初一数学全等三角形压轴题
专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系(解析版)
1专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系知识对接考点一、利用三角形全等判断线段的关系的方法 两条线段的关系要从数量关系和位置关系两个方面考虑.1.数量关系一般是相等,可通过证明三角形全等得到;位置关系一般是平行或垂直,从图中可直接看出.2.证线段平行时,通常转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,这些角的关系一般根据全等三角形的性质得到;证明线段垂直的方法通常是证明线段所在直线所夹的角是90°.专项训练一、单选题1．（2021·北京东城·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，点A （1，3与⊙O 的位置关系是（ ） A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内 C ．在⊙O 外 D ．不能确定【答案】A 【分析】根据点A 的坐标，求出OA =2，根据点与圆的位置关系即可做出判断． 【详解】解：⊙点A 的坐标为（13， ⊙由勾股定理可得：OA ()221+3，又⊙⊙O 的半径为2， ⊙点A 在⊙O 上． 故选：A ． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离d 和圆的半径r 间的大小关系确定的：（1）当d r 时，点在圆外；（2）当d r =时，点在圆上；（3）当d r <时，点在圆内．2．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4cos 5A =，以点B 为圆心，r 为半径作B ，当3r =时，B 与AC 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【答案】B 【分析】根据Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =，求出AC 的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC 与半径r 的大小，即可得出B 与AC 的位置关系． 【详解】解：⊙Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =， ⊙cosA=45AC AB = ⊙5AB =， ⊙AC=43当3r =时，B 与AC 的位置关系是：相切 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC 是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A 的坐标为（2，1），将线段OA 绕O 点顺时针旋转90°．得到线段OB ．若正比例函数y ＝kx 图象经过点B ，则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】D 【分析】如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，先证明AOC △⊙OBD ，得到OD3＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，则B 点坐标可求，最后将点B 的坐标代入函数y kx =，即可求解． 【详解】解：如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，⊙点A 的坐标为（2，1）， ⊙OC ＝2，AC ＝1，⊙线段OA 绕O 点顺时针旋转90°得到线段OB ， ⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙BOD ＝90°， ⊙AC ⊙x 轴， BD ⊙x 轴， ⊙⊙ACO ＝⊙BDO ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙OAC ＝90°， ⊙⊙BOD ＝⊙OAC ． 在AOC △和OBD 中ACO BDO OAC BOD OA BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙AOC △⊙OBD （AAS ）， ⊙OD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2， 又⊙点B 在第四象限， ⊙B 点坐标为（1，﹣2），将点B 的坐标代入函数y ＝kx ，得：﹣2＝k ， 解得：k ＝﹣2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明AOC △⊙OBD 是解答此题的关键．4．（2021·江门市第二中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且AM BN =，3AD AM =，E 为BC 边上一动点，连接DE ，将DCE∆沿DE 所在直线折叠得到⊙DC E '，当C '点恰好落在线段MN 上时，NE 的长为( )A ．B ．5C ．3D ．【答案】A 【分析】设CE =x ，则C ′E =x ，证明四边形MNCD 是矩形，由矩形的性质得出⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10，由折叠的性质得出C ′D =CD =10，求出6MC '=，则4NC '=,在Rt NEC '中，由勾股定理得出222(8)4x x --=，解方程可得出答案． 【详解】解：设CE =x ，则C ′E =x ， ⊙矩形ABCD 中，AB =10，⊙CD =AB =10，AD =BC =12，AD∥BC ，⊙点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM =AD ，BN =AM ， ⊙DM =CN =8，⊙四边形CDMN 为平行四边形， ⊙⊙NCD =90°，⊙四边形MNCD 是矩形，⊙⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10， 由折叠知，C ′D =CD ,10，⊙6MC '==， ⊙1064CN '=-=， ⊙EN =CN -CE =8-x ， ⊙C ′E 2-NE 2=C ′N 2， ⊙222(8)4x x --=， 解得，5x =，即853NE CN CE =-=-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．55．（2021·江苏九年级）已知线段a ，b ，c ，求作：ABC ，使BC a =，AC b =，AB c =．下面的作图顺序正确的是（ ）⊙以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点； ⊙作线段AB 等于c ；⊙连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形． A ．⊙⊙⊙ B ．⊙⊙⊙ C ．⊙⊙⊙ D ．⊙⊙⊙【答案】C 【分析】先画AB c =，确定A 、B 点位置，然后通过画弧确定C 点位置，从而得到ABC ． 【详解】⊙先作线段AB 等于c ，⊙再以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点，⊙然后连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形． 故选：C ． 【点睛】本题考查了作图，作一个三角形，使这个三角形的三边等于已知的三条线段，其实质是作一条线段等于已知线段，原理是全等三角形的边边边判定定理．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图问题分解成基本作图来解决． 6．（2021·河北九年级）在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()2,B m -，当线段AB 最短时，m 的值为（ ） A ．5 B ．3 C ．4 D ．0【答案】C 【分析】根据两点之间的距离公式即可求得m 的值． 【详解】解：根据两点之间的距离公式得 222(32)(4)(4)25AB m m ++-=-+⊙当4m =时，AB 最小 故答案为C ． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中动点问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 7．（2021·山东九年级模拟预测）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：⊙作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ；⊙以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ；⊙连接BD ，BC ．下列结论不正确的是（ ）A ．30CBD ∠=︒B ．点C 是ABD △的外心C ．2ABDSAB =D ．22sin cos 1A D +=【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：由作图可知：AC AB BC ==， ⊙ABC 是等边三角形，60A ABC ∠=∠=︒， 由作图可知：CB CA CD ==，⊙点C 是ABD △的外心，90ABD ∠=︒，BD =，⊙30D CBD ∠=∠=︒，2ABD S AB =△，⊙AC CD =，⊙2BDC S AB =△，⊙22223sin cos 2A D +=+=⎝⎭⎝⎭， 故A 、B 、C 正确，不符合题意；D 不正确，符合题意， 故选：D ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角函数，三角形面积的求法等，根据作图找到相应的边角条件是解题的关键．8．（2021·山东九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ，⊙B 是锐角，AE ⊙BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接DF ，EF ．若⊙EFD ＝90°，则线段AE 的长为（ ）7A ．2B ．1C 3D 5【答案】D 【分析】延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，首先证明2DQ DE x ==+，利用勾股定理构建方程即可求解． 【详解】解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，四边形ABCD 是平行四边形， //DQ BC ∴，Q BEF ∴∠=∠,,AF EB AFQ BFE =∠=∠， ()QFA EFB AAS ∴≌， ,AQ BE x QF EF ∴===， 90,EFD DF QE ∠=︒∴⊥， 2DQ DE x ∴==+， ,//AE BC BC AD ⊥，,90AE AD AEB EAD ∴⊥∠=∠=︒，22222AE DE AD AB BE =-=-， 22(2)46x x ∴+-=-，解得：121,3x x ==-（舍去）1BE ∴=，22615AE AB BE ∴--=故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题．9．（2021·浙江九年级期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，按以下步骤作图：⊙以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，交AB，BD于E，F两点；⊙分别以点E和点F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点P；⊙作射线BP，交线段AD于点M．此时点M恰好是线段AD的中点，则CM的长为（）A B C．D．3【答案】B【分析】根据作图证明⊙ABD为等腰三角形，根据菱形的性质证明⊙ABD为等边三角形，再证明MBC∆是直角三角形,根据勾股定理求解即可．