2018中考数学试题分类汇编 压轴题(全)

综合性问题

一、选择题

1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，

∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，

∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，

∴∠ADC=15°，故①正确；

∵AE⊥BD，即∠AED=90°，

∴∠DAE=45°，

∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，

∴∠AGF=75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；

记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，

则∠BAH=∠ADC=15°，

在△ADF和△BAH中，

∵，

∴△ADF≌△BAH（ASA），

∴DF=AH，故③正确；

∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，

∴△AFG∽△CBG，故④正确；

在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，

设EF=a，

∵△ADF≌△BAH，

∴BH=AF=2x，

△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，

∴BE=AE=AF+EF=a+2x，

∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，

∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，

∴△PAF∽△EAH，

∴=，即=，

整理，得：2x2=（﹣1）ax，

由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；

故选：B．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．

2．（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发

沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）

A．B．C．D．

【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．

【解答】解：当0≤t＜2时，S=2t××（4﹣t）=﹣t2+4t；

当2≤t＜4时，S=4××（4﹣t）=﹣2t+8；

只有选项D的图形符合．

故选：D．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．

3. （2018•安徽•4分）如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】【分析】由已知易得AC=2，∠ACD=45°，分0≤x≤1、1

【详解】由正方形的性质，已知正方形ABCD的边长为，易得正方形的对角线AC=2，∠ACD=45°，

如图，当0≤x≤1时，y=2，

如图，当1

如图，当2

综上，只有选项A符合，

故选A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及到正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，结合图形正确分类是解题的关键.

4. （2018·浙江舟山·3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（）

A.AC的长

B.AD的长

C.BC的长

D.CD的长

【考点】一元二次方程的根，勾股定理

【分析】由勾股定理不难得到AC 2+BC 2=AB 2=（AD+BD ）2 ， 代入b 和a 即可得到答案【解析】【解答】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AC 2+BC 2=AB 2=（AD+BD ）2 ，

因为AC=b ，BD=BC=，

所以b 2+=， 整理可得AD 2+aAD=b 2 ， 与方程x 2＋ax=b 2相同，

因为AD 的长度是正数，所以AD 是x 2＋ax=b 2的一个正根

故答案为B 。

【点评】本题考查了一元二次方程的根与勾股定理的综合运用，注意D 是x 2＋ax=b 2的一个正根.

5. （2018·重庆·4分） 如图，已知AB 是O e 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O e 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O e 的半径为4，6BC =，则PA 的长为

A ．4 B

．C ．3 D ．

2.5

【考点】圆的切线、相似三角形.

【解析】作OH ⊥PC 于点H .易证△POH ∽△PBC ，BC OH PB PO =∴,6

484=++∴PA PA ,4=∴PA 【点评】此题考查圆切线与相似的结合，属于基础题

3. （2018·重庆(A)·4分） 若数a 使关于x 的不等式组112352x x x x a

-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程

2211y a a y y

++=--的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为( ) A ．3- B ．2- C ．1 D ．2

【考点】不等式组和分式方程的应用

【分析】解关于x 的不等式组，根据题意求出a 的取值范围，然后解关于y 的方程，

排除分式方程无解的情况，结合不等式组的结果，找出符合条件的所有整数a 并求其和.