《一次函数的应用第2课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】

第四章一次函数
4. 4 一次函数的应用
第 2 课时教学设计
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第2课时，主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维.
1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与
函数的关系，建立各种知识的联系.
2.通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识和数学阅读能力，发展形象思
维；通过具体问题的解决，发展学生的数学应用能力；引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式.
3.在解决实际问题中，使学生认识到数学与生活是密不可分的，培养学生学习数学的兴趣，
进而更好的解决实际问题.
【教学重点】
一次函数图象的应用.
【教学难点】
从函数图象正确读取信息，解决实际问题.
学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；
◆教材分析
◆教学目标
◆教学重难点
◆
◆课前准备
◆
教师准备课件，图片.
一、复习回顾
从一次函数图象可获得哪些信息?
1. 由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号；
2. 由一次函数的图象可估计函数的变化趋势；
3. 可直接观察出: x 与 y 的对应值；
4. 由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值，从而确定一次函数的图象的表达式.
内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解.怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容.首先，想一想一次函数具有什么性质？
在一次函数y kx b =+中
当0k >时，y 随x 的增大而增大，
当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限.
当0<k 时，y 随x 的增大而减小，
当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过二、三、四象限.
目的：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k 、b 的正负对图象的影响.通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.
效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备.
◆教学过程
二、合作交流，探究新知
（一）一次函数图像的应用
内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V (万米3) 与干旱持续时间t (天)的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）水库干旱前的蓄水量是多少？
（2）干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
（3）蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？
（4）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将
干涸？
（根据图象回答问题，有困难的可以互相交流.）
答案：（1）当0x =，1200y =，水库干旱前的蓄水量
是1200万米3.
（2）求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t 等于10时所对应的V 的值.当10t =时，V 约为1000万米3.同理可知当t 为23天时，V 约为750万米3.
（3）当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V 等于400万米3时，求所对应的t 的值.当V 等于400万米3时，所对应的t 的值约为40天.
（4）水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V 为0时，所对应的t 的值约为60天.
目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力. 效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育.
（二）一次函数与一元一次方程
一元一次方程0.510x +=与一次函数0.51y x =+有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答.）
答案： 一元一次方程0.510x +=的解为2x =-，一次函数0.51y x =+包括许多点.因此0.510x +=是0.51y x =+的特殊情况.
当一次函数0.51y x =+的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.510x +=的解. 函数0.51y x =+与x 轴交点的横坐标即为方程0.510x +=的解.
练一练
1. 直线 y = 2x + 20与 x 轴交点坐标为（____，_____）这说明方程 2x ＋20＝0的解是x =_____.
2. 若方程kx ＋b ＝0的解是x =5，则直线y =kx ＋b 与x 轴交点坐标为（____，_____）. 一次函数与一元一次方程的关系
目的：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数0.51y x =+的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.510x +=的解；从“形”的角度看，函数0.51y x =+与x 轴交点的横坐标即为方程0.510x +=的解.
效果：通过练习，学生明晰了函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数.
三、运用新知
例1 某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量 y (升)与摩托车行驶路程 x (千米)之间的关系如图所示：
(1)油箱最多可储油多少升？
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
(3)摩托车每行驶 100 千米消耗多少升？
(4)油箱中的剩余油量小于1 升时将自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警?
如何解答实际情景函数图象的信息？
1. 理解横纵坐标分别表示的的实际意义；
2. 分析已知条件，通过作x 轴或y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；
3. 利用数形结合的思想：
将“数”转化为“形” 由“形”定“数”.
例2 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx＋b＝0的解为()
A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3
四、巩固新知
1. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y 元与行李质量x 千克的关系如图：
(1)旅客最多可免费携带多少千克行李？
(2)超过30千克后，每千克需付多少元？
2. 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如下图所示.
(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2.
解：（1）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米2.
（2）从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土地面积100万千米2，÷，故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源.
1002=50
（3）如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米2沙漠，每年沙化2万
-÷=，故到第12年底，该地区千米2，实际每年改造面积2万千米2，由于(200176)212
的沙漠面积能减少到176万千米2.
目的：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；同时，通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境.
效果：通过对较复杂的问题的探究，培养了学生分析问题和解决问题的能力，并渗透德育教育.
3. 近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0 ≤ x ≤ 50 和x > 50时y 与x 的函数表达式.
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50 度时，收费标准是多少？当每月用电量超过
50 度时，收费标准是多少？
五、归纳小结
1. 能通过函数图象获取信息.
2. 能利用函数图象解决简单的实际问题.
3. 初步体会方程与函数的关系.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.
效果：学生畅所欲言，相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用.
略.
◆教学反思。