§241抛物线及其标准方程导学案(定稿)
学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区 核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程 焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程 思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？ 讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等 焦点 准线 问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ． 课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)． 思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解． 讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110， 准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ； 当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项． 思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值． 讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用 讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)． 练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用 讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上， 得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。
高中数学抛物线及其标准方程导学案
§2.3.1抛物线及其标准方程【学习目标】1. 会说出抛物线的定义；2．能写出抛物线的标准方程的四种形式及其焦点和准线．3. 根据条件能求出抛物线的标准方程【学习重点】抛物线的标准方程的四种形式.【学习难点】求抛物线的标准方程.【学习过程】一、课前准备我们知道二次函数2(0)=++≠的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴y ax bx c a等问题．那么，抛物线到底是怎样定义的呢？二、新课导学※学习探究探究 1①利用直尺、三角板、细绳、铅笔，画出动点轨迹1.在纸一侧固定直尺2.将直角三角板的一条直角边紧贴直尺3.取长等于另一直角边长的绳子4.固定绳子一端在直尺外一点5.固定绳子另一端在三角板顶点A上6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边7.上下移动三角板,用笔画出轨迹②从画抛物线的过程中，我们可以得出抛物线的定义：。
定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的。
想一想：F l∈时轨迹还是抛物线吗？若定点F在定直线l上，那么动点的轨迹是什么图形？探究 2①怎样建立坐标系才使方程的推导简化？②设定点F到定直线l的距离为(0)p p>．请同学们建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程探究 3：抛物线的四种标准方程形式及焦点坐标与准线方程图形标准方程焦点坐标准线方程2．p的几何意义：【例题讲解】例1：．根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点是(0,4)；⑵准线方程是x=1；⑶焦点到准线的距离是2．4例2：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程变式 :焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上的抛物线的标准方程例3.已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的 标准方程和m 的值学习感悟：【当堂检测】1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）．A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,162．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）． A ．2x = B ．2x =- C ．2y = D ．2y =-3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）． A. 52B. 5C. 152D. 10 4．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ． 5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ．【课堂小结】通过本节课，你学到了什么【课后作业】1.已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆221169x y -=的左焦点，则p = 2．抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标． 3.求以双曲线221169x y -= 的右顶点为顶点，左顶点为焦点的抛物线的方程 4.已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．5.已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．。
人教版高中数学选修241《抛物线及其标准方程》教学设计
课题：选修（2-1）2.4.1抛物线及其标准方程三维目标：1、知识与技能（1）掌握抛物线的定义及抛物线的四种标准方程和对应的图形；（2）掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件确定抛物线的标准方程；（3）理解抛物线标准方程的推导过程并了解求抛物线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法；（4）学会用待定系数法与定义法求抛物线的方程并要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．2、过程与方法（1）通过构设情景：回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？从而引领学生自主学习、合作探究出抛物线的图形和方程。
在这一过程中，培养学生观察、实验、探究、交流等数学活动能力，同时培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力；（2）通过合作交流，不断体会归纳、概括思想方法的重要性和实用性。
（3）通过解决问题从本质上认识用待定系数法与定义法求抛物线的方程的思想。
3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习抛物线和方程的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2) 通过对抛物线和方程知识的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过形象具体的轨迹问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，并对学生进行运动、变化、对立、统一以及理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育，从而体会事物之间普遍联系的辩证思想，。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：抛物线的定义和标准方程及用待定系数法求抛物线的标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面我们学习了椭圆和双曲线及其性质，其中有一种轨迹问题能把这两种曲线统一起来：到定点的距离和到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹问题。
3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案正文
3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程【学习目标】1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出标准方程中一次项系数的意义.4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.◆知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0).( )(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( )(3)抛物线的焦点可以在准线上.( )(4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线.( )◆知识点二抛物线的标准方程标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标准线方程p的几何意义焦点到准线的距离【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的方程都是二次函数.( )(2)抛物线的原点到准线的距离是p(p>0).( )(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )(4)方程y=ax2(a≠0)是抛物线的标准方程.( )◆探究点一抛物线的定义及应用例1 (1)一动圆过点A(1,0)且与直线:x=-1相切,则该动圆圆心的轨迹为( )A.抛物线B.椭圆C.直线D.圆(2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则点P的坐标为.变式 (1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=5x0,则x0=( )4A.1B.2C.4D.8(2)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )A.2√2B.4+1C.√2D.3√22[素养小结]利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:(1)点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.