近似算法Approximation-PartI
lod模型简化算法
lod模型简化算法LOD模型简化算法（Level of Detail Model Simplification Algorithm）是用于在计算机图形学中管理和优化多细节级别模型的一种技术。
LOD模型简化算法的目标是在不降低模型质量的前提下，通过减少模型的细节级别来提高计算效率和渲染速度。
以下是一些常见的LOD模型简化算法：1. 随机采样（Random Sampling）：这是最简单的LOD模型简化算法，通过随机删除模型的一部分顶点和面片来减少模型的细节级别。
这种方法的缺点是简化后的模型可能会失去原始模型的一些关键细节信息。
2. 边坍缩（Edge Collapse）：边坍缩算法将模型中的顶点逐渐合并，从而减少模型的顶点数和面片数。
合并的顶点通常是距离最近的邻居顶点，使得模型的整体形状保持尽可能不变。
边坍缩算法的一个重要参数是合并的距离阈值，用于控制简化后模型的细节级别。
3. 近似保持（Approximation Preservation）：近似保持算法通过在简化过程中尽量保持模型的形状和外观特征来减少模型的细节级别。
它使用各种度量标准和优化方法来评估简化后模型与原始模型的相似度，并尽量减小其差异。
4. 基于误差度量（Error Metric-based）：基于误差度量的算法通过评估简化后模型与原始模型之间的误差来决定顶点的合并和删除。
这些算法通常使用一些误差度量函数，如距离误差、法线误差等，来计算简化后模型与原始模型之间的差异。
5. 基于层次的简化（Hierarchical Simplification）：基于层次的简化算法将模型划分为多个层次，每个层次包含不同级别的细节。
通过设置不同层次之间的联系和转换关系，可以实现在不同细节级别之间的平滑过渡和无缝切换。
这些算法可以单独或组合使用，以适应不同模型的特点和简化需求。
根据具体应用，还可能有其他更复杂和高级的LOD模型简化算法。
集合覆盖问题的模型与算法（PDF）
2013，49（17）1引言集合覆盖问题是组合最优化和理论计算机科学中的一类典型问题，它要求以最小代价将某一集合利用其若干子集加以覆盖。
在现实生产生活中，集合覆盖问题有着众多应用场合，如物流配送、道路定向、工程调度、设施选址、VLSI 设计、网络安全等[1-2]。
遗憾的是，集合覆盖问题在算法复杂性上属于NP-困难问题[3]，即它不存在多项式时间精确算法，除非P=NP 。
因此，近似算法成为求解集合覆盖问题的一个有效途径，其中以Chvátal 的贪心算法[4-5]最为简洁。
后来，学者们又陆续提出过一些近似程度更好的近似算法[6]。
近似算法固然是多项式时间算法，但返回的往往不是最优解，这在许多实际领域当然是不能令人满意的。
事实上，在实际计算中，如果问题的规模相对较小，那么利用一般的线性规划或整数规划方法还是可以较为快速地得到其最优解的。
随着计算机科技的迅猛发展，特别是LINGO 、MATLAB [7-9]等高性能计算软件的成功研发与广泛应用，即便在问题的规模相当大时，人们也仍然能够迅速地求得其最优解。
2问题与模型设基集S ={e 1 e 2 e n }，S 1 S 2 S m 是S 的一族子集，若J Í{1 2 m }，且j ÎJS j =S ，则称{}S j j ÎJ为S 的一个集合覆盖。
问题：求S 的一个基数最小的集合覆盖，其中基数定义为集合中元素的数目。
事实上，{}S jj ÎJ为S 的一个集合覆盖，意指S 中的每一元素都至少含于某一集合S j (j ÎJ )中，即被S j“覆盖”住。
对每一子集S j (j =1 2 m )，引入决策变量：x j ={1 j ÎJ0 否则则可建立如下集合覆盖问题的0-1规划模型IP ：min åj =1mx j s.t.åj :e i ÎS jx j 1 i =1 2 nx j =0 1 j =1 2 m其中约束条件“åj :e i ÎS jx j 1 i =1 2 n ”确保S 中的每一元素e i 都至少被集合覆盖S j (j ÎJ )中的某一集合覆盖住。
python中类似pi的运算的展开式
python中类似pi的运算的展开式在Python中，我们可以使用数学库（如math库）或自行实现算法来计算π的近似值。
这些近似值是通过一个叫做“π的展开式”（也叫π的计算公式）的算法来获得的。
π的展开式是一种无限级数或无理数的表示方法，可以通过累加一系列分数或算术表达式来逼近π的真实值。
其中最著名的两种展开式是莱布尼茨级数和马青公式。
1.莱布尼茨级数（Leibniz series）：莱布尼茨级数是由德国数学家莱布尼茨提出的π的近似计算公式。
根据这个公式，π可以由下面的级数得到：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...莱布尼茨级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现，并且随着级数项的增加，它的近似值越来越接近π/4。
可以通过不断累加和减去级数项来逼近π的真实值。
2.马青公式（Machin's formula）：马青公式是由英国数学家约翰·马青（John Machin）在1706年发现的一种计算π的近似公式。
这个公式使用了三角函数的关系，并通过以下公式计算π：π/4 = 4*arctan(1/5) - arctan(1/239)这个公式中的arctan表示反正切函数，可以使用math库中的atan函数来计算。
通过将这个公式中的两个arctan函数的近似值计算出来，再进行简单的数学运算，就可以得到π的近似值。
除了这两个著名的展开式，还有很多其他的π的计算公式可以用于近似π的值，如欧拉公式、倍角公式等等。
这些展开式的特点是可以通过有限的运算和迭代来逼近π的真实值，但永远无法完全等于π。
它们可以用于一些需要对π进行近似计算的场合，但对于对π有精确要求的计算，这些展开式并不适用。
在实际应用中，我们可以利用这些展开式来编写Python程序来计算π的近似值。
