AOB 为锐角， ∴cos ∠AOB ＞0，则，又．∴==，∴k 2＜4 …② 由①、②得．∴k的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°AB E挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
2015-2016年福建省泉州五中高二(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年福建省泉州五中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知点（2，﹣1）和（﹣3，2）在直线x﹣2y+a=0的异侧，则a的取值范围是（）A．（4，7） B．（﹣4，7）C．（﹣7，4）D．（﹣4，4）2．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）直线2x﹣y﹣4=0，绕它与x轴的交点逆时针旋转所得直线方程为（）A．x﹣3y﹣2=0 B．3x﹣y+6=0 C．3x+y﹣6=0 D．x+y﹣2=04．（5分）如果直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，1]C．[0，]D．5．（5分）已知定点M（x0，y0）在直线l：f（x，y）=0外，则方程f（x，y）=f （x0，y0）表示（）A．与l重合的直线B．与l平行的直线C．与l垂直的直线D．点M（x0，y0）6．（5分）若不等式＞0的解为﹣3＜x＜﹣1或x＞2，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣7．（5分）若直线4x﹣3y﹣2=0与圆x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣12=0有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜7 B．﹣6＜a＜4 C．﹣7＜a＜3 D．﹣21＜a＜198．（5分）直线l1、l2分别过点P（﹣2，3）、Q（3，﹣2），它们分别绕点P、Q 旋转但保持平行，那么它们之间的距离d的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，]C．（，+∞）D．[，+∞]9．（5分）不等式表示的平面区域是一个（）A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形10．（5分）把直线x﹣2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）A．3或13 B．﹣3或13 C．3或﹣13 D．﹣3或﹣1311．（5分）点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定12．（5分）直线x+y+2=0到直线的角为（）A．B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集不是空集，则a的取值范围是．14．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，直线L的倾斜角α的取值范围是．15．（4分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围．16．（4分）（附加题）已知对于圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点P（x，y）不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．（满分10分，计入总分）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（1）试求圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=100被点A（1，2）平分的弦所在的直线的方程；（2）与x轴相切于点（5，0）且在y轴上截得的弦长为10的圆的方程．18．（12分）解关于x的不等式：．19．（12分）已知过点P（1，4）的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程．20．（12分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利120元．有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？21．（12分）已知a＞b＞c，求证：．22．（14分）⊙c：x2+y2﹣2ax﹣2（2a﹣1）y+4（a﹣1）=0，其中a∈R，（1）当a变化时，求圆心的轨迹方程，（2）证明⊙c过定点，（3）求面积最小的⊙c．2015-2016学年福建省泉州五中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知点（2，﹣1）和（﹣3，2）在直线x﹣2y+a=0的异侧，则a的取值范围是（）A．（4，7） B．（﹣4，7）C．（﹣7，4）D．（﹣4，4）【解答】解：若点（2，﹣1）和（﹣3，2）在直线x﹣2y+a=0的异侧，则[2﹣2×（﹣1）+a]×[﹣3﹣2×2+a]＜0即（a﹣7）（a+4）＜0解得a∈（﹣4，7）故选：B．2．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，解得：a=﹣．故选：A．3．（5分）直线2x﹣y﹣4=0，绕它与x轴的交点逆时针旋转所得直线方程为（）A．x﹣3y﹣2=0 B．3x﹣y+6=0 C．3x+y﹣6=0 D．x+y﹣2=0【解答】解：直线l：2x﹣y﹣4=0 的斜率等于2，设倾斜角等于θ，即tanθ=2，绕它与x轴的交点（2，0）逆时针旋转，所得到的直线的倾斜角等于θ+，故所求直线的斜率为tan（θ+）==﹣3，故所求的直线方程为y﹣0=﹣3（x﹣2），即3x+y﹣6=0，故选：C．4．（5分）如果直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，1]C．[0，]D．【解答】解：直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，直线过圆心，圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，排除B、C、D．故选：A．5．（5分）已知定点M（x0，y0）在直线l：f（x，y）=0外，则方程f（x，y）=f （x0，y0）表示（）A．与l重合的直线B．与l平行的直线C．与l垂直的直线D．点M（x0，y0）【解答】解：定点M（x0，y0）在直线l：f（x，y）=0外，所以f（x0，y0）≠0．方程f（x，y）=f（x0，y0）表示直线，并且与直线l：f（x，y）=0的方向向量相同，而且截距不相同，所以方程f（x，y）=f（x0，y0）表示与l平行的直线．故选：B．6．（5分）若不等式＞0的解为﹣3＜x＜﹣1或x＞2，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵不等式＞0等价于（x+a）（x2+4x+3）＞0，由于其解为﹣3＜x＜﹣1或x＞2，∴不等式＞0相应方程的根为﹣3，﹣1，2，又x2+4x+3=0的根是﹣3，﹣1，∴x+a=0为2，即2+a=0，a=﹣2故选：B．7．（5分）若直线4x﹣3y﹣2=0与圆x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣12=0有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜7 B．﹣6＜a＜4 C．﹣7＜a＜3 D．﹣21＜a＜19【解答】解：整理圆方程为（x﹣a）2+（y+2）2=16，∴圆心坐标（a，﹣2），半径r=4∵直线与圆总有两个交点，∴圆心到直线的距离小于半径即＜4，解得﹣6＜a＜4，故选：B．8．（5分）直线l1、l2分别过点P（﹣2，3）、Q（3，﹣2），它们分别绕点P、Q 旋转但保持平行，那么它们之间的距离d的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，]C．（，+∞）D．[，+∞]【解答】解：当两条平行直线都与PQ垂直时，d取得最大值，d min=|PQ|==5．又d＞0，∴．故选：B．9．（5分）不等式表示的平面区域是一个（）A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形【解答】解：不等式⇔①或②，以上不等式组①表示的平面区域如图，不等式组②中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分，所以，原不等式组表示的平面区域是一个图中的梯形OABC．