高中数学 第一章 计数原理 1_3 二项式定理 1_3_2“杨辉三角”与二项式系数的性质自我小测
高中数学必修2-3第一章1.3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．问题导航(1)什么是杨辉三角？它具有哪些特点？(2)二项式系数的性质有哪些？什么是赋值法？ 2．例题导读例3证明二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，请试做教材P 35练习1、2题．1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是________1，与这两个1等距离的项的系数________相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________和，即________C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn ．2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐________增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐________减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数________C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取到最大值．(3)二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝________2n．②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝________2n －1．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )(3)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2 D ．n ＋2，n ＋3 答案：C3．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6C．7 D．8答案：A4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－11．与杨辉三角有关的问题的注意事项(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．(2)注意二项式系数性质C m n＝C n－mn ，C m n＋1＝C m n＋C m－1n的应用．2．释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S n，求S19.[解]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝（2＋10）×92＋C 312＝274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间、行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．1．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C 01、C 11；第2行中的数是C 02、C 12、C 22；第3行中的数是C 03、C 13、C 23、C 33；…；第n 行中的数是C 0n 、C 1n 、C 2n 、…、C nn .设第n 行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C 13n ∶C 14n ＝2∶3，解之得n ＝34.答案：34二项式系数的单调性及最值(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.故(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6，又k ∈{0，1，2，…，8}， 故k ＝5或k ＝6.故系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．2．(1)(x －1x )11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)在(x －2x 2)8的展开式中：①系数的绝对值最大的项是第几项？ ②求二项式系数最大的项； ③求系数最大的项．解：T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·(－2x 2)r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－52r (r ＝0，1，2，…，8)． ①设第(r ＋1)项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1， ∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r，解得5≤r ≤6.又∵0≤r ≤8，r ∈N ，∴r ＝5或r ＝6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． ②二项式系数最大的项为中间项，即第5项， T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6. ③由①知展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11.二项式系数的和[学生用书P 24]已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求下列各式的值． (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.[解] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝37.② (1)令x ＝0，得a 0＝1，代入①中得： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)由①－②得2a 1＋2a 3＋2a 5＋2a 7＝－1－37， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)由①＋②得2a 0＋2a 2＋2a 4＋2a 6＝－1＋37. ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.[互动探究] 本例条件下，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：法一：∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和， 令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.(1)本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．(2)“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243 D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ， 令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80， 即a ＝2，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. (2)已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14，试求： ①a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； ②a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解：①在已知等式中令x ＝1，则得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝27＝128.(ⅰ) ②在已知等式中令x ＝－1，则得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67＝－279 808. 因此，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139 904.(本题满分12分)(2015·衡水高二检测)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解] 由题意知，22n －2n ＝992 ， 即(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝32，解得n ＝5.4分(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064 .6分(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 因为T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r10·210－r ·x 10－2r ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·211－r ， C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，8分 得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ，解得83≤r ≤113.因为r ∈N ，所以r ＝3，10分故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.12分[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．(2)解答该问题①注重对性质的理解二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，如本例中利用性质可确定出展开式中第6项的二项式系数最大．②注意对概念的区分要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝对值最大1．若(x 3＋1x 2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.2．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．729解析：选A.由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.3．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴ a ＝3. 答案：34．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．解析：令x ＝1，得a 0＝－2.令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：2[A.基础达标]1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8解析：选D.∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.2．已知(x ＋33x)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，∴n ＝6.3．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80解析：选C.∵(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， ∴a ＋b ＝41＋29＝70.4．若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15B.16＜x ＜15C.112＜x ＜23D.16＜x ＜25解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞C 06，C 162x ＞C 26（2x ）2， 解得112＜x ＜15.5．