2016考研数学矩阵正定判定的五个充要条件
高数线代
高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限，基本上极限用洛必达法则和两个重要极限去求，实在求不出来可以采用夹逼准则，但是要注意用洛必达和两个重要极限时候的形式，不要套错了。
2、连续，一般是考用定义证明一个函数连续，不会太难，基本上就是习题集上的哪几种类型，关于证明的问题，一般不容易去想，所以必要时候，需要背诵下，考原题可能性很大，还有就是判断间断点类型，这个考的可能性不大，但也算考点第二章：1、导数首先考点还是用定义证明一个函数是否可导，连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则求导公式微分公式熟练掌握第三章：1、微分中值定理，还是会考到证明题，有时候形式会变，虽然不是证明题，但是需要证明的过程才能求出答案，基本都是考拉格朗日中值定理的形式比如在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，先用拉格朗日中值定理处理一下再说2、洛必达法则3、泰勒公式4、函数凹凸性、极值这是高中的东西，不要怎么复习，5、曲率公式曲率半径这些考个选择填空的很正常，所以需要牢记公式第四章、第五章：积分、不定积分：这个不需要说太多，重点内容，必考大题，所以，这块内容的复习唯一的办法就是把练习册的题都做了，都学会，其实需要花费的时间并不是很长，先把课本上的例题公式看懂，再看练习册就很简单了。
诸如两类换元法（变dx/变前面）、分部积分法（注意加C ），最好都自己推导一遍，好记。
反常积分就是一种极限形式，前面的明白了，这里看下就懂了。
还有事积分中值定理，这个注意下，有时候题解不出来可以从这里入手第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长高数解题技巧。
（高等数学、考研数学通用）第七章：微分方程，各种类型的微分方程求解，基本上前面几节讲的内容，都是根据原理解方程，后面的大多数讲的都是套公式，所以，牢记公式，尤其注意公式的形式，不要套错了去年我们考的是一阶线性非齐次微分方程和二阶常系数非齐次e的x次方型，具体今年考哪个到时候一般老师会告诉重点，根据重点复习，太难的，拿什么去衡量难度，就三方面，问老师、从历年试题里面看、看习题集。
2016年南开大学数学学院研究生考研 《高等代数》考试大纲(上)
2016年南开大学数学学院研究生考研《高等代数》考试大纲（上）(草稿)（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。
考试要求1. 掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。
2. 掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。
3. 掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。
4. 理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。
5. 了解不可约多项式的概念及其性质。
6. 了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。
(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
考试要求1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
2.会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。
(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的越考考研秩与矩阵的秩之间的关系。
矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2.理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。
3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4.理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。
5.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一).doc
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A) AA T的行列式值不为零． (B) AA T必与单位矩阵相似．(C) A T A的行列式值不为零． (D) A T A必与单位矩阵相似．（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D) 设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) λ-1a n-1． (B) λ-1a n-2． (C) λa n-2． (D) λa n-1．（分数：1.00）A.B.C.D.4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵． (B) AA T必等价于m阶单位矩阵．(C) A T A必相似于n阶单位矩阵． (D) AA T是m阶单位矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A) B-1Q T AQB． (B) (B-1)T Q T AQB-1．(C) B T Q T AQB． (D) BQ T AQ(B T)-1．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A) ξ1． (B) ξ2． (C) ξ1-ξ2． (D) ξ1+ξ2．（分数：1.00）A.B.C.D.7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A) 有n个特征值等于1． (B) 有n-1个特征值等于1．(C) 有1个特征值等于1． (D) 没有1个特征值等于1．（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）A.B.C.D.9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A的n个特征向量两两正交．(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．（分数：1.00）A.B.C.D.10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E． (B) r(A+E)＜n．(C) A的各行元素之和均为-1． (D) A T=-A，且1是A的特征值．（分数：1.00）A.B.C.D.11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．（分数：1.00）A.B.C.D.12. 1.00）A.B.C.D.13.