2.3.2 双曲线的简单几何性质 问题训练——评价单
2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
x y 1 (a 0,b 0 ) a b
2 2
范围 a x a
b y b
x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
关于x轴、y轴、原点对称
方程(2)的焦距___ ;虚轴长__;
渐近线方程是________________
16 例5 点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线 l : x 5
y 16 d 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， H 5 MF 5 点M的轨迹就是集合P M , d 4 2 ( x 5) y O 5
A1（- a，0），A2（a，0）
c e (0 e 1) a 无
c e a
(e 1)
b y x a
练习 . 回答下列问题:
y2 x2 2 2 (1) 1;(2)9 y 16 x 144. 25 144
方程(1)的焦点坐标___ 实半轴长__;
渐近线方程_____________________
－－韦达定理与点差法
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.设而不求(韦达定理、点差法)
练习:
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16
的直线与双曲线
192 交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
2.3.2双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质【知识目标】 1.完成下表2.直线与双曲线的位置关系断定（与椭圆的区别）:3.直线与椭圆相交的弦长公式。
【能力目标】题型一：双曲线的几何性质研究运用例1.求14416922=-x y 双曲线的半实轴和半虚轴长、焦点坐标、离心率，渐近线方程、准线方程。
例2根据下列条件求出双曲线的标准方程 （1）已知双曲线的渐近线的方程x y 21±=，焦距为10；（2）已知双曲线的渐近线的方程x y 32±=，且过点,1,29⎪⎭⎫⎝⎛-M ;(3)与椭圆14922=+yx有公共焦点，且离心率25=e 。
例3．（课本）双曲线型冷却塔外形是双曲线的一部分绕虚轴旋转成的曲面，他的最小半径为12m,上口半径为13m.下口半径25m,高为55m ，建立适当坐标系，求出此双曲线的的方程。
2010福建理7．若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222>=-a ya x的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为( )A ．),323[+∞-B ．),323[∞++C ．),47[+∞-D ．),47[+∞题型二：第二定义及其双曲线的离心率求解（jianjingxian ） 例1.双曲线1366422=-yx上的一点到它的右焦点距离为8，那么它到左准线的距离为（ ） A.10 B.7732 C.212 D.532例2.求适合下列条件的双曲线离心率 （1）双曲线的渐近线的方程x y 21±=；（2）过焦点求垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为直角。
（3）双曲线)0(12222b a by ax <<=-的半焦距为c ，直线l 过两点),0(),0,(b a ，且原点到直线的距离为.43c2011全国新理（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，A B 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A）（B）（C ）2 （D ）3例3（综合）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．练习：双曲线)1,0(12222a b by ax <<=-的焦距为2c,直线l 过点（a,0），（0,b ）,且点（1,0）到直线l 的距离与点（-1,0）到直线l 的距离之和c s 54≥，求双曲线的离心率e 。
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修201
2．3.2 双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线C 1的方程：x 29－y 216＝1.问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b2≥1，∴x 2≥a 2，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线9x 2－16y 2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．解：把方程9x 2－16y 2＋144＝0化为标准方程为y 29－x 216＝1.由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝53；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .双曲线的草图如图．[例2] (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.[类题通法](1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝ca列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. (3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)设与双曲线x22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝k (k ≠0)，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4x ，求此双曲线的离心率．[解] 当焦点在x 轴上时， 其渐近线方程为y ＝±b ax ，依题意，得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2＝54a ，∴e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a bx ，依题意，得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝53a ，∴e ＝c a ＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.[类题通法]求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a.(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解． [活学活用]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.3.直线与双曲线的相交[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 22＝1所截得的弦长为4，求直线l 的方程．[解题流程][活学活用]已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2＜0， 则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8. 解得k ＝0或k ＝±62， 由(1)知上述k 的值符合题意， 所以k ＝0或k ＝±62.[随堂即时演练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.2．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝c a＝ 2.3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4， 即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝14．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 答案：35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)， 则9a 2－2b2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ， ∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.[课时达标检测]一、选择题1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32， ∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．(全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1＜1－k 4＜4， ∴－12＜k ＜0. 5．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 二、填空题 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7.又因为焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0) 7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B | ＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215三、解答题9．已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程． 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)． 因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝±1.。
课件5：2.3.2 双曲线的简单几何性质
y2 3
＝1共焦点的双曲线方程为
x2 13－k
＋3－y2 k＝1(3<k<13)，即13x－2 k－k－y23＝1(3<k<13)．
由离心率e＝ac＝ 131－0 k，即 131－0 k＝ 25，解得k＝5， 故所求双曲线方程为x82－y22＝1.
