九年级数学时习之答案

九年级数学时习之答案专题7：几何三大变换相关问题.29. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)，C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，)，B( ，O)( 0).（1）结合坐标系用坐标填空．点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称（2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求值．【答案】解：（1）（﹣1，3）；（2，2）；（﹣1，2）。

（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），△PAB的面积= （1+a）×6﹣a2﹣×1×（6﹣a）=5，整理得，a2﹣7a+10=0，解得a1=2，a2=5。

所以，a的值为2或5。

【考点】网格问题，坐标与图形的对称变化，坐标与图形性质，三角形的面积。

【分析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可：由图可知，点C与C′关于点（﹣1，3）对称；点C与C″关于点（2，2）对称；点C与D关于点（﹣1，2）对称。

（2）先求出点P的坐标，再利用△APB所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解。

30. （2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽,长．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD与MN相交于点O．（1）求的度数；（2）在图2中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．图1 图2【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：∠BAM=15°，∵四边形AMNH是矩形，∴∠M=90°。

∴∠AKM=90°－∠BAM=75°。

∴∠BKO=∠AKM=75°。

，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°。

∴∠DOM=∠BKO+⊂ABD=75°+45°=120°。

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，∵NH= ，AH= ，∠H=90°，∴。

∴∠HAN=30°。

∴AN=2NH=7。

由旋转的性质：∠DAH=15°，∴∠DAN=45°。

∵∠DAC=45°，∴A，C，N共线。

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC。

∵AD=CD= ，∴。

∴NI=AN－AI=7－3=4。

在Rt△DIN中，。

（3）点B在矩形ARTZ的外部。

理由如下：如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°。

∵∠R=90°，AR= ，∴。

∵，∴AB= ＞。

∴点B在矩形ARTZ的外部。

【考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。

【分析】（1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数。

（2）首先连接AM，交BD于I，连接DN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案。

（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置。

31. （2012福建宁德13分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；(2)当0º＜≤45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，连接EG(如图3)．请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45º＜≤135º且≠90º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135º＜＜180º时(如图4)，等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．【答案】解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。

又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。

∴∠MAE＝∠EAC。

∴AE平分∠MAC。

（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。

又∵AC=AB，∴AF＝AC。

由（1）知，∠FAE＝∠CAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。

∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。

∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90º。

在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。

证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。

又∵AC=AB，∴AF＝AC。

又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。

∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。

又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。

又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。

∴∠DFE＝90º。

在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。

【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。

（2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE 中应用勾股定理而证明。

小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明。

（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。

仿（2）证明即可。

32. （2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F 是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．【答案】解：(1)5。

由折叠（轴对称）性质知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=900。

在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴。

∴A′B=BC－A′C=5－4=1。

∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=900，∴∠BEA′=∠FA′C。

又∵∠B=∠C=900，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。

∴，即∴。

在Rt△A′EF中，。

（2）①。

②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。

又∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′。

∴∠AEF=∠AFE 。

∴AE=AF。

∴AE=A′E=AF=A′F。

∴四边形AEA′F是菱形。

【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。

【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A′与B重合时（如图1），EF= AD=5。

根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的长，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的长。

（2）①由图3和图4可得，当时，四边形AEA′F是菱形。

②由折叠和矩形的性质，可得AE=A′E，AF=A′F。

由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF。

从而AE=A′E=AF=A′F。

根据菱形的判定得四边形AEA′F是菱形。

33. （2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．∴9a＋3b＝016a＋4b＝4，解得：a＝1b＝－3。

∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。

(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1。

∴直线OB的解析式为y＝x。

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。

∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。

又点D在直线y＝x－m上，∴x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。

∵抛物线与直线只有一个公共点，△＝16－4m＝0，解得：m＝4。

此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。

∴D点坐标为(2，－2)。

(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。