(2)抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大(小)值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.拓展 (1)已知点P是抛物线y2=-4x上的一个动点,则点P到点M(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A.3B.√172C.√5D.92(2)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为,取得最小值时点P的坐标为.◆探究点二求抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是4;(2)焦点在y轴上,且经过点(-1,-3);(3)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.变式 (1)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为( )A.y2=10x或x2=4yB.y2=-10x或x2=-4yC.y2=20x或x2=8yD.y2=-20x或x2=-8y(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,x0)(x0≠0)满足|MF|=5,则抛物线C的方程为.[素养小结](1)求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.(2)求抛物线的标准方程的方法:①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求p,然后写出标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.◆探究点三抛物线的实际应用问题例3如图,某河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9 m,拱圈内水面宽30 m,一条船在水面以上部分高7 m,船顶部宽6 m.(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程.(2)近日水位暴涨了2.46 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)?变式青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖内部的轴截面均近似为抛物线的一部分,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8.25 cm[素养小结]求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线的标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解:求出所要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.。
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程(导学案)【学习目标】掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程；类比椭圆、双曲线方程的推导过程推导抛物线的标准方程，进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法；提高数学思维的情趣，体验成功，形成学习数学知识的积极态度。
【重 点】抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。
【难 点】抛物线的标准方程的推导。
课前自主学案1．用定义法求曲线方程的一般步骤： ． 2． 椭圆的第二定义： ．3．(1)已知动圆M 过定点)1,0(F 且与定直线1:-=y l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．(2)已知动圆M 过定点)1,0(-F 且与定直线1:=y l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．(3)已知动圆M 过定点)0,1(F 且与定直线1:-=x l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．(4)已知动圆M 过定点)0,1(-F 且与定直线1:=x l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．课堂探究学案 探究1：抛物线的定义抛物线的定义： ．探究2：抛物线的标准方程 【探究成果】抛物线的标准方程： ． 焦点坐标： ．准线方程： ．【思考交流】1.抛物线的标准方程中P 的几何意义2．P 的值与抛物线的形状、焦点坐标、准线方程有何联系？【例题欣赏】思考并回答下列问题：(1)焦点在x 轴正半轴上，焦点到准线的距离为3，则抛物线的标准方程是 ． (2)焦点是)0,3(的抛物线的标准方程是 ． (3)准线方程是2-=x 的抛物线的标准方程是 ． (4)求抛物线x y 382-=的焦点坐标和准线方程．探究3：四类抛物线的标准方程及图像、焦点坐标、准线方程归纳总结【巩固练习】1.已知焦点到准线的距离是2，求抛物线的标准方程．2.求下列抛物线的焦准距p 的值及焦点坐标和准线方程3．求过点A(-3，2)的抛物线的标准方程.4.点),(y x M 与点)0,2(F 的距离比它到直线04:=+x l 的距离小2，求点M 的轨迹方程．变式.点),(y x M 到y 轴的距离比它到点)0,2(F 的距离小2，求点M 的轨迹方程．抛物线的简单性质 (导学案)【学习目标】1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及p 2、会简单应用抛物线的几何性质。
高二数学《2.4.1抛物线的标准方程》学案
2.4.1《抛物线的标准方程》学案本课学习要求： 理解和掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义，会推导抛物线标准方程，掌握抛物线标准方程及Ｐ的几何意义，掌握四种形式的标准方程的数形特点，并会简单的应用。
【课前案】问题1：椭圆、双曲线的定义及标准方程？问题2：二次函数223y x x =++的图象是什么形状？【课中案】例题：例1、 已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程。
例2、（1）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的准线方程。
（2）求经过点P （－2，－4）的抛物线的标准方程。
例3、点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x+5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程。
课堂练习：1、求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点为（3，0）；（2）准线方程为x=14-；（3）焦点到准线的距离为22、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（ ）（1）y 2=20x ； （2）x 2=12y ， （3）2y 2+5x=0， （4）x 2+8y=0。
3、抛物线y=2x 2的焦点坐标是（ ）A 、（21，0）B 、（81，0）C 、（0，21）D 、（0，81） 4、过点（1，－2）的抛物线的准线方程是（ ）： A 、y 2=4x 或x 2=21y ； B 、y 2=4x C 、y 2=4x 或x 2=－21y ； D 、x 2=－21y ； 【课后案】1、准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（ ）：A 、y 2=－4x ；B 、y 2=－8x ；C 、y 2=4x ；D 、y 2=8x ；2、(1)抛物线y 2=2px(p ＞0)上一点M 到焦点的距离是 (a ＞2p )，则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 ；（2）抛物线y 2=12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ；3、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（ ）（1）x+ y 2=0 （2）x 2－8y=0， （3）y 2=ax ， （4）2y 2+7x=0。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计【教材分析】“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。
此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。
同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。
所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。
该课时通过引导学生观察，寻找到几何和代数之间的桥梁——建系，再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法。
【学情分析】本人所带班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异，比如建系的过程，有课前预习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式，而未预习的学生可能建系就有所差异，甚至于无从下手。
建系时，引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则，向着最简、最美的方向想，充分考查曲线的对称性的特点。
对于已预习的同学，建议可否还有其他建系方式等。
【学习目标及要求】：1.学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．3. 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．【教学方法】：合作探究【教学过程】：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。
由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师启发辅导，小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．讨论得出抛物线四种形式，完成下表师：如何看焦点的确定焦点位置？椭圆：看分母。
2.4.1抛物线及其标准方程学案
昆明黄冈实验学校 高二理数 2.4.1抛物线及其标准方程 学案 2015.3.16—22 第 3 周 1 2.4.1 抛物线及其标准方程（2课时） 姓名： 班级： 一、 学习目标 1、正确理解抛物线的概念 2、了解抛物线的标准方程推导过程，掌握抛物线标准方程的四种标准形式，并能求出基本的抛物线方.
