椭圆曲线快速点乘算法优化
优化椭圆运算的十种方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。
2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。
3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。
4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。
5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。
6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。
7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。
8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。
9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。
10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。
此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。
这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。
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一种椭圆曲线标量乘法的快速算法
一种椭圆曲线标量乘法的快速算法
蒋辉芹
【期刊名称】《长沙大学学报》
【年(卷),期】2013(027)005
【摘要】在经典3P快速算法的基础上,为避免复杂的求逆操作,提出了优化途径和措施,利用牺牲代价较低的乘法操作以换取求逆操作.给出了一个由椭圆曲线点P直接计算3kP的算法,新算法显著减少了计算量,提高了算法效率,并保证了计算结果的准确性.
【总页数】3页(P61-63)
【作者】蒋辉芹
【作者单位】泰州学院数理信息学院,江苏泰州225300
【正文语种】中文
【中图分类】TP309
【相关文献】
1.基于Markov链的椭圆曲线标量乘法算法性能分析 [J], 唐文;唐礼勇;陈钟
2.一类安全椭圆曲线的选取及其标量乘法的快速计算 [J], 白国强;周涛;陈弘毅
3.两类超奇异椭圆曲线的快速标量乘法 [J], 张宁;陈志雄;肖国镇
4.利用半点计算椭圆曲线双标量乘法算法 [J], 冯娟娟;祝跃飞;张亚娟
5.椭圆曲线密码体制中标量乘法的快速算法 [J], 刘连浩;申勇
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基于FPGA的Fm2域椭圆曲线点乘的快速实现
基于FPGA的Fm2域椭圆曲线点乘的快速实现魏东梅;杨涛【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2011(31)2【摘要】The implementation speed of Elliptic Curve Cryptography (ECC) depends on the implementation speed of elliptic curve point multiplication.Point multiplication of elliptic curve using Montgomery algorithm was proposed in this paper.Parallel algorithm was used in modular multiplication algorithm and modular square algorithm, as well as Fermat's Little Theorem was used and optimized in modular inversion, thus the fast operation of elliptic curve point multiplication was implemented.Synthesis and implementation were realized in a Xilinx device of XC5VLX220T.Through timing simulation, the clock frequency can achieve 40MHz.It takes only 14.9μs to carry out one point multiplication operation.%椭圆曲线点乘的实现速度决定了椭圆曲线密码算法(ECC)的实现速度.采用蒙哥马利点乘算法,其中模乘运算、模平方运算采用全并行算法,模逆运算采用费马·小定理并在实现中进行了优化,完成了椭圆曲线点乘的快速运算.采用Xilinx公司的Viaex-5器件族的XCV220T作为目标器件,完成了综合与实现.通过时序后仿真,其时钟频率可以达到40 MHz,实现一次点乘运算仅需要14.9μs.【总页数】3页(P540-542)【作者】魏东梅;杨涛【作者单位】西南科技大学,信息工程学院,四川,绵阳,621010;西南科技大学,信息工程学院,四川,绵阳,621010【正文语种】中文【中图分类】TP309;TP302【相关文献】1.GF(2m)域椭圆曲线点乘算法安全FPGA设计与实现 [J], 雷咸超;高献伟;李飞;张刚2.Fm2域椭圆曲线密码系统软件实现的优化技术研究 [J], 刘文波;张帆;郭云飞;刘力雄3.基于智能卡的素数域椭圆曲线密码的快速实现 [J], 刘淳;张凤元;张其善4.一种基于Impulse C的素域椭圆曲线点乘快速算法 [J], 崔强强;金同标;朱勇;殷进勇5.基于FPGA的椭圆曲线点乘算法设计与实现 [J], 杨自恒;周平;刘佳;丁群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
超奇异椭圆曲线标量乘算法改进
超奇异椭圆曲线标量乘算法改进
徐雪莲
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2018(000)020
【摘要】由于量子计算的快速发展,许多已建立的公共密钥加密算法(RSA、Diffe-Hellman、ECC、DSA等)将无法提供足够的安全性.超奇异椭圆曲线密码体制与椭圆曲线密码体制相比,安全性高、密钥长度相似,并且已经在hash函数领域中取得成功.标量乘计算是密码体制中最为核心和重要的计算,在此基础上,研究特征为2的域上超奇异椭圆曲线快速标量乘改进方案.实验结果表明,在特征为2域上,快速标量乘改进算法的运行速度与安全性均大大提高.