若(2x 3＋1x 2)n (n ∈N *)的展开式中存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B.T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ·x －2r ＝C r n 2n －r x 3n －5r. ∵展开式中存在常数项，∴3n －5r ＝0，即n ＝53r ，又3，5互质，r 必是3的倍数，∴当r ＝3时，n 的最小值是5.6若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：57．设(23x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ，8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________．解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由题意得M ·N ＝64，∴2n ＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝C 36·(23x )3·(－1)3＝－160x . 答案：－160x8．已知(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x ＋2x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________．解析：因为(x 2－1x )n 的展开式的通项是C r n (－1)r x 2n －3r(r ＝0，1，2，…，n )，因为含x 的项为第6项，所以当r ＝5时，2n －3r ＝1，即n ＝8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝28＝256.又a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝255.答案：2559．下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和． (2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出每一斜行数字的差组成一个等差数列．10．对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和； (3)写出展开式中系数最大的项．解：(1)由题意可知，r ＝0，1，2，…，10，展开式共11项，所以中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5. (2)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0， 令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1. (3)∵中间项T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 5和T 7，T 5＝C 410x 4＝210x 4，T 7＝C 610x 6＝210x 6.[B.能力提升]1．若(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，令f (n )＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )等于( )A.13(2n －1)B.16(2n －1) C.43(4n －1) D.23(4n －1) 解析：选D.当x ＝1时，22n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，当x ＝－1时，0＝a 0－a 1＋…＋a 2n ， ∴f (n )＝22n －1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝23(4n －1)．2．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C.(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015， 令x ＝12，则(1－2×12)2 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.3．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＜32， 即8＜2n ＜32，且n ∈N *， 所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x4.把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10，6)对应于数阵中的数是________．解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)， ∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10，6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 答案：1015．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解：令x ＝0，得a 0＝1＋1＋…＋1＝n ；a n ＝1，令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3，∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.6．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和．解：(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11， 所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n＝m （m －1）2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·(11－m2－1)＝(m －214)2＋35116. 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《“杨辉三角”与二项式系数的性质》
第一章 计数原理§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质班级：高二（ ）班 学号： 姓名：学习目标： 1．掌握杨辉三角的特点；2．根据杨辉三角理解二项式定理展开式中二项式系数的关系；学习重点：根据杨辉三角理解二项式定理展开式中二项式系数的关系学习难点：杨辉三角的应用学习过程：预习﹒交流﹒评价1．由“杨辉三角”可以看出，二项式定理具有下面的性质：（1）表中每行的两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
（2）与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ，即m n C ＝ 。
（3）若n 是偶数时，则其展开式中间一项 的二项式系数最大；若n 是奇数时，则其展开式中间两项 的二项式系数相等且最大。
（4）二项展开式的各二项式系数的和等于 ，即 。
新知﹒巩固﹒展示例1. 证明在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
变式一：（1）求1351111111111C C C C ++++ （2）=++++++++++++n n n n n n n n n n C C C C C C C C 1211101210 例2． 已知()21n x -展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含6x 的项。
变式二：（1）求()111x -的展开式中二项式系数最大的项。
（2）已知1na ⎫⎪⎭的展开式中的第3项含有2a ，求n 的值； （3）已知()1nx +的展开式中，第4项和第6项的系数相等，求这两项的系数。
例3．用二项式定理证明：（1）()11nn +-能被2n 整除； （2）10991-能被100整除．训练﹒拓展﹒提高（A 组）：1．填空：（1）已知591515,,C a C b ==那么1016C ＝ ；（2）当n 为偶数时，()n a b +展开式中，二项式系数最大项是第 项； 当n 为奇数时，()na b +展开式中，二项式系数最大项是第 项； （3）在(92展开式中，二项式系数最大项是 ．2．（1）求（1-2x ）15的展开式中前4项； （2）求（2a 3-3b 2）10的展开式中第8项；（3）求10112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含51x 项的系数； （4）求1032122x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项； （5）求63⎛⎫- ⎝的展开式的中间一项； （6）求(9的展开式的中间两项。
选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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人教高中数学选修2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件
,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
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在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
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练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2
高二数学《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
故选 A.
答案：A
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
知识点三 杨辉三角
5．(2020·阳春市第一中学高二月考)我国南宋数学家杨辉在
所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项
展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右
依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，
第一章 计数原理
1．在杨辉三角中，在同一行的每行两端都是 1 ，与这两 个 1 等距离的项的系数 相等 ；相邻的两行中，除 1 以外的 每一个数都等于它“肩上”两个数的 和 ，此性质反映组合数的 性质 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn ．
2．二项式的性质 (1)对称性，与首末两端“ 等距离 ”的两个 二项式系数 相等 ，它反映了组合数性质 Cnm＝Cnn－m ．
课时作业与单元测试 数学 选修2-3 RJ·A
第一章 计数原理
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
1.3 二项式定理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数
的性质
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
基础知识梳理
知题识点 知点 识判巩断固
提能达标过关
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
基础知识梳理
课时作业与单元测试
＋
21
＋
22
＋
…
＋
210)
＋
C
0 11
＝
1－211 1－2
＋
1
＝
211
＝
2
048.
