20201届高中数学 2.1.1正弦定理素材 北师大版必修5
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之正弦定理
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案第一课时 §2.1.1 正弦定理一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学 第二章 解三角形 1.1 正弦定理(二)课件 北师大版必修5.pptx
跟踪训练3 在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面
积为 答案 解析
2 A. 2
2 B. 4
3 C. 2
3＋1 D. 4
B＝180°－A－C＝180°－30°－45°＝105°，
由正弦定理，得 b＝assiinnAB＝11×
6＋ 4
2 ＝
6＋ 2
2 ，
2
∴S△ABC＝12absin C＝12×1×
②当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝12× 3×1×sin 30°＝ 43. 27
反思与感悟
三角形面积公式S＝12absin C，S＝12bcsin A，S＝12 acsin B中含有三角形的 边角关系.因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系.首先根据已 知，求出所需，然后求出三角形的面积.
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跟踪训练2 在△ABC中，若C＝2B，求bc的取值范围. 解答
因为A＋B＋C＝π，C＝2B， 所以 A＝π－3B>0，所以 0<B<π3，
所以12<cos B<1，
所以 1<2cos B<2，
又bc＝ssiinn CB＝ssiinn2BB＝2cos B，
所以
c 1<b<2.
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类型三 三角形面积公式的应用
10
知识点三 三角形面积公式的拓展
思考
如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积.那么如果知
道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？
答案
△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha， 则ha＝ABsin B.从而可求面积.
11
梳理
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝
高中数学北师大版必修五课件：1.1正弦定理
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B,c k sinC 代入左边得：
左边＝ k(sin Asin B sin AsinC sin BsinC sin Bsin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
∴ 等式成立
（１）正弦定理的内容． （２）正弦定理的证明 （３）正弦定理的应用
sin A sin B
y
C
C’
a c
O (Ab) B x
同理, a c sin A sin C
a b c sin A sin B sin C
正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦 的比相等,
即
abc
sin A sin B sin C
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问 题：
c c
.
A
∴
abc sin A sin B sin C
b
c
Ca B
那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？
分析理解
如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角 坐标向系量A,CC与点B在C在yy轴轴上上的的射射影均影为为|OCC|’,.即
|OC|=|AC|cos(A-90)=b sin A |OC|=|BC|sin B=a sin B a sin B bsin A 即a b
(2)在三角形ABC中如果sin A cos B，则∠B的值为
(B)
a
b
A) 30o B) 45o C) 60o D) 90o
(3)在△ABC中，A=60o,C=45o, b=2,则此三角形 的最小边长为 ___2____3__ 2
（4）在任一 ABC 中，求证：
高中数学必修五北师大版 正弦定理与余弦定理课件(32张)
三角形面积的计算 1 1 1 对于此类问题一般用公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B 进行求 2 2 2 解． 将题目中的边角关系，用正、余弦定理转化为两边及夹角问题，注 意方程思想在解题中的应用．
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b＝acos C， 1 且△ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为3. (1)试判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
三角形的面积问题
[例 2] 积．
在△ABC 中，若 B＝30° ，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面
[分析] 先利用正弦定理求角或角的正弦值．
[解析]
由正弦定理得 sin C＝
3 . 2
∵AB>AC，∴C>B，则 C 有两解． ①当 C 为锐角时，C＝60° ，A＝90° ， 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×1＝2 3. ②当 C 为钝角时，C＝120° ，A＝30° ， 1 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×2＝ 3.
ab，则∠C的大小为(
)
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c2 1 即 ＝－ ， 2ab 2 1 ∴cos C＝－ ，∴∠C＝120° . 2
答案：C
2． 在△ABC 中， a＝7， b＝4 3， c＝ 13， 则△ABC 的最小角为( π π π π A.3 B.6 C.4 D.12
判断三角形形状的方法技巧 1．判断三角形的形状一般结论为锐角三角形、钝角三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形；
高中数学 第二章 正弦定理课件2 北师大版必修5(1)
2 2( 3 1)( h ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b sin A 三角形面积公式 B 6 2 C 4 1 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin3A S ABC aha 1 1 2 24 ( ) 6 2 3 S 2 ab sin C 2 2( 3 1) ABC 2 2 2
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 > sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
（2）在 ABC 中，若
a A cos 2
b B cos 2
c C cos 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
高中数学 第二章 正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识归纳典型例题素材 北师大版必修5
正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理： 形式一：R 2Csin c B sin b A sin a ===； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R 2c C sin ＝；（角到边的转换） 形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换） 形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积） 解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DCAD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。
规律方法总结：1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：1,,,sin 2A B C A B C S ab C π++==均为正角；等。
4、余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=。
高中数学北师大版必修5第2章1《正弦定理与余弦定理》(第1课时 正弦定理)ppt同步课件
注意：(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步 讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下 结论；
(2)在△ABC 中，若 sin2A＝sin2B，不一定只有 A＝B，因 为 sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或 2A＝π－2B⇒A＝B 或 A＋B＝π2.
在△ABC 中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC 的形状． [解析] 解法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)， ∴asinA＝bsinB.