【总页数】6页(P50-54,59)
【作者】徐雪莲
【作者单位】上海海事大学信息工程学院,上海 201306
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一类超奇异超椭圆曲线的Tate对实现 [J], 施万海;游林
2.两类超奇异椭圆曲线的快速标量乘法 [J], 张宁;陈志雄;肖国镇
3.二元扩域超奇异 Koblitz曲线的标量乘计算 [J], 徐云秀;顾海华;马博
4.一类j=0超奇异椭圆曲线的性质及其标量乘算法 [J], 翁江;康晓春;豆允旗;马传贵
5.超奇异椭圆曲线标量乘算法改进 [J], 徐雪莲[1]
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ECC kP+lQ点乘算法的优化研究
中 图分 类 号 ：Ｐ ９ ．８ Ｔ ３３０ 文 献标 识码 ： Ａ ｄ ｉ ０３ ６ ／ ｉ ｎ １０ —４ ５２ １ ． ． ５ ｏ：１ ．９ ９ｊ ｓ ． ６２ ７ ．０ ２０ ０ ．ｓ ０ ４４
Ｒｅｅ ｒ ｈ ｏ ｍｐ ｏ ｅ Ｃ ｋ ＋ Ｑ Ｐ ｉｔ ｌｐｉａｉｎ Ａｌｏ ｉ ｍ ｓａ ｃ ｎＩ ｒ ｖ ｄＥＣ Ｐ Ｉ ｏｎ ｔ ｌ ｔ ｇ ｒ ｈ Ｍｕ ｉ ｃ ｏ ｔ
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（ ．ｏ ｅｅｏ ｏ ｐ ｔ ｃ ｎｅ Ｑ ｆ ｏｍａ Ｕ ｉｅ ｉ ， ｉ ａ ７ ８ ６ ｈｎ ； １ ｌ ｇ ｆ ｍ ｕ ｒ ｉ ｃ ， ｕｕＮ ｒ ｌ ｎｖｒ ｔ Ｒｚ ｏ２ ６ ２ ，Ｃ ｉａ Ｃｌ Ｃ ｅＳ ｅ ｓｙ ｈ ２ Ｒｚａ ｏ ｔ ｈ ｉ Ｃ ｌ ｇ ， ｉ ａ ７ ８ ６ Ｃ ｉａ ． ｉ ｏＰｌ ｅ ｎｃ ｏ ｅｅ Ｒｚ ｏ２ ６ ２ ， ｈｎ ） ｈ ｙｃ ｈ Ａ ｓ ａｔ ｓｔ ｏｅｏｅａｏ ｓｏ ｅＥｌ ｔ ｕｖ ｒｐｏｙｔ ｂｔ ｃ：Ａ ｅｃｒ ｐ ｒｔｎ ｆｈ ｌｐｉ Ｃ ｒ Ｃｙ ｔ ｓ ｍ，ｐｉｔ ｌｐｉ ｔ ｎａｄｋ ＋Ｑ ｐ ｉ ｌｐｉａｏ ｒ ｒ ｈ ｉ ｔ ｉｃ ｅ ｓ ｅ ｏｎ ｔ ｌ ａ ｏ ｎ Ｐ ／ ｏ ｔ ｔ ｌ ｔｎ ａ ｍｕ ｉ ｃ ｉ ｎ ｍｕｉ ｃ ｉ ｅ
一种椭圆曲线标量乘法的快速算法
（ ２ ）
的效率 ． 在椭圆 曲线 密码体 制快 速实 现 中， 标 量乘 法总是 消
耗最少 的时 间资源和 空间 资源 ， 计算 效率最 高． 所 以为 了准
其中： Ａ ＝塾
，
要经过 （ ２ ， ２ ， １ ） 操 作 实 现 一 次
倍加．
一
确而快速实现椭 圆曲线密码体 制 ， 广 泛使用标量乘 法来计算
密码系统 的核心 ， 其运算速度是算法能 否成 功的关键．
１ 背 景知 识
与乘法运算相 比， 求逆 预算 的计算 量极 大 ， 几乎 为乘 法 运算 的 ｌ ０倍 ］ ． 所 以在椭 圆 曲线底 层域算 法优 化方 面 ， 可 以转换求逆运算 ， 而用 乘法 运算 来替 代． 本 文从 底层 运算公 式出发 ， 基 于传 统 ３ Ｐ快速算法 ， 提出了３ ｋ Ｐ直接在 椭 圆曲线 点 Ｐ上计算 的方 法 ， 将 求逆 运算用乘 法运算 来替 代 ， 有 效避 免 了复杂 的求逆操作 ， 显著减少 了计算量 ， 提高 了算法效率 ．
