2000年普通高等学校招生全国统一考试(北京、安徽)数学(理工农医类)
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离D E KBC 1A 1B 1AFCG19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得1)(2222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），1073160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=资料由谢老师收集：了解初中，高中考试信息，做题技巧，解题思路可去谢老师博客/xiejunchao1。
(详细解析)2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题 60分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上．2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0cos sin >θθ，则θ在A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】0cos sin >θθ，则sin θ与cos θ同号，B 正确．2．过点(1,1)(1,1)A B --,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 A ．()()41322=++-y x B ．()()41322=-++y xC ．()()41122=-+-y x D ．()()41122=+++y x【答案】C【解析】显然过A B ,两点的直线与已知直线平行，过A B ,两点分别作,x y 轴的垂线，与已知直线相交于点(1,1)M ，则(1,1)M 为圆心，半径为2，C 正确．3．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】B【解析】由已知得12312313212,48,2a a a a a a a a a ++==+=，解得12a =．4．若定义在区间(10)-，内的函数()2log (1)a f x x =+满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2C ．1(,)2+∞ D ．(0,)+∞【答案】A【解析】当(10)x ∈-，，则1(0,1)x +∈，由0)(>x f ，则021a <<，则1(0,)2a ∈．5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是【答案】C【解析】化为直角坐标方程为2222((122x y -+-=，只有C 正确．6．函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 【答案】A【解析】∵0x π-≤≤，∴02y ≤≤，又0x π≤-≤，∴1cos cos()y x x -==-， ∴cos(1)x arc y -=-，即cos(1)x arc y =--，反函数为)20)(1arccos(≤≤--=x x y ．7．若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 【答案】C【解析】易知椭圆的中心为(2,0)，且2,1a c ==，则12c e a ==．8．若0,sin cos ,sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=，则A ．b a <B ．b a >C ．1<abD ．2>ab 【答案】A【解析】由题设sin(),sin()44a b ππαβ=+=+，又4442ππππαβ<+<+<，所以b a <．9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为A ．60︒B ．90︒C ．105︒D ．75︒【答案】B则【解析】如图，取11A B 的中点D ，连接1,BD C D ，若12AB BB =，1111,,AB BD AB C D BD C D D ⊥⊥=，∴1AB ⊥平面1C DB ，而1C B ⊂面1C DB ，∴11AB C B ⊥，故答案为90︒．10．设()()f x g x ,都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】C【解析】若)(x g 单调递减，则()g x -单调递增，所以)()(x g x f -单调递增，②正确；同理③正确．11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为123P P P ,,．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．123P P P >>B ．123P P P =>C ．123P P P >=D ．123P P P ==【答案】D【解析】本题考查平面图形在另一平面内的射影理解与有关计算，其斜面与房屋的底面所成的角都是α，又有cos S S α=底斜，故有123P P P ==．【编者注】此公式《新课标》不作要求．12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为A ．26B ．24C ．20D ． 19 【答案】D【解析】从A 到B 有四条线路，从上到下记为1234,,,l l l l ，且123412,12l l l l +≤+≤，在单位时间内可以通过的最大信息量分别为3,4,6,6，D 正确．第II 卷（非选择题 90分）注意事项：1． 第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】2π【解析】由已知可得圆锥的的底面半径和母线长分别为1和2，侧面积为2rl ππ=．14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为12F F ,，点P 在双曲线上．若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 ．【答案】516 【解析】方法一：设(,)P x y ，12(5,0)(5,0)F F -,，由12PF PF ⊥得00155y y x x --⋅=-+-，即 2225x y +=，与双曲线方程联立得225625y =，则165y =． 方法二：设12,PF m PF n ==，由抛物线定义和题设222126,100m n m n FF -=+==，可得32mn =，利用面积相等关系12121122P PF PF F F y ⋅=⋅得165y =．15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和．若{}n S 是等差数列，则=q ． 【答案】1【解析】若{}n S 是等差数列，则1322S S S +=，11231223()2()a a a a a a a a +++=+⇒=，所以1q =．16．圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 【答案】2(1)n n -【解析】由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n 个等分点，∴共有n 条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， ∴可做22n -个直角三角形，根据分步计数原理知共有(22)2(1)n n n n -=-．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，11,2SA AB BC AD ====． （Ⅰ）求四棱锥ABCD S -的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．【解】本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（I ）直角梯形ABCD 的面积是()110.531224M BC AD AB +=+⋅=⨯=底面， ……2分 ∴四棱推ABCD S -的体积是113113344V SA M =⨯⨯=⨯⨯=底面．