2.1.5 衰减振动方程
振动和波Word
振动和波习题课Ⅰ教学基本要求振动和波动1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。
2.理解旋转矢量法。
3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。
5.理解机械波产生的条件。
掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。
理解波形图线。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。
6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。
理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
7.理解驻波及其形成条件。
了解驻波和行波的区别。
8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。
9.了解电磁波的性质。
Ⅱ内容提要一、振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T(2)非固有量，振幅A: A=(x02+v02/ω2)1/2 位相ϕ: ϕ=ωt+ϕ0 初位相ϕ0: tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0) E p=E cos2(ωt+ϕ0) E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1|(2)相互垂直振动的合成ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10)ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形二、波动1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速.u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos[ω(t-x/u)+ϕ0]=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[2π(νt-x/λ)+ϕ0]4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
第七章衰减关系
式中 I 为地震烈度；M为震级；R为距离；ε 为随机误差变量，呈均值为零均方差为σ的
正态分布； A、 B、 C、 D为回归常数，随选用的数据而变化。其中C 表示几何扩散引 起的衰减，D表示介质阻尼造成的衰减；R0 为预设常数，旨在保证在震中处有意义并使震 中烈度与实际吻合。 D值将影响远场的烈度值，通常为了简单把它省略，即介质阻尼的影 响合并在 C中考虑。因此，一般使用的烈度衰减关系为
I = A + BM − C ln(R + R0 ) + ε • 常用的椭圆衰减关系为:
Ia = Aa + BaM − Ca ln(Ra + R0a ) + ε a Ib = Ab + BbM − Cb ln(Rb + R0b ) + εb
衰减关系的地区性
不论是地震烈度还是地震动参数，衰减关系都 有很强的地区性，这是显而易见的。不同地区的 震源特性、传播介质与场地条件都可能不同，衰 减规律自然不同。美国东部和西部的衰减规律明 显不同，我国东、西部的烈度衰减关系也明显不 同。我国大陆与台湾的衰减规律也不相同。图为 烈度椭圆衰减模型的长轴与短轴之比随烈度的变 化关系，反映出烈度衰减关系随地区有显著差异。 因此，衰减关系以按大地区分别使用为宜，若地 区分得过小则可能由于数据不足而确定的衰减关 系有很大的偶然性。
• 对上式两边取对数，基本衰减关系可改写为：
ln y = c0 + c1M − c3 ln(R + R0) − c6R + c7S +ε
• 工程应用中，水平地震动参数和竖向地震动参数 的衰减关系通常采用相同的模式由统计回归得 出，频谱的衰减关系则需就不同频率的地震动强 度分别进行统计回归。
《声学基础》课后习题答案123
习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。
解：由公式mmo M K f π21=得： m f K m 2)2(π=1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：lgf π210=，g 为重力加速度）图 习题1－2解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin lξθ=受力分析可得：sin m m F M g M glξθ==（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ=-则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d gt lξξ+=∴ 20g l ω=即 01,2πgf l= 这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，0)(2202200=+-+--=εεx x Tx l x l TF x（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。
大学物理阻尼振动
物体所受的阻力
f阻x
x
dx dt
动力学方程
m d2 x kx dx
dt 2
dt
k
m
x
x
O
处在空气或液体中 的振动系统
令 2 k
0m
(固有圆频率)
d2 x dt 2
2
dx dt
2 0
x
0
(阻尼系数)
2m 阻尼振动的微分方程
四、过阻尼、欠阻尼和临界阻尼
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
