第章矩阵特征值的计算
矩阵特征值与特征向量计算
向量的∞-范数
,
向量的规范化
, k 1, 2, (3.9)
当 |k -k-1| /k ≤ 时，迭代结束，以当前的 k 作为 1 的近似 值，以 yk-1作为属于 1 的特征向量。
例1 求下矩阵的最大特征值及所属特征向量.
误差为0.0001.
6 A 21 12 12 3 12 6 24 51
注:
(1)有些实际问题只需要求出按模最大的特征值和 相应的特征向量，有的要求出全部的特征值和相应的 特征向量。 对于不同的问题有不同的解法。 (2)关于计算A的特征值问题，当n=2，3时，可按 行列式展开的方法求出φ()=0的根，但当n较大时，如 果再按行列式方法求，首先求出φ()的系数，再求φ() 的根，工作量就非常大，用这种方法求φ()的根是不 切实际的，因此需要研究A的特征值及特征向量的数值 解法。 (3)本章将介绍计算机上常用的两类方法，一类是 幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的 方法（变换法）。
2
(b xT 1 1 b1 x1T
2 T
) A (b x )
1 1 2
b1 x1
T
2
b1 x1 x1 b1 x1
2 2
1
1 .
第一种幂法迭代格式:
任取非零向量u0 ,
T uk 1uk 1 k 1 yk 1 uk 1 / k 1 uk Ayk 1 T k yk 1uk
k 0,1, 2,
任取初始值 u 0
y0 u0 u0 ,
0,
u 1 Ay 0
Au 01
Au 0 Au 0
2 2
,
u 2 Ay 1
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
第8章 矩阵特征值计算
第八章 矩阵特征值计算1 特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。
另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.1 特征值问题及性质设矩阵n n ⨯∈A R （或n n ⨯C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使λ=Ax x (1.1)其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。
求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程()det()0p I λλ=-=A (1.2)的根。
因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能是迭代法。
反之，有时为了求多项式111()n n n n q a a a λλλλ--=++++的零点，可以把()q λ看成矩阵123101010n a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征多项式（除(1)n -因子不计）。
这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。
矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。
本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。
在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。
定理1 设n n R ⨯∈A ，则(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特征值；(2) 设12,,,n λλλ是A 的特征值，()p x 是一多项式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλ。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
矩阵的相似变换(第一章)
10，A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11，如果n阶方阵A有那个不同的特征向量，则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1，Jordan块：Ji=
2，Jordan阵：J=
3，A的Jordan标准形，设 ，则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ，有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形。
（3）A为正规阵，λ是A的特征值，x是对应特征向量，则 为AH的特征值，对应特征向量为xH。
（4）A为正规阵，不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵：
设A 是Hermite矩阵，若任意0≠x n都有xHAx＞0（或xHAx≥0），则称A是Hermite正定（半正定）矩阵。
（3）行列式因子法：设A（λ）的秩为r，m×n阶，1≤k≤n，则A（λ）的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk（λ）称为A的k阶行列式因子。Dk（λ）=d1（λ）d2（λ）…dk（λ）。
第一步：求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk（λ）。
第二步：求dk（λ）（k=1，2，…，n）并并求出A的不变因子。
7，设A 是Hermite矩阵，则，下列条件等价：
（1）A是Hermite正定矩阵（2）A的特征值全为正实数（3）存在P ，使得A=PHP
（1）A是Hermite半正定矩阵（2）A的特征值全为非负实数（3）存在P ，使得A=PHP。
第一步：将A写成A（λ），即λI-A
第二步：用初等变换法将矩阵化为如下形式：（smith标准型）
其中di（λ）/di+1（λ）可整除
矩阵特征值与特征向量的计算方法
矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。
在许多问题中，矩阵和线性变换起着重要作用，并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得A与x的线性组合仍然是x的倍数，即有Ax = λx其中λ为常数，称λ为A的特征值，x为对应于λ的特征向量。
从几何意义上理解，特征向量是不被矩阵变换影响方向，只被影响长度的向量。
特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。
证明：设x为A的特征向量，有Ax=λx，则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数，因此cx也是A的特征向量。
特别地，对于λ≠0时，x/λ也是A的特征向量。
2. A的特征值的个数不超过n个。
证明：考虑特征值λ1, λ2,…,λt，对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。
利用向量线性无关性可得，至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内，此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合，因此Ay与y方向没有重合部分，由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。
3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线，则它们就可以作为Rn空间的一组基。
证明：设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量，考虑它们张成的向量空间V，在此空间中，A的作用就是对向量做伸缩变换，且Λ(xj) = λj。
对于每个向量y ∈ V，y可以表示成如下形式：y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基，因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。
因此，对于任意的向量y，可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基，c1,c2,…,ct是唯一确定的，因此Ay也被唯一确定了。
第四章矩阵的特征值和特征向量
即，0不是A的特征值，或者，A的任一特征值不等于零
充分性：设A的任一特征值不等于零，假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以＝0是A的一个特征值，矛盾
m 是A的m个不同 的特征值，1， m分别是A的属于1，2 m的特征向量， 则1， m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3＝2，解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 －1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
