天津普通高中会考数学试卷
2024天津高考数学试卷(真题+答案)
2024天津高考真题数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是（）A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，n ⊂α，则//m nB.若//,//m n αα，则//m nC.若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A.32-B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.6B.33142+ C.2D.33142-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅=______．11.在63333x x⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =-+有唯一零点，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共575分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中2ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS ii b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B 2.【答案】C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3.【答案】A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 4.【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5.【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B 6.【答案】C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C.7.【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A 8.【答案】C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sinθ=121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =，则21122PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9.【答案】C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，21221111422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.【答案】7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=+-+=-.故答案为：7.11.【答案】20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12.【答案】45【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF的距离为4455d ==，故答案为：4513.【答案】①.35②.12【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214.【答案】①.43②.518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅ 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅ 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC BA BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15.【答案】()(1-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则22x =±，不符合要求，舍去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210axax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a =>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210ax --+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线22214y a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-，当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.【答案】（1）4（2）4（3）5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以57sin 16B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 5716A =，解得sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==【小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知57sin 16B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯.法二：7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B为三角形内角，所以sin 16B ==，所以()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯17.【答案】（1）证明见解析（2）11（3）11【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则222cos ,11m nm n m n ⋅==⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有111BB m m ⋅==，即点B 到平面1CB M的距离为11.18.【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故12222ABC S c c =⨯⨯=△，故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎫+-≤⎪⎪⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19.【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k kk k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20.【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫⎫--=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+的取值范围是()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤--=--=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a a a b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1ln ln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=++<+=-+= ⎪⎝⎭'，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<时，由于112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->，可得()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c qc ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-≤.根据10,ec ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。
天津高二会考数学知识点
天津高二会考数学知识点在天津高二会考中，数学是必考科目之一，掌握好数学知识点对于顺利通过考试至关重要。
以下是天津高二会考数学知识点的概要：一、函数与方程1. 函数的概念及性质：域、值域、奇偶性、单调性等。
2. 函数的图像与性质：平移、伸缩、对称等。
3. 一次函数与二次函数：定义、图像、性质与应用。
4. 指数函数与对数函数：定义、图像、性质与应用。
5. 三角函数及其性质：正弦、余弦、正切等。
6. 方程与不等式的解法：二次方程、一次方程组、一元二次方程组、绝对值不等式等。
二、向量与立体几何1. 平面向量：定义、性质、加减法等。
2. 空间向量：定义、性质、共线、垂直等。
3. 立体几何：点、线、面、体的性质与判定。
三、概率与统计1. 随机事件与概率：事件的定义、概率的计算、概率的性质。
2. 统计与抽样调查：频数、频率、平均数、中位数、众数等。
四、导数与微积分应用1. 导数的定义与性质：基本导数公式、导数的运算法则等。
2. 微分中值定理与导数应用：极值点、拐点、函数图像的描绘等。
3. 定积分与不定积分：定义、性质、求解与应用。
在备考过程中，我们需要系统地学习并掌握上述的数学知识点。
以下是备考建议：1. 理解概念：在学习每一个知识点时，首先要确保理解其基本概念和性质，这对于后续的学习和应用非常重要。
2. 刻意练习：通过大量的练习题来巩固知识点，熟练掌握解题方法和技巧，并培养分析和解决问题的能力。
3. 理论联系实际：将数学知识点与实际问题联系起来，深化对数学应用的理解和掌握，提高解题思维的灵活性。
4. 多样化学习资源：利用教材、参考书、习题集、网络资源等多种学习资源，帮助加深对数学知识点的理解和应用。
5. 查漏补缺：及时发现自己的弱点和不足，针对性地进行强化学习，及时解决问题和困惑。
通过充分理解与熟练掌握天津高二会考数学知识点，并结合不断的练习与实践，相信同学们一定能在考试中取得优异成绩。
加油！。
2024年天津市中考数学真题试卷及答案
