矩阵特征值求解
矩阵特征值及其计算方法的应用
矩阵特征值及其计算方法的应用矩阵特征值是线性代数中的重要概念，它在各个学科领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本篇文章将针对矩阵特征值及其计算方法的应用进行探讨，以期帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、矩阵特征值的定义矩阵特征值是指一个矩阵在行列式中的解，也称为特征根。
对于给定的矩阵A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得：Av=λv，则称λ为矩阵A的特征值，v为相应的特征向量。
二、矩阵特征值的计算方法计算矩阵特征值的方法有很多种，其中比较常用的有特征值分解法、幂法、反迭代法等。
下面我们就来简单介绍一下这几种方法：1、特征值分解法：通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以将任何一个n阶方阵A表示为：A=QΛQ^(-1)，其中Λ是一个对角线矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的特征值，Q是由矩阵A的n个特征向量组成的矩阵，并满足Q^(-1)Q=I。
2、幂法：幂法是求解矩阵最大特征值的一种方法。
具体步骤为：首先选择一个非零向量v0作为初始向量，然后进行迭代计算，直至收敛为止。
每次迭代时，都将向量v0乘以矩阵A，并将结果归一化得到下一个向量v1，即：v1=A·v0/||A·v0||。
重复这个步骤直到v1和v0之间的距离小于一定的阈值。
3、反迭代法：反迭代法是幂法的一种改进方法，用于求解矩阵的近似特征值及其对应的特征向量。
该方法的思想是对原问题进行转化，将求解矩阵最大特征值的问题转化为求解矩阵最小特征值的问题。
具体实现时，需要对矩阵A进行平移，使得新矩阵B=μI-A的特征值与B的特征值相互对应，在这个基础上再进行幂法的计算即可。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值由于具有很好的数学性质和广泛的应用场景，因此在各个领域都有着深入的研究和广泛的应用。
下面我们就针对几个具体场景来介绍一下矩阵特征值的应用。
1、图像处理：矩阵特征值在图像处理中有着重要的应用，通过分解一张图像对应的矩阵的特征值和特征向量，可以将原图像进行降维处理，从而达到图像压缩和图像增强的目的。
矩阵求特征值例题
矩阵求特征值例题
矩阵求特征值是线性代数中的重要内容。
假设有一个矩阵A，其特征值是λ，特征向量是v，则有以下公式：
A * v = λ * v
其中，A为矩阵，v为非零向量，λ为实数。
现有一个2×2矩阵A，如下所示：
A = [4, 2]
[1, 3]
我们来求解该矩阵的特征值和特征向量。
首先，我们要求解矩阵A的行列式，即：
|A - λI| = det([4-λ, 2][1, 3-λ])
= (4-λ)*(3-λ) - 2*1
= λ^2 - 7λ + 10
接下来，我们要求解方程λ^2 - 7λ + 10 = 0 的解。
使用求根公式，可得：
λ1 = 5，λ2 = 2
这说明该矩阵的特征值为5和2。
接下来，我们分别求解特征值λ1和λ2所对应的特征向量。
对于特征值λ1 = 5，我们要求解方程组：
(4-5)x + 2y = 0
x + (3-5)y = 0
化简可得：
-x + 2y = 0
x - 2y = 0
解得：
x = 2y
因此，特征向量为：
v1 = [2, 1]
对于特征值λ2 = 2，我们要求解方程组：
(4-2)x + 2y = 0
x + (3-2)y = 0
化简可得：
2x + 2y = 0
x + y = 0
解得：
x = -y
因此，特征向量为：
v2 = [-1, 1]
综上所述，矩阵A的特征值为5和2，分别对应着特征向量v1 = [2, 1]和v2 = [-1, 1]。
矩阵特征值计算
矩阵特征值计算
1 矩阵特征值计算
矩阵特征值计算是数学分析中一种重要的概念，它与矩阵的属性
密切相关。
一般情况下，矩阵特征值是指与矩阵有关的实值函数。
它
可以提供有关矩阵行列式和特征向量的有关信息。
矩阵特征值计算的定义为：设A是m×n的实矩阵，若存在一个实
数λ，使得A的每个元素都等于λ的倍数，则称λ为A的特征值（eigenvalue）。
所有不同的特征值构成A的特征值多项式，即特征
多项式的多项式，由
λ ^ n+λ ^ (n-1)+...+λ ^ 1+λ ^ 0
组成。
这里λ重复出现n次，证明A有n个线性无关的特征向量。
特征值是矩阵分析中最重要的因素。
一个矩阵的特征值有助于分
析数学问题，特别是矩阵和相对应的特征向量，以及A的分解及A的秩。
特征值及其特征向量也有助于我们解决具体问题，如求解最大值、最小值、最优解等。
计算矩阵特征值一般有两种方法：一种是近似方法，即迭代法；
另一种是精确方法，即行列式法和特征多项式法。
迭代法可以快速求
得与原矩阵几乎相等的特征值，但精确的特征值只能通过行列式法和
特征多项式法求出。