③a b c＝__s_in_A____si_n_B___s_i_n_C_
④sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝__s_i_an_A_＝__s_ibn_B__＝__si_nc_C___.
3．面积定理
1
1
1 对 于 任 意 △ ABC ， 则 S △ ABC ＝ _2_a_b_s_i_n_C_ ＝ __2_b_c_s_in_A_ ＝
a
b
c
___s_in_A_____＝__s_i_n_B___＝__s_i_n_C___.
2．常见的公式变形
①a＝_2_R__si_n_A__，b＝__2_R_s_in_B__，c＝__2_R_s_in_C__
a
b
c
②sinA＝___2_R____，sinB＝___2_R____，sinC＝___2_R____
2
课堂典例讲练
已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝ 10，求b.
[分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理 求边b.
[解析] ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝105°，
∵sibnB＝sincC，sin105 °＝sin(45°＋60°)
北师大版高中数学必修五第二章第一节《正弦定理》课件(共17张ppt)
解：由
a sin A
b sinB
得
8 sin A
42 sin45
sinA1
A=90⁰（满足大边对大角）
变式训练
变式3：在△ABC中,已知a=10,b= 4 2 ,B=45⁰,求A
解：由
a sin A
b sinB
得
10 sin A
42 sin45
sin A 5 ，这与 sinA1矛盾
4
A不存Байду номын сангаас，无解
C
aE
b
得到b a sinB sinA
同理作BC边上的高AE,
B
D
A
c
sin B
AE, c
sinC
AE b
csiB nbsiC n
得到c b sinC sinB
定理的推导
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否成立?
C
b a
D
Bc
A
课后阅读课本p45用向量法证明该等式
定理的理解
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
反馈练习
1、在△ABC中,若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c＝( C )
A.1:2:3 B.3:2:1 C.1: 3 :2 D、2: 3 :1
2、在△ABC中,若 3 a=2bsinA,则B＝( C ) A.60º B.30º C.60º或120º D.30º或150º
3、△ABC中, ax,b2,B45,若△ABC有两个解，
归纳：已知两边和其中一边的对角，求其他角和边，此时可 能有一解、两解、无解，要结合大边对大角定理（或内角和定理） 和正弦函数的有界性判断解的个数。
课堂小结
北师大版高中数学必修五第二章第一节《正弦定理》课件(共17张ppt)
反馈练习
1、在△ABC中,若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c＝( C )
A.1:2:3 B.3:2:1 C.1: 3 :2 D、2: 3 :1
2、在△ABC中,若 3 a=2bsinA,则B＝( C ) A.60º B.30º C.60º或120º D.30º或150º
3、△ABC中, ax,b2,B45,若△ABC有两个解，
则 x取值范围是( C )
A.(2,) B.(0,2) C.(2,2 2) D.( 2,2)
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
高中数学北师大版必修5课件：第2章1.1《正弦定理》
2．三角形的面积公式 对于任意△ABC，若 a，b，c 为三角 A，B，C
1 1 aha absinC 2 2 的对边， 则△ABC 的面积 S＝______ ＝________ abc 4R . ＝______
问题探究 1．能否利用向量的方法证明正弦定理？
提示：当△ ABC 是锐角三角形时，过 A 点作 单位向量 i 垂直于 AB，如图： → → → ∵AC＝ AB＋BC， → → → → → → ∴ i· AC＝ i· (AB＋BC)＝ i· AB＋ i· BC＝ i· BC，
a b (3)由 ＝ ， sinA sinB b· sinA 2sin 30° 2 得 sinB＝ a ＝ ＝ . 2 2 ∵a<b，∴B>A＝30° ， ∴B＝45° 或 B＝135° . 当 B＝45° 时， C＝180° －(A＋B)＝180° －(30° ＋45° )＝105° . c a 又∵ ＝ ， sinC sinA
∴ bcos(90° － A) ＝ acos(90° － B) ， 得 bsinA ＝ asinB， a b b c 即 ＝ .同理可得： ＝ . sinA sinB sinB sinC a b c ∴ ＝ ＝ . sinA sinB sinC 当△ABC 为钝角三角形时，类似地可证．
2．画△ABC，使a＝14，b＝16，A＝45°，你 能画出几个？
|a|· |b|cosθ (其 2．对于两个向量 a 和 b，有 a· b＝________
中 θ 为 a 与 b 的夹角)．
知新益能
1．正弦定理
它所对角的正弦 的 在一个三角形中，各边和_________________
a b c ＝ ＝ sin A sin B sinC ＝2R(其中 R 为 比相等，即_________________
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素材
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在
解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一
些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的
生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理
解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策
略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它
们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，
就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边
及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在
任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确
量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其
所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍
然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形
的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做
好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的
学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三
角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让
学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角
的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容
时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，
这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是
研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联
系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识
建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置
相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知
识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简
洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，
方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个
思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理
以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所
对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平
方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不
强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用
到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学
问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、
类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情
况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约4课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于
正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问
题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量
方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有
关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生
提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题
甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的
解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强
学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际
测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。