2024年天津市中考数学真题试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.计算()33--的结果是（）A.6B.3C.0D.－62.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是（）A. B.C. D.3.的值在（）A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间4.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.据2024年4月18日《天津日报》报道,天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计,今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（）A.70.0810⨯B.60.810⨯C.5810⨯D.48010⨯1-的值等于（）A.0B.1C.12- 17.计算3311x x x ---的结果等于（） A.3 B.x C.1x x - D.231x - 8.若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x =的图象上,则123,,x x x 的大小关系是（） A.123x x x << B.132x x x << C.321x x x <<D.213x x x << 9.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍,其中有一道题:“今有木,不知长短．引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺．木长几何？”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺,绳子长y 尺,则可以列出的方程组为（）A. 4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩B. 4.50.51y x x y -=⎧⎨+=⎩C. 4.51x y x y +=⎧⎨-=⎩D. 4.51x y y x +=⎧⎨-=⎩10.如图,Rt ABC △中,90,40C B ∠=︒∠=︒,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,交AB 于点E ,交AC 于点F ;再分别以点,E F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ;画射线AP ,与BC 相交于点D ,则ADC ∠的大小为（）A.60B.65C.70D.7511.如图,ABC 中,30B ∠=,将ABC 绕点C 顺时针旋转60得到DEC ,点,A B 的对应点分别为,D E ,延长BA 交DE 于点F ,下列结论一定正确的是（）A.ACB ACD ∠=∠B.AC DE ∥C.AB EF =D.BF CE ⊥12.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h （单位:m ）与小球的运动时间t （单位:s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．有下列结论:①小球从抛出到落地需要6s①小球运动中的高度可以是30m①小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中,正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3第II 卷二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）13.不透明袋子中装有10个球,其中有3个绿球,4个黑球,3个红球,这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率为______．14.计算86x x ÷的结果为______．15.计算)11的结果为___． 16.若正比例函数y kx =（k 是常数,0k ≠）的图象经过第一、第三象限,则k 的值可以是_____________（写出一个即可）．17.如图,正方形ABCD 的边长为对角线,AC BD 相交于点O ,点E 在CA 的延长线上,5OE =,连接DE ．（1）线段AE 的长为______（2）若F 为DE 的中点,则线段AF 的长为______．18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点,,A F G 均在格点上．（1）线段AG 的长为______（2）点E 在水平网格线上,过点,,A E F 作圆,经过圆与水平网格线的交点作切线,分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中,点M 在边BC 上,点N 在边AB 上,点P 在边AC 上．请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,,M N P ,使MNP △的周长最短,并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明）______．三、解答题（本大题共7小题,共66分．解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程） 19.解不等式组213317x x x +≤⎧⎨-≥-⎩①②请结合题意填空,完成本题的解答．（1）解不等式①,得______（2）解不等式①,得______（3）把不等式①和①的解集在数轴上表示出来:（4）原不等式组的解集为______．20.为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位:h ）,随机调查了该校八年级a 名学生,根据统计的结果,绘制出如下的统计图①和图①．请根据相关信息,解答下列问题:（1）填空:a 的值为______,图①中m 的值为______,统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数（3）根据样本数据,若该校八年级共有学生500人,估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为多少？21.已知AOB 中,30,ABO AB ∠=︒为O 的弦,直线MN 与O 相切于点C ．（1）如图①,若AB MN ∥,直径CE 与AB 相交于点D ,求AOB ∠和BCE ∠的大小（2）如图①,若,OB MN CG AB ⊥∥,垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =,求线段OF 的长． 22.综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案:如图①,点,,C D E 依次在同一条水平直线上,36m,DE EC AB =⊥,垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒,测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒,又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．（1）求线段CD 的长（结果取整数）（2）求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据:tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．23.已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6km ,文化广场离家1.5km ．张华从家出发,先匀速骑行了4min 到画社,在画社停留了15min ,之后匀速骑行了6min 到文化广场,在文化广场停留6min 后,再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间,y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息,回答下列问题:（1）①填表:①填空:张华从文化广场返回家的速度为______km /min①当025x ≤≤时,请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式（2）当张华离开家8min 时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）24.将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中,点()0,0O ,点()3,0A ,点,B C 在第一象限,且2,60OC AOC ∠==．（1）填空:如图①,点C 的坐标为______,点B 的坐标为______（2）若P 为x 轴的正半轴上一动点,过点P 作直线l x ⊥轴,沿直线l 折叠该纸片,折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上,点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图①,若直线l 与边CB 相交于点Q ,当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时,O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长,并直接写出t 的取值范围①设折叠后重叠部分的面积为S ,当21134t ≤≤时,求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 25.已知抛物线()20y ax bx c a b c a =++>，，为常数，的顶点为P ,且20a b +=,对称轴与x 轴相交于点D ,点(),1M m 在抛物线上,1m O >，为坐标原点．（1）当11a c ==-，时,求该抛物线顶点P 的坐标（2）当2OM OP ==,求a 的值 （3）若N 是抛物线上的点,且点N 在第四象限,90MDN DM DN ∠=︒=，,点E 在线段MN 上,点F在线段DN 上,NE NF +=,当DE MF +,求a 的值．2024年天津市中考数学真题试卷答案解析一、选择题.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】D【解析】解:记BF 与CE 相交于一点H,如图所示:①ABC 中,将ABC 绕点C 顺时针旋转60得到DEC ①60BCE ACD ∠=∠=︒①30B ∠=︒①在BHC 中,18090BHC BCE B ∠=︒-∠-∠=︒ ①BF CE ⊥故D 选项是正确的,符合题意设ACH x ∠=︒①60ACB x ∠=︒-︒，①30B ∠=︒①()180306090EDC BAC x x ∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒+︒①9060150EDC ACD x x ∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒ ①x ︒不一定等于30︒①EDC ACD ∠+∠不一定等于180︒①AC DE ∥不一定成立故B 选项不正确,不符合题意①6060ACB x ACD x ∠=︒-︒∠=︒︒，，不一定等于0︒ ①ACB ACD ∠=∠不一定成立故A 选项不正确,不符合题意①将ABC 绕点C 顺时针旋转60得到DEC ①AB ED EF FD ==+①BA EF >故C 选项不正确,不符合题意故选:D12.【答案】C【解析】解:令0h =,则23050t t -=,解得:10t =,26t = ①小球从抛出到落地需要6s ,故①正确①()223055345h t t t =-=--+①最大高度为45m①小球运动中的高度可以是30m ,故①正确 当2t =时,23025240h =⨯-⨯=;当5t =时,23055525h =⨯-⨯= ①小球运动2s 时的高度大于运动5s 时的高度,故①错误 故选C ． 二、填空题.13.【答案】31014.【答案】2x15.【答案】1016.【答案】1（答案不唯一）【解析】17.【答案】【解析】（1）四边形ABCD 是正方形 OA OC OD OB ∴===,90DOC ∠=︒ ∴在Rt DOC 中,222OD OC DC += 3DC =3OD OC OA OB ∴====5OE =∴532AE OE OA =-=-=（2）延长DA 到点G ,使AG AD =,连接EG 由E 点向AG 作垂线,垂足为H①F 为DE 的中点,A 为GD 的中点 ①AF 为DGE △的中位线在Rt EAH △中,45EAH DAC ∠=∠=︒ AH EH ∴=222AH EH AE +=AH EH ∴==GH AG AH ∴=-== 在Rt EHG △中,2222810EG EH GH ∴=+=+=∴=EG AF 为DGE △的中位线12AF EG ∴==18.【答案】①.图见解析,说明见解析【解析】（1）由勾股定理可知,AG ==故答案为（2）如图,根据题意,切点为M ;连接ME 并延长,与网格线相交于点1M ;取圆与网格线的交点D 和格点H ,连接DH 并延长,与网格线相交于点2M ;连接12M M ,分别与,AB AC 相交于点,N P ,则点,,M N P 即为所求．三、解答题.19.