下面是一个使用莱布尼茨级数计算π的示例代码：```pythonimport mathdef calculate_pi(iterations):pi = 0sign = 1for i in range(iterations):term = sign / (2*i + 1)pi += termsign *= -1return 4 * piiterations = 1000000approx_pi = calculate_pi(iterations)print("Approximation of pi:", approx_pi)print("Difference from math.pi:", math.pi - approx_pi) ```在这个示例中，我们使用了一个循环来进行级数的累加，从而计算π的近似值。
基于数据冗余性的近似计算技术
2021年3月计算机工程与设计Mar.2021第42卷第3期COMPUTER ENGINEERING AND DESIGN Vol.42No.3基于数据冗余性的近似计算技术陈折桂】，王晶12+,张伟功"（1.首都师范大学信息工程学院，北京100048；2.首都师范大学北京成像理论与技术高精尖创新中心，北京100048；3.首都师范大学电子系统可靠性技术北京市重V实验室，北京100048）摘要：为解决神经网络中爆炸式增长的数据量所加剧的计算机系统存储墙问题，针对经典近似方法在平衡精确度和开销问题上的不足，提出一种利用相邻数据之间相似特征以及神经网络中数据冗余性的优化方法。
通过分析数据密集型应用的数据特征，提出针对权值的稀疏矩阵压缩，针对输入数据的重复值压缩和相邻小范围浮动数据近似的方案，设计神经网络拓扑感知的冗余数据近似方法，在合理范围内实现数据近似。
实验结果表明，相比于SNNAP方案输出质量平均提高了&16%，压缩率达到51.38%,为提高数据密集型应用的系统加速比提供了可行性&关键词：神经网络；数据冗余；数据相似；近似；压缩中图法分类号：TP302文献标识号：A文章编号：1000-7024（2021）03-0649-07doi：10.16208/j.issnl000-7024.2021.03.008Approximate computing technique based on data redundancyCHEN Zhe-gut,WANG Jin g12+,ZHANG Wei-gong13(rmation Engineering College,Capital Normal University,Beijing100048,China；2.Beijing AdvancedInnovation Center for Imaging Theory and Technology,Capital Normal University&Beijing100048,China；3.Beijing Key Laboratory of Electronic System Reliability Technology,Capital Normal University&Beijing100048,China) Abstract：To address the problem of computer system storage walls exacerbated by the explosive amount of data in neural networks&and aiming at the shortcomings of classical approximation methods in balancing accuracy and cost,an optimization methodusingsimilaritybetweenadjacentdataanddataredundancyinneuralnetworkswasproposed.Byanalyzingthedatacha-racteristics of data-intensive applications&a scheme was proposed for sparse matrix compression for weight&aiming at repeated value compression for input data and approximation for adjacent low dynamic range data&an approximation method of redundant data for neural network topology perception was designed to realize data approximation within a reasonable range.Experimental results show that compared with SNNAP scheme&the output quality is improved by8.16%on average and the compression rate reaches51.38%.Itisfeasibletoimprovethesystemspeedupratiofordata-intensiveapplications.Key words：neural network；data redundancy；similar data；approximate；compress1引言伴随着神经网络应用范围的扩展，近年来涌现出了大量针对不同需求的机器学习框架13*,用于处理现代社会爆炸式增长的信息和数据（随之而来的是数以千计的计算机组成的数据中心，为机器学习框架的执行和数据的处理提供算力支持。
lac分词介绍
lac分词介绍摘要：一、LAC分词简介二、LAC分词原理与算法三、LAC分词在自然语言处理中的应用四、LAC分词的优缺点五、我国在LAC分词领域的研究与发展正文：一、LAC分词简介LAC（Linear Approximation to Context-Free Grammars）分词，即线性近似文法分词，是一种基于概率图模型的中文分词方法。