0
1. 小阻尼状态（弱阻尼状态 0 ) (Underdamping)
x(t ) A0e t cos( t 0 )
x
2 0
2
非周期振动
0
t
阻尼很小——准周期振动 阻尼稍大——振幅衰减得快
2. 临界阻尼状态( 0 )
§4.3 阻尼振动(Damped Oscillations)
一、阻尼振动 在恢复力和阻力的共同作用下的振动称为阻尼振动
二、 阻尼振动的特点
由于振动系统克服阻力做功而不断消耗能量，因此 振幅不断减小 ，所以阻尼振动又被称为减幅振动。
能阻量尼、力振使幅能是量常 损量失
E 1 kA2 振幅变小 2
三、阻尼振动的振动方程
(Critical Damping)
x(t) e t(At B)
阻尼很大，刚好到 平衡位置能量为零
x
0
临界阻尼
t
x
3. 过阻尼状态( 0 )
受迫振动方程
受迫振动方程受迫振动是一种常见的物理现象，它发生在许多实际应用中，如机械工程、电子设备等。
在受迫振动中，一个物体受到外界的周期性作用力，从而使其产生振动。
这种振动可以是有规律的，也可以是无规律的。
不同的振动特征和参数可以给我们提供有关物体性质和外界作用力的重要信息。
在受迫振动的研究中，我们通常会遇到一个标准的数学模型——受迫振动方程。
这个方程描述了物体在受到外界作用力时的振动情况。
受迫振动方程的形式可以因具体问题而有所不同，但它们都可以归结为一个基本形式。
以一个简单的例子来说明受迫振动方程的应用。
假设我们有一个悬挂在弹簧上的质点，它受到一个周期性的外力作用。
我们可以通过受迫振动方程来描述质点的振动情况。
受迫振动方程可以写作：m * d²x/dt² + b * dx/dt + k * x = F(t)其中，m是质点的质量，x是质点的位移，t是时间，b是阻尼系数，k是弹簧的劲度系数，F(t)是外力的函数。
通过解这个方程，我们可以得到质点的运动规律。
具体的解析解可能会因具体问题而有所不同，但我们可以使用数值方法来近似求解。
通过分析解的特征，我们可以了解质点的振动频率、振动幅度以及相位差等信息。
受迫振动方程的研究对于科学研究和工程应用都具有重要意义。
在科学研究中，它可以帮助我们深入理解物体的振动特性，揭示自然规律。
在工程应用中，它可以帮助我们设计稳定性更好的结构和设备，提高工程效率。
受迫振动方程是一种重要而常见的物理模型，它可以帮助我们研究物体的振动行为。
通过解析或数值求解受迫振动方程，我们可以获得有关振动特性的重要信息。
受迫振动方程的研究对于科学研究和工程应用都具有重要意义，它为我们揭示了自然界中一种普遍存在的物理现象。
阻尼振动方程
阻尼振动方程阻尼振动方程是一种常见的物理方程，它用来描述一个物体在面对力的作用时的运动情况。
它可以用来表示多种不同的动力学系统，如流体中的波浪、机械系统中的振动和共振等。
在实际应用中，阻尼振动方程也可以用来分析振动和声学系统，例如音响系统和震动控制系统。
阻尼振动方程是一种二阶微分方程，它通过描述一个物体在遭受外力时的加速度来定义一个物体的运动情况。
它的形式为：m×d²x/dt² + c×dx/dt + k×x = F(t)其中m, c, k分别代表物体的质量、阻尼系数和弹性系数，F(t)代表外力，x代表物体位置的函数。
该方程可以解释为：物体在运动时受到三种力的影响，即质量力、阻尼力和弹性力。
其中质量力是一种内部力，它决定了物体的运动趋势；阻尼力是一种外部力，它会降低物体的运动速度；而弹性力则是一种反作用力，它会将物体弹回原有的位置。
此外，F(t)还可以表示物体面对外部力时的反作用力，它可以是外力的一部分，也可以是其他类型的力，例如热力、光力或者重力等。
阻尼振动方程的解决需要使用到科学计算方法，包括数值求解和解析求解。
具体而言，数值求解通过计算机来解决方程，而解析求解则是通过数学方法来解决方程，前者可以很快地求出精确的结果，但是它需要大量的计算资源；而后者则可以不用计算机就能求出解析解，但是求解的精度可能会受到影响。
阻尼振动方程的解决也可以应用到生活中的实际问题中，比如地震的分析，汽车的悬架设计，飞机的震动控制和船舶的平衡等。
此外，阻尼振动方程还可以用于传感器的设计，如温度传感器、气压传感器和力传感器等。
总之，阻尼振动方程是一种实用的数学方程，它可以描述物体在受到外力作用时的运动情况，应用范围也很广泛，可以用于各种动力学、声学和传感器系统的分析和设计。
第3章单自由度系统受迫振动(2)资料
1 0
0 .5 1
s
0
1 2 3
幅频特性曲线
0
2018年10月14日 <<振动力学>>
2 1 2
6
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
在共振频率下的振幅为：
X max
F0 k 2 1
2
F0 c d
在一般情况下，阻尼比ζ <<1，这时可以认为共振频率
e m
t
x
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
k 2
c
k 2
2018年10月14日 <<振动力学>>
d2 m 2 ( x e sint ) cx kx 0 ( M m ) x dt
17
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
0.25
0.375
0 .5 1
F (t ) F0 cost
从左到右：
0
0
0
s
1 2
3
0 0
0.4, 1.01, 1.6
2018年10月14日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
幅频特性与相频特性
1、s ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， β 1，＝0， 响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2
3
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
1.5波的传播与衰减