二、 问题与例题 第一课时 自学
阅读教材64P—66P页并完成以下问题： 1、平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）_________的点的轨迹叫做抛物线，_______叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线． 2、同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式，完成下表：
标准 方程
图 形
焦 点
准 线
互学、导学 问题一：抛物线的概念是什么？ 问题1：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹是什么？ 答： 问题2：当1e时，动点的轨迹又是什么？ 答： 问题3：在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？ 答： 问题二：如何根据抛物线的概念来探究抛物线的标准方程？ 问题1：求曲线方程的步骤是什么？ 答： 昆明黄冈实验学校 高二理数 2.4.1抛物线及其标准方程 学案 2015.3.16—22 第 3 周 2 问题2：比较椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，所求的抛物线的方程更简单？
推导方程：
问题3：观察图形及方程，p的几何意义是什么？ 答： 问题4：如果焦点F不在x轴正半轴上，而是在y轴正、负半轴上或者x负半轴上，那么抛物线的标准方程是什么？
答：
问题5：确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?
答:
问题:6：你能说明二次函数20yaxa的图像为什么是抛物线？其焦点坐标、准线方程？ 答： 例1：（教材66P例1）已知抛物线的标准方程是xy62，求它的焦点坐标和准线方程.
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§2.4.1抛物线及其标准方程导学案
【学习目标】
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
【重点难点】
▲重点：抛物线的定义及其标准方程
▲难点：抛物线的标准方程的推导
【学法指导】
以自学为主，教师讲授为辅
【知识链接】
预习教材文P 56~ P 59找出疑惑之处
【学习过程】
探究1:生活中的抛物线——————动画导入
【自主探究】
探究2：如图，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线。
H 是l 上任意一点，过点H 作M H ⊥l ,线段FH 的垂直平分线m 交MH 与M 。
拖动点H ，观察点M 的轨迹。
————几何画板画图
问题1：动点M 的轨迹是什么曲线？
问题2：形成该曲线的条件有哪些？
问题3：如何定义抛物线的定义？
知识点一：抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．
知识点二：抛物线的标准方程的推导
问题4：求曲线方程的步骤有哪些？
问题5：如何选择坐标系建立的抛物线的方程更简便？写出抛物线的标准方程的推导过程。
归纳：焦点在x轴正半轴的抛物线时
1、标准方程为：_________________________
2、焦点坐标为：_________________________
3、准线方程为：_________________________
4、开口方向为：_________________________
【小组合作】
探究3：抛物线的标准方程还有哪些不同的形式？
定点F到定直线l的距离为p（0
p>）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：图形标准方程焦点位置焦点坐标准线方程
22
y px
=
,0
2
p
⎛⎫
⎪
⎝⎭2
p
x=-
问题6：标准方程中P的几何意义怎么理解？
问题7：如何判断焦点位置与开口方向？
小试牛刀：（口答）
1、抛物线220
y x
=的焦点坐标是（），准线方程是；
2、抛物线2
1
2
x y
=-的焦点坐标是（），准线方程是．
3、抛物线0
5
22=
+x
y的焦点坐标是（），准线方程是．
4、抛物线0
8
2=
-y
x的焦点坐标是（），准线方程是．
小结：___________________________
※典型例题
例1、已知抛物线的焦点是(0,2)
F-，求它的标准方程．
小结：________________________________________
_______________________________________
变式1: （1）焦点是)0,2
(-
F，求它的标准方程
（2）已知准线方程为2
=
x，求它的标准方程
变式2：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴经过点P(-2,-4)的抛物线方程。
⑵焦点到准线的距离是2．
小结：___________________________;___________________________
【当堂检测】
1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）．
A ．开口向上，焦点为(0,1)
B ．开口向上，焦点为1(0,)16
C ．开口向右，焦点为(1,0)
D ．开口向右，焦点为1(0,)16
2．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）．
A ．2x =
B ．2x =-
C ．2y =
D ．2y =-
3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）． A. 52 B. 5 C. 152
D. 10 4．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．
5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ．
【课堂小结】
今天我收获了：
我困惑：
作业：P64 2、（2）、（3）
【知识拓展】
焦半径公式：
设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．
若00(,)M x y 在抛物线22y px =（p>0）上，则02
p MF x =+
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
1、抛物线126x 22
22
=+=y px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（ ） A -2 B 2 C -4 D 4
2、若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数a=
3、设抛物线。
，求抛物线的标准方程的距离为的准线与直线312
==x mx y
4．点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．
5、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y x 22= （2）0342=+x y
（3）022=+x y （4）062=-x y
6．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．。