3结语本文从底层快速算法人手在底层算法优化方面基于经典的3p快速算法用乘法运算替代求逆运算提出了3kp直接由在椭圆曲线点p计算得出的方法有效避免了复杂的求逆操作显著减少了计算量提高了算法效率是一种切实可行的改进方法
第 ２ ７卷
第 ５期
长
沙
大
学
学
报
ＶＯ Ｉ ． ２ ７ Ｎ０． ５
２ ０ １ ３年 ９月
根据域值 的特 征值 的不 同 ， 采 用不 同 的加法公 式 ， 分别
计算． 将把 （ ２ ）式中的 ｙ ２ 代入 （ １ ）式 中的 Ａ ： ：
Ａ ２ － （ ） ３ ）
椭圆曲线密码体制中点乘的快速算法
椭圆曲线密码体制中点乘的快速算法
陶然;陈丽燕
【期刊名称】《北京理工大学学报》
【年(卷),期】2005(25)8
【摘要】对已有的计算椭圆曲线密码体制中点乘的常用算法进行性能分析,在此基础上,针对非相邻形式算法(NAF)存在的不足,提出一种改进的基于NAF的窗口算法,并与其它的几种算法进行了比较.结果表明,改进算法减少了点乘运算中点加和倍乘的运算次数,运算效率比一般的二进制算法提高了25%.
【总页数】4页(P701-704)
【关键词】椭圆曲线密码体制;点乘;快速算法;非相邻形式(NAF)
【作者】陶然;陈丽燕
【作者单位】北京理工大学信息科学技术学院电子工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TP309.7
【相关文献】
1.椭圆曲线密码体制中快速标量乘算法实现 [J], 王永恒
2.基于整数拆分的椭圆曲线密码体制上的快速点乘算法 [J], 石润华;钟诚
3.GF(2n)域椭圆曲线密码体制中快速标量乘算法的研究 [J], 赖忠喜;陶东娅;张占军
4.椭圆曲线密码体制中的快速点乘算法 [J], 赖晖
5.椭圆曲线密码体制中的快速点乘算法 [J], 赖晖
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256比特椭圆曲线点乘运算
256比特椭圆曲线点乘运算256比特椭圆曲线点乘运算文档一、引言椭圆曲线密码学是一种广泛应用于现代密码学和安全领域的密码学算法。
它利用椭圆曲线上的运算性质，提供了高强度的安全性和较小的密钥长度。
其中，点乘运算是椭圆曲线密码学中的一种重要操作，本文将详细介绍256比特椭圆曲线点乘运算的原理和应用。
二、椭圆曲线密码学概述椭圆曲线密码学是基于椭圆曲线上点的运算特性而构建的密码学体系。
其主要思想是利用椭圆曲线上的加法运算和点乘运算来实现相关的密码算法，包括密钥交换、数字签名、公钥加密等。
椭圆曲线密码学相对于传统密码体系来说，具有较小的密钥长度、较高的安全性和高效的计算性能。
三、椭圆曲线点乘运算原理 1. 椭圆曲线上的点乘运算在椭圆曲线密码学中，点乘运算是指将同一个点在椭圆曲线上进行多次相同的加法运算。