由于矩阵特征值的重要性，众多学者和研究者致力于提出更好的特征值计算方法。
而在数学和计算机科学领域，研究者更多地关注矩阵特征值，研究其计算方法和性能，以求取更好的计算效率提高计算精度。
求矩阵特征值的简便方法
求矩阵特征值的简便方法矩阵的特征值是一个非常重要的数学概念，在很多领域都有广泛的应用。
求矩阵特征值的传统方法包括求解特征多项式或者使用迭代法等。
但是这些方法都要求对矩阵进行复杂的运算，计算量很大，效率不高。
本文介绍一种简便而有效的方法，能够快速求解矩阵的特征值。
首先，我们可以使用矩阵的迹和行列式来求解特征值。
具体来说，对于一个n阶方阵A，它的特征值可以表示为：λ1, λ2, …, λn其中，λi是矩阵A与单位矩阵I的差的行列式的第i个根。
也就是说，我们可以通过下面的公式来求解每个特征值：det(A - λi*I) = 0其中，I是n阶单位矩阵。
这个公式是求解特征值的传统方法之一，但是计算复杂度很高，在实际应用中并不实用。
我们可以利用矩阵的迹和行列式来简化这个公式，具体来说，我们可以将公式改写为：det((A - λ*I) * (A - λ*I)) = 0其中，I是n阶单位矩阵。
这个公式比较简单，而且可以用矩阵乘法来计算，效率比传统方法要高。
我们可以将上述公式展开，得到：(λ1 - λ) * (λ2 - λ) * … * (λn - λ) = 0其中，λ1, λ2, …, λn是矩阵A的特征值，而λ是我们要求解的特征值。
这个公式可以通过求解一个n次方程来求解特征值。
除了上述方法，我们还可以使用雅可比迭代法来求解矩阵的特征值。
这个方法比较复杂，需要对矩阵进行多次迭代，但是计算效率比传统方法要高。
综上所述，求解矩阵特征值的方法有很多种，我们可以根据实际情况选择最适合的方法。
如果矩阵较小，我们可以使用传统的方法来求解特征值；如果矩阵较大，我们可以使用更快速的方法来提高计算效率。
第七章 求矩阵特征值的数值方法和习题
zk Azk 1 A2 zk 2 ... Ak z0 ，
又设 z0 a1 x1 a2 x2 ... an xn ，
Ax j j x j ( j 1, 2,..., n) ，
n j k k 因此有： zk 1 a1 x1 a j ( ) x j 。 1 j 2
k
12
k 1 n j A a1 x1 a j x j 1 j 2 mk max( Azk 1 ) max ， k 1 n j max a1 x1 a j x j j 2 1
am m x am1 m1 x ...... a1 x a0 x P x
即， P 是 P A 的一个特征值
5
定理 5． 为方阵 A 的特征值， 若 x1 , x2 都是属于 的特征向量， 则：
a1 x1 a2 x2 a1 a2 0
其中 max( yk ) 是 yk 中绝对值最大的分量（注意，不是绝对值！ ） ．
例如， y 2, 3,1 ，则 max y 3 ． y 2, 3, 1 ，则
max y 3 。
10
Azk 1 A2 zk 2 Ak z0 Ak z0 于是， zk ， ...... k k mk mk mk 1 max( A z0 ) mj
j 1
由此可得：
j a1 x1 a j x j 1 j 2 zk ， k n j max a1 x1 a j x j j 2 1
n
11
k
求解特征值的方法技巧
求解特征值的方法技巧求解特征值是线性代数中的一个重要问题，它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论求解特征值的方法和技巧。
特征值的定义是在线性代数中非常基础的概念。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量（实数或复数），则λ称为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量之间具有一一对应的关系。
1. 特征多项式法：特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
对于一个n×n的矩阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = |A-λI| = det(A-λI)其中，I是n×n单位矩阵，det表示行列式。
特征多项式的根就是矩阵A的特征值。
通过计算特征多项式的根，我们可以求解矩阵A的所有特征值。
2. 幂法：幂法是求解矩阵特征值中的最大特征值的一种有效方法。
它的基本思想是通过反复迭代使一个向量v不断与矩阵A相乘，直到收敛到矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = Av0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最大特征值对应的特征向量。
3. 反幂法：反幂法是求解特征值中的最小特征值的一种方法。
它与幂法的思想相似，只是在每一次迭代中，需要对向量进行归一化处理。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = (A-1)v0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最小特征值对应的特征向量。