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=C T C．（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B) AB的特征值全大于零．(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵A有n个不同的特征值．(B) 矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．（分数：1.00）A.B.C.D.18.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) a ij≥0(i=1，2，…，n)． (B) A-1为正定矩阵．(C) A*为正定矩阵． (D) 对任意正整数k，A k为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE～Λ-kE(k为任意常数)． (B) A m～Λm(m为正整数)．(C) 若A可逆，则A-1～Λ-1． (D) 若A可逆，则A～E．（分数：1.00）A.B.C.D.20. 1.00）A.B.C.D.21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B) α(C) α是矩阵A* 1.00）A.B.C.D.22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A) A，B都相似于对角矩阵． (B) |λE-A|=|λE-B|．(C) 存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B． (D) 存在可逆矩阵P，使得AB T=P T B．（分数：1.00）A.B.C.D.23.1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．（分数：1.00）A.B.C.D.25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A) A有n个相异的特征值．(B) A T有n个相异的特征值．(C) A有n个相异的特征向量．(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵A与B相似，则必有(A) A，B同时可逆或不可逆． (B) A，B有相同的特征向量．(C) A，B均与同一个对角矩阵相似． (D) 矩阵λE-A与λE-B相等．（分数：1.00）A.B.C.D.27.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28. 1.00）填空项1:__________________29.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________33.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________38. 2.00）填空项1:__________________39.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________40.若二次型1.00）填空项1:__________________41. 1.00）填空项1:__________________42. 2.00）填空项1:__________________43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________45. 1.00）填空项1:__________________。
正定矩阵三类典型的构造方法及其相关原理
36 囱魁科技2021年•第1期正定矩阵是从二次型的正定性中抽象出来的一个概念，由于其良好的性能，使其不仅在代数学中有着广泛应用，同时在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学 等其他学科中也都有很好的拓展。
本文主要从几个不同的角度探讨正定矩阵的构造方 法，并给出相应的理论原理。
◊东华理工大学理学院胡康秀丁云杨扬魏艳正定矩阵三类典型的构造方法及其相关原理1引言在数学的学习过程中，往往侧重于对数学概念的熟悉、相关性质的理解以及对解题方法的掌握，而运用数学原理中构造性思维进行创新训练不多。
正定矩阵是一类非常特殊的 矩阵，作为对称矩阵的子类，除了具备对称矩阵可对角化的性能之外，在矩阵分解理论中 也有很好的的结论。
大家在高等代数学习的过程中关注的更多的是正定矩阵的性质和应用，但是如何构造满足需求的特殊的正定矩阵也值得大家思考与探究。
本文从矩阵运算的 角度入手，利用相关性质，从三个方面探究正定矩阵的构造思路及方法。
2对称矩阵的几点性质因为正定矩阵属于对称矩阵的范畴，为构造正定矩阵，下面分别从一般矩阵和对称矩阵的角度探究对称矩阵的构造方法。
依据［性质1】可以由一般矩阵构造出对称矩阵。
【性质1】设Ae/T 01 ,则44, .A r A^A + A r 均为对称阵。
如果想在已有对称矩阵的基础上构造出新的对称矩阵，那么则下面两条性质是很好的思路和启发。
【性质2】设&B 为两个同阶对称阵，贝!］对于任意实数恥,aA + bB 也是对称阵。
［性质3 ］设A, B 为两个对称阵，且AB = BA ,则也是对称阵。
接下来从矩阵元素、矩阵运算及特征值等三个角度分别给出正定矩阵的构造方法。
3对称矩阵的三种典型的构造方法（1）元素构造法：从矩阵内部元素从发，通过选取特殊的数来构造满足特定需要的正定矩阵。
【方法1.1】设%,…，a ”为"个非零实数，令a…=a,+\ ,若「工丿时取勺.=%碍，则= 正定。
昆明理工大学考研试题高等代数(2015-2016年)
1. (10 分) 设 p 是一个奇素数, 多项式 f (x) x p px 1. 证明: f (x) 在有理数域上不可约.
2. (10 分) 计算 n 阶行列式
a1 a2 a1 a2
an an .
a1
a2 an
3. (15 分) 若向量组1,2 ,,s s 2 线性无关, 讨论
1 1 1
5、 （15 分）求 A 2 1 0 的逆矩阵。
1
1
0
6、 （20 分）设V 是数域 F 上全体 n 阶方阵构成的空间，V1 是V 中全体对称方阵构成的子 空间，V2 是V 中全体反对称方阵构成的子空间。证明：V V1 V2 。
7、 （15 分）设1, 2 , , n 是线性空间V 中一组向量，T 是V 的一个线性变换。证明： T (L(1, 2 , ,n )) L(T1, T2 , , Tn ) 。
利用维数公式证明：W1 W2 .
10. (10 分) 设 (x1, x2 ,, xn ), ( y1, y2 ,, yn ) 为实空间 Rn 中任意两个向量, A (aij ) 为
n 阶实矩阵. 证明： Rn 对于内积 A T 做成欧氏空间的充要条件是 A 为正定矩阵.
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昆明理工大学 2015 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
8.