【详解】解：由作图步骤⊙⊙⊙步可得：BP为⊙ABD的平分线，又⊙M为AD的中点，⊙⊙ABD为等腰三角形，AB=BD⊙四边形ABCD是菱形，且边长为2⊙AB=BC=CD=DA=2⊙⊙ABD为等边三角形，⊙⊙ABD=⊙BAD=60°⊙⊙ABM=⊙DBM=30°，⊙DBC=60°⊙⊙MBC=⊙MBD+⊙DBC=30°+60°=90°又⊙AD=2，M为AD的中点，⊙ABD为等边三角形⊙AM=11 2AD=⊙BM在Rt⊙MBC中，CM==故选：B．【点睛】9此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明⊙ABD 为等边三角形是解答此题的关键．10．（2021·广东广州·执信中学九年级模拟预测）如图，一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）A 62B ．32C ．23D 32【答案】A 【分析】根据一次函数表达式求出点A 和点B 坐标，得到⊙OAB 为等腰直角三角形和AB 的长，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ，证明⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD ，得到关于x 的方程，解之即可． 【详解】解：⊙一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， 令x =0，则y 2y =0，则x =2 则A （2-，0），B （02，则⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙ABO =45°， ⊙AB ()()2222+，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ， ⊙⊙CAD =⊙OAB =45°，⊙⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ， ⊙AC 22AD CD +2， ⊙旋转， ⊙⊙ABC =30°， ⊙BC =2CD =2x ，⊙BD 22BC CD -3， 又BD =AB +AD =2+x ， ⊙2+x 3， 解得：x 3，x）⊙AC故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．二、填空题11．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，⊙OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．【答案】BP2+2OP2=AP2【分析】以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明⊙AOP⊙⊙BOQ，得到AP=BQ，证明⊙BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．【详解】解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，则OP=OQ，⊙POQ=90°，⊙OPQ=⊙OQP=45°=PQ，⊙直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，⊙⊙OAB是等腰直角三角形，⊙OAB=⊙OBA=45°，⊙⊙AOB+⊙POB=⊙POQ+⊙POB，即⊙AOP=⊙BOQ，OA=OB，OP=OQ，11⊙⊙AOP ⊙⊙BOQ （SAS ）， ⊙AP =BQ ， ⊙⊙OPB =45°，⊙⊙BPQ =⊙OPB +⊙OPQ =90°， ⊙在⊙BPQ 中，BP 2+PQ 2=BQ 2， ⊙BP 2+2OP 2=AP 2，故答案为：BP 2+2OP 2=AP 2．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形． 12．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）如图，点D 是锐角AOB ∠内一点，DE OA ⊥于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG 的周长最小时，FDG ∠与AOB ∠的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB ∠+∠=︒ 【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时⊙DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出⊙GOD ⊙⊙GOD ″，⊙FOD ⊙⊙FOD ′，即可得出⊙BOD =⊙BOD ′，⊙ODG =⊙OD ″G ，⊙DOA =⊙AOD ′，⊙ODF =⊙ODF ′，由⊙D ′OD ″=2⊙AOB ，⊙GDF =⊙ODF ′+⊙ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2⊙AOB +⊙GDF =180°． 【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时⊙DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，⊙GOD⊙⊙GOD″，⊙FOD⊙⊙FOD′，⊙⊙BOD=⊙BOD″，⊙ODG=⊙OD″G，⊙DOA=⊙AOD′，⊙ODF=⊙OD′F，⊙⊙D′OD″=2⊙AOB，⊙GDF=⊙OD′F+⊙OD″G，⊙⊙D′OD″+⊙OD′F+⊙OD″G=180°，⊙2⊙AOB+⊙GDF=180°，故答案为2⊙AOB+⊙GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．13．（2021·石家庄市第二十八中学九年级）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将PCQ△，ADQ△分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）AD与BC所在直线的位置关系______；（2）PAQ的大小为______°；（3）当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．【答案】//AD BC30° 【分析】13（1）根据折叠性质和平角定义证得180D C ∠+∠=︒，再根据平行线的判定可得AD 与BC 所在直线的位置关系；（2）根据折叠性质和平角定义证得90B AQP ∠=∠=︒，再根据平行线的性质证得90B DAB ∠=∠=︒，进而由DAQ QAP PAB ∠=∠=∠求解即可；（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得AR PR =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得12QR AP =，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得2AP PB =， PB QR =，223AB AP PB PB -，进而求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得：B AQP ∠=∠，DAQ QAP PAB ∠=∠=∠，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠，D ARQ ∠=∠，C QRP ∠=∠，⊙180QRA QRP ∠+∠=︒， ⊙180D C ∠+∠=︒， ⊙//AD BC ， 故答案是：AD ⊙BC ；（2）⊙180DQR CQR ∠+∠=︒，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠， ⊙90DQA CQP ∠+∠=︒， ⊙90AQP ∠=︒， ⊙90B AQP ∠=∠=︒，由（1）结论知180B DAB ∠+∠=︒， ⊙90DAB ∠=︒，⊙30DAQ QAP PAB ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD AR =，CP PR =， ⊙四边形APCD 是平行四边形， ⊙AD PC =， ⊙AR PR =， 又⊙90AQP ∠=︒，⊙12QR AP =， ⊙30PAB ∠=︒，90B ∠=︒， ⊙2AP PB =， ⊙PB QR =，⊙AB =，⊙AB ABQR PB==【点睛】本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系是解答的关键．14．（2021·连云港市新海实验中学九年级）如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =4，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ，则线段OF 长的最小值为_____【答案】4． 【分析】连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明⊙EDO ⊙⊙FDM ，可得FM ＝OE ＝4，由条件可得OM ＝OF +MF ≥OM ，即可得出OF 的最小值． 【详解】解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ， ⊙⊙EDF ＝⊙ODM ＝90°， ⊙⊙EDO ＝⊙FDM ， ⊙DE ＝DF ，DO ＝DM ， ⊙⊙EDO ⊙⊙FDM （SAS ）， ⊙FM ＝OE ＝4，⊙正方形ABCD 中，AB ＝O 是BC 边的中点，⊙OC ＝15⊙OD 22(45)(25)+10， ⊙OM 221010+102 ⊙OF +MF ≥OM ， ⊙OF ≥24，⊙线段OF 长的最小值为1024． 故答案为：1024．【点睛】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质、正方形的性质和两点之间距离，熟练掌握并准确应用是解题的关键．15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级）已知．在ABC 中，42AB =45ABC ∠=︒，5AC =，则线段BC 的长为___________．【答案】7或1 【分析】作AD ⊙BC 于点D ，分类讨论点C 在BD 延长线上或BD 上，通过勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作AD ⊙BC 于点D ，⊙当点C 在BD 延长线上时， ⊙45ABC ∠=︒，90ADB ∠=︒， ⊙ABD △为等腰直角三角形，⊙222AD BD AB +=，即(22242AD =， ⊙4=AD ，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2222543CD AC AD -=-，⊙7BC BD CD =+=；⊙当点C '在BD 上时，同⊙可得：4AD BD ==，3C D '=， ⊙1BC BD C D ''=-=． 故答案为：7或1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，无图形时注意考虑是否需要分类讨论． 三、解答题16．（2021·江苏南通市·）（1）甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？ （2）如图，点C ，D 在线段AB 上，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，AC =BD ，AE =BF ，点G 为AB ，EF 的交点，求证CD 与EF 互相平分．【答案】（1）甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）见解析 【分析】（1）利用甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1．5倍设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服，根据等量关系是乙工作量除以以的工作效率-甲工作量除以甲工作效率=4天列方程解之即可；（2）连结ED ，CF ，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，可得⊙ECA =⊙FDB ，可证⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）可得CE =DF ,且CE∥DF ,可证四边形CFDE 为平行四边形，可得CD 与EF 互相平分． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服， 根据题意，得60060041.5x x-=， 解得x ＝50，经检验：x ＝50是所列方程的解， 则1.5x ＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服．17（2）证明：连结ED ，CF ， ⊙CE ⊙AB ，DF ⊙AB ， ⊙⊙ECA =⊙FDB =90°， 在Rt ⊙ACE 与Rt ⊙BDF 中，AC BDAE BF =⎧⎨=⎩， ⊙⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）， ⊙CE =DF ，又⊙⊙ECD =⊙FDC =90°， ⊙CE∥DF ，⊙四边形CFDE 为平行四边形， ⊙CD 与EF 互相平分．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质，掌握列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质是解题关键． 17．（2021·河南郑州外国语中学九年级）在ABC 中，3AC BC ==120ACB ∠=︒，在ADE 中，90DAE ∠=︒，30AED ∠=︒，1AD =，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ． （1）如图1，当顶点D 在边AB 上时，线段BE 与线段CF 的数量关系是______，线段BE 与线段CF 的位置关系是 ；（2）将ADE 绕点A 旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（3）在ADE 绕点A 旋转的过程中，线段AF 的最大值为______；当//DE CF 时，线段CF 的长为______．【答案】（1）BE =，BE CF ⊥；（2）仍然成立，见解析；（3）12,2或1【分析】（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，连接GD 并延长交BE 于点H ，证明ADG⊙AEB ，得BE ABGD AG=AGD ABE ∠=∠，再证明CF 为BGD 的中位线即可证明结论； （2）与（1）同理可证明结论仍然成立；（3）延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，通过SAS 证明AFD ⊙KFB ，得1BK AD ==，在ABK 中，利用第三边小于两边之和，得AK AB BK <+，求出AK 最大为4，则AF 最大为2即可，当//DE CF 时，由（1）中证明可知//DG CF ，则G ，D ，E 三点共线，分点E 在D 下方，或点E 在点D 上方两种情形，分别画图进行计算即可． 【详解】解：（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，AC BC =，120ACB ∠=︒， 30CAB CBA ∴∠=∠=︒，60GAC AGC ∴∠=∠=︒， AC CG BC ∴==，∴点C 为BG 的中点，AG AD AB AE == 且DAG EAB ∠=∠，ADG ∴⊙AEB ，BE ABGD AG∴==AGD ABE ∠=∠，193BE DG ∴=，点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，CF ∴为BGD 的中位线，//CF GD ∴，12CF GD =，3BE CF ∴=，又ADG BDH ∠=∠，90BHD GAD ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，故答案为：23BE CF =，CF BE ⊥， （2）（1）中结论仍然成立，过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，设GD 交AB 于点O ，由（1）同理可证ADG ⊙AEB ， 3BE ABGD AG∴∴==AGD ABE ∠=∠， 3BE DG ∴=，点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，CF ∴为BGD 的中位线，//CF GD ∴，12CF GD =，3BE CF ∴=，又AOG BOH ∠=∠，90BHD GAO ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，故答案为：BE =，CF BE ⊥，（3）如图，延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，DF BF =，AF FK =，AFD BFK ∠=∠， AFD ∴⊙KFB ， 1BK AD ∴==，在ABK 中， AK AB BK <+，4AK ∴<，∴当4AK =时，AF 最大为2，当//DE CF 时，由（2）中证明可知//DG CF ，G ∴，D ，E 三点共线，如图，当点E 在点D 下方时，AG AE ==30E ∠=︒，3GE ∴=，211GD ∴=，1122CF DG ∴==， 当点E 与G 重合时，此时//DE CF ，112CF DE ∴==， 综上：1CF =或12，故答案为：2，1或12．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了含30角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识，是作辅助线，构造三角形相似或者全等是解题的关键，综合性较强，难度较大．18．（2021·长沙市北雅中学）（1）如图1，正方形ABCD 和正方形DEFG （其中AB DE >），连接CE ，AG 交于点H ，请直接写出线段AG 与CE 的数量关系________，位置关系________； （2）如图2，矩形ABCD 和矩形DEFG ，2AD DG =，2AB DE =，AD DE =，连接AG ，CE 交于点H ，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG ，CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD 和矩形DEFC ，26AD DG ==，28AB DE ==，直线AG ，CE 交于点H ，当点E 与点H 重合时，请直接写出线段AE 的长．【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由见解析；（3）16 5【分析】（1）根据正方形的性质，证明⊙GDA⊙⊙EDC即可得到打啊；（2）证明⊙GDA⊙⊙EDC，即可求解；（3）分⊙当点E在线段AG上时；⊙当G在线段AE上时；两种情况进行讨论求解即可.【详解】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，⊙ADC=⊙EDG=90°，⊙⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙CDE，⊙DG=DE，DA=DC，⊙⊙GDA⊙⊙EDC（SAS），⊙AG=CE，⊙GAD=⊙ECD，⊙⊙COD=⊙AOH，⊙⊙AHO=⊙CDO=90°，⊙AG⊙CE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由如下：设AD与CE交于M，由（1）知⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙EDC，⊙AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，又⊙四边形ABCD是矩形，⊙AB=CD，⊙12 DG DE DEAD AB CD===，⊙⊙GDA⊙⊙EDC，23⊙12AD AG CD CE ==，⊙ECD =⊙GAD ， ⊙CE =2AG ， ⊙⊙CMD =⊙AMH ， ⊙⊙AHM =⊙CDM =90°， ⊙AG ⊙CE ；（3）⊙当点E 在线段AG 上时，如图所示， ⊙AD =2DG =6，AB =2DE =8， ⊙DG =3，ED =4， ⊙四边形DEFG 是矩形， ⊙⊙EDG =90°，⊙225EG DG DE +=， 过点D 作DP ⊙AG 于P ，⊙⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ， ⊙⊙DGP ⊙⊙EGD ， ⊙DG PG PDEG DG DE==即3534PG PD ==，⊙95PG =，125PD =，⊙22621AP AD PD =-=⊙62116AE AG GE AP GP GE -=-=+-=⊙当G 在线段AE 上时，如图所示， 过点D 作DP ⊙AG 于P ，⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ，同理得125PD =，AP =由勾股定理得165PE ==⊙AE AP PE =+=综上所述：AE =【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.19．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图1，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ． （1）当BD ＝1时，AN ＝ ，NM 与AB 的位置关系是 ； （2）当2＜BD ＜4时，⊙依题意补全图2；⊙判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．25【答案】（110（2）⊙画图见分析；⊙不会发生变化，证明见分析；（3）BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1． 【分析】（1）根据已知条件得到1CD =，根据勾股定理得到22125AD +到ADE 是等腰直角三角形，求得10DE =根据直角三角形的性质得到1102AN DE ==122AM AB ==ACD AMN ∽，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）⊙根据题意补全图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质得到45CAB B ∠=∠=︒，求得45CAN NAM ∠+∠=︒，根据旋转的性质得到AD AE =，90DAE ∠=︒，推出ACD AMN ∽，由相似三角形的性质得到AMN ACD ∠=∠，即可得到结论；（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，得到AKB △是等腰直角三角形，推出ADK ABE △≌△，根据全等三角形的性质得到45ABE K ∠=∠=︒，证得BMG △是等腰直角三角形，求出2BC =，22AB =2MB ，由ME MG ≥，于是得到当ME MG =时，ME 的值最小，根据等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）⊙90ACB ∠=︒，2AC BC ==，1BD =， ⊙2CD =，⊙225AD AC CD +⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙ADE 是等腰直角三角形， ⊙210DE AD == ⊙N 为ED 的中点， ⊙1102AN DE ==⊙M 为AB 的中点，⊙12AM AB ==⊙AN AD ==，AM AC = ⊙AN AMAD AC=， ⊙45CAB DAN ∠=∠=︒， ⊙CAD BAN ∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙90AMN C ∠=∠=︒， ⊙MN AB ⊥．（2）⊙补全图形如下图所示；⊙（1）中NM 与AB 的位置关系不会发生变化． 