2018中考数学之分类汇编 解直角三角形

2018中考数学之 解直角三角形（208内蒙古通辽）20．（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米．（2018上海）21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．（2018包头）22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．（1）求BE的长；（2）求四边形DEBC的面积．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADE=30°，在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2，AD=DE•cos30°=6，∴AB=AD=6，∴BE=6﹣2．（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=6，DF=AB=6，在Rt△DFC中，FC==4，∴BC=6+4，∴S四边形DEBC=S△DEB +S△BCD=×（6﹣2）×6+（6+4）×6=36+6．【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（2018吉林）21．（数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题测量学校旗杆的高度 活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图测量步骤 （1）用 测角仪 测得∠ADE=α； （2）用 皮尺测得BC=a 米，CD=b 米．计算过程【分析】在Rt △ADE 中，求出AE ，再利用AB=AE +BE 计算即可；【解答】解：（1）用 测角仪测得∠ADE=α；（2）用 皮尺测得BC=a 米，CD=b 米．（3）计算过程：∵四边形BCDE 是矩形，∴DE=BC=a ，BE=CD=b ，在Rt △ADE 中，AE=ED•tanα=a•tanα，∴AB=AE +EB=a•tanα+b ．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（2018浙江嘉兴）22.如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB ，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE ，F 为PD 中点，AC=2.8m ，PD=2m ，CF=1m ，∠DPE=20°。

当点P 位于初始位置P 0时，点D 与C 重合（图2），根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳。

（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）（1）如图2，当点P位于初始位置P0时，CP0=2m。

如图3，10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，点P上调至P1处，∠1=90°，∠CAB=90°，∴∠AP1E=115°，∴∠CPE=65°．∵∠DP1E=20°，∴∠CP1F=45°∵CF=P1F=1m，∴∠C=∠CP1F=45°，∴△CP1F为等腰直角三角形，∴CP1= m，P0P1=CP0-CP1=2- ≈0.6m，即点P需从P0上调0.6m（2）如图4，中午12：00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调至P2处，∴P2E∥AB∵∠CAB=90°，∴∠CP2E=90°∵∠DP2E=20°，∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°∵CF=P2F=1m，得△CP2F为等腰三角形，∴∠C=∠CP2F=70过点F作FG⊥CP2于点G，∴GP2=P2F·cos70°=1×0.34=0.34m∴CP2=2GP2=0.68m，∴P1P2=CP1-CP2= -0.68≈0.7即点P在（1）的基础上还需上调0.7m。

【考点】等腰三角形的判定与性质，解直角三角形（2018内江）20. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11米，灯杆与灯柱的夹角，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域长为18米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，.求灯杆的长度.【答案】2米【解析】分析：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AAG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF-GF=1，再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG=2、详解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11、由题意得∠BDE=α、tan∠β=、设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=、∴DF=、∵DE=18、∴x+4x=18、∴x=4、∴BF=12、∴BG=BF、GF=12、11=1、∵∠BAC=120°、∴∠BAG=∠BAC、∠CAG=120°、90°=30°、∴AB=2BG=2、答：灯杆AB的长度为2米．点睛：本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力.（2018四川宜宾）21．（8分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】作CH⊥AB于H，得到BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．【解答】解：作CH⊥AB于H，则四边形HBDC为矩形，∴BD=CH，由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，设CD=x米，则AH=（30﹣x）米，在Rt△AHC中，HC==（30﹣x），则BD=CH=（30﹣x），∴ED=（30﹣x）﹣10，在Rt△CDE中，=tan∠CED，即=，解得，x=15﹣，答：立柱CD的高为（15﹣）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．（2018四川成都）18.由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长.（参考数据：，，，，，）【答案】解：由题知：，，.在中，，，（海里）.在中，，，（海里）.答：还需要航行的距离的长为20.4海里.【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣方向角问题22．（8分）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．【分析】在直角三角形中，利用余弦函数用AD表示出AE、DE，用BC表示出CE、BE．根据BC=6AD，AE+BE=AB=90m，求出AD、DE、CE的长．在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的长．【解答】解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m在Rt△ADE中，tan30°=，sin30°=∴AE==AD，DE=2AD；在Rt△BCE中，tan60°=，sin60°=，∴BE==2AD，CE==4AD；∵AE+BE=AB=90m∴AD+2AD=90∴AD=10（m）∴DE=20m，CE=120m∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∠DEA=30°，∠CEB=60°，∴∠DEC=90°∴CD===20（m）答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用及勾股定理．题目难度不大，解决本题的关键是利用BC=6AD ，AE+BE=AB=90m求出AD的长．（2018四川资阳）22．（9.00分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两直角三角形间的关联．（2018四川达州）20．（6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，由∠CBD=45°知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=x米，∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=x米，∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，∴tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．（2018大庆）22．（6.00分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．【解答】解：作PC⊥AB于C点，∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=80（海里）．在Rt△APC中，cos∠APC=，∴PC=PA•cos∠APC=40（海里）．在Rt△PCB中，cos∠BPC=，∴PB===40≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里。