例如，给定一个点P和一个整数k，点乘运算即为 P * k = P + P + ... + P (k 次)。
这种运算的性质使得椭圆曲线密码学中的各种算法实现变得简单。
2. 256比特椭圆曲线的选择选择适当的椭圆参数是椭圆曲线密码学中的一个重要问题。
在256比特椭圆曲线点乘运算中，我们需要选择一个合适的椭圆曲线方程和基点，使得计算过程具有安全性和高效性。
通常，该曲线方程可以采用Weierstrass形式的方程，并根据选择特定的参数来满足各种需求。
四、256比特椭圆曲线点乘运算实现 1. 点乘运算的算法实现椭圆曲线点乘运算的算法实现主要基于椭圆曲线上的加法运算。
具体步骤如下：（1）初始化结果为无穷远点O；（2）将待乘标量转化为二进制位表示；（3）遍历二进制表示的每一位，若为1，则将结果与当前椭圆点相加；（4）将结果输出。
2. 优化技术为了提高256比特椭圆曲线点乘运算的效率，可以通过以下优化技术来降低计算复杂度：（1）使用Montgomery曲线形式，加速椭圆曲线的点乘运算；（2）采用并行计算技术，将点乘运算任务划分为多个子任务进行并行计算；（3）使用硬件加速器或优化的算法实现，提高点乘运算的速度。
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ｔｏ ｉ ｎｓ
椭 圆 曲 线 密 码 系统等） 通过改变点的坐标形式 ， ， 继而不用求逆 ， 提高了运算效率。 ｂ 求递推公式 ， 少求逆 。Ｇ ａ ｒｏ等人 利用转换 求逆 ） 减 ｕｊ ｄ ａ
为乘法 的思想 ， 提出了仿射 坐标系下直 接计算 ４ ８ １Ｐ的 Ｐ、Ｐ、６
Ｋ ｂｉ 等人独立提 出来 的。该密码体 制是基 于椭 圆曲线 离散 ｏｌｚ ｔ
对数难解 问题 （ Ｃ Ｌ ） 与 其他公 钥密码 体制相 比（ Ｒ Ａ、 ＥＤ Ｐ ， 如 Ｓ Ｄ Ａ ， 圆曲线密码具有如下技术优势 Ｈ ： Ｓ ）椭 ａ Ｅ Ｃ安全 性 能高 。Ｒ Ａ是 基 于 大整 数 因子 分 解 问题 ）Ｃ Ｓ （Ｆ ） 具有 亚指 数级 的复杂度 ， ＩＰ ， 而基 于椭 圆曲线 离散对 数难 解 问题 （ Ｃ Ｌ ） Ｅ Ｃ具 有指 数级 的复 杂度 。图 １是 Ｅ Ｃ Ｅ ＤＰ 的 Ｃ Ｃ 和 Ｒ Ａ的安 全性对照图 。从图 １可知 ， Ｓ 在同样 的攻破时 间内， Ｅ Ｃ需 要 的 密钥 比 Ｒ Ａ 的要 短得 多 ， １０ ｂｔ Ｅ Ｃ和 Ｃ Ｓ 如 ６ ｉ的 Ｃ １ ２ ｉ的 Ｒ Ａ有相 同的安全性 。 ４ｂｔ ０ Ｓ ｂ Ｅ Ｃ实现 性 能优 。Ｅ Ｃ的实 现优 势 主要 为 实现 成 本 ）Ｃ Ｃ 低、 存储 占用空 间小 、 宽带要求 低 、 算处理时 间短 、 运 生成 密钥 对方便等优势 。 因此 ， Ｃ Ｅ Ｃ在信息安全 中有 广泛 的用途 ， 近些年来 已普遍 受到世界密码学专家 、 数学家 和计算机科 学专 家的密切关 注。
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｅｌ ｔ ｕｖ ｒ ｔ ｙｔｍ （ Ｃ ；ｓａ ｒ ｕｔ ｌ ａ ｏ ；ａ ｎ ｏ ｒｉａ ；Ｊｃ ｂａ ｏ ｒｉａ ；ｍ ｈ ｐ ｃ — ｙ ｗ ｒ ｓ ｌ ｐ ｃｃ ｒｅｃ ｐｏ ｓ ｓ Ｅ Ｃ） ｃ ｌ ｌｐｉ ｔ ｎ ｆ ｅｃ ｏｄｎ ｔ ａ ｏ ｉｎｃ ｏｄ ｔ ｉｉ ｙ ｓ ｅ ａｍ ｉ ｃｉ ｉ ｆ ｅ ｎ ｅ ｕ ｉｌ ａ ｉ