理由如下：⊙90ACB ∠=︒，AC BC =， ⊙45CAB B ∠=∠=︒， ⊙45CAN NAM ∠+∠=︒，⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙AD AE =，90DAE ∠=︒， ⊙N 为ED 的中点，⊙1452DAN DAE ∠=∠=︒，AN DE ⊥，⊙45CAN DAC ∠+∠=︒ ⊙NAM DAC ∠=∠，在Rt AND △中，452AN cos DAN cos AD =∠=︒=，同理45AC cos AB =︒，27⊙AC ANAB AD=， ⊙45DAC CAN MAN ∠=︒-∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙AMN ACD ∠=∠， ⊙D 在BC 的延长线上， ⊙18090ACD ACB ∠=︒-∠=︒， ⊙90AMN∠=︒，⊙MN AB ⊥．（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，则AKB △是等腰直角三角形， 在ADK △与ABE △中，AK ABKAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙ADK ABE △≌△， ⊙45ABE K ∠=∠=︒， ⊙BMG △是等腰直角三角形， ⊙2BC =，⊙22AB =2MB ⊙451MG cos MB =︒=， ⊙90G ∠=︒， ⊙ME MG ≥，⊙当ME MG =时，ME 的值最小， ⊙1ME BE ==， ⊙1DK BE ==， ⊙2CK BC ==， ⊙1CD =， ⊙3BD =，⊙BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2021·湖北十堰市·九年级）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围． 【答案】（1）12AP BE =，AP BE ⊥；（2）12AP BE =，AP BE ⊥仍成立，理由见解析；（3）AP ≤ 【分析】（1）证明⊙BAE ⊙⊙CAD ，继而结合直角三角形中斜边中线的性质即可得答案； （2）延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，用三角形全等推出12AP BE =，再得到//AD CM ，用平行线的性质和判定就可以证明AP BE ⊥． （3）利用三角形三边关系求出AM 的范围即可确定线段AP 长的取值范围． 【详解】 （1）12AP BE =，AP BE ⊥；理由如下： ⊙AB =AC ，⊙BAE =⊙CAD =90°，AD =AE ， ⊙⊙BAE ⊙⊙CAD ， ⊙BE =CD ，⊙ABE =⊙ACD ， 又⊙P 为CD 中点， ⊙AP =CP =12CD ，29⊙12AP BE =，⊙ACD =⊙CAP ， ⊙⊙ABE +⊙AEB =90°， ⊙⊙CAP +⊙AEB =90°， ⊙⊙ANE =90°， ⊙AP BE ⊥（2）成立．12AP BE =，AP BE ⊥． 理由如下：延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，DPA CPM ∠=∠，⊙点P 为DC 的中点，⊙DP PC = 则ADP MCP ≅△△，⊙AD CM AE ==，DAP M ∠=∠， ⊙//AD CM ，⊙M DAP ∠=∠，180DAC ACM ∠+∠=︒． 又⊙90BAC DAE ∠=∠=︒， ⊙180DAC BAE ∠+∠=︒， ⊙ACM BAE ∠=∠， 又⊙AB AC =， ⊙BAE ACM ≅△△，⊙M AEB DAP ∠=∠=∠，BE AM =， ⊙12AP AM =， ⊙12AP BE =． 又⊙90EAN DAP ∠+∠=︒， ⊙90EAN AEB ∠+∠=︒， ⊙90ENA ∠=︒， 即AP BE ⊥．（3）⊙⊙AED ，⊙ABC 都是等腰直角三角形，6DE =，10BC =，⊙AD =AE ，AC =AB ，又由（2）知，CM =AD ⊙AM ≤⊙AM ≤ ⊙12AP AM =，AP ≤ 【点睛】此题考查的是三角形的旋转和相似三角形的综合题，熟悉掌握三角形旋转和相识三角形的性质和灵活的作品辅助线是解题的关键．21．（2021·北京市三帆中学）已知点P 为线段AB 上一点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转α，得到线段AC ；再将线段BP 终点B 逆时针旋转180α︒-，得到线段BD ；连接AD ，取AD 中点M ，连接BM ，CM ． （1）当60a =︒．⊙如图1，点P 为AB 中点时，补全图形，直接写出线段BM 与CM 的位置关系______．数量关系______．⊙如图2，当点P 不为AB 中点时，写出线段BM 与CM 的数量关系与位置关系，并证明．（2）如图3，当45α=︒，点P 为AB 中点时，直接写出线段AP ，BP ，BC 的数量关系______．【答案】（1）⊙BM ⊙CM ；；⊙BM ⊙CM ；，见解析；（2）22222BC BC AP BP ==+【分析】（1）⊙延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，通过证明⊙CAE⊙⊙CPB，证明⊙CEB是等边三角形，利用等腰三角形三线合一思想计算即可；⊙的结论不变，证明方法与⊙类似；（2）延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，证明三角形ACG是等腰直角三角形即可【详解】（1）⊙如图1, 延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，⊙M是AD的中点，⊙AM=MD，⊙BM=ME，⊙四边形AEDB是平行四边形，⊙AE=BD，AE∥BD，⊙PB=BD，⊙PB=AE，⊙⊙CAP=60°，AC=AP，⊙⊙APC是等边三角形，⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，⊙⊙CPB=120°，⊙⊙CAP=60°，⊙⊙PBD=120°，⊙⊙BAE=60°，⊙⊙CAE=120°，⊙⊙CAE=⊙CPB，⊙⊙CAE⊙⊙CPB，⊙CE=CB，⊙ACE=⊙PCB，⊙⊙ACE+⊙PCE=⊙PCB+⊙PCE，⊙⊙ACP=⊙BCE=60°，⊙⊙CEB是等边三角形，⊙BM=ME，31⊙BM⊙CM，⊙tan60°=CM BM，⊙CM；故答案为：BM⊙CM；CM；⊙关系为：BM⊙CM；CM；理由如下：如图2, 延长BM到点F，使得BM=MF，连接AF，CF，DF，⊙M是AD的中点，⊙AM=MD，⊙BM=MF，⊙四边形AFDB是平行四边形，⊙AF=BD，AF∥BD，⊙PB=BD，⊙PB=AF，⊙⊙CAP=60°，AC=AP，⊙⊙APC是等边三角形，⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，⊙⊙CPB=120°，⊙⊙CAP=60°，⊙⊙PBD=120°，⊙⊙BAF=60°，⊙⊙CAF=120°，⊙⊙CAF=⊙CPB，⊙⊙CAF⊙⊙CPB，⊙CF=CB，⊙ACF=⊙PCB，⊙⊙ACF+⊙PCF=⊙PCB+⊙PCF，⊙⊙ACP=⊙BCF=60°，⊙⊙CFB是等边三角形，33⊙BM =MF ，⊙BM ⊙CM ， ⊙tan 60°=CMBM， ⊙CM 3；（2）如图3, 延长BM 到点G ，使得BM =MG ，连接AG ，CG ，DG ， ⊙M 是AD 的中点， ⊙AM =MD ， ⊙BM =MG ，⊙四边形AGDB 是平行四边形， ⊙AG =BD ，AG∥BD ， ⊙PB =BD ， ⊙PB =AG ， ⊙AP =PB =AC⊙AP =PB =AG =AC =BD ， ⊙⊙CAP =45°， ⊙⊙PBD =135°， ⊙⊙BAG =45°， ⊙⊙CAG =90°，⊙⊙CAN =⊙GAN ，⊙ANC =90°，⊙AN =NC =NG ， ⊙在直角三角形BCN 中， 222CN BN BC +=，⊙222))PB PB BC ++=，⊙22222BC BC AP BP ==【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角函数，熟练运用上面的知识，准确推理是解题的关键．22．（2021·河南信阳·）在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长． 【答案】（1）BP CE =，BC CE ⊥；（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =，见解析；（3）2或14 【分析】（1）连接AE ，证明⊙ABC 、⊙APE 为等边三角形， 再证明ABP ACE ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，再求得30ABP ACE ∠=∠=︒，即可得90ACE ACB ∠+∠=︒，所有BC CE ⊥．（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =．选图2证明：连接AE ，易证BAP CAE ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得CE CABP BA==ACE ABP ∠=∠，根据等腰直角三角形的性质可得45ABD CBD ACB ACE ∠==︒∠∠==∠，由此可得3590BCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒，结论可证；选图3证明，类比图2的证明方法即可；（3）分图2和图3两种情况求CE 的长即可． 【详解】（1）如图，连接AE ，⊙BA BC =，且60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABC 为等边三角形，⊙60ABC BAC ACB ∠=∠=∠=︒，AB =AC ， ⊙PE PA =，且60APE α∠==︒， ⊙⊙APE 为等边三角形， ⊙60PAE ∠=︒，AP =AE ，⊙BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠， ⊙BAP CAE ∠=∠； 在⊙BAP 和⊙CAE 中， AB AC BAP CAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙ABP ACE ∆∆≌，⊙BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，⊙BD AC ⊥，BA BC =， 60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABP =30°，⊙30ABP ACE ∠=∠=︒， ⊙90ACE ACB ∠+∠=︒， ⊙BC CE ⊥．故答案为：BP CE =，BC CE ⊥．（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为2CE BP =． 理由如下：选图2证明：连接AE ，。
2020年中考数学第三轮冲刺专题复习：三角形 压轴题练习(含答案)