2 2 0
称为点 ( x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) 的依赖区域。 t t 0 决定区域：锥体 ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z y 0 ) a ( t t 0 )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 0
2
称为球 ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 ) a t 的决定区域。
2 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) a t 无限锥面 影响区域： 0 0 0
称为点 ( x 0 , y 0 , z 0 , 0 ) 的影响区域。
2 惠更斯原理、波的弥散 （1）3D波动方程柯西问题解（3D泊松公式） 1 1 u ( x, y, z, t ) dS dS 2 S ( M , at ) 2 S ( M , at ) t 4 a t 4 a t
的依赖区域。
2 2
决定区域：锥体 ( x x 0 ) ( y y 0 ) a ( t t 0 ) 称为圆盘
2 2
( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 a 2 t 02 的决定区域。 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) a t 称为点 无限锥体 影响区域： 0 0 ( x 0 , y 0 , 0 ) 的影响区域。
推导：（1）等价变形
1 t d S ( x at )d 2 S ( M , at ) t 4 a t t 4 S (0,1) 1 t ( x at )d a i ( x at ) i d 4 S (0,1) 4 S (0,1) 1 ( M ) ( M ) MM d S M 2 2 S ( M , at ) 4 a t
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
二. 受迫振动
为能获得稳定的振动，对振动系统作用一周期 性外力。物体在周期性外力作用下的振动称为受迫 振动。这种周期性外力称为强迫力。喇叭纸盆的振 动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。 1.运动方程及其解
设简谐强迫力为 F0 cos t ，弹簧振子的运动方程为
d2x dx m 2 kx F0 cos t dt dt k F0 2 F0 为强迫力的力幅。令 2 ， 0 ， f 0 ， m m m 运动方程变为
d2x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt 该微分方程的解为
x A0e
t
A cos t 0 cos t 0
2 0 2
该解的第一项随时间迅速衰减，称为暂态解，第二 项不随时间衰减，称为稳态解。
达到稳定状态时，受迫振动的角频率不是振子的固 有频率而是强迫力的角频率；受迫振动的振幅和初 相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子 的性质、阻尼的大小和强迫力的特征。
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2
4 2 2
2 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
§ 15-3
阻尼与受迫振动
一. 阻尼振动
振动物体不受阻力作用，只在回复力作用下的 振动称为无阻尼自由振动。但振动时的阻尼是不可 避免的，例如空气的阻力、弹簧伸缩时的内摩擦、 能量的辐射等，均可将它们等效为摩擦阻尼。在回 复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
大学物理(下册) 9.5阻尼振动 受迫振动 共振
A
( 0)
2 2 b.过阻尼： 0 2 2 c.临界阻尼： 0
x
o c
b
三种阻尼的比较
t
a
9.5.2 受迫振动
共振
受迫振动：施加周期性外力作用的振动；
周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物 发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振动等。受 迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。
此时系统作弱阻尼运动，对应解为：
x Ae
t
cos(t 0 )
(7)
振幅 角频率
A、0为积分常量，由初条件确定；并且 其中： 有：
02 2
(8)
c.讨论： 1.(6)式的解由两部分组成：
t Ae 衰减项： “振幅”；
x
A
O
阻尼振动位移时间曲线
Ae t
最后得：
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
(6)
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
注：1.上式是阻尼振动微分方程；
(6)
2.固有角频率 振动系统确定；
阻尼系数 振动系统、介质性质确定； b.方程的求解与讨论 微分方程理论：根据方程系数数值的相对大小 关系，(6) 式有三种解，对应三种运动状态： 1.阻尼力较小时： 0 弱阻尼；
9.5 阻尼振动
受迫振动
共振
介绍两种接近客观实际较复杂的振动。
9.5.1 阻尼振动(Damped Oscillation) 1.阻尼振动：谐振动为等幅振动。而实际振动总要 受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随 时间变化因阻力而减小阻力是复杂的，故提出 许多阻尼力模型。当物体运动速度不太大时有：