课堂典例讲练
已知双曲线的方程，研究其几何性质
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐 标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
___实__轴_____，它的长等于____2_a_____.同时在另一条对称轴上
作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的 ___虚__轴_____，它的长等于___2_b______，a、b分别是双曲线的
_实__半__轴__长___和__虚__半__轴__长__．
3．设P(x，y)是双曲线
＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a，∴
9(c2－a2)＝16a2，∴e＝ac＝53，故选D.
4．(2015·北京理，10)已知双曲线
x2 a2
－y2＝1(a＞0)的一条
渐近线为 3x＋y＝0，则a＝__________________.
[答案] [解析]
3
3
双曲线
x2 a2
－y2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±1a
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)上一点，则
x≥a或x≤－a，y∈R.
4．双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的
__离__心__率____，其取值范围是_(_1_，__＋__∞__) _．e越大，双曲线的张
口越_____大_____．
高中数学人教A版选修2.3.2《双曲线的几何性质》知能演练轻松闯关
1.过双曲线x 2－y 2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．8D ．4 2 解析：选B.双曲线x 2－y 2＝4的焦点为(±22，0)，把x ＝22代入并解得y ＝±2，∴|AB |＝2－(－2)＝4. 2.(2018·菏泽质检)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：选B.由已知c ＝2，∴a ＝b ＝22c ＝2，所以双曲线的标准方程是：x 22－y 22＝1.3.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是__________．解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 答案：(±7，0)4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c ＝4，且满足ca＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x[A 级 基础达标]1.双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x解析：选C.把方程右边的“3”换为“0”，即得渐近线方程为y ＝±3x . 2.(2018·岳阳质检)等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1D.x 218－y 218＝1 解析：选D.因等轴双曲线的焦点为(－6，0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.3.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.4.若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k ＝__________．解析：∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线，∴k ＋4<0.∴k <－4.∴a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)．∴c 2＝a 2＋b 2＝9－k －4＝5－k .∴ca ＝5－k 3＝2.∴5－k ＝36.∴k ＝－31. 答案：－315.双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为__________．解析：椭圆中a ＝5，b ＝3，c ＝25－9＝4，∴焦点为(0，－4)，(0，4)，离心率e ＝c a ＝45.∴所求双曲线的离心率为85，焦点为(0，－4)，(0，4)．∴c ′＝4，e ′＝c ′a ′＝85.∴a ′＝52.∴(b ′)2＝(c ′)2－(a ′)2＝16－254＝394.∴双曲线方程为4y 225－4x239＝1.答案：4y 225－4x239＝16.根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0；(2)P (0，6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解：(1)因渐近线为4x ＋3y ＝0， 故可设双曲线的方程为：16x 2－9y 2＝k ，① 将⎝⎛⎭⎫154，3代入得： k ＝225－81＝144. 代入①并整理得： x 29－y 216＝1. 故所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∵PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，∴2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，∴c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3.∴a ＝|OP |·tan π6＝23，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求双曲线的标准方程为 x 212－y 224＝1. [B 级 能力提升]7.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( ) A.y 24－x 24＝1 B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 29－y 24＝1 解析：选A.2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c ， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)， ∴(a －b )2＝0，即a ＝b . ∵一个顶点坐标为(0，2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1.8.已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C.43 D.53 解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2·2b ， ∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)， 即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．故选D.9.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为__________．解析：连接虚轴一个端点、一个焦点及原点构成三角形(图略)，由条件知，这个三角形的两直角边分别是b 、c (b 是虚半轴长，c 是半焦距)，且一个内角是30°，即得bc＝tan 30°，所以c ＝3b .所以a ＝2b ，离心率e ＝c a ＝32＝62.所以应填62.答案：6210.双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程． 解：由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1(a 2>25)；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b2＝1(0<b 2<25)， 点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40，双曲线过点P (3，4)的渐近线为y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16， 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.11.(创新题)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．求直线AB 的方程．解：由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1，得 (2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*)令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根，∴2－k 2≠0，且x 1＋x 2＝2k （2－k ）2－k 2.∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.。
《2.3.2.1双曲线的简单几何性质》课堂达标·效果检测
课堂达标·效果检测1.双曲线-=-1的渐近线方程是( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选A.将双曲线-=-1化为标准方程为-=1,可知焦点在y轴上, 由a=3,b=2,可知双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.【解析】选B.由双曲线的渐近线方程是y=±x知=,所以b=a,所以c2=a2+b2=a2+a2=a2,所以e2==,所以e=.故选B.3.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A.-=1B.-=1或-=1C.-=1D.-=1或-=1【解析】选B.实轴长为10,虚轴长为6,所以a=5,b=3.当焦点在x轴上时,方程为-=1;当焦点在y轴上时,方程为-=1.4.(2014·吉林高二检测)已知双曲线的渐近线方程为y=±,虚轴长为4,则该双曲线的标准方程是.【解析】若双曲线的焦点在x轴上,则=,2b=4,解得b=2,a=4,所以此时双曲线的标准方程为-=1;若双曲线的焦点在y轴上,则=,2b=4,解得b=2,a=1,所以此时双曲线的标准方程为y2-=1.综上可知:该双曲线的标准方程是-=1或y2-=1.答案:-=1或y2-=15.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程.【解析】由已知:c=,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实轴、半虚轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3.所以b=6,n=2.所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.。
3.2.2双曲线的简单几何性质(知识解题达标测试)(原卷版)
3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1： 双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（ ） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（ ） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
方程(2)的焦距___;虚轴长__;渐近线方程是
4x y 3 ________________
x2 y2 根据上述双曲线渐近线方程, 你能发现形如 2 2 1 a b 的双曲线渐近线方程是什么?有什么规律?