（2）由（4.1)式知：向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0，即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根，则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解，都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X＝0，即解 －5 －4 x1 0 x －5 －4 2 0
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的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
q
p
2
2
解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。
向量 x (k 1) 2 x (k ) 、 x (k1) 1 x (k ) 分别为相应于1，2
将 限制在下列范围内
4
4
如果
a ( k 1) pp
a(k qq
1)
0
a ( k 1) pq
0
4
a ( k 1) pq
0
4
直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记
y
a (k 1) ii
a (k 1) ji
x
sin
a (k 1) ii
a (k 1) jj
2ai(jk 1)
则
tg2 x
若
a (k1) pq
（1）令
y
a (k 1) pp
a (k 1) qq
x
2a
(k 1) pq
sign
a (k 1) pp
a (k 1) qq
（2） cos 2 y
x2 y2
当 y = 0时，
4
sin 2 x
x2 y2
sin cos 1
2
（3） C cos 1 1 cos 2
特征值与特征向量的基础知识 特征值求取 函数eig()计算特征值 舒尔分解和奇异值分解 矩阵指数计算 计算范数和矩阵谱半径的函数
8.1特征值与特征向量的基础知识
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 B P 1 AP
则称A与B相似。
定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则
（1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。
b）若1 = -2，对i = 1, 2, …, n
lim
k
x ( k 1) i xi(k )
12
收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。向量 x(k1) 1x(k )
、
x (k1) 1 x (k ) 分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。
c）若 1 2 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，
( Ax, x) (x, x)
定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则
（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
n
z aii aij j 1 ji
, i 1, 2, , n
n
表示以aii为中心，以 aij 半径为的复平面上的n个圆盘。 j 1 ji
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
(k 1) pq
sin
cos
a(k qq
1)
sin
2
a(k qq
1)
cos
2
a
(k) pq
a a (k1) pp
(k 1) qq
sin
cos
a
(k 1) pq
(cos
2
sin2
)
我们选取Pk，使得
a(k) pq
0
，因此需使 满足
tg2
2a
(k 1) pq
a a (k1) pp
(k 1) qq
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我
们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根. 但当n较 大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系 数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求
矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特 征值及特征向量的数值解法.
定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关
的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使
1
P 1 AP D
2
n
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
定理3 ：AR nn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即
斯密特正交化方法。
斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。
5.4 对称矩阵的雅克比 (Jacobi) 旋转法 1．预备知识
1）若B是上（或下）三角阵或对角阵， 则B的主对角元素即是B的特征值。
2）若矩阵P满足PTP = I，则称P为正交矩阵。 显然PT = P-1，且P1, P2,…, 是正交阵时， 其乘积P = P1P2…Pk仍为正交矩阵。
则
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 0
即与1, 2正交，将其单位化为
3 3 3 2
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
1
2
[1, 2 , 3 ] [1, 2 , 3 ]
(2 , 1) 2 2
(3, 1)
(3, 2 )
3 2
QR
其中Q = [1, 2, 3]为正交矩阵，R是上三角阵。
3）称矩阵 1
1
cos sin
1
Pij
1
sin cos
1
1
i
j
为旋转矩阵
2．雅克比方法
设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0 = A，对A作一系列
旋转相似变换
Ak Pk Ak1 PkT
(k 1, 2, )
其中Ak (k = 1, 2,…)仍是对称矩阵，Pk的形式
1
8.2.4 QR方法基础
斯密特（Schmidt）正交化过程：
设1，2，3 为R3上的三个线性无关的向量， 令 1 ，1 则11为2 单位长度的向量，再令
2 2 ( 2 , 1 )1 , 2 2 2 2
可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令
3 3 ( 3 , 1 )1 ( 3 , 2 ) 2
2 1
8.2.3 反幂法
设ARnn可逆，则无零特征值，由
Ax x
( x 0) 有
A1 x 1 x
若
A
有| 1
|
|
2 |
…
>
| n |，则
A1 有
1
n
1
n1
…
1
1
对应同样一组特征向量。
A1 的主特征根
A的绝对值最小的特征根
如何计算 解线性方程组
x(k1) A1 x(k )
Ax(k 1) x(k )
对n维向量空间，设1, …, n为Rn上n个线性无关的向量，
类似有
1 1
2 2 ( 2 , 1 )1
3 3 ( 3 , 1 )1 ( 3 , 2 ) 2
………
1 1 1 2
2 2 2 2
3 3 3 2 …
n1
n n ( n , j ) j j 1
n
n
tr( A) aii i
i 1
i 1
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
det( A) 12 n
定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则
（1）对任意AR n，x≠0，
n
( Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
（3）
1
max x0
应有关系式：
i i 0
(i = 1, 2, …, n)
Bvi ( A 0 I )vi Avi 0vi (i 0 )vi
关于矩阵B的乘幂公式为
x(k ) Bk x(0) ( A 0 I )k x(0)
1k
1v1
n j
j2
j 1
k
v
j
(1
0 )k
1v1
n
j2
j
x
(
k
1)
Ay(k )
(k 0, 1, )
定理7 设ARnn具有完全特征向量系，1, 2, …, n为A的n个
特征值，且满足
1 2 n
则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列