故选：C．10．（5分）把直线x﹣2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）A．3或13 B．﹣3或13 C．3或﹣13 D．﹣3或﹣13【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，直线x﹣2y+λ=0，变形为y=x+λ，根据平移规律得到平移后直线的解析式为：y=（x+1）+λ﹣2，即x﹣2y+λ﹣3=0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d==r=，解得：λ=3或13．故选：A．11．（5分）点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，∴x02+y02＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离：d=＜R，∴直线x0x+y0y=R2与圆相交．故选：B．12．（5分）直线x+y+2=0到直线的角为（）A．B．C． D．【解答】解：直线x+y+2=0，其斜率k1=﹣1，直线xsinα+ycosα+1=0，其斜率k2=﹣tanα．它们的夹角为θ（0＜θ＜π），那么tanθ===tan（）=tan（）即θ=或θ=∵，0＜θ＜π．∴θ=．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集不是空集，则a的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集不是空集，即不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a能成立，故|x﹣4|+|x﹣3|的最小值小于a能成立．∵|x﹣4|+|x﹣3|≥|x﹣4﹣（x﹣3）|=1，故有1＜a，即a的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．14．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，直线L的倾斜角α的取值范围是[arctan，π﹣arctan4] ．【解答】解：根据题意，如图所示，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即有k≥=或k≤=﹣4，则有k≥或k≤﹣4；则有tanα≥或tanα≤﹣4；当α=90°时，直线l与线段AB也相交则有α∈[arctan，π﹣arctan4]；故答案为：[arctan，π﹣arctan4]．15．（4分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围．【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（﹣，﹣1），半径r=，条件是4﹣3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞．化简得a2+a+9＞0．由4﹣3a2＞0，a2+a+9＞0，解之得﹣＜a＜，a∈R．∴﹣＜a＜．故a的取值范围是（﹣，）．16．（4分）（附加题）已知对于圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点P（x，y）不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围．（满分10分，计入总分）【解答】解：由题设：x=cosα，y﹣1=sinα，则x+y=cosα+sinα+1=sin（α+）+1∈[﹣+1，+1]．∵不等式x+y+m≥0恒成立∴m≥﹣（x+y）恒成立；因为﹣（x+y）的最大值为：﹣1．∴m≥﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（1）试求圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=100被点A（1，2）平分的弦所在的直线的方程；（2）与x轴相切于点（5，0）且在y轴上截得的弦长为10的圆的方程．【解答】解：（1）圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=100，其圆心C（3，2），半径r=10．直线AC的斜率=0，∴弦所在的直线的斜率不存在，过点A（1，2），可得弦所在的直线的方程为x=1．（2）与x轴相切于点（5，0），可设圆心为（5，±r），y轴上截得的弦长为10，d=5可得：，∴r=．∴圆的方程为（x﹣5）2+（y±5）2=50．18．（12分）解关于x的不等式：．【解答】解：原不等式等价于，等价于，等价于，等价于3＜log a x≤4．∴当a＞1时，原不等式的解集为{x|a3＜x≤a4}．当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a4≤x＜a3}．19．（12分）已知过点P（1，4）的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程．【解答】设L：y﹣4=k（x﹣1），（k＜0）L在两轴上的截距分别为a，b．则a=1﹣，b=4﹣k，因为k＜0，﹣k＞0，∴＞0∴a+b=5+（﹣k）+5+2=5+4=9．当且仅当﹣k=即k=﹣2 时a+b 取得最小值9．即所求的直线方程为y﹣4=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6=0．20．（12分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利120元．有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？【解答】解：设A、B产品各x、y吨，则由题意，（3分）z=70x+120y（4分）作出以上不等式组的可行域，如图（8分）由图知在的交点M（20，24）处取最大值（10分）z max=70×20+120×24=4280（元）答：A、B产品各生产20千克、24千克时获得最大效益为4280元．（12分）21．（12分）已知a＞b＞c，求证：．【解答】证明：∵+==4，（a＞b＞c）∴+≥4∴22．（14分）⊙c：x2+y2﹣2ax﹣2（2a﹣1）y+4（a﹣1）=0，其中a∈R，（1）当a变化时，求圆心的轨迹方程，（2）证明⊙c过定点，（3）求面积最小的⊙c．【解答】解：由x2+y2﹣2ax﹣2（2a﹣1）y+4（a﹣1）=0，可知圆心为（a，2a﹣1）．（1）设圆心为C（x，y）则，消去a，可得y=2x﹣1，∴当a变化时，圆C的圆心的轨迹方程是直线2x﹣y﹣1=0．（2）证明：圆C的方程化为x2+y2+2y﹣4+a（﹣2x﹣4y+4）=0，令，解得：或，∴无论a取何值时，圆C经过两个定点A（2，0）与B（，）．（3）由（2）知圆C总过定点A（2，0）与B（，）．，所以当线段AB是圆C的直径时，圆C的面积最小，最小值为S=π=。
2014-2015年福建省泉州市晋江市养正中学高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin2010°=（）A．﹣ B．C．D．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣13．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588．若B样本数据恰好是A样本数据都加20后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差4．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶5．（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点（）A．（0，0） B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或m≥2 D．﹣2≤m≤29．（5分）定义某种运算M=a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．4 B．8 C．11 D．1310．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2分别是椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左，右焦点，过F1的直线L与椭圆相交于A，B两点，|AB|=，直线L的斜率为1，则b的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知x，y∈R且，则存在θ∈R，使得（x﹣4）cosθ+ysinθ+=0的概率为（）A．B．C．2﹣D．