x y 0 a b
x2 y2 形如 2 2 l 的双曲线渐近线方程是 a b
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
8 3 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 x2 y2 y2 x2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 2 1 (B) x 2 2 4 2 4
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
2.3.2双曲线的简单几何性质
一、教材分析
模块
选修2—1
设计人
课题：2.3.2双曲线的简单几何性质
授课班级
授课教师
徐厚友
课标要求及解读
理解双曲线的有关性质及其简单运用。
教
学
目
标
知识
与
技能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、进一步理解双曲线的结构原理。
2、掌握双曲线的前三条几何性质及简单运用。
过程
与
方法
1、通过类比、观察图像探索新知识
2、通过小组合作、讲解培养学生的合作能力和语言表达能力
椭圆
双曲线
图形
范围
对称性
顶点
小试牛刀：
（三）应用新知
1.求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标。
2.已知双曲线 的虚轴长是实轴长的两倍，则实数 。
3.求与双曲线 有相同顶点，且过点A(6， )的双曲线方程点
（五）法律渗透
双曲线是有规律的曲线，有对称美。而我们社会中也需要有一定的规则来约束，那就是法律，古话说不依规矩不成方圆，没有法律社会就会大乱。所以我们要做一个知法、守法的好公民。
（六）课外作业
1.以双曲线 的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线方程为。
2.以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 。
教师提问，学生回答
问答式梳理知识要点
小组类比探究双曲
线的范围、对称性、
顶点
教师检查学生活动
三．教学反思
二．教学过程
教学流程、知识呈现
教学方法、师生活动
（一）回顾引入
师问：
1.双曲线的定义是什么？用数学符号怎么表示？
2.双曲线的标准方程是什么？
3.前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的那些性质？
2.3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e a
c a b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求 二
例题讲解
例1 :
2 2 144 的实半轴长,虚半轴长, 9 y 16 x 求双曲线
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
分析：把方程化为标准方程
y2 x2 2 1 2 4 3
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
2 2
x y 1 (a 0,b 0 ) a b
2 2
a xa
b y b
x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) 4 x2 y2 解: 双曲线 1的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 ( 3, 2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0), a b b 4 2 9 2 2 a x y a 3 ∴ 解之得 1 4 ,∴ 双曲线方程为 2 2 9 4 b2 4 ( 3) (2 3) 1 2 2 4 a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2
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1
《2.3.2 双曲线的简单几何性质》问题训练——评价单
高二年级数学组 设计人：李芳芬 审核人：王静巧、单慧洁
班级：___________ 组名：___________ 姓名：___________ 时间： 年 月 日
问题1. 下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 （ ）
12)(12)(1164)(1416)(22222222yxDyxCyxByxA
问题2. 双曲线224xy的顶点坐标是（ ）．
A．(0,1) B．(0,2) C．(1,0) D．（2,0）
问题3. 双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于____________
问题4. 与22ax22by=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为22ax022by，若0，
则双曲线的焦点在 轴上；若0，则双曲线的焦点在 轴上。
问题5. 与双曲线xy22916有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程为
____________
问题6. 已知双曲线22ax-22by=1（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切，且
双曲线的右焦点为圆C的圆心。则该双曲线方程为___________
问题7. 双曲线122yx的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为2，
则a+b=___________
问题8.求与椭圆2214924xy有公共焦点，且离心率54e的双曲线的方程．
2
问题9. 已知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，
求PFPA的最小值
问题10. 求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程
问题11. 椭圆和双曲线22-116myx（m>0）有相同的焦点，P（3，4）是椭圆和双曲线渐近
线的一个交点，求m的值及椭圆方程
多元评价
自我 评价 同伴 评价 学科长评价 小组长评价 学术助理评价