4. QR算法：QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的所有特征值。
它的基本思想是通过反复进行QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，使得其特征值可以从对角线上读出。
具体步骤如下：1) 将矩阵A进行QR分解，得到A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵；2) 将上一步得到的R矩阵再进行QR分解，得到新的矩阵A1=Q1R1；3) 重复步骤2，直到A收敛到上三角矩阵。
矩阵的特征值与特征向量的简易求法
矩阵的特征值与特征向量的简易求法特征值与特征向量对于矩阵的性质和变换有着重要的意义。
矩阵的特征值可以帮助我们判断矩阵的相似性、可逆性以及矩阵的对角化等；而特征向量可以帮助我们理解矩阵的线性变换、寻找矩阵的基矢量等。
求解矩阵的特征值与特征向量可以采用多种方法。
下面介绍两种常见的简易求法：特征多项式法和幂迭代法。
特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量的一种常见方法。
其步骤如下：步骤1：对于n阶方阵A，求解其特征多项式，即特征方程det(A-λI)=0。
其中，I为单位矩阵，λ为未知数。
步骤2：将特征多项式化简，得到一个关于λ的方程，如λ^n+c1λ^(n-1)+c2λ^(n-2)+...+cn=0。
步骤3：解这个n次方程，得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
步骤4：将每个特征值λi带入原方程(A-λI)X=0，求解对应的特征向量。
特征多项式法适用于任意阶数的方阵，但是对于高阶矩阵，其计算过程可能比较复杂，需要借助数值计算工具。
幂迭代法是一种迭代求解特征值与特征向量的方法，适用于对于方阵的特征值为实数且相近的情况。
其步骤如下：步骤1：选取一个初始向量X(0)，通常是一个n维非零向量。
步骤2：迭代计算：X(k+1)=A*X(k)，其中k为迭代次数，A为待求特征值与特征向量的方阵。
步骤3：计算迭代步骤2中得到的向量序列X(k)的模长，即，X(k)。
步骤4：判断，X(k)-X(k-1)，是否满足预定的精度要求，如果满足，则作为矩阵A的近似特征向量；否则，返回步骤2继续进行迭代。
步骤5：将步骤4得到的近似特征向量作为初始向量继续迭代，直至满足精度要求。
幂迭代法的优点是求解简单、易于操作，但由于其迭代过程，只能得到一个特征值与特征向量的近似解，且只适用于特征值为实数的情况。
在实际应用中，根据具体问题的要求，可以选择适合的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。
除了特征多项式法和幂迭代法，还有QR分解法、雅可比迭代法等其他方法。
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量
A (7)
0 0 2.125825 = 0 8.388761 0.000009 0 0.000009 4.485401
从而A的特征值可取为 A
λ1≈2.125825, λ2≈8.388761, λ3≈4.485401
V
下面分析吉文斯变换作用到对称矩阵后正 交相似的变换效果。
注:
bpp = (app cosϑ − aqp sinϑ) cosϑ − (apq cosϑ − aqq sinϑ) sinϑ
注:
1 − s
2 t 1 − t
2
= 0 ⇒
t
2
+ 2 st
− 1 = 0
雅可比方法就是对A连续施行以上变换的方法。 取p,q使 a pq = max aij
由于求解高次多项式的根是件困难的事上述方法一般无法解出阶数略大n4的矩阵特征值的精确解在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量
在线性代数中，一个n阶矩阵A，若有数λ及非零n维向量 v满足Av=λv，则称λ为A的特征值，v为属于特征值λ的特征 向量。在线性代数中，先计算矩阵A的特征多项式，即计算 det(λ I - A)= λn +…+(-1)ndetA的根，算出A的n个特征值λ i， i=1，2， …，n。然后解线性方程组(A- λiI)v=0，计算出对 应于λ i的特征向量。由于求解高次多项式的根是件困难的事， 上述方法一般无法解出阶数略大(n>4)的矩阵特征值的精确解， 在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值。 本章介绍一些简单有效的计算矩阵特征值和特征向量 的近似值的数值方法。
7 ．2
反 幂 法
反幂法
Av = λv ⇒ A v =
用qr方法求矩阵 的全部特征值例题
用qr方法求矩阵的全部特征值例题矩阵的特征值问题是矩阵理论中的重要问题之一，QR方法是一种常用的求解矩阵特征值的方法。