1﹣二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是．14．（5分）椭圆经过，，则该椭圆的标准方程为．15．（5分）已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为．16．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．18．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；的最大值．（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC20．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．21．（12分）设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）22．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB 的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin2010°=（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：sin2010°=sin（5×360°+210°）=sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选：A．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C．3．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588．若B样本数据恰好是A样本数据都加20后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【解答】解：A样本数据是：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588；B样本数据是：602，604，604，606，606，606，608，608，608，608；它们的众数分别为588，608，不相等；平均数分别为586，606，也不相等；中位数分别为586，606，也不相等；A样本的方差为S2=[（582﹣586）2+2×（584﹣586）2+3×（586﹣586）2+4×（588﹣586）2]=4，标准差为S=2，B样本的方差为S2=[（602﹣606）2+2×（604﹣606）2+3×（606﹣606）2+4×（608﹣606）2]=4，标准差为S=2，它们的标准差相等．故选：D．4．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选：C．5．（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：∵a、b为实数，a+b=1，∴ab≤=∴原命题是正确的，∴逆否命题是正确的，原命题的逆命题是：已知a、b为实数，若ab≤，则a+b=1这个命题只要举出a=b=，就可以说明这个命题是假命题，∴原命题的否命题也是一个假命题，∴它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是1，故选：C．6．（5分）已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点（）A．（0，0） B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）【解答】解：∵==3，==2.5∴这组数据的样本中心点是（3，2.5）根据线性回归方程一定过样本中心点得到线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3，2.5）故选：C．7．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选：A．8．（5分）已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．m≥2 B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或m≥2 D．﹣2≤m≤2【解答】解：由p：∃x∈R，mx2+1≤0，可得m＜0，由q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，可得△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2因为pVq为假命题，所以p与q都是假命题若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤﹣2或m≥2故符合条件的实数m的取值范围为m≥2故选：A．9．（5分）定义某种运算M=a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．4 B．8 C．11 D．13【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行的结果是计算并输出M=a⊗b=，∵2tan=2＞sin=1，4cos=2＜（）﹣1=3，∴=2⊗1+2⊗3=2×（1+1）+3×（2+1）=13．故选：D．10．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：B．11．（5分）设F1，F2分别是椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左，右焦点，过F1的直线L与椭圆相交于A，B两点，|AB|=，直线L的斜率为1，则b的值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，F1（﹣，0），F2（，0），∵过F1的直线L的斜率为1，∴直线L的方程为：y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线L与椭圆方程，消去y整理得：（1+b2）x2+x+1﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|AB|==•==，解得：b=，故选：D．12．（5分）已知x，y∈R且，则存在θ∈R，使得（x﹣4）cosθ+y sinθ+=0的概率为（）A．B．C．2﹣D．1﹣【解答】解：∵（x﹣4）cosθ+ysinθ+=0，∴（4﹣x）cosθ﹣ysinθ=，即cos（θ+β）=，（β为参数），∵存在θ∈R，使得（x﹣4）cosθ+ysinθ+=0，∴≥，即（x﹣4）2+y2≥2，对应的图象是以（4，0）为圆心，半径r=的圆的外部，作出不等式组对应的平面区域如图，则由，解得，即A（1，3），则△AOB的面积S=，圆在△AOB内部的面积S=，则（x﹣4）2+y2≥2，对应的区域面积S=6﹣，则对应的概率P==1﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是[4，+∞）．【解答】解：由题意，，∴或x≥1；q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0），∴¬q：x2+2x+1﹣m＞0，∴（x+1）2＞m，解得或∵¬p是¬g的必要不充分条件，∴，∴m≥4．故实数m的取值范围是[4，+∞）故答案为：[4，+∞）14．（5分）椭圆经过，，则该椭圆的标准方程为．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵椭圆经过两点，，∴，解得m=，n=，∴椭圆的标准方程为．故答案为：．15．（5分）已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为．【解答】解：设椭圆+y2=1上一点P的坐标为（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），即有|PA|=====，当sinα=﹣时，|PA|取得最大值，且为．故答案为：．16．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为8．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故答案为：8三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…（1分）由e==，得1﹣=，∴a=5，…（3分）∴椭圆C的方程为+=1．