【答案】（1）1x ≤（2）3x ≥-（3）见解析（4）31x -≤≤【解析】【小问1详解】解:解不等式①得1x ≤故答案为:1x ≤【小问2详解】解:解不等式①得3x ≥-故答案为:3x ≥-【小问3详解】解:在数轴上表示如下:【小问4详解】解:由数轴可得原不等式组的解集为31x -≤≤故答案为:31x -≤≤．20.【答案】（1）50,34,8,8（2）8.36（3）150人【小问1详解】解:36%50÷=（人)%1750100%34%m =÷⨯=34m ∴=在这组数据中,8出现了17次,次数最多∴众数是8将这组数据从小到大依次排列,处于最中间的第25,26名学生的分数都是8∴中位数是(88)28+÷=故答案为:50,34,8,8．【小问2详解】 63778179151088.36,3717158x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++ ∴这组数据的平均数是8.36．【小问3详解】在所抽取的样本中,每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%∴根据样本数据,估计该校八年级学生500人中,每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%,有50030%150⨯=．∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为150．21.【答案】（1）120AOB ∠=︒;30BCE ∠=︒（2【小问1详解】AB 为O 的弦OA OB ∴=．得A ABO ∠=∠．△AOB 中,180A ABO AOB ∠+∠+∠=︒又30ABO ∠=︒1802120AOB ABO ∴∠=︒-∠=︒．直线MN 与O 相切于点,C CE 为O 的直径CE MN ∴⊥．即90ECM ∠=︒．又AB MN ∥90CDB ECM ∴∠=∠=︒．在Rt ODB 中,9060BOE ABO ∠=︒-∠=︒．12BCE BOE ∠∠=30BCE ∴∠=︒．【小问2详解】如图,连接OC ．∵直线MN 与O 相切于点,C CE 为O 的直径①90OCM ∠=︒①//OC MN①90OCM COB ∠=∠=︒．CG AB ⊥,得90FGB ∠=︒．∴在Rt FGB 中,由30ABO ∠=︒得9060BFG ABO ∠=︒-∠=︒．60CFO BFG ∴∠=∠=︒．在Rt COF △中,tan ,3OC CFO OC OA OF∠=== 33tan tan60OC OF CFO ∠∴=== 22.【答案】（1）54m（2）59m【小问1详解】解:设CD x =,由36DE =,得36CE CD DE x =+=+．EC AB ⊥,垂足为C90BCE ACD ∠∠∴==︒．在Rt BCD 中,tan 45BC CDB CDB CD∠=∠=︒， tan tan45BC CD CDB x x ∠∴=⋅=⋅︒=． 在Rt BCE 中,tan 31BC CEB CEB CE ∠=∠=︒， ()tan 36tan31BC CE CEB x ∴=⋅∠=+⋅︒．()36tan31x x ∴=+⋅︒． 得36tan31360.6541tan3110.6x ⨯︒⨯=≈=-︒-． 答:线段CD 的长约为54m ．【小问2详解】在Rt ACD △中,tan 6AC CDA CDA CD∠=∠=︒， tan 54tan6540.1 5.4AC CD CDA ∠∴=⋅≈⨯︒≈⨯=．5.45459AB AC BC ∴=+≈+≈．答:桥塔AB 的高度约为59m ．23.【答案】（1）①0.15,0.6,1.5;①0.075;①当04x ≤≤时,0.15y x =;当419x <≤时,0.6y =;当1925x <≤时,0.15 2.25y x =-（2）1.05km【小问1详解】解:①画社离家0.6km ,张华从家出发,先匀速骑行了4min 到画社①张华的骑行速度为()0.640.15km /min ÷=①张华离家1min 时,张华离家0.1510.15km ⨯=张华离家13min 时,还在画社,故此时张华离家还是0.6km张华离家30min 时,在文化广场,故此时张华离家还是1.5km ．故答案为:0.15,0.6,1.5.①()1.5 5.1 3.10.075km /min ÷-=故答案为:0.075．①当04x ≤≤时,张华的匀速骑行速度为()0.640.15km /min ÷=①0.15y x =当419x <≤时,0.6y =当1925x <≤时,设次数的函数解析式为:y kx b =+把()19,0.6,()25,1.5代入y kx b =+,可得出:190.625 1.5k b k b +=⎧⎨+=⎩解得:0.152.25k b =⎧⎨=-⎩ ①0.15 2.25y x =-综上:当04x ≤≤时,0.15y x =,当419x <≤时,0.6y =,当1925x <≤时,0.15 2.25y x =-．【小问2详解】张华爸爸的速度为:()1.5200.075km /min ÷=设张华爸爸距家km y ',则()0.07580.0750.6y x x =-=-'当两人从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时,有600.1.005 2..2575x x --= 解得:22x =①()0.07580.0750.60.075220.6 1.05km y x x =-=-=⨯-='故从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是1.05km ．24.【答案】（1）((,（2）①3522t <<S ≤≤ 【小问1详解】解:如图:过点C 作CH OA ⊥①四边形OABC 是平行四边形,2,60OC AOC ∠==,()3,0A①2360OC AB OA B AOC ====∠=∠=︒，CB ，，①CH OA ⊥①30OCH ∠=︒ ①112OH OC ==①CH①(1C①3CB OA ==①134+=①(4B故答案为:(,(4 【小问2详解】解:①①过点P 作直线l x ⊥轴,沿直线l 折叠该纸片,折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上 ①60OO C AOC ''∠=∠=︒,O P OP '=①22OO OP t =='①()3,0A①3OA =①23AO OO OA t ''=-=-①四边形OABC 为平行四边形①2AB OC ==,AB OC ∥,60O AB AOC '∠=∠=︒①EO A '是等边三角形①23AE AO t '==-①BE AB AE =-①()22352BE AB AE t t =-=--=-①25BE t =-+当O '与点A 重合时此时AB 与C O ''的交点为E 与A 重合,1322OP OA == 如图:当C '与点B 重合时此时AB 与C O ''的交点为E 与B 重合,1522CB OP +== ①t 的取值范围为3522t << ①如图:过点C 作CH OA ⊥由（1）得出(C ,60COA ∠=︒①tan 60MP OP ︒=MP t =①MP =当213t ≤<时,2111222S O P OP MP t '==⨯==0>,开口向上,对称轴直线0=t①在213t ≤<时,2S =随着t 的增大而增大①92S ≤< 当312t ≤≤时,如图:()()())111121222S O P MC MP OP CM MP t t t =+⨯''=+⨯=+-=-=0>,S 随着t 的增大而增大①在32t =时32S ===在1t =时1S ==①当312t ≤≤时,2S ≤≤ ①当3522t <<时,过点E 作,如图:①由①得出EO A '是等边三角形,EN AO ⊥ ①()11323222AN AO t t ==-=-'①tan EAO '∠=EN AN =①32EN t ⎫=-⎪⎭12S AO EN '=-⨯⨯()1323222t t ⎡⎤⎫=----⎪⎢⎥⎭⎣⎦24=+-①0<①开口向下,在2t ==时,S 有最大值①42S =+=①在3522t <<时,352222-=-①23322S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭则在3522t <<时4S <≤ 当51124t ≤≤时,如图()()11232522S AO BC MP t t =-⨯+⨯=--⨯--=+'+'①0<,S 随着t 的增大而减小①在51124t ≤≤时,则把51124t t ==，分别代入2S =+得出52S =+=114S =+=①在51124t ≤≤时S ≤≤综上S ≤≤25.【答案】（1）该抛物线顶点P 的坐标为1,2 （2）10（3）1【小问1详解】解:201a b a +==，,得22b a =-=-．又1c =- ∴该抛物线的解析式为221y x x =--． ()222112y x x x =--=--∴该抛物线顶点P 的坐标为()1,2-【小问2详解】解:过点(),1M m 作MH x ⊥轴,垂足为1H m >，则901MHO HM OH m ∠=︒==，，．在Rt MOH 中,由222HM OH OM OM +==， 221m ∴+=⎝⎭．解得123322m m ==-，（舍）． ∴点M 的坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20a b +=,即12b a -=．∴抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为1x =．对称轴与x 轴相交于点D ,则190OD ODP ∠==︒，．在Rt OPD 中,由222OD PD OP OP +==， 221PD ∴+=⎝⎭．解得32PD =负值舍去． 由0a >,得该抛物线顶点P 的坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭． ∴该抛物线的解析式为()2312y a x =--． 点3,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上,有2331122a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 10a ∴=【小问3详解】解:过点(),1M m 作MH x ⊥轴,垂足为1H m >，则901MHO HM OH m ∠=︒==，，．1DH OH OD m ∴=-=-．∴在Rt DMH △中,()222211DM DH HM m =+=-+． 过点N 作NK x ⊥轴,垂足为K ,则90DKN ∠=︒．90MDN DM DN ∠=︒=，,又90DNK NDK MDH ∠∠∠=︒-= NDK DMH ∴≌△△．①1DK MH ==,1NK DH m ==-①点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中,45DMN DNM ∠=∠=︒22222MN DM DN DM =+=,即MN =．根据题意,NE NF +=,得ME NF =．在DMN 的外部,作45DNG DME ∠=∠=︒,且NG DM =,连接GF 得90MNG DNM DNG ∠∠∠︒=+=．GNF DME ∴≌△△．①GF DE =．DE MF GF MF GM ∴+=+≥．当满足条件的点F 落在线段GM 上时,DE MF +取得最小值,即GM =． 在Rt GMN △中,22223GM NG MN DM =+=223DM ∴=．得25DM =．()2115m ∴-+=．解得1231m m ==-，（舍）． ∴点M 的坐标为()3,1,点N 的坐标为()2,2-． 点()()3,12,2M N -，都在抛物线22y ax ax c =-+上 得196,244a a c a a c =-+-=-+．1a ∴=．。
2020年天津卷数学高考试题(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A．10 B．18 C．20 D．365．若棱长为23A．12πB．24πC．36πD．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 2a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 4441313A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2021年高考真题地理数学(天津卷) Word版含答案