……4分（II ）延长,BA CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵//,2AD BC BC AD =，∴EA AB SA ==，∴SE SB ⊥． ∵SA ⊥面ABCD ，得面AEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC EB ⊥，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS SE ⊥，所以BSC ∠是所求二面角的平面角． ……10分222,1,SB SA AB BC BC SB ∴=+==⊥．2tan 2BC BSC SB ∴∠==． 即所求二面角的正切值为22． ……12分18．（本小题满分12分）已知复数31)1(i i z -=． （Ⅰ）求1arg z 及1z ；（Ⅱ）当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值．【解】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）31(1)22z i i i =-=-， ……3分将1z 化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设cos sin z i αα=+，则1(cos 2)(sin 2)z z i αα-=-++，()()22212sin 2cos ++-=-ααz z942sin()4πα=+-， ……9分当sin()14πα+=时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分19．（本小题满分12分）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ,两点． 点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴． 证明直线AC 经过原点O ．【解】本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：因为抛物线)0(22>=p px y 的焦点为(,0)2pF ，所以经过 点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=， 代人抛物线方程得2220y pmy p --=，若记1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2(,)2py -， 故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． 证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则////AD FE BC ．……2分 连结AC ，与EF 相交手点N ，则||||||||||,||||||||||EN CN BF NF AF AD AC AB BC AB === ……6分根据抛物线的几何性质，||||,||||AF AD BF BC == ……8分||||||||||||||||AD BF AF BC EN NF AB AB ⋅⋅∴===，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．…12分20．（本小题满分12分）已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1．（Ⅰ）证明：in i i m i P m P n <； （Ⅱ）证明：mn n m )1()1(+>+．【解】本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1i m <≤有(1)im p m m i =⋅⋅-+，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…mi m 1+-⋅， 同理 11...i n i p n n n i n n n n--+=⋅⋅⋅…， ……4分由于m n <，对整数1,2,,1k i =-，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明：由二项式定理有()inni inCm m ∑==+01，()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由（Ⅰ）知i n i p m ＞(1)i im n p i m n <≤<，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以，(1)i i i in m m C n C i m n ><≤<．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0． 即(1)(1)nmm n +>+． ……12分21．（本小题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元．写出n n b a ,的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【解】本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．（I ）第1年投入为800万元．第2年投入为1800(1)5⨯-万元，……，第n 年投入为11800(1)5n -⨯-万元．所以，n 年的总收入为111111800800(1)800(1)800(1)555n n k n k a --==+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯-∑44000[1()]5n =⨯-． ……3分第1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 1400(1)4⨯+万元，……，第n 年旅游业收人为11400(1)4n -⨯+万元．所以，n 年内的旅游业总收入为111111400400(1)400(1)400(1)444n n k n k b --==+⨯++⋅⋅⋅+⨯+=⨯+∑51600[()1]4n =⨯-． ……6分（Ⅱ））设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0n n b a ->，即541600[()1]4000[1()]045n n ⨯--⨯-> 化简得455()2()7054n n ⨯+⨯->， ……9分设4()5n x =，代入上式得25720x x -+>，解此不等式，得2,15x x <>（舍去）．即 42()55n <，由此得 5n ≥．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分22．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x ，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且0)1(>=a f ．（Ⅰ）求)21(f 及)41(f ； （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数； （Ⅲ）记)212(nn f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→．【解】本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．（Ⅰ）因为对121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=+，所以()()()0,[0,1]22x xf x f f x =⋅≥∈．∵211111(1)()()()[()]22222f f f f f =+=⋅=，2111111()()()()[()]244444f f f f f =+=⋅=． ……3分0)1(>=a f ，∴112411(),()24f a f a ==． ……6分（Ⅱ）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(11)f x f x =+-，即()(2),f x f x x R =-∈， ……8分 又由()f x 是偶函数知()(),f x f x x R -=∈，∴()(2),f x f x x R -=-∈， 将上式中x -以x 代换，得()(2),f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知()0,[0,1]f x x ≥∈．∵111111()()((1))()((1))222222f f n f n f f n n n n n n =⋅=+-⋅=⋅-⋅ 111()()()222f f f n n n ==⋅⋅⋅1[()]2n f n=，121()2f a =，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ----完整版学习资料分享---- ∴121()2n f a n=． ∵()f x 的一个周期是2， ∴11(2)()22f n f n n+=，因此12n n a a =， ……12分 ∴1lim(ln )lim(ln )02n n n a a n→∞→∞==． ……14分。