答案：2 048
谢谢观看！
1
024，则该展开式中常数项是( )
A．－270
B．270
高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教A版选修2-3
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质●三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．●重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．第一课时【问题导思】(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？第4行中3与第2行各数之间什么关系？第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？由此你能得出怎样的结论？【提示】(1)①20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n－1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C r n＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C r－1n ，C r n，所以C r n＋1＝C r－1n＋C r n.1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值．【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得：S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19)＝(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29)＋(2＋3＋ (9)＝C 310＋＋2＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S 21，则结果如何？【解】 S 21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66 ＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 211＋C 111)＋C 212＝(C 22＋C 23＋C 24＋……C 212)＋(2＋3＋ (11)＝C 313＋＋2＝286＋65 ＝351.第二课时例1：设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012·x2 012(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解． 【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．例2：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，①令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2187，②由①、②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)，或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.小结：1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．练习：求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】 在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.第三课时例4 已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( )A ．28B ．28－1C ．27D ．27－1 【错解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…， 由题意知B －A ＝38.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n， ∴(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…)＝(－3)n∴B －A ＝(－3)n ＝38，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，a 1n ＋a 2n ＋…＋C n n ＝2n ＝28【答案】 A【错因分析】 误将C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C 0n .【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误． (2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－ (a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.【答案】 B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想1．(a＋b)7的各二项式系数的最大值为( )A．21 B．35 C．34 D．70【答案】 B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．【答案】 B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．【解析】(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．【答案】n＋14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)在已知等式中令x＝1，则得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在已知等式中令x＝－1，则得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。
高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3
学 习 资 料 专 题1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n与C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( ) (2)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn . ( ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确． (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案] (1)√ (2)× (3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A．1 B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3)D．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．][合作探究·攻重难]个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图131[思路探究]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.1．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.]012 2 018(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值.【导学号：95032086】[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)∵T r ＋1＝C r2 018(－2x )r＝(－1)r·C r2 018·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2018＝32 018.，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n x ＝y ＝1即可．＋－2，－－2.2．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.[解] (1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， ① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4. ②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示] 对称性，因为C mn ＝C n －mn ，也可以从f (r )＝C rn 的图象中得到． 2．计算C knC k －1n ，并说明你得到的结论．[提示] C k n C k －1n ＝n －k ＋1k.当k <n ＋12时，C knC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示] 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【导学号：95032087】[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大， 则有{ C r 53r≥C r －15·3r －1，r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.3．(1＋2x )n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8，∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[当堂达标·固双基]1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )A．11 B．10C．9 D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )【导学号：95032088】A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项A[因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.【导学号：95032089】1 64[在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解](a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
栏 目 链 接
1．掌握二项式系数的性质． 2．会运用二项式系数的性质解决相关的问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．二项式系数的性质．
自 测 自 评 解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选 B. 答案：B
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题型一
“杨辉三角”的变形及引申问题用
例1 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从
1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
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变 式 训 练
2n 2．(1)(2013· 哈尔滨高二检测)若x＋x 的展开式中各项系
数和为 99－n，则展开式中系数最大的项为( A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项
)
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(2)(2x－1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为( 310－1 1－310 A. B. 2 2 1－210 210－1 C. D. 2 2
13 n 14 n
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解得 n 34 . 答案：34
题型二 例2
求展开式的系数和
已知(1－2x)7＝a0＋a1 x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
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(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝17＝1； 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝－1，则
2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版选修2-3
＝ ( C 2 2 ＋ C 1 2 ＋ C 1 3 ＋ … ＋ C 1 9 － C 2 2 ) ＋ ( C 3 3 ＋ C 3 2 ＋ … ＋ C 9 2 ) ＝ C120＋ C130－ 1＝ 164.