2021年天津市普通高中学业水平等级性考试地理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间60分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本卷共15题，每题3分，共45分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．天津蓟州北部山区四幅景观照片中，能记录地球沧海桑田变化的是（）A．翠屏湖B．中上元古界地层C．黄崖关长城D．八仙山天然次生林图1为我国华北某地的地质剖面示意图。
读图文材料，回答2，3题。
2．图1中四处地层由老到新的时间顺序，排序正确的是（）A．①②③④B．②③④①C．②③①④D．①④③②3．与我国西南地区同类岩层发育的岩溶地貌相比，甲地的地表岩溶地貌发育程度较低，其原因在于甲地（）A．水热条件较差B．岩石的可溶性低C．地表植被茂密D．地质构造较复杂2021年3月中旬我国北方地区发生了一次大规模沙尘暴天气。
据气象专家分析，此次沙尘暴源于蒙古国。
图2是此次沙尘暴在我国过境时某时刻的天气形势图，图3表示此次沙尘暴移动过程中四个时刻沙尘天气的分布状况。
读图文材料，回答4，5题。
4．图3四幅图片中，沙尘天气的分布与图2天气形势相吻合的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．根据此次沙尘暴的移动路径，判断推动此次沙尘暴快速移动的主要原因是（）A．气旋西移B．反气旋东进C．冷锋南下D．暖锋北上川藏铁路东起成都，西至拉萨，2021年雅安至林芝段开工建设。
林芝附近的山地有雪豹活动。
雪豹通常在雪线之下、林线之上的地带活动（林线指森林分布高度的上限）。
读图文材料，回答6，7题。
6．据图4判断，川藏铁路沿线（）A．为亚热带常绿阔叶林带B．气温和干湿状况差异大C．位于地势的第一级阶梯D．所有河流均注入印度洋7．林芝附近的山地中，雪豹在迎风坡的活动范围比背风坡小，这是因为迎风坡（）A．雪线低、林线低B．雪线高、林线高C．雪线低、林线高D．雪线高、林线低随着产业结构调整，我国农民工输入地的地区分布正在悄然变化。
天津市部分区2024届高三质量调查(二)数学试卷 (含答案与解析)
天津市部分区2024年高三质量调查试卷（二）数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ． ·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UB A ⋃=ð（）A. {}1,0,1,3-B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2D. {}0,12. “a b >”是“22ac bc >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 若13log 1.9a =，2log 15.8b =，2.012c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c a b >> B. c b a >>C. a b c >>D. b a c >>4. 在数列{}n a 中，若22123n nn a a a -⋅⋅⋅=（*n ∈N ），则3a 的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 275. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()2ln 1x f x x =+B. ()2e e x xf x x--= C ()21x f x x-= D. ()ln x f x x=6. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）左、右焦点分别为1F ，2F ，且2F 与抛物线22y px=（0p >）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于A 点，若12π6F F A ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 3C.D.7. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）A. a 的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人8. 在各棱长均为2正三棱柱111ABC A B C -中，上下底面的中心分别为D ，H ，三个侧面的中心分别为E ，F ，G ，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D EFG -和H EFG -，则剩余部分的体积为（ ）.的的A.B.C.D.9. 已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到； ②()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为； ④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i 是虚数单位，化简75i32i-+的结果为______．11. 62x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答) 12. 过点()0,1M 的直线与圆()2221x y ++=相交于A ，B 两点，且与抛物线24y x =相切，则AB =______．13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量X 表示取到的黑球个数，则()E X =______．14. 在ABC 中，2AM MB = ，P 是MC 的中点，延长AP 交BC 于点D ．设AB a =，AC b =，则AP可用a ，b表示为__________，若AD =3cos 5BAC ∠=,则ABC 面积的最大值为______．15. 已知函数()2,1,, 1.ax x x f x x a x ⎧-≥-=⎨-+<-⎩若1x ∃，2R x ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知3a b =，c =π3C =． （1）求b 的值； （2）求sin B 的值； （3）求()sin A B -的值．17. 如图，DA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AD CE ，1AB AC CE ===，2AD =，M 为AD 中点．（1）证明：EM BD ⊥；（2）求平面DBC 与平面ABC 夹角的余弦值；（3）设N 是棱BC 上的点，若EN 与CDBN 的长． 18. 设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，且128A A =，离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）过点1A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，且满足11A M A N <，若三角形1OMF （O 为坐标原点）的面积是三角形12A F N 的面积的29倍，求直线l 的方程． 19. 已知{}n a 是等差数列，1418a a +=，529a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且12b =，12n n S b +=-（*n ∈N ）．的的（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求11n nb ii b a +-=∑；（3）设数列{}n c满足n c =（*n ∈N ），证明：16ni i c =<∑． 20. 已知函数()e xf x ax =-，R a ∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求a 的值； （2）当0a =时，证明：()0,1x ∀∈，()121xf x x+<-； （3）若()sin 1f x x +>在区间()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UB A ⋃=ð（）A. {}1,0,1,3-B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2D. {}0,1【答案】A 【解析】【分析】先求出U A ð，再求出()U A B ð即可. 【详解】因为{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð， 所以()U B A ⋃=ð{}1,0,1,3-， 故选：A2. “a b >”是“22ac bc >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案..【详解】由a b >，当0c =时，则220ac bc ==；当0c ≠时，则22ac bc >； 因为22ac bc >，则可知0c ≠，所以a b >；故“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件，故B 项正确. 故选：B. 3. 若13log 1.9a =，2log 15.8b =，2.012c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可. 【详解】11330log 1.9log 1a =<=，2221640log 1log 15.8log b =<=<=，122.0242c >==，所以c b a >>. 故选：B.4. 在数列{}n a 中，若22123n nn a a a -⋅⋅⋅=（*n ∈N ），则3a 的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 27【答案】D 【解析】【分析】由数列的递推式，分别求出123,,a a a 的值即可得出结果. 【详解】当1n =时，121133a -==， 当2n =时，441231a a -==，所以23a =， 当3n =时，96123327a a a -==，所以327a =.故选：D.5. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()2ln 1x f x x =+B. ()2e e x xf x x--= C. ()21x f x x-=D. ()ln x f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性判断A ；验证()1f 的值判断B ；根据奇偶性、单调性判断C ；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，且()10f =，对于A ，()()()22ln ln 11xx f x x x f x --===+-+，为偶函数，故A 错误； 对于B ，()11201e e 11e ef --==-≠，故B 错误； 对于C ，()()2211x x f x xx----==--，为奇函数，当0x >时，()211x f x x x x -==-， 因为y x =，1y x =-在()0,∞+为单调递增函数，所以()1f x x x=-在()0,∞+单调递增，故C 正确； 对于D ，当0x >时，()ln x f x x =，()21ln xf x x-'=，所以()0,e x ∈时，()0f x ¢>， ()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，故D 错误，故选：C.6. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且2F 与抛物线22y px=（0p >）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于A 点，若12π6F F A ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 3C.D.