1993年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1993年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为()()()(A)45°(B)60°(C)90°(D)120°()(A)1(B)-1(C)i(D)-i(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是()(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB()(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()(A)12(B)10(C)8(D)2+log35()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数()()(10)若a、b是任意实数,且a>b,则()(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间()(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆()(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是()()(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么()(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=.三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l. (Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.1993年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、选择题:(1)C(2)B(3)C(4)D(5)C(6)B(7)B(8)A(9)A(10)D(11)A(12)C(13)D(14)A(15)B(16)B(17)B(18)B二、填空题:(19)2(20)17.3(21)4186三、解答题.(25)(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.(Ⅱ)解法一:过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥l.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,∵l∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,在Rt△A1AE中,∵A1A=1,∠A1AE=90°,解法二:同解法一得l∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.(27)解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0).∵tgα=tg(π-∠N)=2,∴由题设知解法二:(28)(29)证法一:依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0.平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│a│<4+b.(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)=a2±8a+16=(4±a)2,又△≥0,∴-2<α≤β<2,得│α│<2,│β│<2.证法二:(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0,2a>-(4+b);4-2a+b>0,2a<4+b.∴2│a│<4+b.(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0.①及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0.②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.综上所述α,β均落在(-2,2)内.∴│α│<2,│β│<2.。
2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数学(理工农医类)
绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数 学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式: 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(21+=台侧)]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是(A)32(B)31 (C)16 (D)15(2)函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有 (A))()()(y f x f xy f =(B))()()(y f x f xy f +=(C))()()(y f x f y x f =+(D))()()(y f x f y x f +=+(3)=++∞→1222lim n n nn n C C (A)0 (B)2 (C)21 (D)41 (4)函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 (A))01(12≤≤--=x x y (B))10(12≤≤-=x x y(C))0(12≤-=x x y(D))10(12≤≤-=x x y(5)极坐标系中,圆θ+θ=ρsin 3cos 4的圆心的坐标是(A))53arcsin ,25((B))54arcsin ,5((C))53arcsin ,5((D))54arcsin ,25((6)设动点P 在直线1=x 上,O 为坐标原点.以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆,则动点Q 的轨迹是 (A)圆(B)两条平行直线 (C)抛物线 (D)双曲线(7)已知x x f 26log )(=,那么)8(f 等于(A)34(B)8 (C)18 (D)21 (8)若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角,则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(9)如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 (A)︒30 (B)︒45 (C)︒60 (D)︒90(10)若实数b a ,满足2=+b a ,则ba 33+的最小值是(A)18 (B)6(C)32 (D)432(11)右图是正方体的平面展开图.在这个正方体．．．中, ①ED BM 与平行②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中,正确命题的序号是 (A)①②③ (B)②④(C)③④ (D)②③④(12)根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S (万件)近似地满足)12,,2,1)(521(902 =--=n n n nS n 按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是 (A)5月、6月 (B)6月、7月 (C)7月、8月 (D)8月、9月绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数 学(理工农医类) 第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项: 1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.