相较于传统的基于词典的分词方法，LAC分词具有更高的准确率和更强的鲁棒性。
二、LAC分词原理与算法LAC分词基于线性近似文法（Linear Approximation to Context-Free Grammars）模型，通过对上下文无关文法进行线性化处理，将分词问题转化为一个序列标注问题。
LAC分词算法主要包括两部分：1）基于条件随机场（CRF）的序列标注；2）基于统计机器学习（SMT）的解码算法。
三、LAC分词在自然语言处理中的应用LAC分词作为一种高效的分词方法，在自然语言处理领域具有广泛的应用，如文本分类、信息抽取、命名实体识别、情感分析等。
通过将原始文本切分成有意义的词汇单元，LAC分词为后续的自然语言处理任务提供了良好的基础。
四、LAC分词的优缺点优点：1.准确率高，能较好地处理歧义问题；2.鲁棒性较强，对噪声数据和不规范文本具有较好的容忍度；3.适用于大规模文本处理，计算效率较高。
缺点：1.需要大量的训练数据和标注数据；2.模型复杂度较高，不易理解和调整；3.有时会出现过拟合现象。
五、我国在LAC分词领域的研究与发展近年来，我国在LAC分词领域取得了显著的研究成果。
不仅在算法和技术上不断优化和创新，还针对中文语言特点开发了多种具有代表性的LAC分词工具，如清华大学的THULAC、北京大学的LCF和上海交通大学的SegInfer 等。
这些研究成果为我国自然语言处理领域的发展奠定了坚实基础。
综上所述，LAC分词作为一种先进的中文分词方法，在自然语言处理领域具有广泛的应用前景。
连续接近法
连续接近法连续接近法（ContinuousApproximationMethod，CAM）是一种数值计算方法，用于求解复杂的非线性方程组、微分方程组、微分型不等式等数学问题。
它用于近似计算求解数学问题，是一种经典的数值计算方法和技术，在科学与工程中有广泛的应用。
数值计算的历史可以追溯到古代，但是连续接近法则是在20世纪初提出的。
美国著名数学家德尔马拉尼亚斯密斯（Tullio de Mauro Smise）在1924年的作品《有限差分算法的物理基础》中首次提出了连续接近法。
他把微分方程解决问题的过程比喻成一波波不断接近着精确解的运动，他在这本书中提出了一种新的计算方法：连续接近法，也就是在一定距离内不断地向精确解逼近，最终找到解决问题的近似值。
此后，连续接近法发展迅速。
心理学家加里施瓦兹在推断中应用连续接近法，微波工程界有关电磁场解析和网络分析的行业问题，也用连续接近法解决，使用精度大大提高。
连续接近法具有很多优点。
首先，连续接近法的计算精度很高，可以满足科学研究的要求，特别是与数值模拟近似计算的精度比较足够高，可以用于近似计算大规模复杂的问题。
其次，它简单、实用，无论是算法设计、方程实现还是计算结果，都具有高度的可操作性和实用性。
此外，连续接近法灵活，可以适用于线性和非线性的各种方程，以及复杂的系统。
另外，连续接近法的应用也非常广泛。
它可以用于热力学，非线性动力学，生物学，化学，地质学等多学科领域，用于解决复杂的计算问题。
它可以被用于气象学，特别是气候变化中的研究。
另外，它也可以应用于常微分方程和偏微分方程，对于寻求各种类型椭圆、超椭圆，以及无穷多类型椭圆超椭圆方程，都有着比较好的效果。
总之，连续接近法是一种有效的计算方法，可以被用于科学研究和工程应用中，其优点是可以得到更精确强有效的解决方案，而且它简单实用，可以满足大规模复杂问题的需求，值得推荐。
随机容错设施布局问题的近似算法
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Introduction
In the classical facility location problem (FLP), we are given a set of locations F and a set of clients D. We need to open some facilities at some locations and connect each client to an open facility. We can only open one facility at each location i ∈ F with an opening cost fi . Connecting client j to facility i (or location i) incurs a connection cost cij . All the connection costs constitute a metric. The objective is to minimize the total cost including the opening cost and connection cost. Since the problem is NP-hard, many researchers are interested in designing approximation algorithms[1−3] . The currently best approximation ratio is achieved by the 1.488-approximation algorithm of Li[4] . Guha and Khuller[5] prove that the approximation lower bound is 1.463. The LP-rounding technique is one of the main techniques for designing the approximation algorithms[6−8]. For other variants of the FLP, we refer to [9-14] and the references therein. One of the variants of the FLP is the fault-tolerant