【答案】D 【解析】【分析】依题意，得到,2p A p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，代入渐近线方程，进而求出b a ，再根据e =求出离心率.【详解】由题意知，抛物线的准线方程为2px =-，又因为12π6F F A ∠=，则点,2p A p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又因为点A 在双曲线的渐近线b y x a =上，所以b a =所以双曲线的离心率e ===，故选：D.7. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）A. a 的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人【答案】C 【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A ，利用众数、百分位数的求法可判定B 、C ，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.【详解】易知100.020100.050100.025101a +⨯+⨯+⨯=，解得0.005a =，所以A 错误； 由频率分布直方图可知众数落在[)80,90区间，用区间中点表示众数即85，所以B 错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005100.020100.25⨯+⨯=， 前三组频率之和为0.005100.020100.050100.75⨯+⨯+⨯=， 故第60百分位数落在区间[)80,90，设第60百分位数为x ， 则()0.25800.0500.60x +-⨯=，解得87x =，所以C 正确；成绩低于80分的频率为0.005100.020100.25⨯+⨯=，所以估计总体有10000.25250⨯=，故D 错误. 故选：C.8. 在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，上下底面的中心分别为D ，H ，三个侧面的中心分别为E ，F ，G ，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D EFG -和H EFG -，则剩余部分的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求得正三棱柱的体积与挖去的两个三棱锥的体积，可求剩余几何体的体积. 【详解】如图所示：因为三个侧面中心分别为,,E F G ，所以三棱锥D EFG -和三棱锥H EFG -的底面EFG 面积为14ABC S ， 的高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为111222sin 601342⨯⨯⨯⨯⨯︒⨯=，三棱柱的体积为122sin 6022⨯⨯︒⨯=故剩余几何体的体积为=. 故选：A.9. 已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到； ②()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x的取值范围为； ④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】首先把()f x 用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可. 【详解】因为()()2222sin 2sin cos cos sin 2cos sin f x x x x x x x x =+-=--，即()πsin 2cos224x x x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.的对于①，函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度，得到ππ2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，x ∈ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则π3ππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭先减后增，所以②错误；对于③，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π2,4124x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当且仅当ππ242x -=时，即3π8x =时，()max f x =，当且仅当ππ2412x -=时，即π6x =，()min ππ264f x ⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭，所以()f x 的取值范围为，所以③正确； 对于④，由[]0,2πx ∈，则ππ15π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则当ππππ20,2π,22π,23π4444x x x x -=-=-=-=时，()0f x =， 所以()0f x =在[]0,2πx ∈上有4个零点，所以④错误. 故选：B.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i 是虚数单位，化简75i32i-+的结果为______． 【答案】1129i 1313- 【解析】【分析】利用复数乘除法法则进行计算即可.【详解】2275i (75i)(32i)2110i 15i 14i32i (32i)(32i)94i---+--==++-- 1129i 1129i 131313-==-. 故答案为：1129i 1313-.11. 62x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答) 【答案】60【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定r 的值，代入即可求解.【详解】由题意二项式62x ⎫+⎪⎭展开式的通项为63621662()2rr r r r rr T C C x x --+=⋅=⋅，令2r =，可得展开式的常数项为2236260T C =⋅=. 故答案为：60.12. 过点()0,1M 的直线与圆()2221x y ++=相交于A ，B 两点，且与抛物线24y x =相切，则AB =______．【解析】【分析】先设出直线方程，由直线与抛物线相切解出斜率k ，再由直线与圆相交的弦长公式求出即可. 【详解】由题可知直线的斜率存在，可设直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得()222410k x k x +-+=， 因为直线与抛物线相切，所以()222440k k --=，解得1k =，即直线方程为：1y x =+，化为一般式为10x y -+=， 又因为圆的圆心为()2,0-，半径1r =，.则圆心到直线距离为d，所以AB===..13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则()E X=______．【答案】①.13②.45##0.8【解析】【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，则()42105P A==，()43210915P AB=⨯=，所以()()()2115|235P ABP B AP A===；由题意可得X的取值为0,1,2，()()()21126464222101010C C C C1820,1,2C3C15C15P X P X P X=========，所以()1824012315155E X=⨯+⨯+⨯=，故答案为：13；45.14. 在ABC中，2AM MB=，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．设AB a=，AC b=，则AP可用a，b表示为__________，若AD=3cos5BAC∠=,则ABC面积的最大值为______．【答案】①.1132AP a b=+，②.258【解析】【分析】根据几何关系，表示向量AP；设AP ADλ=，再利用平面向量基本定理表示BP，即可求解λ，再根据6AD =，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【详解】由点P 是MC 的中点，则()1121122332AP AM AC AB AC a b ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭； 设AP AD λ= ，BD BC μ=u uu r u u u r ，则()1111222323BP BC BM AC AB AB b a ⎛⎫=+=--=- ⎪⎝⎭， ()BP AP AB AD AB BD BA AB λλ=-=-=--， ()()BC AB AB AC AB AB AB λμλμμ=+-=-+- ，()()11AC AB b a λμλλμλμλλμ=+--=+-- ，所以12213λμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，得56λ=,35μ=,所以56AP AD = ，即623555AD AP a b ==+ ，因为AD所以222222349124936552525252525125a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ，63696225125125a b a b a b ≥⨯⨯+⨯= ，即966125a b ≤ ，即12516a b ≤ ，当2355a b =时，即32a b == 时等号成立， 所以ABC 面积的最大值为11251125425sin 21621658BAC ⨯∠=⨯⨯=.故答案为：1132AP a b =+ ；258.15. 已知函数()2,1,, 1.ax x x f x x a x ⎧-≥-=⎨-+<-⎩若1x ∃，2R x ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得函数在R 上不单调，分110,0,22a a a >-≤<<-，结合二次函数的性质，作出图象即可.【详解】当0a =时，可得()f x x =-，易知在R 上单调递减，不满足题意； 当0a ≠时，当1x ≥-时，()2f x ax x =-，对称轴为12x a=， 当1x <-时，()f x x a =-+，此时函数在(),1∞-上单调递减; 当0a >时，102x a=>， 当1x ≥-时，开口向上，大致图象如图所示：所以函数1,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以1x ∃，2R x ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，满足题意; 当0a <时：当1x ≥-时，函数的开口下，对称轴102x a=<， ①当1102a -<<，即12a <-时， 易知函数在(),1∞--和1,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，大致图象如图所示：在由此可知1x ∃，2R x ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，满足题意; ②当112a ≤-时，即102a -≤<时， 此时函数的大致图象如图所示：易知函数在R 上单调递减，所以不存在12,R x x ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立; 综上，a 的取值范围为：()1,0,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭， 故答案为：()1,0,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3a b =，c =π3C =． （1）求b 的值； （2）求sin B 的值； （3）求()sin A B -的值． 