(13)(14)椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是_______________.(15)已知α=γ+β+α(1s i n s i n s i n 222、β、γ均为锐角),那么γβαc o s c o s c o s 的最大值等于____________________.(16)已知m 、n 是直线, α、β、γ是平面,给出下列命题:① 若m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα,则βα⊥⊥n n 或；②若α∥β,n m =γ⋂β=γ⋂α,,则m ∥n ；③若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若m =⋂βα,n ∥m ,且βα⊄⊄n n ,,则n ∥n 且α∥β.其中正确的命题的序号是_______________(注:把你认为正确的命题的序号都．填上) 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.设函数)0()(>>+=b a bx x x f ,求)(x f 的单调区间,并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.已知)1(17≠∈=z C z z 且.(Ⅰ)证明0165432=++++++z z z z z z ； (Ⅱ)设z 的辐角为α,求ααα4cos 2cos cos ++的值.已知VC 是∆在平面ABC 上的射影,且在ABC ∆的高CD 上.AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈点,.(Ⅰ)证明∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角； (Ⅱ)当∠MDC ＝∠CVN 时,证明VC AMB 平面⊥；(Ⅲ)若∠MDC ＝∠CVN ＝20( π<θ<θ,求四面体MABC 的体积.n 3211与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ,使这2+n 个数成等差数列.记n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,.(Ⅰ)求数列{}n A 和{}n B 的通项；(Ⅱ)当7≥n 时,比较n A 与n B 的大小,并证明你的结论./辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ,则出厂价相应提高的比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价–投入成本)⨯年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？已知抛物线)0(22>=p pxy .过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,p AB 2||≤.(Ⅰ)求a 的取值范围；(Ⅱ)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,求NAB Rt ∆面积的最大值.绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分. (1)A (2)C (3)D (4)C (5)A (6)B (7)D (8)B (9)C (10)B (11)C (12)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(13)π242SS (14)2516 (15)692 (16)②④三、解答题(17)本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识,考查数学推理判断能力.满分12分.解:函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b )(x f 在),(b --∞内是减函数,)(x f 在),(+∞-b 内也是减函数 ……4分证明)(x f 在),(+∞-b 内是减函数 取),(,21+∞-∈b x x ,且21x x <,那么bx ax b x a x x f x f ++-++=-221121)()( ))(())(-( 2112b x b x x x b a ++-=……6分∵0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a ∴0)()(21>-x f x f即)(x f 在),(+∞-b 内是减函数 ……9分 同理可证)(x f 在),(b --∞内是减函数 ……12分(18)本小题主要考查复数的基本概念和基本运算,考查综合运用复数的知识解决问题的能力.满分12分. 解:(Ⅰ)由 )1(65432z z z z z z z ++++++ 765432z z z z z z z ++++++=654321z z z z z z ++++++=,得0)1)(1(65432=++++++-z z z z z z z . ……4分因为 1≠z ,01≠-z ,所以 0165432=++++++z z z z z z . ……6分(Ⅱ)因为1||,17==z z 可知,所以 1=⋅z z ,而17=z ,所以16=⋅z z , z z =6,同理3452,z z z z ==, 65342z z z z z z ++=++.由(Ⅰ)知 165342-=+++++z z z z z z , 即 14242-=+++++z z z z z z , 所以 42z z z ++的实部为21-, ……8分而z 的辐角为α时,复数42z z z ++的实部为 ααα4cos 2cos cos ++,所以 214c o s 2c o s c o s-=++ααα ……12分(19)本小题主要考查线面关系的基本概念,考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力.满分12分. (Ⅰ)证明:由已知, A B C AB CD N ABC VN AB CD 平面平面⊂∈⊥⊥,,,,∴AB VN ⊥.∴VNC AB 平面⊥.……2分又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内,所以,DM 与VN 必相交,且CD AB DM AB ⊥⊥,, ∴∠MDC 为二面角C AB M --的平面角.……4分(Ⅱ)证明:由已知,∠MDC ＝∠CVN ,在DMC VNC ∆∆与中, ∠NCV ＝∠MCD , 又∵∠VNC ＝︒90,∴∠DMC ＝∠VNC ＝︒90. 故有VC AB VC DM ⊥⊥又,, ……6分 ∴AMB VC 平面⊥.……8分(Ⅲ)解:由(Ⅰ)、(Ⅱ),VC M AB D VC MD AB MD ∈∈⊥⊥,,,且,∴h MD =.又∵∠θ=MDC . 在MDC Rt ∆中,θtg h CM ⋅=.……10分ABM C MABC V V -=三棱锥四面体ah tg h S CM ABM213131⋅⋅=⋅=∆θθtg ah 261=. ……12分(20)本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识,考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法.满分12分.解:(I)∵2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列,∴221123121=⨯======+--- k n k n n n a a a a a a a a ,∴n n n n n n n n a a a a a a a a a a A 2)21())(())()((121231212=⨯==---∴2nn A =……4分∵2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列,∴3211=+=+n b b , ∴n n b b B n n 2321=⋅+=所以,数列{}n A 的通项2n n A =,数列{}n B 的通项n B n 23=……6分(II)∵2n n A =,n B n 23=,∴22249,2n B A n n n==,要比较n A 与n B 的大小,只需比较2n A 与2n B 的大小,也即比较当7≥n 时,n 2与249n 的大小.当7=n 时,1282=n ,4949492⨯=n ,得知2492n n >,经验证9,8==n n 时,均有命题2492n n >成立. 猜想当7≥n 时有2492n n >.