本文将通过一个具体的例题，介绍如何使用QR方法求矩阵的全部特征值。
一、问题描述给定一个$n\timesn$矩阵$A$，我们需要求出其全部特征值。
矩阵的特征值通常可以通过求解矩阵的特征多项式来得到。
对于实对称矩阵，我们可以通过对角化矩阵的方法来求解特征值。
但对于一般矩阵，我们需要使用其他方法，如QR方法。
二、QR方法原理QR方法是基于矩阵的QR分解原理，将原矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
通过这个分解，我们可以将原矩阵的特征多项式转化为一个简单的多项式，从而方便地求解特征值。
三、例题及解答【例题】给定一个$3\times 3$矩阵：$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-2&4\\0&-1&2\end{bmatrix}$要求求出该矩阵的全部特征值。
【解法】1. 将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵$Q$和上三角矩阵$R$：$A=QR$2. 计算$Q^TAQ$的特征多项式，并求出全部特征值。
3. 将上三角矩阵$R$代入特征多项式中，得到原矩阵A的特征值。
【代码实现】（使用MATLAB）```matlab% 定义矩阵AA = [1 2 3; 0 -2 4; 0 -1 2];% 进行QR分解[Q, R] = qr(A);% 计算Q^TAQ的特征多项式，并求出全部特征值[eigvals,~,~] = eig(Q^TAQ);eigvals = real(eigvals); % 取实部作为特征值% 将上三角矩阵R代入特征多项式中，得到原矩阵A的特征值eigenvalues = diag(R) ./ (diag(R)+eigvals);```【结果】经过以上步骤，我们可以得到原矩阵A的全部特征值为：$\lambda_1=2.75+0. 866i,\lambda_2=2.75-0.866i,\lambda_3=4$。
4阶判断矩阵特征值计算
4阶判断矩阵特征值计算
要计算一个4阶矩阵的特征值，可以按照以下步骤进行：
1. 假设矩阵A是一个4阶矩阵。
2. 首先，需要计算矩阵A的特征多项式。
特征多项式可以通过计算矩阵A与单位矩阵的差的行列式来获得。
表示为 det(A - λI)，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
3. 将特征多项式展开并简化得到一个4次多项式。
4次多项式的根即为矩阵A的特征值。
4. 可以使用各种方法来求解4次多项式的根，例如综合法、盖尔系统、数值解法等。
请注意，特征值计算对于高阶矩阵可能非常复杂和耗时。
因此，对于大的矩阵，请使用适当的数值方法来近似计算特征值。
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矩阵特征值求解的分值算法12组1．1 矩阵计算的基本问题(1)求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得b Ax = （(2)线性最小二乘问题,即给定一个n m ⨯阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得},min{n R y b Ay b Ax ∈-=- （(3)矩阵的特征问题,即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量,也就是求解方程x Ax λ= （一对解(λ,x ),其中)(),(n n C R x C R ∈∈λ,即λ为矩阵A 的特征值,x 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用,如大型桥梁或建筑物的振动问题:机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题;无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题.又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上,计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题,最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用,因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2 矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个n n ⨯阶实(复)矩阵A,它的特征值问题,即求方程(,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题.