【答案】（1）1b =（2）sin B =（3【解析】【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由正弦定理求解即可；（3）在ABC 中，先由sin B 求出cos B ，进而求出sin 2B ，cos 2B ，然后用两角差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-222179232b b b =+-⨯⨯，所以1b =． 【小问2详解】由正弦定理得sin sin b c B C=，即1sin B =解得sin B =【小问3详解】 在ABC 中，π3C =，所以2π23A B B -=-因为a b >，所以B 为锐角，co s B ==sin 22sin cos 2B B B ===211cos 22cos 114B B =-=所以，()2π1sin sin 22sin 232A B B B B ⎛⎫-=-=+=⎪⎝⎭ 17. 如图，DA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AD CE ，1AB AC CE ===，2AD =，M 为AD 的中点．（1）证明：EM BD ⊥；（2）求平面DBC 与平面ABC 夹角的余弦值；（3）设N 是棱BC 上的点，若EN 与CD BN 的长． 【答案】（1）证明见解析（2）13（3 【解析】【分析】（1）建立坐标系，利用0BD EM ⋅=，即可证明EM BD ⊥； （2）分别求得平面DBC 与平面ABC 的法向量，利用法向量即可求解；（3）设BN BC λ=u u u r u u u r ，借助cos ,EN CD = ，求得λ值，即可求解.【小问1详解】证明：因为DA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以A 为原点，AB为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由已知可得()0,0,0A ，()1,0,0,B ，()0,1,0C ，()0,0,2D ，()0,1,1E ， 因为M 为AD 的中点，所以()0,0,1M ，所以()0,1,0EM =- ，()1,0,2BD =-，所以0BD EM ⋅=，所以BD EM ⊥ ，所以EM BD ⊥. 【小问2详解】()1,0,2BD =- ，()1,1,0BC =-，设平面DBC 的法向量(),,n x y z = ，则0BD n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =得2x y ==， 所以()2,2,1n =．平面ABC 的法向量()0,0,2AD =，设平面DBC 与平面ABC 夹角为θ，21cos cos ,233AD n θ===⨯ ，所以平面DBC 与平面ABC 夹角的余弦值为13． 【小问3详解】设(),,N x y z 且BN BC λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），()()1,,1,1,0x y z λ-=-，则1x λ=-，y λ=，0z =，所以()1,,0N λλ-，所以()1,1,1EN λλ=--- ，()0,1,2CD =-，所以cos ,EN CD ==， 化简得241670λλ-+=， 解得12λ=或72λ=（舍），因为BC =BN =． 18. 设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，且128A A =，离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）过点1A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，且满足11A M A N <，若三角形1OMF （O 为坐标原点）的面积是三角形12A F N 的面积的29倍，求直线l 的方程． 【答案】（1）2211612x y +=；（2）4)y x =+. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立求出点M 的坐标，再利用三角形面积列出方程求解即得. 【小问1详解】依题意，28a =，4a =，令椭圆半焦距为c ，由12c e a ==，得2c =，22212b a c =-=， 所以椭圆的方程为2211612x y +=.【小问2详解】显然直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为(4)y k x =+，(,),(0,)M M N M x y N y ，由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：2222(34)3264480k x k x k +++-=， 则226448434M k x k --⋅=+，解得22161234M k x k-+=+，22434M k y k =+，又4N y k =， 由（1）知，12OF c ==，126A F a c =+=，由11229OMF A F N S S =△△，得112112112222119622M M OMF A F N N N OF y y S S A F y y ⨯===⨯ ， 即22423443MN k y k y k +==，解得k = 所以直线l的方程4)y x =+.19. 已知{}n a 是等差数列，1418a a +=，529a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且12b =，12n n S b +=-（*n ∈N ）．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求11n n b ii b a +-=∑； （3）设数列{}n c满足n c =（*n ∈N ），证明：16n i i c =<∑． 【答案】（1）3322n n n a n b =+=，（2）942n ⨯ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质求得数列{}n a 首项与公差，可求{}n a 的通项公式，由已知可得12n nb b +=，可求数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）的结论代入计算可求1112123(3)2n n n n b i i b i a i ++--===+∑∑的值； （3）由已知放缩可得32n n n c <，进而可得231111136932222n i n i c n =<⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯∑，利用错位相减法可求得()116362n i ni c n =<-+∑，可求结论. 【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，由题意39d =，3d =，12318a d +=，192a =， 所以332n a n =+， 当2n ≥时，12n n S b -=-，所以11n n n n n b S S b b -+=-=-，所以12n nb b +=， 当1n =时12,2b b =-，24b =，212b b =， 所以{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n b =；【小问2详解】1111212112233(3)3(2121)22n n n n n n b n n i i b i i a i i +++---+====+=+-++∑∑∑ ()()()332212222122n n n n n n ⎡⎤=+++++⋅⋅⋅++-+⨯⎣⎦ ()2221233222n n n n n ⎡⎤++-⎣⎦=⨯+⨯ ()33934224222n n n n =⨯-+⨯=⨯； 【小问3详解】32n nn c ==<， 所以231111136932222ni n i c n =<⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯∑， 设23111136932222n n B n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 则234111111369322222n n B n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 234111111113333332222222n n n B n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯ 1111113322333122212n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-⨯=---， 所以()16362n n B n =-+， 因为*n ∈N ，所以()13602n n +>， 所以16n i i c=<∑． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用放缩法得32n n n c <，再利用错位相减法对右边求和即可. 20. 已知函数()e xf x ax =-，R a ∈． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求a 的值；（2）当0a =时，证明：()0,1x ∀∈，()121x f x x+<-； （3）若()sin 1f x x +>在区间()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）e 2a =-（2）证明见解析（3）2a ≤【解析】【分析】（1）对于()f x ，求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）将问题化为证明2ln(1)ln(1)x x x <+--恒成立，构造函数()()()ln 1ln 12g x x x x =--++，利用导数即可得证.（3）构造函数()e sin xx ax x ϕ=-+，将问题转化为()1x ϕ>恒成立，利用导数分类讨论2a ≤与2a >两种情况，从而得解.【小问1详解】由()e x f x ax =-，可知()e x f x a '=-，因为()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为2，所以()1e 2f a ='-=，所以，e 2a =-．【小问2详解】 证明：当0a =时，()22e xf x =，要证()121x f x x+<-， 即证21e 1x x x +<-，两边取对数得，21ln e ln 1x x x +<-， 即证2ln(1)ln(1)x x x <+--，令()()()ln 1ln 12g x x x x =--++，只需证()0g x <即可．()()()2112201111x g x x x x x --=-+=<-+-+'． 所以，()g x 在()0,1x ∈上单调递减．所以，()()00g x g <=成立，所以()0,1x ∀∈，()121x f x x+<-. 【小问3详解】若()sin 1f x x +>在区间()0,∞+上恒成立，即e sin 1x ax x -+>在区间()0,∞+上恒成立．令()e sin x x ax x ϕ=-+．则()e cos x x a x ϕ=-+'， 令()e cos x m x a x =-+，()e sin xm x x '=-，因为0x >， 所以e 1x >，所以e sin x x >，()e sin 0xm x x =->' 所以()m x 在()0,x ∈+∞时单调递增．可知()()02m x m a >=-．当2a ≤时，()0m x >，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,x ∈+∞时单调递增．所以()()01x ϕϕ>=成立．当2a >时，()020m a =-<，当x →+∞时，()0m x >，所以()00,x ∃∈+∞使得()00m x =．当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0x ϕ'<，所以()x ϕ此时单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ此时单调递增；所以，()()min 0()01x x ϕϕϕ=<=不成立，舍去．综上，2a ≤．【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式(),0f x λ≥（x D ∈，λ为参数）恒成立问题中参数范围的步骤：1.将参数与变量分离，不等式化为()()12≥f f x λ或()()12≤f f x λ的形式；2.求()2f x 在x D ∈时的最大值或者最小值；3.解不等式()()12max ≥f f x λ或()()12min ≤f f x λ，得到λ的取值范围.。