用数学归纳法证明. ……9分(i)当7=n 时,已验证2492n n >,命题成立. (ii)假设)7(≥=k k n 时,命题成立,即2492k k >, 那么 214922k k ⨯>+又当7≥k 时,有122+>k k∴)12(49221++⨯>+k k k2)1(49+=k这就是说,当1+=k n 时,命题2492n n >成立. 根据(i)、(ii),可知命题对于7≥n 都成立. 故当7≥n 时,n n B A >……12分(21)本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容,考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ,……4分整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y .……6分(Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 ⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x……9分解不等式得 310<<x . 答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x . ……12分(22)本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系,考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力.满分14分.解:(Ⅰ)直线l 的方程为a x y -=,将 px y a x y 22=-=代入, 得 0)(222=++-a x p a x .……2分设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a……4分又a x y a x y -=-=2211,, ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=.……6分∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB , ∴ p a p p 2)2(80≤+<. 解得 42p a p -≤<-. ……8分(Ⅱ)设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ,令坐标为),(33y x ,则由中点坐标公式,得p a x x x +=+=2213, p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213. ……10分∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=. 又 MNQ ∆为等腰直角三角形, ∴ 2||||==QM QN , ∴ ||||21QN AB S NAB ⋅=∆. ……12分22222||22p p p AB p =⋅≤=即NAB面积最大值为22p……14分。
1995年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1995年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、选择题1.已知I 为全集,集合M, I N ⊂,若M ∩N=N,则（ ） A.N M ⊇ B. N M ⊆ C. N M ⊆ D. N M ⊇2.函数1x 1y +-=的图象是（ ）3.函数)4x 3cos(3)4x 3sin(4y π++π+=的最小正周期是（ ） 3.D 32.C 2.B 6.A ππππ4.正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是（ ）2222a 3.D a 2.C 2a .B 3a .A ππππ5.若图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则（ ）A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 26.在(1-x 3)(1+x)10的展开式中,x 5的系数是（ ） A.-297 B.-252 C.297 D.2077.使arcsinx>arccosx 成立的x 的取值范围是（ ）)0,1.[D )32,1.[C ]1,32.(B ]32,0.(A --8.双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是（ ）x 33y .D x3y .C x 31y .B x3y .A ±=±=±=±=9.已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95,那第sin2θ等于（ ）32.D 32.C 322.B 322.A --10.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下面四个命题: ①m l //⊥⇒βα②m //l ⇒β⊥α③β⊥α⇒m //l ④βα⇒⊥//m l 其中正确的两个命题是（ ）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③ 11.已知y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)12.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ,若1n 3n 2T S n n +=，则n nn b a lim ∞→等于（ ）94.D 32.C 36.B 1.A13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.6014.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是（ ）)cos e 1(e )e 1(c .D )cos e 1(e )e 1(c .C cos e 1)e 1(c .B cos e 1)e 1(c .A 22θ--=ρθ--=ρθ--=ρθ--=ρ15.如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点D 1,F 1分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是（ ）1015.D 1530.C 21.B 1030.A16.不等式x28x 3)31(2-->的解集是______________17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为____________.18.函数xcos )6x sin(y π-=的最小值___________19.直线l 过抛物线y 2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a= .20.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种(用数字作答). 21.(本小题满分7分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1,Z 2,Z 3,O (其中O 为原点),已知Z 2对应复数经z 2=1+i 3,求Z 1和Z 3对应的复数。
2002年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