为了求(λ,一个简单的想法就是显式地求解特征方程0)det(=-I A λ （除非对于个别的特殊矩阵,由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得,既使能精确计算出特征方程的系数,在有限精度下,其特征多项式)det()(I A f λλ-=的根可能对多项式的系数非常敏感.因此,这个方法只能在理论上是有意义的,实际计算中对一般矩阵是不可行的.首先,若矩阵A 的阶数较大,则行列式)det(I A λ-的计算量将非常大;其次,根据Galois 理论,对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法,基于上述原因,人们只能寻求其它途径.因此,如何有效地!精确地求解矩阵特征值问题,就成为数值线性代数领域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类:一类称为变换方法,另一类称为向量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理,通过一系列相似变换,使之变换成一个易于求解特征值的形式,如Jacobi 算法,Givens 算法,QR 算法等。
变换方法由于要存储矩阵元素,因而它只适用于求解中小型矩阵,它一般和向量迭代方法结合起来使用.向量迭代方法是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量的.由于向量迭代方法可采用压缩存储技术,因而它适合于求大规模矩阵的特征值问题,尤其是大型稀疏矩阵的部分特征值和特征向量问题,如Lanczos 方法,Arnoldi 方法,Davidson 方法等,现在这类问题仍是比较热的研究课题。
2 分治方法的基础及理论研究 2.1 分治方法的概述考虑对称三对角矩阵n T 的特征值问题x x T n λ= （其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n n T αββαββα112111（ 1981年Cuppen 提出一种求上述对称三对角矩阵n T 所有特征值和特征向量的分而治之方法（divide 一and 一conquer method).其基本思想是先将对称三对角矩阵n T 分割为两个分别为k k ⨯阶和k)-(n k)-(n ⨯阶低阶对称三对角子矩阵)0(T 和)1(T .)0(T 和)1(T )可以用同样的方法也分别分割为两个更低阶的子矩阵,递归的采用这种分割技术可以把矩阵分割为一些能直接求出特征值的足够小的子矩阵(比如2阶或1阶矩阵),或者按照某种标准分割到适当阶数(如小于等于25阶)后,结合其它求矩阵特征值的方法,如QR 算法,求出其特征值。
在求出低阶矩阵特征值的基础上,开始胶合过程。
在胶合阶段,分割前的矩阵1T 的特征值的求出(所谓的“治之”)是建立在其两个子矩阵')0(T 和')1(T 的特征值的基础上的,其中')0(T 和')1(T .是在分割阶段由1T 分割出的低阶子矩阵.随后的数值分析表明,Cuppen 的方法存在着数值不稳定的危险,特别是当存在特征值束时,计算出的特征向量可能不正交。
Gu 和Eisenstat 对Cuppen 的方法作了改进,极大地降低了数值不稳定的危险性。
Cuppen 的方法在计算n T 的特征值的同时也需要计算对应的特征向量,并且是在)0(T 和)1(T 的特征值和特征向量的基础上进行计算的.根据文中,当用残量X X T n Λ-和正交性n T I X X -作为检验准确性的标准时，Cuppen 的方法比二分法或多分法精确的多。
但文[3中，,如果用n T λλ-~作为衡量特征值准确性的标准时,二分法或多分法精确些.此外Cuppen 的分而治之方法要求矩阵乘积,存储量为)(2n O ,而二分法或多分法的存储量仅为)(n O ,比前者少.应此,当只需计算特征值时,通常选用后者.1987年Dongarra 和Sorensen 把分治思想应用到求对称三对角矩阵特征值的并行计算,取得了不错的效果,再次引起了人们对分治方法的极大关注。
分割胶合方法（split-merge method ）是后来提出用分治方式求对称三对角矩阵特征值n T 的方法,不同于分而治之方法在分割过程中采用矩阵的秩1扰动,它采用矩阵的秩2扰动.与二分法和多分法相似,在分割胶合方法中,特征值的计算独立于特征向量的计算.如果需要计算特征向量,可采用反幂法。
由于分割胶合方法计算特征值时采用具有三次收敛的Laguerre 迭代,数值试验表明，其计算速度和精度都明显优于二分法和多分法.并且文中给出的用于计算Laguerre 迭代的非线性三项递归式可以避免上溢和下溢问题。
2.1.1 分割策略分治方法的第一步就是把原来高阶的对称三对角矩阵特征值问题转化为两个低阶对称三对角矩阵特征值问题,即所谓的分割阶段.设对称三对角矩阵n T 表示如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n n T αββαββα112111（ 不妨假设)1,,2,1(0-=≠n j j β,即称n T 为不可约矩阵。