…（4分）（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…（5分）设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…（7分）由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…（10分）由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…（12分）18．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意ax2﹣x+a＞0 对任意x∈R恒成立，当a=0时，不符题意，舍去；当a≠0时，则⇒a＞2，所以实数a的取值范围是a＞2．（2）设t=3x（t＞0），g（t）=﹣t2+t=﹣+，g（t）max=，当q为真命题时，有a＞，∵命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，∴p与q一个为真，一个为假，当p真q假，则，无解，当p假q真，则⇒＜a≤2，综上，实数a的取值范围是：＜a≤2．19．（12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S的最大值．△ABC【解答】解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴S△ABC∴△ABC的面积最大值为．20．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．21．（12分）设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）【解答】解：（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即（1分）因为随机数b，c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地产生16个数对（b，c），列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4分）事件A：包含了其中6个数对（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），（6分）所以=，即事件A发生的概率为（7分）（2）由题意，b，c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积S（Ω）=16．（8分）事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：S（A）=．（10分）所以==，即事件A的发生概率为．（12分）22．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB 的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a=2b，且+=1，解得：b2=1，a=2，所以椭圆的方程为：+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∵k1、k、k2恰好构成等比数列，∴k2=k1k2==，即k2=k2++，化简得：﹣4k2m2+m2=0，∵m≠0，∴k2=，k=±，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2，故|OA|2+|OB|2=+++=（+）+2=[﹣2x1x2]+2=5，于是|OA |2+|OB |2是定值为5．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF第21页（共21页）。
2016-2017年福建省泉州市晋江市平山中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年福建省泉州市晋江市平山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1013．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．5．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥06．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±37．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C． D．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=18，则S10的值为（）A．35 B．54 C．72 D．909．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．1210．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥411．（5分）若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，] D．[﹣4，]12．（5分）若A={x|2＜x＜3}，B={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，且A⊆B则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．1＜a＜3 D．1≤a≤3二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．14．（5分）已知两个正实数x，y满足x+y=4，则+的最小值是．15．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}满足a8=2，a n+1=，则a1=．三、解答题（共70分）17．（10分）设集合A={x|x+2＜0}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式ax2+2x+b＞0的解集为A∪B，求a，b的值．18．（12分）某环保节能设备生产企业的产品供不应求，已知某种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=150﹣x，每套的售价不低于90万元；月产量x（套）与生产总成本y2（万元）之间满足关系式y2=600+72x，则月生产多少套时，每套设备的平均利润最大？最大平均利润是多少？19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2，C=．（Ⅰ）若a=，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．21．（12分）如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n﹣3n．（Ⅰ）求证：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．2016-2017学年福建省泉州市晋江市平山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．【解答】解：S===．△ABC故选：B．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．101【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．3．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=．∵a＞b，A=60°，∴A＞B，∴=．故选：C．5．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；C、c=0时，=0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选：D．6．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±3【解答】解：∵a1=，a5=9，由等比数列的性质可知，=1∴a3=±1当a3=﹣1时，=﹣9不合题意∴a3=1故选：A．7．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C． D．【解答】解：∵，∴cosC==﹣又∵C为三角形内角∴C=故选：D．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=18，则S10的值为（）A．35 B．54 C．72 D．90【解答】解：∵a5+a6=18，则S10==5（a5+a6）=5×18=90．故选：D．9．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．