第２ ９卷 第 ８期
２１ ０ ２年 ８月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｌ ａｉｎ Ｒｅ ｅ ｒｈｏ ｍｐ ｔｒ ｐ ｉ ｔ ｓ ａｃ ｆＣｏ ｕｅｓ ｃ ｏ
Ｖ０ ＿ ９ Ｎｏ ８ ｌ２ ．
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椭 圆 曲线 快 速 点乘 算 法优 化
周
（ 京航 空航 天 大学 北 摘
ｃｍ ｌ ｉ ｅｅ ［ ｏ ｐｅ ｔ ｗ ｒ ６ Ｍ］＋１ ［ ］ａ ｄ（ ｋ ［ ｘｙ ０ Ｓ ｎ ６ ） Ｍ］＋（ ０ ） Ｓ ｅｐｃｖｌ，ｈｃ ａ ｐｏｅ １ ８ ａｄ１． ％ ｒｓｅ— １ｋ ［ ］ｒｓｅｔｅ ｗ ｉ ｗ ｓ ｍ ｒｖｄｔ １ ．％ ｎ ０ ５ ｅｐｃ ｉ ｙ ｈ ｉ ｏ
相比， 算法 效率分 剐提 升 了 ｌ．％ 和 ｌ．％ 。 另外 ， １８ ０． ５ 还在 文献 ［ ，］ 础上 ， １２ 基 对素 域 Ｆ 上 仿 射 坐标 系下的 ２Ｐ 和 ３Ｐ的 算法进行 了改进 ， ４ 其算 法效率 比文献 ［ ，］ 别提 高 了６ ３ １２ 分 ．％和 ３３ 。 ．％
梦 ，周海波
数 学与 系统科 学学 院， 京 １０９ ） 北 ０ １１
要 ：转换 乘 法为平 方运算 ， 一种快 速计算 椭 圆曲线 密码 点乘 的代 数 方法 。利 用此方 法 ， 出了素域 Ｆ 上 是 提 。
雅可比坐标 系下的 ３ Ｐ和 ３Ｐ算法， 其运算量分别为 ６ Ｍ］ １［ ］ ６ ） Ｍ］ １ｋ ［ ］ 与 已有的最好算法 ［ ＋ ０ ｓ 和（ｋ ［ ＋（０ ） ｓ ，
ｔ ｅｙ ｔ ａ ｈ ｅ ｔ ｌｏ ｔｍｓａ ｒ ｓ ｎ ．Ｉ ｄ ｉ ｏ ，ｔ ｉ ａ ｅ ｍｐ ｏ ｅ ｅ ａｇ ｒｔ ｍｓｏ ｋ ｎ ｏ ｅ ｉ ｌ ｈ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｇ ｒ ｈ ｔ ｅ ｅ ｔ ｎ ａ ｄ ｔ ｎ ｈ ｓｐ ｐ ｒｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ｏ ｉ ｖ ａ ｉ ｐ ｉ ｈ ｌ ｈ ｆ Ｐ ａ ｄ３ Ｐ ｖ ｒ ２ ｉ ｅ ｓｏ ｎ ｔｒ ｆ ｍ
关键 词 ：椭 圆曲线 密码 体制 ；点乘 ；仿射 坐标 ；雅 可 比坐标 ；乘法
中图分类 号 ：Ｔ ３ ９ Ｐ０
文献标 志码 ：Ａ
文章编 号 ：１０ － ６ ５ ２ １ ） ８ ３ ５ —３ ０ １３ ９ （０ ２ ０ —０ ６０
ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １０ ．６ ５ ２ １ ． ８０ ６ ｏ ：０ ３ ６ ／ ． ｓ． ０ １３ ９ ． ０ ２ ０ ．６ ｓ