2002年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21sin cos βαβαβα-++=[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）满足条件{}{}3,2,11= M 的集合M 的个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80°，sin80°），B （cos20°，sin20°），则|AB |的值是 （A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）1正棱台、圆台的侧面积公式lc c S )(21+'＝台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长球体的体积公式334RV π＝球其中R 表示球的半径（3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（A ）y =cos 2x（B ）y =2|sin x | （C ）x y cos )31(=（D ）y =－cot x（4）64个直径都为4a 的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 （A ）V 甲>V 乙且S 甲>S 乙 （B ）V 甲<V 乙且S 甲<S 乙 （C ）V 甲=V 乙且S 甲>S 乙（D ）V 甲=V 乙且S 甲=S 乙（5）已知某曲线的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕtan sec y x （ϕ为参数）．若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 （A ）ρ =1（B ）ρcos2θ =1 （C ）ρ2sin2θ =1 （D ）ρ2cos2θ =1（6）给定四条曲线：①,2522=+yx②,14922=+yx③,1422=+yx④.1422=+yx其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①②④ （D ）①③④（7）已知z 1，z 2∈C 且| z 1|=1．若z 1＋z 2=2i ，则| z 1－z 2|的最大值是（A ）6 （B ）5（C ）4（D ）3（8）若11cot 21cot =+-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为（A ）3 （B ）－3 （C ）－2（D ）－21（9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（A ）4448412C C C 种（B ）34448412C C C 种（C ）3348412P C C 种 （D ）334448412P C C C 种（10）设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”．那么，甲是乙的 （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件（D ）既非充分又非必要条件（11）已知f （x ）是定义在（－3，3）上的奇函数，当0<x <3时，f （x ）的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集是（A ）)3,2()1,0()2,3(ππ-- （B ）)3,2()1,0()1,2(ππ--（C ）)3,1()1,0()1,3( -- （D ）)3,1()1,0()2,3( π--（12）如图所示，fi （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（A ）f 1（x ），f 3（x ）（B ）f 2（x ） （C ）f 2（x ），f 3（x ） （D ）f 4（x ）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）)52arcsin(-，)43arccos(-，45arctan -从小到大的顺序是_____________________．（14）等差数列｛a n ｝中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_____________．（15）关于直角AOB 在定平面α 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角； ③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________（注：把你认为是正确判断的序号都填上）．（16）已知P 是直线3x ＋4y ＋8=0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为____________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）解不等式212<--x x ．（18）（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a >c ，b >d ，两底面间的距离为h ．（Ⅰ）求侧面ABB 1 A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面·h 来计算．已知它的体积公式是6h V =（S 上底面＋4S 中截面＋S 下底面）试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）（19）（本小题满分12分）数列｛x n ｝由下列条件确定：)(21,011nn n x a x x a x +=>=+，n ∈N ．（Ⅰ）证明：对n ≥2，总有ax n≥；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；（Ⅲ）若数列｛x n ｝的极限存在，且大于零，求n n x lim∞→的值．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数v 1，v 2，…，v n 的和∑=++++=ni ni v v v v v 1321 ．计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如n =2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：（Ⅰ）当n =4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表（Ⅱ）当n =128时，要使所有机器都得到∑=ni iv 1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（22）（本小题满分14分）已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （a · b ）=af （b ）＋bf （a ） （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；（Ⅱ）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅲ）若nf u f nn )2(,2)2(-==（n ∈N ），，求数列｛u n ｝的前n 项的和S n ．2002年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学试题（理工农医类）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）D （3）B （4）C （5）D （6）D （7）C （8）A （9）A（10）C（11）B（12）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）)43arccos()52arcsin()45arctan(-<-<-（14）4 （15）①②③④⑤（16）22三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）本小题考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力．满分12分．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->--<--⇔212212x x x x因为⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥+≥-⇔+<-⇔<--2)2(1202012212212x x x x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧>++≥⇔052212x x x21≥⇔x又⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔->--2)2(1202012212x x x x x x 或⎩⎨⎧<-≥-02012x x⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥⇔05622x x x 或221<≤x⎩⎨⎧<<≥⇔512x x 或 221<≤x52<≤⇔x 或221<≤x521<≤⇔x所以，原不等式组52152121<≤⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥⇔x x x因此，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521x x（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G ．