(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,即
二项展开式的第14项和第15项的系数比为
C.0
D.2
(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60. ①求n的值;
②求
的值.
a21a 22 2a 23 3 1na 2n n
【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.
(2)①由a2=60,求出n的值.
②令x=0,求出a0,再令x=-1 即可求得. 2
这C 正0 n 1 好C 是1 n第C nn 2 +1 2C 条3 n 细2 斜C 4 n 线 3 上… 各数之和.
类型二 求展开式中的系数和
【典例2】(1)(2017·济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+
a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7的值等于 ( )
A.-1
B.-2
【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前 两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的 位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利 用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.
【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是
C
,第2 2项
2
是 ,第3项是
项是C 12 ,
答案:7
C
6 13
6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求a1+a3+a5.
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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
自我小测
一、选择题
1．(1＋x)＋(1＋x)2＋„＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是( )．
A．2n＋1 B．2n＋1＋1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
2．在312nxx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
( )．
A．－7 B．7 C．－28 D．28
3．(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知31nxx展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．
A．第19项 B．第17项
C．第17项或第19项 D．第18项或第19项
5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a6x6，则|a0|＋
|a1|＋|a2|＋„＋|a6|＝( )．
A．1 B．－1 C．36 D．2
6
二、填空题
6．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋„＋a11(x－1)11，则a1＋
a
2
＋a3＋„＋a11的值为__________．
7．(2012安徽安庆模拟，理14)设(32x－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系
数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第
15个数的比为2∶3.
三、解答题
9．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于521615xx的展开式的常数项，而(
a
2
＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
10．设m，n∈N，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.
(1)当m＝n＝2 013时，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a2 013x2 013，求a0－a1＋a2－a3＋„－
a
2
013
的值．
(2)若f(x)展开式中x的系数为20，当m，n变化时，试求x2系数的最小值．
参考答案
1.答案：D 解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋„＋2n＝2n＋1－2.
2.答案：B 解析：由已知n为偶数，则2n＋1＝5，
∴n＝8.
∴8331122nxxxx的展开式通项公式为Tr＋1＝8831C2rrrxx＝(－
1)r·848381C2rrrx，令8－43r＝0，得r＝6，∴常数项为T7＝(－1)6·26811C24×28
＝7.
3.答案：B 解析：令x＝1，得展开式中各项系数之和为(2－1)8＝1，
由Tr＋1＝88C2()rrrx，令r＝8，得T9＝88C·20x4＝x4，其系数为1，
∴展开式中不含x4的项的系数和为1－1＝0.
4.答案：A 解析：T10＝9Cn(3x)n－9·999391Cnnxx，由T10为常数，得93n－9＝0，
所以n＝36，故第19项系数最大．
5.答案：C 解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零．
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋„＋a6＝1，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.②
∴①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝6312，
①－②得a1＋a3＋a5＝6132.
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a6|＝66313122＝36.
6.答案：2 解析：令x＝1，得a0＝－2.
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋„＋a11＝0.
∴a1＋a2＋a3＋„＋a11＝2.
7.答案：－160x 解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，
由已知M·N＝64，
∴2n＝64，n＝6.
∴第四项T4＝36C·(32x)3·(－1)3＝－160x.
8.答案：34 解析：由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3，
故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即1314C:Cnn＝2∶3，
所以!!:(13)!13!(14)!14!nnnn＝2∶3，
∴142133n.∴n＝34.
9.解：由521615xx，得Tr＋1＝55205225516116CC55rrrrrrxxx，令
T
r
＋1
为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝4516C5＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝24Ca4＝54.
所以a＝3.
10.解：(1)当m＝n＝2 013时，f(x)＝(1＋2x)2 013＋(1＋x)2 013，
x＝－1，得f(－1)＝(－1)2 013＝－1，即a0－a1＋a2－a3＋„－a
2 013
＝－1.
(2)由已知112CCmn＝2m＋n＝20，
∴n＝20－2m.
∴x2的系数为222(1)(1)2CC422mnmmnn＝2m2－2m＋12(20－2m)(19－2m)＝
4m2－41m＋190.
当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值85.