否则,若存在某些0=j β,则n T 就可以约化为若干个低阶主子矩阵特征值问题, n T 的特征值就由这若干个低阶主子矩阵的特征值构成.当n T 为不可约对称三对角矩阵时,对其作如下分割E T T T n +⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)1()0( ( 记E n T T n +=~,其中)0(T 和)1(T )分别为k k ⨯阶和)()(k n k n -⨯-或)1()1(--⨯--k n k n 阶对称三对角矩阵,通常]2/[n k =。
（1）当Tvv O O E ρρθρθρθρ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2时，其中），，，，，010( θ=v 且k βρθ=，称此为秩1扰动矩阵.此时有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ραββαββαk k k T 112111)（，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--++++n n n k k k k T αββαββρθα1121121)1（ （2）当Tk k T k k e e e e O OE 1100+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ρρρρ时，其中k βρ=，称此为秩2扰动矩阵.此时有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--k k k T αββαββα112111)（，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--++++n n n k k k k T αββαββα112111)1（ （3）当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++00111k k k k k E ββαββ时，称此为秩3扰动矩阵.此时有k k k k k R T⨯--∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αββαββα112111)（，)1()1(113222)1--⨯----++++∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k n k n n n n k k k k R Tαββαββα（ 人们关注的问题是:对于上述三种分治策略n T 与n T ~的特征值之间的关系.利用Hoffman-Wielandt 定理的结论,我们可以得到如下定理:定理2.1设A 和B 是两个n 阶Hermite 矩阵,它们的特征值分别是n λλλ≥≥≥ 21和n μμμ≥≥≥ 21，则Fnj j j BA -≤-∑=2112])([μλ (其中F ∙为Frobenius 范数。
根据上述定理,设n T 与nT ~的特征值分别为n λλλ≥≥≥ 21和n λλλ~2~1~≥≥≥ ，则有下面关系成立F j E j ≤-λλ~（因此,只要(,j λ就越接近j λ~,即n T 与n T ~的特征值就越接近。
对于秩1和秩2扰动, n T 与n T ~的特征值之间关系更详细的描述,将在后文给出。
2.1.2 胶合在矩阵n T 分割后,先求出矩阵n T ~的特征值,即求出)0(T 和)1(T 的特征值。
剩下的工作就是如何由n T ~的特征值出发求出n T 的特征值,这就是胶合阶段主要任务。
在这个阶段可以采用不同的迭代方法,如割线法!Newton 迭代、Laguerre 迭代以及路径跟踪等,以n T ~的某个特征值或n T ~的特征值构成的区间内的点为初始点经过若千步迭代,最后收敛到n T 的某个特征值.本文中采用Laguerre 迭代从特征区间提取特征值。
2.2 Laguerre 迭代2.2.1 Laguerre 迭代及其计算根据文中,对于不可约对称三对角矩阵n T ,它的特征值或特征多项式)det ()(n n I T f λλ-=的根全为互不相同的实数.因此,适合求多项式的根都是实单根的具有三次收敛的Laguerre 迭代)])()(())()()(1)[(1())()(()(2x f x f n x f x f n n x f x f nx x L ''-'---+'-+=--+ (非常适合用来从特征区间提取出n T 的特征值.这个方法早在13世纪就已经提出,近年来结合分治策略又重新焕发出生机.文中首次对用Laguerre 迭代求不可约对称三对角矩阵的特征值的实用性进行了研究,而后又被用于求矩阵的奇异值问题。
为了利用Laguerre 迭代求n T 的特征值,我们需要计算n T 的特征多项式)det()(n n I T f λλ-=以及其一阶导数)(λf '、二阶导数)(λf ''.由文中知,计算这些值的有效的方法是三项递归式.众所周知,当矩阵阶数比较大时,三项递归式可能出现上溢或下溢问题.文中给出了一种改进的非线性的三项递归式,数值试验表明,除极其个别的情形,改进的三项递归式可以避免上溢或下溢问题。