∵ 平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∠A 1B 1C 1= 90°∴ AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P ．∴ ∠B 1PG 为所求二面角的平面角．过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H ．由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形．∴)(21d b PG -=，又B 1G =h ，∴)(2t a n 1d b db h PG B >-=∠，∴db h PG B -=∠2arctan1,即所求二面角的大小为db h -2arctan．（Ⅱ）证明：∵ AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ， 又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线， ∴ AB ∥面CDEF ．∵ EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线， ∴ AB ∥EF ．∵ AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外， ∴ EF ∥面ABCD ． （Ⅲ）V 估<V ． 证明：∵ a >c ，b >d ， ∴h db c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++=-估[]))((3))((22212d b c a d b c a ab cd h ++-++++=))((12>--=d b c a h∴ V 估<V ．（19）本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由x 1=a >0，及)(211nn n x a x x +=+，可归纳证明x n >0（没有证明过程不扣分）．从而有a x a x x a x x nn nn n =⋅≥+=+)(211（n ∈N ），所以，当n ≥2时，ax n≥成立．（Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为0>≥a x n ，)(211nn n x a x x +=+所以 021)(2121≤-⋅=-+=-+nnnnn n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1成立．证法二：当n ≥2时，因为0>≥ax n，)(211nn n x a x x +=+，所以122)(21222221=+≤+=+=+nnn nn nnn nn x x x x ax x x a x x x ，故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1成立．（Ⅲ）解：记A x n n =∞→lim，则A x n n =+∞→1lim ，且A >0． 由 )(211nn n x a x x +=+，得)(21l i m l i m1l i mnn n n n n x ax x ∞→∞→+∞→+=，即)(21Aa A A +=．由 A >0，解得a A =，故a x n n =∞→l i m ．（20）本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：当n =4时，只用2个单位时间即可完成计算． 方法之一如下：（Ⅱ）解：当n =128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算．（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心)3,31(c b G +，外心)2,21(22cbcb F -+，垂心),(2cb b b H -．当21=b 时，G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21≠b时，设G ，H 所在直线的斜率为k GH ，，F ，G 所在直线的斜率为k FG ．因为)21(33313222b c bbcbb c b b c k GH --+=-+--=，)21(332131232222b c bbcb cbcbck FG --+=-+-+-=，所以 FG GH k k =，G ，F ，H ，三点共线． 综上可得，G ，F ，H 三点共线． （Ⅱ）解：若FH ∥OB ，由0)21(3322=--+=b c bbck FH ，得)21,0(0)(322≠≠=+-b c c b b配方得43)21(322=+-cb ，即1)23()21()21(2222=+-cb ． 即)0,21(1)23()21()21(2222≠≠=+-y x yx ．所以，顶点C 的轨迹是中心在)0,21(，长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），)23,21(，)23,21(-，四点．（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：f (0)=f （0·0）=0·f （0）＋0·f （0）=0． 因为 f (1)=f （1·1）=1·f （1）＋1·f （1） 所以 f (1)=0． （Ⅱ）f （x ）是奇函数．证明：因为 f （1）=f 〔21）（-〕=－f （－1）－f （－1）=0，所以 ，f （－1）=0f （－x ）=f （－1·x ）=－f （x ）＋xf （－1）=－f （x ）， 因此，f （x ）为奇函数．（Ⅲ）解法一：由f （a 2）=af （a ）＋af （a ）=2af （a ），f （a 3）=a 2f （a ）＋af （a 2）=2a 2f （a ），猜测f （a n ）=na n －1f （a ）． 下面用数学归纳法证明：1°．当n =1时，f （a 1）=1·a 0·f （a ），公式成立； 2°．假设当n =k 时，f （a k ）=ka k －1f （a ）成立， 那么当n =k ＋1时， f （ak ＋1）=a k f （a ）＋af （a k） = a kf （a ）＋ka kf （a ）=（k ＋1）a k f （a ），公式仍成立．由上两步可知，对任意n ∈N ，f （a n ）=na n －1f （a ）成立． 所以)21()21()2(1f nf u n nn ⋅==--．因为 f （2）=2，0)2(21)21(2)212()1(=+=⋅=f f f f ，所以21)2(41)21(-=-=f f ，1)21()21(-⋅-=n n u （n ∈N ）， 因此1)21(211)21(121-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=nn n S （n ∈N ）． 解法二： 当ab ≠0时，aa f bb f abb a f )()()(+=⋅令xx f x f )()(=，则g （a ·b ）=g （a ）＋g （b ），故g （a n ）=ng （a ），所以 f （a n ）=a n ·g （a n ）=na n g （a ）=na n －1f （a ）．所以)21()21()2(1f nf u n nn ⋅==--．（以下同解法一）。
