03 线性变换及其矩阵

第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意向量x均存在唯一的yV与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为 Txy 称y为x在变换T下的象，x为y的原象。 若变化T还满足 T(kxly)k(Tx)l(Ty) x,yV,k,lK 称T为V的一个线性变换或线性算子。 [例1] 二维实向量空间12i2R|R，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 [证明] 12x 12yTx 112212cossinsincos

112

22

cossinRsincos







1

2

12x

y

o 可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换 112

22

xzx,zR,k,lRxz



11112222

kxlzkxlzkxlz=kxlzkxlz





11221122

kxlzcossinT(kxlz)kxlzsincosxzcossincossinklxzsincossincosk(Tx)l(Tz)

















 T是线性变换。 [例2] 次数不超过n的全体实多项式nP构成实数域上的一个n1维

的线性空间，其基可选为2n1,x,x,,xL，微分算子dDdx是nP上的一个线性变换。 [证明] 显然D对nP而言是变换， 要证明D满足线性变换的条件

nf(x),g(x)P， k,lR D(kflg)k(Df)l(Dg)  D是nP上的线性变换。 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换 T(kxly)k(Tx)l(Ty) （1）T(0)T(0x)0 （2）T(x)(1)T(x)(Tx) （3）元素组12mx,x,,xL线性相关，即存在一组不全为零的数

12mk,k,,kL 使 miii1kx0



则 mmiiiii1i1T(kx)k(Tx)T(0)0  iTx线性相关。

[得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T将所有线性无关的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换。 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换eT：exV,Txx （2） 零变换0T：0xV,Tx0 （3） 变换的相等：1T、2T是V的两个线性变换，xV，均有

12TxTx，则称1T＝2T （4） 线性变换的和1T+2T：xV，1212(TT)xTxTx （5） 线性变换的数乘kT：xV，(kT)xk(Tx) 负变换：(T)x(Tx) （6） 线性变换的乘积12TT：xV，1212(TT)xT(Tx) （7） 逆变换1T：xV，若存在线性变换S使得(ST)xx，则称S为T的逆变换S＝1T （8） 线性变换的多项式： nnTTTTgL144424443个，并规定0eTT

Nnnn0f(T)aT Nn

nn0f(T)xaTx



需要说明的是： 1）eT也称为单位变换； 2）； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，

eSTT； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积、多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。

二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设T是线性空间nV的一个线性变换，且12nx,x,,xL是nV的一个基，xVn，存在唯一的坐标表示 1212n1122nn

n

xx,x,,xxxxLLM

1122nn1212n

n1212n

n

TxT(xxx)(TxTxTx)T(xxx)LLM

LM

因此，要确定线性变换T，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。

1i2ii12n

ni

aaTxx,x,,xaLM

1121n11222n212n12n12n

1n2nnn

aaaaaaTx,x,,xx,x,,xx,x,,xAaaaLLLLLMMMM

L

对于任意元素x，在该基下，变换后Tx的坐标表示为

1212n

n

Txx,x,,xLM

同时 112212n12n

nn

TxT(xxx)x,x,,xALLMM

对比可知： 1122

nnA





MM

即： 12nxM 12

nTxA





M

1. 定义：把A称为T在基12nx,x,,xL下的矩阵。 2. 定理：设12nx,x,,xL是nV的一个基，1T、2T在该基下的矩阵分别为A、B。则有 （1）1212n12n(TT)x,x,,xx,x,,x(AB)LL （2）112n12nkTx,x,,xx,x,,x(kA)LL （3）1212n12n(TT)x,x,,xx,x,,x(AB)LL （4）11112n12nTx,x,,xx,x,,xALL

推论1. 设miii0f(t)at为纯量t的m次多项式，T为线性空间nV

的一个线性变换，且在nV的基12nx,x,,xL下的矩阵为A，则 12n12nf(T)x,x,,xx,x,,xf(A)LL

其中2n0e12nf(T)aTaTaTaTL 2n012nf(A)aIaAaAaAL

推论2. 设线性变换T在nV的基12nx,x,,xL下的矩阵为A，元素x在该基下的坐标为12n(,,)L，则Tx在该基下的坐标

12n(,,)L满足

12nM＝12

nA







M

3.相似矩阵 设T在nV的两个基12nx,x,,xL及'''12nx,x,,xL的矩阵分别为A和B，且'''12nx,x,,xL＝12nx,x,,xLC，则 1BCAC

即A和B为相似矩阵。 [证明] nn1212Tx,x,,xx,x,,xALL ''''''nn1212

Tx,x,,xx,x,,xBLL

12n12nTx,x,,xCx,x,,xCBLL

12n12nx,x,,xACx,x,,xCBLL

ACCB 即1BCAC

定理：n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换T在不同基下的矩阵。