四川省渠县崇德实验学校2020年中考数学第三轮冲刺专题复习：三角形压轴题练习1、如图，等腰直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC边上一点，∠CBD＝30°，点E是BD边上一点，且CE＝12 AB．（1）如图①，若AB＝，求S△CBE（2）如图②，过点E作EQ⊥BD交BC于点Q，求证：AC＝12BD+2EQ．2、如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．3、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF＝CF；（2）求证：FG⊥DG．4、△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，连接DH，求证：（1）EH＝FH；（2）∠CAB＝2∠CDH．5、如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，点G是BF的中点，连接EG．（1）求证：EG∥BC；（2）若△ACD∽△AEC，且AE•AD＝16，AB＝4，求EG的长．6、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD＝∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交P A于N点，且PN＝AN．（1）求证：MN＝MA；（2）求证：∠CDA＝2∠ACD．8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：，CD，求线段AB的长．9、如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．10、在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，D为AB上一点，且满足AE＝AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG＝AF+FG．11、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝DE＝EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．12、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE ＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP•CQ的值为．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP•CQ的值是否会改变？答：．（填“会”或“不会”）此时AP•CQ的值为．（不必说明理由）（2）在（1）的条件下，设CQ＝x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用）（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由．14、已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．15、已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CD；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，AC=7，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求AD AB的值．16、已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1、【解答】（1）解：如图①中，作CH ⊥BD 于H ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝∴AC ＝BC ＝2，在Rt △BCH 中，∵∠CBH ＝30°，∴CH ＝12BC ＝1，BH ，∵CE ＝12AB ，∴HE 1，∴BE ﹣1，∴S △CBE ＝12•BE •CH ＝12•1）•1＝2． （2）证明：如图②中，连接DQ 、作CH ⊥BD 于H ．∵=CE CH AB BC ＝12，∠CHE ＝∠ACB ＝90°， ∴△CHE ∽△ACB ，∴∠CEH ＝∠ABC ＝45°，∵∠DCQ ＝∠DEQ ＝90°，∴∠DCQ +∠DEQ ＝180°，C 、D 、E 、Q 四点共圆，∴∠CQD ＝∠CED ＝45°，∴△CDQ 是等腰直角三角形，∴CD ＝CQ ，AD ＝BQ ，∵AC ＝CD +AD ，CQ ＝CQ ＝12BD ，BQ ＝2EQ ， ∴AC ＝12BD +2EQ ． 2、【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN，∵AG＝NG＝12 AN，∴AF＝2AG．3、【解答】证明：（1）如图，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 中点， ∴CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ． 又EF ∥AB ， ∴=EF CF AD CD， ∴=EF AD CF CD ＝1， ∴EF ＝CF ；（2）如图，延长DG 交BC 于点M ，连接GM∴DM 为△BAC 的中位线，GM 为△BEC 的中位线，DG 为△BAE 的中位线； ∴DG ＝2AE ，GM ＝2EC ， ∴+==1+DM AE EC EC DG AE AE， 又EF ∥AB ，易证得=EC FC AE DF， ∴+=1+=1+==DM EC FC DF FC DF DG AE DF DF FC ，在△DGF 与△DMC 中，有∠FDG=∠CDM ，=DM DC DG DF； 故△DGF ∽△DMC ；所以∠FGD ＝∠CMD ；又∠CMD ＝180°﹣∠ACB ＝90°，∴∠FGD ＝90°，∴FG ⊥DG ．4、【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴∠CAE +∠AEC ＝∠DAF +∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠AEC ，∵∠AFD ＝∠CFE ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ，∵CH ⊥EF ，∴HE ＝HF ；（2）∵∠ADF ＝∠CHF ＝90°，∠AFD ＝∠CFH ，∴△ADF ∽△CFH ， ∴=CF HF AF DF，∵∠AFC ＝∠DFH ，∴△AFC ∽△DFH ，∴∠CAF ＝∠CDH ，∵∠CAD ＝2∠CAF ，∴∠CAB ＝2∠CDH ．5、【解答】证明：（1）∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAE ＝∠F AE ．∵CE ⊥AD ，∴∠CEA ＝∠FEA ＝90°．在△ACE 和△AFE 中，∠CAE=∠FAE ，AE=AE ，∠CEA=∠FEA=90°， ∴△ACE ≌△AFE ．∴CE ＝FE ．又∵G 是BF 的中点，∴EG ∥BC ．（2）∵△ACD ∽△AEC ，CE ⊥AD ，∴∠ACD ＝∠AEC ＝90°，且=AC AE AD AC． ∴AC 2＝AE •AD ＝16．∴AC＝4．在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，由勾股定理得：BC8．∵EG是△FBC的中位线，∴EG＝11=8=4 22×BC．6、【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝12AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝12 AB，∴CE＝12×6＝3，∵AD＝4，∴4=3AFCF，∴7=4ACAF．7、【解答】证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD＝∠MAN，∠BMD＝∠MNA，∵∠AMD＝∠BMD，∴∠MAN＝∠MNA，∴MN＝MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN＝AN．∴＝＝，∴MC＝MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN＝NA，∠NCA＝∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NCM＝2∠ACD，∵∠CMN＝∠DMB，∠DMA＝∠BMD，∴∠CMD＝∠DMA，在△CMN和△DMA中，CM=MD，∠CMN=∠DMA，MN=MA，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM＝∠NCM＝2∠ACD．即：∠CDA＝2∠ACD．8、【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED CD，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：，则AF ＝x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △F AE 中，EF ＝3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2∴222x +=2（）， 解得x ＝1，∴AB ＝+4．9、【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∵D 为AC 中点，∴∠DBC ＝30°，AD ＝DC ，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∠FDB=∠E，∠BFD=∠DCE，BD=DE，∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，∠FDB=∠DEC，∠P=∠DCE=60°，DB=DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE．10、【解答】（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x）2+x2＝22，（负根已经舍弃），∴x＝2∴AB＝AC＝（•2∴BC AB．（2）作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，FG⊥CD，∴∠AEB＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，∵∠ABE＝∠CAQ，AB＝AC，∠BAE＝∠ACQ＝90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE＝AQ，∠AEB＝∠Q，∴∠CMF＝∠Q，∵∠MCF＝∠QCF＝45°，CF＝CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM＝FQ，∴BE＝AQ＝AF+FQ＝AF＝FM，∵EG＝MG，∴BG＝BE+EG＝AF+FM+MG＝AF+FG．11、解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于G，∴∠AGC＝∠AGB＝90°，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD ＝DE ＝∴BG ＝BD +DG ＝+a ，在Rt △BGC 中，∠BCG ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴BC ＝2BG ，CG ＝，在Rt △DGC 中，CD ＝AC ＝根据勾股定理得，CG 2+DG 2＝CD 2，∴（）2+a 2＝90，∴a ＝2或a ＝2（舍）， ∴BC ＝EC +BE ＝EC +BD ，∴EC +BD ＝2（BD +DG ），∴EC ＝BD +2DG ＝2+2a ＝2+2×＝9﹣；（2）如图2，在MC 上取一点P ，使MP ＝DE ，连接AP ，∵△BDE 是等边三角形，∴∠BED ＝60°，BE ＝DE ，∴∠DEC ＝120°，BE ＝PM ，∵AE ＝AM ，∴∠AEM ＝∠AME ，∴∠AEB ＝∠AMP ，∴△ABE ≌△APM （SAS ），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP+CP＝2DE；（3）如备用图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH中，AH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，AC AH m，∵MC+AD＝BC＝BH+CH＝m m＝（m，∴MC+AD．12、【解答】解：（1）8，不会，8；∵∠A＝∠C＝45°，∠APD＝∠QDC＝90°，∴△APD ∽△CDQ ．∴AP ：CD ＝AD ：CQ ．∴即AP ×CQ ＝AD ×CD ，∵AB ＝BC ＝4，∴斜边中点为O ，∴AP ＝PD ＝2，∴AP ×CQ ＝2×4＝8；将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α． ∵在△APD 与△CDQ 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠APD ＝180°﹣45°﹣（45°+a ）＝90°﹣a ，∠CDQ ＝90°﹣a ，∴∠APD ＝∠CDQ ．