2020年天津卷数学高考试题(含答案)
2020年天津卷数学高考试题(含答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
在答卷前，考生需填写姓名、考生号、考场号和座位号，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生需将答案涂写在答题卡上，不得在试卷上作答。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)。
球的表面积公式S=4πR，其中R表示球的半径。
1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}，B={-3,0,2,3}，则A∩B={0,2}。
2.设a∈R，则“a>1”是“a>a的充分不必要条件”。
3.函数y=4x/(2x+1)的图象大致为下图中的CD线段。
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.35,5.37),[5.37,5.39),[5.39,5.41),[5.41,5.4 3),[5.43,5.45),[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为20个。
5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为36π。
6.设a=3，b=0.7^(1/3)，c=log0.7(0.8)，则a>b>c。
7.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在x=2处有极值，则a<0.8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a3=7，则S10=55.9.已知函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=2x-1，则f(g(x))=4x^2-8x+5.1.双曲线C的方程为x^2/4-y^2/b^2=1，其中b>0.2.正确结论为D．①②③。
2024年天津市高考数学真题试卷(附答案)
2024年天津市高考数学真题试卷一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A ．6B 12+ C D 12-二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题16．在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，． (1)求a ； (2)求sin A ； (3)求()cos 2B A -．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； (3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中2ABC S =△． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案1．B【详细分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【过程详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 所以{}2,3,4A B = ， 故选：B2．C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【过程详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．A【详细分析】由点的分布特征可直接判断【过程详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A4．B【详细分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【过程详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141eϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【过程详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B6．C【详细分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【过程详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误. 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误. 对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C.7．A【详细分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【过程详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=， 即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【详细分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【过程详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===， 由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =则21122PF PF F F c c ====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9．C【详细分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【过程详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【过程详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7. 11．20【详细分析】根据题意结合二项展开式的通项详细分析求解即可. 【过程详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12．45/0.8【详细分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【过程详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =， 由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=， 故原点到直线AF 的距离为4455d ==， 故答案为：4513．3512【详细分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【过程详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 则甲选到A 得概率为：63105P ==； 乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==； 乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【过程详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=， 因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ ， 又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭， 因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15．()(1-⋃【详细分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【过程详解】令()0f x =，即21ax =--， 由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则2x =±，不符合要求，舍去； 当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点， 由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-， 当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去， 即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解， 则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解， 当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得， 由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±， 即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去）， 且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<，故1a <符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =， 当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-， 当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去， 即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解， 则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解， 当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =， 且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得， ()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-， 令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去）， 且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【名师点评】关键点名师点评：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 16．(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ； （3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【过程详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 16A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=， 则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+=17．