facility location problem (FTFL), which is introduced by Jain and Vazirani[15] . In the FTFL, each client j has an integer requirement rj . The objective is to open some facilities and connect each client j to rj different open facilities so that the total opening cost and connection cost is minimized. The FTFL is reduced to the FLP if rj = 1 for all j . There are some approximation algorithms for the FTFL[16−18] . The currently best ratio for the FTFL is 1.7245[16]. Another variant of the FLP is the fault-tolerant facility placement problem (FTFP) which is different from the FTFL in that we can open any number of different facilities with the same opening cost at each location ([19]). Similarly to the FTFL, each client j has an integer requirement rj . But connecting client j to different facilities at the same location is permitted. The objective is to open some facilities and connect each client j to rj different facilities such that the total cost is minimized. Apart from the deterministic FLP, there are many works in the stochastic version. Among the most popular models in stochastic facility location problem is the two-stage stochastic facility location problem (SFLP) with recourse in which the set of clients are unknown in advance ([20]). But there are finite scenarios materialized by a probability distribution. Each scenario specifies a subset of clients to be assigned. Moreover, each facility has two kinds of opening cost. One arises in Stage I and the other is scenariodependent arising in Stage II called recourse cost. Typically, the recourse cost varies under different scenarios and is greater than that in Stage I. The objective is to open some facilities in Stage I and II and assign each client in each scenario to an open facility in Stage I or the corresponding scenario in Stage II so as to minimize the total expected cost over both stages. Ravi and Sinha[20] give an LP-rounding 8-approximation algorithm for the SFLP. In this paper, we study the stochastic fault-tolerant facility placement problem (SFTFP).
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
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for j = 1 to n { i = argmink Lk J(i) ← J(i) ∪ {j} L i ← Li + t j } }
machine i has smallest load assign job j to machine i update load of machine i
11
Load Balancing: LPT Rule
list scheduling makespan = 19
9
Load Balancing: List Scheduling Analysis
Q. Is our analysis tight? A. Essentially yes. Ex: m machines, m(m-1) jobs length 1 jobs, one job of length m
Load balancing. Assign each job to a machine to minimize makespan.