设矩阵
A
2 3
x 1
2 1
与
B
0 0
2 0
0 y
相
似，
则
x=
，y
=
。
1 1 1
9.
欧氏空间
R3
中一组基
0
,
1
,
1
的度量矩阵是
。
2016年考研数学三考试大纲原文
2016年考研数学三考试大纲原文2016年考研数学三考试大纲原文考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题(包括证明题)9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念5、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法7、理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数4、了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分5、理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用6、会用洛必达法则求极限7、掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线9、会描述简单函数的图形三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常(广义)积分定积分的应用考试要求1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法2、了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法3、会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题4、了解反常积分的概念，会计算反常积分四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1、了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义2、了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质3、了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数4、了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题5、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1、了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念2、了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法3、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法4、会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数6、了解，，，及的麦克劳林(Maclaurin)展开式六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3、会解二阶常系数齐次线性微分方程4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法7、会用微分方程求解简单的经济应用问题线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质2、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵4、了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法5、了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1、了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则2、理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3、理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系5、了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默(Cramer)法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1、会用克拉默法则解线性方程组2、掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法3、理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法4、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5、掌握用初等行变换求解线性方程组的方法五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法2、理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法3、六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1、了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念2、了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1、了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1、理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用5、会求随机变量函数的分布三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1、理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质2、理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布3、理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义5、会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫(Chebyshev)不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1、理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2、会求随机变量函数的数学期望3、了解切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利(Bernoulli)大数定律辛钦(Khinchine)大数定律棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理考试要求1、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)2、了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维-林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1、了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念2、了解产生变量、变量和变量的典型模式;了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表3、掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布4、了解经验分布函数的概念和性质七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1、了解参数的点估计、估计量与估计值的概念2、掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法2016考研大纲原文及解析下载汇总（全）最新2016政治考研大纲原文及解析汇总2016英语考研大纲原文及解析汇总最全2016数学考研大纲原文及解析汇总2016考研统考专业课大纲原文及解析汇总推荐2016年考研大纲解析专题2016考研择校、择专业指导。