(1)证明见解析(2)11【详细分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【过程详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ， 则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ， 又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ， 故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z = ，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ， 分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,11m nm n m n ⋅===⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC的夹角余弦值为11； （3）由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有111BB mm⋅==，即点B到平面1CB M的距离为11.18．(1)221129x y+=(2)存在()30,32T t t⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ⋅≤恒成立.【详细分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：32y kx=-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t表示TP TQ⋅，再根据0TP TQ⋅≤可求t的范围.【过程详解】（1）因为椭圆的离心率为12e=，故2a c=，b=，其中c为半焦距，所以()()2,0,0,,0,2A cB C⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，故122ABCS c=⨯=△故c=a=，3b=，故椭圆方程为：221129x y+=.（2）若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx=-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t，由22343632x yy kx⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx+--=，故()222Δ144108343245760k k k=++=+>且1212221227,,3434kx x x xk k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t=-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+， 因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【名师点评】思路名师点评：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．(1)21n n S =- ①(2)证明见过程详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【详细分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式详细分析求解；（2）①根据题意详细分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法详细分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法详细分析求解.【过程详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112n n n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立， 所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑， 所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑， 且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b =-+=∑.【名师点评】关键点名师点评：1.详细分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和详细分析可得()()1211213143449k k k k ii bk k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =- (2){}2(3)证明过程见解析【详细分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足； （3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论. 【过程详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-. （2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g⎛⎫⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∞∈+()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤+-=--=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件. 综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2. （3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----， 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=+<+=-+= ⎪⎝⎭'， 且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'. 所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<-> ()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤. 情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立. 综上，结论成立.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天津普通高中会考数学试卷
一、选择题
1、(2000)设全集U=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝,集合A=｛3，4，5｝，集合B=｛4，7，8｝，
则A(Cu B)等于
A. ｛1，2，3，4，5，6｝ B. ｛1，2，6｝ Ｃ. ｛3，5｝ D. ｛7，8｝
2、(2000)已知函数y=logxa(a>0,且a1),则
A、它在（0，+）上是增函数
B、它在（0，+）上是减函数
C、当a>1时，它在（0，+）上是减函数；当0
A. 4 B. 2 Ｃ. D. 2
4、(2000)抛物线2y=8x的焦点坐标是
A.（2，0） B.（-2，0） C、（0，2） D、 （0，-2）
5、(2000)已知函数f(x)=x2+3,则它
A.是奇函数 B. 是偶函数 Ｃ.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
6、(2000)若a=（1，2），b=（-4，x）,且ab,则x的值是
A.-8 B.-2 Ｃ. 2 D. 8
7、(2000)双曲线19y4x22的渐近线方程是
A、y=x94 B、y=x49 C、y=x32 D、y=x23
8、(2000)直线3x+4y-1=0与圆(x-1)2+(y+3)2=4的位置关系是
A、相离 B、相切 C、相交且直线不过圆心 D、相交且直线经过圆心
9、(2000)函数f(x)=︱x +1︳的图象大致是
10、(2000) “cos=23”是“=611”的
A.充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
Ｃ. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
11、(2000)函数f(x)=2x4x的定义域是
A.[-4，+]
B.（2，+）
Ｃ.[-4，2]（2，+）
D. (-4，2)（2，+）
12、(2000)在空间，下列命题中为真命题的是
A、平行于同一个平面的两条直线平行
B、垂直于同一条直线的两条直线平行
C、垂直于同一条直线的两个平面平行
D、垂直于同一个平面的两个平面平行
13、(2000)为了得到函数y=3sin2x,xR的图像，只需将函数y=3sin(2x+5), xR的图
像上所有的点
A. 向右平行移动10个单位长度 B. 向右平行移动5个单位长度
Ｃ. 向左平行移动10个单位长度 D. 向左平行移动5个单位长度
14、(2000)若a
15、(2000)已知a=0.80.8,b=0.80.9,c=1.20.8, 则a、b、c三者的大小关系是
A．c
A.120种 B. 240种 Ｃ. 720种 D. 5040种
17、(2000)已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成的角等于
A. 30o B. 45o Ｃ. 60o D. 75
o
18、(2000)在△A BＣ中，已知BC=8, AC= 46,A=450,则B等于
A. 60o B. 120o Ｃ. 75o 或105o D. 60o 或120o
19、(2000)已知等比数列｛an｝，a1=3, a3=12，那么这个数列的前5项的和等于
A. 48 B. 93 Ｃ. 93或33 D. 45或-15
20、(2000)已知函数f(x)=xxxxeeee,若|f -1(-0.8)| : |f -1(0.6)|=k, 则
A.k(0,21) B. k(21,1) C. k(1,23) D. k(23,2)
二、填空题
21、(2000)已知函数f(x)=3x+2,则f(a+1)-f(a-1)的值是
22、(2000)已知一个球的半径R=5cm,那么它的表面积是 cm2
23、(2000)已知向量a=（9，6），b=（3，-2），则2a-3b的坐标为
24、(2000)已知tan=2,tan=3,那么tan（-）的值是
25、(2000)设z=2x+y,式中的变量x、y满足下列条件
113434x
yx
yx
，则z的最大值等于
26、(2000)从5名男生和4名女生中选出3人参加某项活动，至少有一名男生参加的不同
的选法共有 种（用数字作答）
三、解答题
27、(2000)已知sin=53,（2，）。试求
（Ⅰ）sin2的值
（Ⅱ）sin(4+)的值。
28、(2000)已知等差数列｛an｝中，a6=5，a3+ a8=5，试求
（Ⅰ）a1与公差d
（Ⅱ）该数列的前20项的和S20的值
29、(2000)解不等式132xx5-x2
30、(2000)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 O为底面对角线AC与BD的交点
（Ⅰ）求证BD⊥A1C1
（Ⅱ）求证BD⊥平面A1ACC1
（Ⅲ）求二面角A1-BD-C1的平面角的余玄值。
31、(2000)已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆12222byax（a>b>0）上的两个动点，O为坐标
原点，且OAOB,求线段AB长的最大值和最小值。