4
Load Balancing: List Scheduling
List-scheduling algorithm. Consider n jobs in some fixed order. Assign job j to machine whose load is smallest so far.
6
Load Balancing: List Scheduling Analysis
Theorem. Greedy algorithm is a 2-approximation. Pf. Consider load Li of bottleneck machine i. Let j be last job scheduled on machine i. When job j assigned to machine i, i had smallest load. Its load before assignment is Li - tj ⇒ Li - tj ≤ Lk for all 1 ≤ k ≤ m.
LPT-List-Scheduling(m, n, t1,t2,…,tn) { Sort jobs so that t1 ≥ t2 ≥ … ≥ tn for i = 1 to m { Li ← 0 J(i) ← φ }
load on machine i jobs assigned to machine i
k=4
r(C)
center site
15
Center Selection Problem
Input. Set of n sites s1, …, sn. Center selection problem. Select k centers C so that maximum distance from a site to nearest center is minimized. Notation. dist(x, y) = distance between x and y. dist(si, C) = min c ∈ C dist(si, c) = distance from si to closest center. r(C) = maxi dist(si, C) = smallest covering radius.
Q. Is our analysis tight? A. Essentially yes. Ex: m machines, m(m-1) jobs length 1 jobs, one job of length m
machine 2 idle machine 3 idle machine 4 idle m = 10 machine 5 idle machine 6 idle machine 7 idle machine 8 idle machine 9 idle machine 10 idle
Approximation Algorithms
Q. Suppose I need to solve an NP-hard problem. What should I do? A. Theory says you're unlikely to find a poly-time algorithm. Must sacrifice one of three desired features. Solve problem to optimality. Solve problem in poly-time. Solve arbitrary instances of the problem.
ρ-approximation algorithm. Guaranteed to run in poly-time. Guaranteed to solve arbitrary instance of the problem Guaranteed to find solution within ratio ρ of true optimum.
Input. m identical machines; n jobs, job j has processing time tj. Job j must run contiguously on one machine. A machine can process at most one job at a time.
Theorem. [Graham, 1966] Greedy algorithm is a 2-approximation. First worst-case analysis of an approximation algorithm. Need to compare resulting solution with optimal makespan L*.
blue jobs scheduled before j
machine i
j
0
Li - tj
L = Li
7
Load Balancing: List Scheduling Analysis
Theorem. Greedy algorithm is a 2-approximation. Pf. Consider load Li of bottleneck machine i. Let j be last job scheduled on machine i. When job j assigned to machine i, i had smallest load. Its load before assignment is Li - tj ⇒ Li - tj ≤ Lk for all 1 ≤ k ≤ m. Sum inequalities over all k and divide by m:
Challenge. Need to prove a solution's value is close to optimum, without even knowing what optimum value is!
2
11.1 Load Balancing
Load Balancing
machine i has smallest load assign job j to machine i update load of machine i
Implementation. O(n log n) using a priority queue.
5
Load Balancing: List Scheduling Analysis
▪
≤ 1 L* 2
Lemma 3 ( by observation, can assume number of jobs > m )
€
12
Load Balancing: LPT Rule
Q. Is our 3/2 analysis tight? A. No.
Theorem. [Graham, 1969] LPT rule is a 4/3-approximation. Pf. More sophisticated analysis of same algorithm. Q. Is Graham's 4/3 analysis tight? A. EБайду номын сангаасsentially yes. Ex: m machines, n = 2m+1 jobs, 2 jobs of length m+1, m+2, …, 2m-1 and one job of length m.
m = 10
optimal makespan = 10
10
Load Balancing: LPT Rule
Longest processing time (LPT). Sort n jobs in descending order of processing time, and then run list scheduling algorithm.
Lemma 1. The optimal makespan L* ≥ maxj tj. Pf. Some machine must process the most time-consuming job. ▪
1∑ t . Lemma 2. The optimal makespan L * ≥ m j j Pf. The total processing time is Σj tj . One of m machines must € do at least a 1/m fraction of total work. ▪
Li − tj
Lemma 1
1 ∑ L ≤ m k k 1 ∑ t = m k k ≤ L*