考研数学一(线性代数)模拟试卷124(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷124(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设3阶行列式其中aij=1或－1，i=1，2，3；j=1，2，3．则｜A｜的最大值是( )A．3B．4C．5D．6正确答案：B解析：由3阶行列式的定义：｜A｜==a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a13a22a31－a12a21a33－a11a23a32，共6项．每项均是不同行、不同列的三个元素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设aij=1或－1，故｜A｜≤6．但｜A｜≠6．若｜A｜=6，则正的三项中三个元素全取1或取一个1，两个－1，总的－1的个数为偶数个．负的三项中三个元素取一个或三个－1，总的－1的个数为奇数，又正三项、负三项各自遍历了9个元素，与三个正项中－1的个数矛盾，故｜A｜≤5．同样有｜A｜≠5．若｜A｜=5，｜A｜的六项中总有一项的值为－1，此时｜A｜≤4．而故max{｜A3×3｜，aij=1或－1}=4，应选B．知识模块：线性代数2．设A，B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是( )A．(A2)－1=(A－1)2B．(A+B)－1=A－1+B－1C．(A+B)(A－B)=A2－B2D．(kA)－1=kA－1(k≠0)正确答案：A解析：(A2)－1=(AA)－1=A－1A－1=(A－1)2；B不成立，例：B=－A，A+B 不可逆；C中，当AB≠BA，即BA－AB≠0时，不成立；D中，(kA)－1=A－1不一定等于kA－1．知识模块：线性代数3．已知P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则( )A．当t=6时．P的秩必为1B．当t=6时，P的秩必为2C．当t≠6时，P的秩必为1D．当t≠6时，P的秩必为2正确答案：C解析：“AB=0”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：①Am×sBs×n=O=>r(A)+r(B)≤s；②Am×sBs×n=O=>组成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．对于本题，PQ=O=>r(P)+r(Q)≤3=>1≤r(P)≤3－r(Q)．当t=6时，r(Q)=1=>1≤r(P)≤2≥r(P)=1或2，故A和B都错；当t≠6时，r(Q)=2=>1≤r(P)≤1=>r(P)=1．故C正确，D错．知识模块：线性代数4．要使部是线性方程组AX=0的解，则系数矩阵A可能为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因[－2，1，1]ξ1=0，[－2，1，1]ξ2=0．故选A．知识模块：线性代数5．设则下列选项中是A的特征向量的是( )A．ξ1=[1，2，1]TB．ξ2=[1，－2，1]TC．ξ3=[2，1，2]TD．ξ4=[2，1，－2]T正确答案：B解析：因Aξ2=故ξ2是A的对应于特征值λ=－2的特征向量．其余的ξ1，ξ3，ξ4均不与Aξ1，Aξ3，Aξ4对应成比例，故都不是A的特征向量．知识模块：线性代数6．设其中A可逆，则B－1等于( )A．A－1P1P2B．P1A－1P2C．P1P2A－1D．P2A－1P1正确答案：C解析：因B=AP2P1，故B－1=(AP2P1)－1=P1－1P2－1A－1=P1P2A－1．知识模块：线性代数7．设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )A．向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出B．向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出C．向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D．矩阵A=[α1，α2，…，αm]与矩阵B=[β1，β2，…，βm]等价正确答案：D解析：A=[α1，α2，…，α，]与B=[β1，β2，…，βm]等价r(α1，…，αm)=r(β1，…，βm)β1，β2，…，βm线性无关(已知α1，αm，…，αn 线性无关时)．知识模块：线性代数8．已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0 ( )A．必是A的二重特征值B．至少是A的二重特征值C．至多是A的二重特征值D．一重、二重、三重特征值都可能正确答案：B解析：A是3阶矩阵，r(A)=1，故r(0E－A)=1．那么(0E－A)X=0有两个线性无关的特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：r(A)=1，λ=0是三重特征值．知识模块：线性代数9．下列矩阵中，是正定矩阵的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：具体的数值矩阵正定性的判别，可利用定理：A正定A的顺序主子式全部大于零，即A正定的必要条件：aij＞0，i=1，2，…，n，｜A｜＞0．其中A中a22=0，B中b33=－2，C中｜C｜=0．故(A)，(B)，(C)都不正定．D的顺序主子式全部大于零，故D是正定阵．故应选D．知识模块：线性代数填空题10．设α=[1，2，3]，A=αTβ，则An=______．正确答案：解析：A=αTβ=An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n－1A．知识模块：线性代数11．已知－2是的特征值，其中b(b≠0)是任意常数，则x=______．正确答案：-4解析：由｜λE－A｜=｜－2E－A｜=0，且b≠0，可求得x=－4．知识模块：线性代数12．设3阶方阵A，B满足关系式A－1BA=6A+BA，且则B=______．正确答案：diag(3，2，1)解析：由A－1BA=6A+BA得B=6A(E－A)－1=diag(3，2，1)，其中λ1，λ2，…，λn全不为零．知识模块：线性代数13．方程组有解的充要条件是______．正确答案：解析：因故AX=b有解r(A)=r([A｜b) 知识模块：线性代数14．已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是______．正确答案：解析：f的对应矩阵f正定，即A正定A的顺序主子式大于0，即取公共部分，知t的取值范围是知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一行列式矩阵历年真题试卷汇编1_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2014年]行列式=( )．SSS_SINGLE_SELA(ad-bc)2B一(ad-bc)2Ca2d2一b2c2D一a2d2+b2c2分值: 5.6答案:B令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．2.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0分值: 5.6答案:B利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB 为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．3.[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5.6答案:B因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而 Q-1AQ4.[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．SSS_SINGLE_SELAE—A不可逆，E+A不可逆BE—A不可逆，E+A可逆CE—A可逆，E+A可逆DE—A可逆，E+A不可逆分值: 5.6答案:C由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．填空题5.设n阶矩阵，则｜A｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:(一1)n-1(n一1)｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n一1)．6.[2015年] n阶行列式=______.SSS_FILL分值: 5.6答案:2n+1-2按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到D n =2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2=…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2 =2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．7.