分数裂项1完整PPT课件
六年级第一讲：分数裂项
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education分数裂项| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education例1一、单位分数的拆分：导入课堂 练习：()[]1161+= （）与[ ]中数不同 例1：()()()()()()()()11111111201201101+=+=+=+=+=教学建议：首先要掌握10的因数有哪几个解：分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：BA n m N n n m N m n m N n m N 11)()()()(11+=+++=++= 本题10的约数有:1,10,2,5 …… 例如：选1和2，有：151301)21(102)21(101)21(10)21(1101+=+⨯++⨯=+⨯+⨯= 本题具体的解有：3011513511416011211101111101+=+=+=+=专题解析典型例题解析| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假Nice Education练习1(1)()()11121+= 有哪几种情况？ (2)杯望希11161++= （“希” “望” “杯”代表不同的整数，一种情况即可）(3)赛竞克匹林奥11111121+++++= （不同数代表不同的数，一种情况即可）例2求：+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 (31)30130291⨯+⨯的值 教学建议：用裂项法求)1(1+n n 型分数求和分析：因为=+-++=+-)1()1(1111n n n n n n n n )1(1+n n （n 为自然数） 所以有裂项公式：111)1(1+-=+n n n n分析：a n =111)1(1+-=+n n n n所以 原式311301301291514141313121211-+-+-+-+-+-=31303111=-=练习2(1)91901541431321⨯++⨯+⨯+⨯ (2)121＋261＋3121＋4201＋……＋204201| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education(3)99009899970297017271565542413029201912116521++++++++++ (4)1200520043221=⨯++⨯+⨯xx x(5)?,20052004)1(11216121n n n 求已知=+++++例3求1009711071741411⨯++⨯+⨯+⨯ 的值 教学建议：用裂项法求)(1k n n + 型分数求和分析：)(1k n n +型。
第04讲-分数裂项求和(1)
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
7、
【解析】，，……，
，所以
原式
8、.
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，
原式
9、
【解析】原式
1、(迎春杯初赛)计算：
【解析】原式
2、(走美杯初赛)_______
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
，形式的，我们有：
（3）
（4）
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
，形式的，我们有：
二、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）（2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
学科教师辅导讲义ห้องสมุดไป่ตู้
学员编号：
年级：六年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
学科教师：
授课主题
第04讲——分数裂项求和
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
会找通项，并能利用通项来裂项；
六年级分数-裂项法
六年级分数-裂项法1.2分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。
法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。
对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=- （2）等差数列求和公式：()n a a a aa a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n ②)(1d n n +＝d 1×（n 1－dn +1）例1. 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋ (100991)例2. 计算：110×11＋111×12 ＋……＋159×60例3. 计算：12 ＋16 ＋112＋120 ＋130 ＋142例4. 计算：110×11＋111×12 ＋……＋119×20 例5. 计算12×3 ＋13×4＋……＋16×7 ＋17×8例6. 计算：1＋12 ＋16 ＋112＋120例7. 计算：16 ＋112 ＋120＋130 ＋142 ＋156 ＋172例8. 计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9. 计算：11111144771*********++++⨯⨯⨯⨯⨯例10. 计算：22222315356399++++例11. 计算：1111118244880120168+++++例12. 计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13. 计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005⨯例2. 计算:（751×911×116）÷（113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861） 例7. 计算:⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211=.例8. 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .例9. 计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .例10. 计算:4513612812111511016131+++++++= .例11. 计算:()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .例12. 计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211=能力训练：1、计算：1) 5132÷132＋7143÷143＋9154÷1542) 156 ＋172 ＋190 ＋11103) 18 ＋124 ＋148 ＋180 ＋1120 4) 212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋……＋200520042005⨯5) 212＋772＋1652＋……＋16772＋202126) 21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097) 1＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋91908) 21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋5125119) 5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。
六年级分数-裂项法
1.2分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。
法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。
对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=-（2）等差数列求和公式：()n a a a a a a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n②)(1d n n +＝d1×（n 1－d n +1）例1. 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋100991⨯例2. 计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋159×60例3. 计算：12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142例4. 计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋119×20例5. 计算12×3 ＋13×4 ＋……＋16×7 ＋17×8例6. 计算：1＋12 ＋16 ＋112 ＋120例7. 计算：16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172例8. 计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9. 计算：11111144771*********++++⨯⨯⨯⨯⨯ 例10. 计算：22222315356399++++ 例11. 计算：1111118244880120168+++++例12. 计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13. 计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005⨯例2. 计算:（751×911×116）÷（113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861）例7. 计算:⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211= .例8. 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .例9. 计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .例10. 计算:4513612812111511016131+++++++= .例11. 计算:()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .例12. 计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211=能力训练：1、计算：1) 5132÷132＋7143÷143＋9154÷1542) 156 ＋172 ＋190 ＋11103) 18 ＋124 ＋148 ＋180 ＋11204) 212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋……＋200520042005⨯5) 212＋772＋1652＋……＋16772＋202126)21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097) 1＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋91908) 21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋5125119)5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。
裂项相消ppt课件
2
,
1
1 2
3
,
1
2
1
3
4
,,
1
2
1 3
n
,(n
N
*
)
的前n项和
提示： an
1
1 2
n
2 n(n 1)
2( 1 n
1) n 1
Sn
2[1 பைடு நூலகம்
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
21
1 n 1
2n n 1
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
A.1
B.