12【解答】解：正项等比数列{a n}中，设S6=x，∵S3=3，S9=39，∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），解得x=12，或x=﹣9（舍）．故S6为12．故选：D．10．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4【解答】解：要使函数的定义域R，则ax2﹣ax+1≥0恒成立，若a=0，则不等式ax2﹣ax+1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a≠0，要使ax2﹣ax+1≥0恒成立，则，即，解得0＜a≤4，综上0≤a≤4．故选：C．11．（5分）若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，] D．[﹣4，]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．因为，所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．由题意知C（4，0），所以k OP=﹣2，，所以的取值范围为或z≤﹣2，即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：B．12．（5分）若A={x|2＜x＜3}，B={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，且A⊆B则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．1＜a＜3 D．1≤a≤3【解答】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，且A⊆B，∴①当3a＞a，即a＞0时，则B={x|a＜x＜3a}，由A⊆B，得：，解得1≤a≤2．②当3a=a，即a=0时，则B=ϕ，此时A⊆B不成立；③当3a＜a，即a＜0，则B={x|3a＜x＜a}，此时A⊆B不成立．综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．14．（5分）已知两个正实数x，y满足x+y=4，则+的最小值是．【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y=4，则+=（x+y）==≥=，当且仅当y=2x=时取等号．故答案为：．15．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：∵z=x2+（y﹣3）2，∴z的几何意义是动点P（x，y）到定义A（0，3）的距离的平方，由图象可知当点P位于D处时，距离最大，当P为A在直线y=2x﹣1的垂足时，距离最小，由点到直线2x﹣y﹣1=0的距离公式得d=|AP|=，∴z的最小值为d．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足a8=2，a n+1=，则a1=．【解答】解：∵数列{a n}满足a8=2，a n+1=，∴，解得a7=，同理可得a6=﹣1，a5=2，…，=a n．∴a n+3则a1=a7=．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）设集合A={x|x+2＜0}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式ax2+2x+b＞0的解集为A∪B，求a，b的值．【解答】解：（1）集合A={x|x+2＜0}=（﹣∞，﹣2），B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}=（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴A∩B=（﹣∞，﹣3），（2）由（1）可求A∪B=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），∴﹣2，1为方程ax2+2x+b=0的两个根，且a＞0，∴﹣2+1=﹣，﹣2×1=，解得a=2，b=﹣4．18．（12分）某环保节能设备生产企业的产品供不应求，已知某种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=150﹣x，每套的售价不低于90万元；月产量x（套）与生产总成本y2（万元）之间满足关系式y2=600+72x，则月生产多少套时，每套设备的平均利润最大？最大平均利润是多少？=x（150﹣）﹣（600﹣72x）=x2﹣600+78x，【解答】解：根据题意得出：y总利润150≥90，0＜x≤40，y平均利润=+78，∵≥2=60，（x=20时等号成立）∴最大平均利润是﹣60+78=18（万元）∴月生产20套时，每套设备的平均利润最大，最大平均利润是18万元19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：S n==n2+2n．b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…++==﹣．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2，C=．（Ⅰ）若a=，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=，a=，由正弦定理得，=，∴sinA===；又0＜A＜，∴A=；（Ⅱ）△ABC的面积为S=absinC=ab=，解得ab=4；①由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC=c2，即a2+b2﹣ab=4；②由①②组成方程组，解得a=b=2．21．（12分）如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．在△ABC中，由正弦定理可得：=，∴BC===35．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n﹣3n．（Ⅰ）求证：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】（I）证明：∵S n=2a n﹣3n，∴n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣3n﹣[2a n﹣1﹣3（n﹣1）]，化为：a n=2a n﹣1+3，变形为：a n+3=2（a n﹣1+3），∴数列{a n+3}是等比数列，公比为2．∴a n+3=6×2n﹣1，解得a n=3×2n﹣3．（II）解：na n=3n×2n﹣3n．设数列{n×2n}的前n项和为A n=2+2×22+3×23+…+n×2n，2A n=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣A n=2+22+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴A n=（n﹣1）×2n+1+2．∴数列{na n}的前n项和T n=6+（3n﹣3）×2n+1﹣3×．。
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第1页（共17页） 2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂至答题卡上） 1．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．60° B．45° C．120° D．30° 2．（5分）等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（ ） A．12 B．24 C．16 D．48 3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（ ） A．2 B． C． D． 4．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d 5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ） A． B．7 C．6 D．
6．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最小值是（ ） A．38 B．5 C．﹣6 D．﹣10 7．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 8．（5分）若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（ ） A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29 9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5 10．（5分）已知等差数列{an}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为（ ） 第2页（共17页）