[2016年]行列式=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:λ4+λ3+2λ2+3λ+4=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．8.设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:一22n-1／3由｜kA｜=k n｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．9.[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·SSS_FILL分值: 5.6答案:2B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．10.[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:2由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．11.[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则｜B｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:1/9在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．12.设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:3所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A 与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．13.[2013年] 设A=(aij )是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij +Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:-1由aij =一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即A T=一A*，从而｜A｜=｜A T｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1.14.若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．SSS_FILL分值: 5.6答案:λ≠1因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．15.设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:3由ααT=知，于是αTα=3．16.设，而n≥2为整数，则A n一2A n-1=______．SSS_FILL分值: 5.5答案:O先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出A n．当n=2时， A2==2A．当n=3时， A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设A k=2k-1A，下面证A k+1=2k A．事实上，有A k+1=A k·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2k A．因而对任何自然数n，有A n=2n-1A，于是A n一2A n-1=2n-1A一2·2n-2A=O．解答题17.[2012年] 设计算行列式.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:由题得｜A｜=1·1·1·1+(一1)4+12a·a·a·a=1一a4．18.[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中证明行列式｜A｜=(n+1)a n.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:利用三对称行列式的结论证之．知｜A T｜==(n+1)a n，故｜A｜=｜A T｜=(n+1)a n．19.设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，A T是A的转置矩阵．当A*=A T时，证明｜A｜≠0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:用反证法证之．若｜A｜=0，则AA T=AA*=｜A｜E=O．设A=[aij ]n×n的行向量为a i (i=1，2，…，n)，则由AA T=O得αiαiT=ai12+ai22+…+ain2=0(i=1，2，…，n)，于是αi =0(ai1，ai2，…ain)(i=1，2，…，n)，进而有A=O．这与A≠O矛盾，故｜A｜=0．20.设A是n阶矩阵，满足AA T=E(E是n阶单位矩阵，A T是A的转置矩阵)，｜A｜＜0，求｜A+E｜．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:｜A+E｜=｜A+AA T｜=｜A(E+A T)｜=｜A｜｜E+A T｜=｜A｜｜E T+A T｜=｜A｜(E+A)T｜=｜A｜E+A｜，故(1一｜A｜)｜A+E｜=0．因｜A｜＜0，有1一｜A｜＞0，可得｜A+E｜=0．21.[2008年]设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:当｜A｜≠0即a≠0时，由克拉默法则知，该方程组AX=b有唯一解，且唯一解的第1个分量x1=D1／｜A｜，其中将A的第1列换成[1，0，…，0]T，得到=｜A｜n-1=na n-1．故 x1=D1／｜A｜=na n-1／[(n+1)a n]=n／[(n+1)a]．22.设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξξTξξT=E一2ξξT+(ξξT)ξξT．①如果A2=A，则E一2ξξT+(ξξT)ξξT=E一ξξT，即ξξT(1一ξξT)=O．因ξ≠0，故ξξT≠O．因而1一ξTξ=0，即ξTξ=1．反之，如果ξTξ=1，则由式①有A2=E一2ξξT+ξξT=E一ξξT=A．[2018年] 已知a是常数，且矩阵可经初等变换化为矩阵SSS_TEXT_QUSTI23.求a；分值: 5.5答案:由题设条件可知矩阵A与B等价，则，r(A)=r(B)．因为所以因此a=2．SSS_TEXT_QUSTI24.求满足AP=B的可逆矩阵P．分值: 5.5答案:设矩阵，对增广矩阵作初等变换可得解得所以又因P可逆，因此即k2≠k3．故，其中k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3．[2016年] 已知矩阵SSS_TEXT_QUSTI25.求A99；分值: 5.5答案:由｜λE—A｜==λ(λ+1)(λ+2)=0知A有3个不相等的特征值．下面求可逆矩阵P使P-1AP=Λ．为此求出A的3个线性无关的特征向量．当λ1=0时，有(0E-A)X=0即AX=0．由及基础解系的简便求法得特征向量a=[3／2，1，1]，取特征向量a1=(3，2，2)T．当λ2=一1时，有(一E—A)X=0．由及基础解系的简便求法即得特征向量为b2=(1，1，0)T．当λ2=一2时，有(一2E-A)X=0，由一2E-A=及基础解系的简便求法得对应于λ3=一2的特征向量c=(1／2，1，0)，取c 3=[1，2，0]T．令P=[a1，b2，c3]，因它们属于不同特征值的特征向量，故a1，b 2，c3线性无关，故P为可逆矩阵，且有P-1AP=Λ=diag(0，一1，一2)，即A=PAP-1，则A**=(PΛP-1)99=PΛ99P-1SSS_TEXT_QUSTI26.设三阶矩阵B=[α1，α2，α3]满足B2=BA，记B100=[β1，β2，β3]，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．分值: 5.5答案:先证BA99=B100．事实上，BA2=BA·A=B2·A=B·BA=B·B2=B3，BA3=BA2·A=B3·A=B2·BA=B2·B2=B4，…．设BA98=B99，则BA99=BA98·A=B99·A=B98·BA=B98·B2=B100，由B100=[β1，β2，β3]，B=[α1，α2，α3]，B100=BA99，得到[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]故β1=(一2+299)α1+(一2+2100)α2，β2=(1—299)α1+(1—2100)α2，β3=(2—298)α1+(2-299)α2．27.设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:当ξξT=1时，因为有A2=A．如果A可逆，则A-1A2=A-1A，即A=E．这与A≠E矛盾，故A不可逆．1。
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