∴△APD ∽△CDQ ． ∴=AP CD AD CQ， ∴AP •CQ ＝AD •CD ＝AD 2＝（12AC ）2＝8． （2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥BC 于N ， ∵O 是斜边的中点，∴DM ＝DN ＝2，∵CQ ＝x ，则AP ＝8x，∴S △APD ＝12•8x •2＝8x ，S △DQC ＝12x ×2＝x ， ∴y ＝8﹣8x﹣x （2≤x ＜4）， 当45°＜α＜90°时，如图3，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DG ＝2∵CQ ＝x ，∴AP ＝8x， ∴BP ＝8x ﹣4 ∵=BP BM DG MG， 即82-x =2MG MG，MG ＝2x 4-x ∴MQ ＝2x 4-x +（2﹣x ）＝2x -4x+84-x∴y ＝2x -4x+84-x（0＜x ＜2）； （3）在图（2）的情况下，∵PQ ∥AC 时，BP ＝BQ ，∴AP ＝QC∴x ＝8x，解得x ＝， ∴当x ＝时，y ＝8﹣＝8﹣．14、【解答】提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∠ADB=∠ACB，∠CAB=∠DBA，AB=BA ∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD ＝BC ．综合运用：作∠BEC ＝∠BCE ，BE 交AC 于E ．由（2）得，AD ＝BC ＝BE ＝1．在Rt △ACB 中，∠CAB ＝18°，∴∠C ＝72°，∠BEC ＝∠C ＝72°．由∠CFB ＝∠CAB +∠DBA ＝36°， ∴∠EBF ＝∠CEB ﹣∠CFB ＝36°，∴EF ＝BE ＝1．在△BCF 中，∠FBC ＝180°﹣∠BFC ﹣∠C ＝72°， ∴∠FBC ＝∠BEC ，∠C ＝∠C ，∴△CBE ∽△CFB ． ∴=CB CF CE CB，令CE ＝x ， ∴1＝x （x +1）．解得，x∴CF ． 由∠FBC ＝∠C ，∴BF ＝CF ．又AF ＝BF ，∴AC ＝2CF ．15、【解答】（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝12∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC，∠EF A＝∠AFC＝90°，∴EF CF，∴EC＝BD＝∴BE（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM m，BMm，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴AD ＝BM ，∴AD AB ． 16、【解答】解：（1）结论：AD ＝2PD ． 理由：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∵∠EDC ＝120°，∴∠EDB ＝180°﹣120°＝60°， ∴∠B ＝∠EDB ＝∠BED ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∵BP ＝PE ，∴DP ⊥AB ，∴∠APD ＝90°，∵DE ＝DC ，DE ＝DB ，∴BD ＝CD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠P AD＝12∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠PBC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。
专题 全等三角形压轴题训练(30题)(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．4．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．5．（2022秋•新宾县期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求证：EG＝FG．（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．7．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．8．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝ 在△ACD和△CBE中，（ ）∴△ACD≌△CBE，（ ）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴ ∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=1 2∠BAD，求证：DF＝EF﹣BE．10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．11．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．12．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE＝AD+BE的理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系： ．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系： ．14．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．①求证：AC＝BD．②求∠APB的度数．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为 （直接写出结果，不证明）．15．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．16．已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB＝AC+BD．17．问题情境：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN 上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为 ．（直接写出结果）18．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.19．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．21．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC 于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．22．（2022秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为 ；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为 （用含α的式子表示）．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．24．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．＝ ；（1）如图1，当点D在BC上时，CB＝10，AE＝4，则S四边形ABDE（2）如图2，当B、C、E三点共线时，D在AC上，连接BD、AE，F是AD的中点，过点A作AG∥BD，交BF的延长线于点G，求证：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如图3，B、C、E三点共线，且∠DBE＝15°，将线段AE绕点A以每秒10°的速度逆时针旋转，同时线段BE绕点E以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BE和AE互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．25．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AC⊥AB，过点C作AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P作AP的垂线，交直线m于点E，再过点P作BC的垂线，交直线AC于点F．（1）如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：CF﹣CE＝AC；（2）如图2，点F在线段CA的上时，AC、CE、CF三条线段的数量关系为 ；（3）如图3，点F在线段AC的延长线上时，AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？并证明．26．如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．27．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 ；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．28．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，彭老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）．①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD转化在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜16，则AD的取值范围是 ．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC与BQ的数量和位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，请直接利用（2）的结论，试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．29．探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE+BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：证明：延长CB到G，使BG＝DE，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABG＝∠D＝90°，∴△ADE≌△ABG．∴AG＝AE，∠1＝∠2；∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°．即∠GAF＝∠ ．又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌ ．∴FG＝EF，∵FG＝FB+BG，又BG＝DE，∴DE+BF＝EF．变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 ；（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=1 2∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=12∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B 与∠D满足关系： ．30．问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．实际应用：如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，快艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30nmile/h的速度前进，快艇乙沿北偏东50°的方向以40nmile/h的速度前进，1.5h后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达E，F处，且两艇之间的夹角为70°，试求此时两艇之间的距离．。