2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A ．π2B ．π23C ．π332D ．π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（）A ．2411B ．2417C ．2419D ．242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．kk a a a a a a 2122122111+++ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.12．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是13．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值..16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f （ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B5．D 6．B7．C8．C9．C10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12．)4(362--=x y 13．)(212b a r +π14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为xx x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x 所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x 所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x 时,)1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1，∴四边形BDB 1C 1是平行四边形，∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点，.2321==AC BE 在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。
2002北京高考数学真题与答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案。
不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42．在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A 则|AB|的值是A ．21 B ．22C ．23D ．13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ππ,2）上为减函数的是A ．x y 2cos =B ．|sin |2x y =C ．xy cos )31(=D ．ctgx y-=正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径4．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球， 记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙 B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙5．已知某曲线的参数方程是ϕϕϕ(,sec ⎩⎨⎧==tg y x 为参数）.若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是A ．1=ρB ．12cos =θρC ．12sin 2=θρD ．12cos 2=θρ6．给定四条曲线：①2522=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④1422=+y x .其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④7．已知C z z ∈21,且|z 1|=1.若i z z 221=+，则||21z z -的最大值是A ．6B ．5C ．4D ．38．若1121=+-θθctg ctg ，则θθ2sin 12cos +的值为A ．3B ．－3C ．－2D ．21-9．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方 案共有A ．4448412C C C 种 B ．44484123C C C 种 C ．3348412P C C 种D ．334448412P C C C 种10．设命题甲：“直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的 A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件11．已知)(x f 的定义在（－3，3）上的奇函数，当0＜x ＜3时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是A ．)3,2()1,0()2,3(ππ --B ．)3,2()1,0()1,2(ππ --C ．)3,1()1,0()1,3( --D ．)3,1()1,0()2,3( π--12．如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意)()1()(])1([],1,0[2121x f x f x x f λλλλλ-+≤-+∈恒成立”的只有A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2000年全国普通高等学校招生统一考试
2000年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。
2．函数xx y --=312log 2的定义域为 。
3．圆锥曲线1916)1(22=--y x 的焦点坐标是 。
4．计算：=+∞→n n n n )2(lim 。
5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x f y -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。
6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f = 。
9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数是小的项的系数为 。
（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 。
11．图中阴影部分的点满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，在这些点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是 。
2003年高考理科数学试题及答案
密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 3．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则 )(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（ ）A ．2411 B ．2417 C ．2419 D ．2425 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++ B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.12．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 13．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么 圆柱被截后剩下部分的体积是 . 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积. 18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） 19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图） （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小， 点P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12． )4(362--=x y 13．)(212b a r +π 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1. 所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2 16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nxx x x S x所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+ 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ， ∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。