C.
D.
，则S5等于 ()
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
1 n
1
(2)
(2n
1
1)2n
1
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3) 1 1 (1 1 ) (4)
1
n1 n
n(n 2) 2 n n 2
n1 n
注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
1
小试身手
应该怎样拆项？
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 列)的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数
3
裂项法求和
例：求数列
1,
1 1
1数列求和之裂项相消法优质课件PPT全
1
nn
k
1 k
1 n
n
1
k
变式4：
求和：
Sn
1+ 1 1+2
1 1+2+3
1
1+2+3
n
例2 数列an的前n项和Sn , 通项公式an 2n1,
设bn
=
an +1 Sn Sn+1
，求:数列bn
的前项和Tn
bn
2n 2n 1 2n1 1
1
1
2n 1 2n1 1
1
Tn =1 2n1 1
1 n 1
n ,求其前n项和为Sn.
知识归纳
裂项相消法 分式型
裂项相消法的一般步骤 求通项 裂项 相消
裂项相消法常见裂项公式
求和
变式4：数列的通项公式an
nn
1
1 n
2
, 求其前n项和Sn.
n
n
1
1
n
2
1 2
n
1
n 1
n
1
1
n
2
Sn
=
1 2
1 2
n
1
1
n
2
变式1： 已知数列an为等差数列,a1 1 ,a1 a2 a3
S 数列 bn
满足 bn
2n 1
anan1 2
求：数列 bn
的前n项和
n
bn
2n
n2 n
1
12
1 n2
1 n 1 2
提升
数列an的前n项和Sn ,通项公式an
1 n2
,
证明: Sn 2
小结
五年级分数裂项
分数数列计算分数数列计算本讲我们向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）以及换元、通项归纳进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，形如1a×(a+1)的分数可以拆成1a－1a+1；形如1a×（a+n）的分数可以拆成1n×（1a－1a+n），形如a+ba×b的分数可以拆成1a+1b等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
对于复杂的分数计算，若有比较庞大的“共同体”，可以考虑换元的方法。
【例1】★计算：11×2 +12×3+13×4+…..+199×100【小试牛刀】14×5+15×6+16×7+…..+139×40【例2】★计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50【小试牛刀】 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99【小试牛刀】11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100【例3】★计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556【小试牛刀】114 －920 +1130 －1342 +1556【例4】★★计算：12 +14 +18 +116 +132 +164【小试牛刀】计算 12 +14 +18 +………+1256【例5】★★计算：（1+12 +13 +14 ）×（12 +13 +14 +15 ）－（1+12 +13 +14 +15 ）×（12 +13 +14）【小试牛刀】（12 +13 +14 +15 ）×（13 +14 +15 +16 ）－（12 +13 +14 +15 +16 ）×（13 +14 +15）【例6】★★计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【小试牛刀】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯【例7】★★计算：5791113151719 1612203042567290 -+-+-+-+【小试牛刀】11798175 451220153012 ++++++【例8】★★★计算1111 123234345192021++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________；【例9】★★★1111 135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________【小试牛刀】1111 135357579192123++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________；【例10】★★★11111121231234123450++++++++++++++++=_________；【小试牛刀】1111 11212312100 ++++++++++1. 12+16+112+120+130+1422.110×11+111×12+112×13+113×14+114×153.11×5+15×9+19×13+…..+133×374. 14+128+170+1130+12085. 23 +29 +227 +281 +22436.计算（18 +19 +110 +111 ）×（19 +110 +111 +112 ）－（18 +19 +110 +111 +112 ）×（19 +110 +111）7.计算（1+11999 +12000 +12001 ）×（11999 +12000 +12001 +12002 ）－（1+11999 +12000 +12001 +12002）×（11999 +12000 +12001）8.计算：11111123420261220420+++++9．计算111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯10.计算：111112123122007 +++⋯+++++⋯。