A．50 B．45 C．40 D．35 11．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（ ） A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤
12．（5分）对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（ ） A． B．2 C．4 D．
二.填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 ． 14．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列
的前100项和为 ． 15．（4分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ． 16．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 ． 17．（4分）已知，令Tn=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1an，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3Tn﹣2nan= ．
三、解答题（本题共6小题，共70分） 18．（10分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0 （2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R． 19．（10分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1 第3页（共17页）
处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
20．（12分）数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+an=﹣n+1（n∈N*） （1）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积． 22．（12分）某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120° （1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）； （2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．
23．（14分）200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成
立．已知函数h（x）=的图象过点． （1）求a的值； 第4页（共17页）
（2）化简； （3）设，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜2λan+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 第5页（共17页） 2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数
学试卷 参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂至答题卡上） 1．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．60° B．45° C．120° D．30° 【解答】解：根据余弦定理可知cosA= ∵a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，可得a2=b2+bc+c2， ∴bc=﹣（b2+c2﹣a2） ∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选：C．
2．（5分）等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（ ） A．12 B．24 C．16 D．48 【解答】解：∵S10=10a1+45d=120， 即2a1+9d=24， ∴a2+a9=（a1+d）+（a1+8d）=2a1+9d=24． 故选：B．
3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（ ） A．2 B． C． D． 【解答】解：由正弦定理可得：， 第6页（共17页）
∴==2． 故选：B． 4．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d 【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a﹣b＞0，d﹣c＜0，故a﹣b＞d﹣c一定成立，故A正确； 又因为a＞b，故在两边加﹣c可得，a﹣c＞b﹣c，故C正确； 由c＞d可得﹣c＜﹣d，两边同时加a可得a﹣c＜a﹣d，故D正确； 唯有B，有可能a+d＞b+c，也由可能a+d＜b+c，a+d=b+c，故不一定成立， 故选：B．
5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ） A． B．7 C．6 D． 【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5； a7a8a9=10⇒a83=10， a52=a2a8， ∴，∴，
故选：A．
6．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最小值是（ ） A．38 B．5 C．﹣6 D．﹣10 【解答】解：由约束条件作可行域如图， 第7页（共17页）
联立，得． ∴B（3，﹣3）． 由图可知，使z=2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）． ∴z=2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）=﹣6． 故选：C．
7．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【解答】解：∵在△ABC中，a2tanB=b2tanA， ∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，
∴a2tanB=b2tanA⇔=⇔=， ∴sin2A=sin2B， ∴2A=2B或2A=π﹣2B， ∴A=B或A+B=． ∴此三角形是直角或等腰三角形． 故选：D．
8．（5分）若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（ ） A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29 【解答】解：∵当n为奇数时， an+an+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3， ∴a1+a2+…+a20 第8页（共17页）
=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20） =3×10=30； 故选：A．
9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 【解答】解：∵a+b=2， ∴=1
∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立） 故选：C．
10．（5分）已知等差数列{an}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为（ ） A．50 B．45 C．40 D．35
【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9 ∴Sn=9n﹣=﹣n2+9n+， ∴当n=9时，Sn最大，S9=81﹣=45 故选：B．
11．（5分）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（ ） A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4， ∴ab≤， ∴，故A不成立； ，故B不成立；