2018中考数学专题复习 全等三角形压轴题分类解析(无答案)
三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
初一数学压轴题杨辉三角
初一数学压轴题杨辉三角一、在杨辉三角中，若某一行的第二个数是15，则这一行的所有数字之和为？A. 64B. 128C. 256D. 512（答案）C二、杨辉三角的第n行（n≥2）中，除了两端的数字外，每个数字都等于它上方两个数字之和。
若第8行的中间数字为m，则m的值是？A. 28B. 42C. 56D. 70（答案）A三、在杨辉三角中，某一行的数字依次是1，x，y，z，1，其中y是这一行的最大数字，那么x+y+z的值是？A. 18B. 22C. 24D. 28（答案）B四、杨辉三角的第n行（n为奇数）所有数字之和为2的n-1次方，那么第9行的中间数字是？A. 32B. 36C. 72D. 128（答案）B五、在杨辉三角中，若某一行的数字和为1024，则这一行共有多少个数字？A. 10B. 11C. 12D. 13（答案）B六、杨辉三角的第n行数字之和等于(1+1)的n-1次方，若第k行的数字和为64，则第k+1行的第二个数字是？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）B七、在杨辉三角中，某一行的数字从左到右依次是a，b，c，d，e，其中c是这一行的最大数字，那么a+b+c+d+e的值可能是？A. 30B. 32C. 62D. 64（答案）D八、杨辉三角的第n行（n≥3）中，若中间的数字是m，且m=C(n, k)（其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数），则k的值是？A. n/2B. (n-1)/2C. n/2+1D. (n+1)/2（答案）B（注：此题假设n为偶数，若n为奇数，则中间数字对应的k值为(n+1)/2，但根据题目要求，我们选择了更一般且适用于偶数n的选项B作为“可能”的答案，实际情况下需根据n的奇偶性判断）。
专题 全等三角形压轴题(30题)(原卷版)
八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．2．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．点G在直线BC上，点E在直线AB上，且AG与CE相交于点F，过点A 作边AB的垂线AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如图①，当点E在△ABC的边AB上时，求∠DCE的度数；（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上时，求证：AB＝BG．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．7．（2022秋•新市区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．8．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；（2）如图②，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．11．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．12．（2022秋•渝北区校级期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG 的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．13．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．14．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC 于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.17．（2022春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应的图形并说明理由；（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD 的位置关系．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在直线AC上，点E在直线AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如图1，当点D、E分别在边AC、AB上时，求证：DE⊥AB；（2）如图2，当点D在CA延长线上，点E在BA延长线上时，DE、BC延长线交于点F，作∠EAC的角平分线AG交DF于点G，求证：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG交CD于点H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度数．20．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．22．（1）如图1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．24．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．＝ 32 ；（1）如图1，当点D在BC上时，CB＝10，AE＝4，则S四边形ABDE（2）如图2，当B、C、E三点共线时，D在AC上，连接BD、AE，F是AD的中点，过点A作AG∥BD，交BF的延长线于点G，求证：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如图3，B、C、E三点共线，且∠DBE＝15°，将线段AE绕点A以每秒10°的速度逆时针旋转，同时线段BE绕点E以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BE和AE互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．25．如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．26．已知∠BAM+∠MDC＝180°，AB＝AM，DC＝DM，连接BC，N为BC的中点．（1）①定理“等边对等角”即：对于任意△ABC若满足AB＝AC，则∠ABC＝∠ ；②如图1若A、M、D共线，若∠BAM＝70°，求∠NDC的大小；（2）如图2，A、M、D不共线时，求∠ANB+∠DNC的值．27．（2023春•将乐县校级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝ ；（2）如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD ⊥CD；（3）如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM+∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE之间的数量关系，并写出证明过程．28．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），AB＝BC，AB⊥BC，点B在x轴上．（1）如图1，AC交x轴于点D，若∠DBC＝10°，则∠ADB＝ ；（2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，﹣1），求点B坐标；（3）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，∠BFM＝45°，MF交直线AE于点M，若点B（﹣1，0），BM＝5，求EM的长．29．（2023春•贵港期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A （4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF ＝45°，S △ECF ＝6，求S △BEF 的值．30．（1）阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD 的取值范围是 ；（2）问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF ＞EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，∠B +∠D ＝180°，CB ＝CD ，∠BCD ＝140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．。
七年级数学期末压轴题
1．三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40，那么满足条件，且彼此不全等的三角形共有个2．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE的外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ） A ．∠A ＝∠1－∠2 B ．2∠A ＝∠1－∠2 C ．3∠A ＝2∠1－∠2 D ．3∠A ＝2（∠1－∠2）3．CD 经过B C A ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E F ，分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F ，在射线CD 上，请解决下面的问题：①如图1，若90BCA ∠=，90α∠=，则BE CF ；EF |BE －AF |（填“>”，“<”或“=”）；②如图2，将(1)中的已知条件改成∠BCA=60°，∠α=120°,其它条件不变，(1)中的结论__________。
（填“成立”、“不成立”）③若0180BCA <∠<，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF BE AF ，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）____________________．10.数学课上，老师让同学们按要求折叠长方形纸片.第一步：先将长方形的四个顶点标上字母A ，B ，C ，D （如图12）； 第二步：折叠纸片，使AB 与CD 重合，折出纸痕MN ，然后打开铺平；第三步：过点D 折叠纸片，使A 点落在折痕MN 上的A ’处，折痕是DL .这时，老师说：“A ’L 的长度一定等于LD 的一半.”同学们经过测量果然如此.为了解开其中的奥秘，老师设置了几个思考题，请同学们完成：（1）△ALD 与△A ’LD 关于LD 对称吗？（2）AD =A ’D 吗？∠ADL =∠A ’DL 吗？∠LA ’D 是直角吗？ （3）连接AA ’，△A ’AN 与△A ’DN 对称吗？ （4）A ’A =A ’D 吗？△A ’AD 是什么三角形？（5）请同学们完整地说明A ’L =21LD 的理由.1（EDCBA 2(第2题) A BC E FDDABCE F ADFC EB（图1）（图2）（图3）BC M DAA′L 图12 N11.如图2，在等边△ABC 中，取BD ＝CE ＝AF ，且D ，E ，F 非所在边中点，由图中找出3个全等三角形组成一组，这样的全等三角形的组数有( ).A.2B.3C.4D.512.若227()38x，则x = .13.图10-1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形， 沿图中虚线用剪刀均 分成四块小长方形， 然后按图7的形状拼成一个正方形． （1）你认为图10-2中的阴影部分的正方形的边长等于多少? （2）请用两种不同的方法求图6中阴影部分的面积． （3）观察图10-2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式：(m +n )2，(m -n )2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a +b =7，ab =5，则(a -b )2= ．14.如图11，已知在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 是∠B 的平分线，DE 是BC 的垂直平分线. 求∠C 的度数。
初二全等三角形压轴题
初二全等三角形压轴题全等三角形可是初二数学里超有趣的部分呢，尤其是压轴题，那可真是像一场刺激的冒险。
咱先来说说全等三角形是啥。
全等啊，就好比是两个三角形双胞胎一样，长得一模一样，大小、形状都分毫不差。
这时候就会有一些特别的条件来判断它们是不是全等，像SSS（边边边），就是三条边都相等，那这两个三角形肯定全等啦。
就好像三个人比身高、体重、臂长都一样，那肯定就是同一个模子里刻出来的。
还有SAS （边角边），两条边和它们的夹角相等，这也能证明全等。
这就好比两个人胳膊长度一样，两条腿长度一样，然后中间的角度也一样，那肯定长得一样呀。
还有ASA（角边角）和AAS（角角边）呢，角和边的关系组合起来就能确定这两个三角形是不是全等啦。
那在压轴题里呢，这些条件可不会明明白白地摆在你面前。
出题的老师就像一个调皮的小精灵，把这些条件藏起来，让你去费心思找。
有时候啊，你得在一个复杂的图形里，像寻宝一样去挖掘那些隐藏的边和角的关系。
比如说，给你一个大三角形，里面又套着好几个小三角形，然后告诉你一些角的度数或者边的长度，让你证明其中哪两个三角形全等。
这时候你就得眼睛放光，把那些有用的信息都挑出来。
有很多小技巧可以用哦。
你可以先把已知的条件都标在图上，这样就一目了然啦。
然后从要求证的全等三角形入手，去想我需要什么条件才能证明它们全等呢？要是缺了哪个条件，就再去图里找。
有时候还得利用一些对顶角相等啊，或者是同角的余角相等这些隐藏的小关系。
就像玩解谜游戏一样，一步一步地解开谜题。
我还遇到过那种要做辅助线才能证明全等的题呢。
辅助线就像是给你一把神秘的钥匙，打开了解题的新大门。
比如说在一个三角形里，你觉得这两个三角形好像能全等，但是差了一条边或者一个角的关系，这时候画一条合适的辅助线，可能就把这个关系给补上了。
不过画辅助线可不容易，就像在黑暗里摸索一样，有时候得试好几次才能找到合适的那条线。
而且在做这些压轴题的时候，可不能着急。
越着急越容易出错。
中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析
专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>； （2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+； （3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且△MPN ＝60°，△BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ＝PN 时，试说明MN ＝BM +CN ． (2)如图②，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ≠PN 时，MN ＝BM +CN 还成立吗？ 答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，请直接写出BM ，NC ，MN 之间的数量关系．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【变式训练3】在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ． （1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ②如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ． 求让：MD ME =【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ． （1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【变式训练2】已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，在射线CA 上截取线段CE ，在射线AB 上截取线段BD ，连接DE ，DE 所在直线交直线BC 与点M ．请探究：(1)如图（1），当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD =CE ，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD =CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；类型四、旋转模型 例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含α的式子表示AMB ∠的度数；（2）当90α=︒时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ 的形状，并加以证明．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．则：①△AEB 的度数为 °；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且△ACB ＝△DCE ＝90°，点 A 、D 、E 在同一直线上，若AD ＝a ，AE ＝b ，AB ＝c ，求a 、b 、c 之间的数量关系． （3）探究发现：图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转过程中，当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索△AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式训练3】如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．类型五、手拉手模型例．在等边ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，连接CF ．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长； (2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB ∠=︒+∠，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ 的面积．【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A ，D ，E 在同一直线上，连接AE ，BE ． ①求证：△ACD △△BCE ；②求△AEB 的度数．(2)类比探究：如图2，点B 、D 、E 在同一直线上，连接AE ，AD ，BE ，CM 为△DCE 中DE 边上的高，请求△ADB 的度数及线段DB ，AD ，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD （或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AD ＝6，BD ＝10，则CD ＝ ．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）类型六、一线三角模型例.在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC △CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有△BDA =△AEC =△BAC ．如图①，当△BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<△BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，△ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD△△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD△△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若△BDA＝△AEC＝△BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA=△AEC=△BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若△BDA=△AEC=△BAC，请直接写出△DEF的形状是．。
决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《三角形》(含解析)
《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。
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等腰RT▲
• 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中 点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、 DF、EF． • （1）求证△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形
解：(1)∵∠ACB=90°，AC=CB F是AB边上的中点 ∴∠A=∠B=45° ∵F是AB边上的中点 ∴CF⊥AF, ∠ACF=45° ∴AF=CF 又AD=CE, ∠DAF=∠ECF=45° ∴△ADF≌△CEF (2) ∵△ADF≌△CEF ∴DF=EF, ∠AFD=∠CFE ∵∠AFD+∠CFD=90° ∴∠CFE +∠CFD=90° ∴△DFE是等腰直角三角形
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解：（1）90°． 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， AB＝AC∠BAD＝∠CAEAD＝AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90° ∴∠BCE=90°； （2）①α+β=180° ， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中，AB＝AC∠BAD＝ ∠CAEAD＝AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠A;∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°； ②当点D在射线BC上时，α+β=180° ； 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中 AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°， ∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+ ∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180° ， ∴α+β=180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时， α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， AD＝AE∠DAB＝∠EACAB＝AC ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB， ∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE，