2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(七) 平面向量与复数 Word版含解析
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(九) 不 等 式 Word版含解析
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3， 令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________． 解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1， 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1， 则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1， 所以－2<x <1； 当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}． 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：由0<x <1，故3－3x >0， 则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b ，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y 的最小值为________． 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________． 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32，故a ＋2b ＝⎣⎡⎦⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32 ＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b )，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ， 由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]． 答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞) B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x <2的解集为______________． 解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x －2<0， 即(x ＋1)－2x x ＝1－xx<0， ∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1， ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}． 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________． 解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________． 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max ＝2. 答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32， 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32.答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋b c ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12.答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ， 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0， 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1)，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b ＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1，令x ＝b －1>0， 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1， 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln x x，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12， 令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝⎛⎭⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12， 所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝ ⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立． 答案：5＋10。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用
14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A 组——题型分类练 题型一 导数的概念与运算 1．y ＝ln xx 的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln xx 22．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：13．若曲线y ＝a cos x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝________. 解析：因为y ＝a cos x ＋1的导函数为y ′＝－a sin x ，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线的斜率为k ＝－a ，由于切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.答案：－124．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.答案：6题型二 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx 在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3,2)上是减函数，则ab ＝________.解析：因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，由已知条件可得－3,2是f ′(x )＝0的两根，所以a ＝－32，b ＝－18，从而ab ＝27.答案：273．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax ＋3a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝x 2＋2x －a ，根据题意知f ′(x )≥0，即x 2＋2x ≥a ，而x 2＋2x ＝(x ＋1) 2－1≥(1＋1) 2－1＝3，所以a ≤3.答案：(－∞，3]4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2]题型三 导数与函数的极值、最值 1．函数y ＝2x －1x2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. 所以当x ＝－1时，y 取得极大值－3. 答案：－32．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1<x 2<2，即1<－1＋1＋2a <2，即4<1＋2a <9，所以32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.答案：⎝⎛⎭⎫32，43．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π上的解为x ＝π2.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝π12＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为π2.答案：π24．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，则函数f (x )在[1，e]上的最大值为________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax－2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22.又当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1x －x ≤0， 所以函数f (x )在[1，e]上单调递减， 其最大值为f (1)＝－12.答案：－12B 组——高考提速练1．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.答案：12．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(0)＝－a sin 0＝0，∴g ′(0)＝2×0＋b ＝0，∴b ＝0， 又m ＝1＝a ，∴a ＋b ＝1. 答案：13．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________.解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′| x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.答案：2e －124．函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________． 解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2. 由f ′(x )<0，得x <－2或x >1. 由f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－125．已知曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：因为y ＝a ln x ，所以y ′＝ax ，所以在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a .所以三角形面积S ＝12×a ×1＝4，所以a ＝8.答案：86．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.则f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的导函数f ′(x )＝1＋a ·cos x ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，问题转化为g (t )＝at ＋1≥0在t ∈[－1,1]上恒成立，即g (－1)≥0，g (1)≥0成立，所以－1≤a ≤1.答案：[－1,1]8．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－23，(1,2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝72，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，所以a <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 9．f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为________．解析：f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )<0时，－2<x <2. f ′(x )>0时，x <－2或x >2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数． ∴f (x )极小值＝f (2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m ＝－43.∴m ＝4. 答案：410．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12， 则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解集为(1，＋∞)，即f (x )<x 2＋12的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， 所以a ＝1.所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.故由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象(如图所示)可知，实数m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)12．已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数h (x )＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为____________________．解析：由h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 答案：5x －16y ＋3＝013．设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．解析：由题意，a >0，M (a 2，a )，N (ln a ，a )，故MN 的长l ＝|a 2－ln a |，设f (a )＝a 2－lna (a >0)，所以f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22a ，令f ′(a )>0，得a >22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增；令f ′(a )<0，得0<a <22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫22＝12－ln 22>0，所以l ＝|a 2－ln a |＝a 2－ln a ＝f (a )，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．答案：2214．若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋m x的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1，P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________．解析：设函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1)，Q 2(－x 2，－y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m －x 1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x 2，即方程－⎝⎛⎭⎫e x ＋x 3－12x －1＝－x 3－m x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图象与y ＝m 的图象有两个交点，令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝－1，作出函数h (x )图象知，当且仅当x ＝－1时有两解，所以m ＝h (－1)＝e －22e.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e。
2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：专项强化练(三) 基本初等函数、函数与方程 Word版含解析
14个填空题专项强化练(三) 基本初等函数、函数与方程A 组——题型分类练题型一 指数式与对数式 1、log 29·log 34＝________. 解析：log 29·log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：42、(0.000 1)-14＋2723－⎝⎛⎭⎫4964-12＝________.解析：原式＝(0.14)-14＋(33)23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫782-12 ＝0.1－1＋32－⎝⎛⎭⎫78－1＝10＋9－87＝1257. 答案：12573、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3,f (log 212)＝2log 212－1＝6,所以f (－2)＋f (log 212)＝9. 答案：9题型二 指数、对数函数的图象与性质 1、函数y ＝log 12(1－2x )的定义域为__________、解析：由题意得log 1(1－2x )≥0⇒0<1－2x ≤1⇒0≤x <12,因此所求定义域为⎣⎡⎭⎫0，12. 答案：⎣⎡⎭⎫0，12 2、函数f (x )＝a x －1＋3(a >0且a ≠1)的图象所经过的定点为________、解析：当x ＝1时,f (1)＝a 1－1＋3＝a 0＋3＝4,所以函数f (x )＝a x －1＋3的图象一定经过的定点为(1,4)、答案：(1,4) 3、若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0,a ≠1)且f (1)＝9,则f (x )的单调递减区间是________、解析：由f (1)＝9得a 2＝9,所以a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|,又因为g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞,2],所以f (x )的单调递减区间是(－∞,2]、答案：(－∞,2]4、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m ),则实数m 的取值范围是________、解析：因为f (x )为奇函数,图象如图所示,所以f (m )<f (－m )⇔f (m )<－f (m )⇔f (m )<0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1,＋∞)、答案：(－1,0)∪(1,＋∞)5、若函数f (x )＝log 12|x －1|,则f ⎝⎛⎭⎫－12,f (0),f (3)的大小关系为____________________、 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232,f (0)＝log 121,f (3)＝log 122,且y ＝log 12x 是定义域内的减函数,所以f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)、 答案：f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) 题型三 函数与方程1、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________、解析：当x ≤1时,由f (x )＝2x －1＝0,解得x ＝0；当x >1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝12,又因为x >1,所以此时方程无解、综上,函数f (x )的零点为0. 答案：02、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <0，e x ，x ≥0，则函数g (x )＝f (x )－x －3的零点有________个、解析：作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <0，e x ，x ≥0，与y ＝x ＋3的图象如图所示,由图可得函数f (x )的图象与函数y ＝x ＋3的图象有2个交点,故函数g (x )＝f (x )－x －3有2个零点、答案：23、已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx 无零点,则实数k 的取值范围是____________、解析：函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx 无零点,也就是|x 2－1|x －1＝kx 没有实数解,在平面直角坐标系中画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1或x <－1，－x －1，－1≤x <1，与y ＝kx 的图象,如图、由图象可知k ∈[－2,0)、 答案：[－2,0)4、已知以T ＝4为周期的函数f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m ＞0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解,则m 的取值范围为____________、解析：∵当x ∈(－1,1]时,将函数化为x 2＋y 2m2＝1(y ≥0),∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象、由图易知直线 y ＝x 3与第二个椭圆(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)相交,而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)无公共点时,方程恰有5个实数解、将y ＝x 3代入(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)得,(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0,令t ＝9m 2(t ＞0),则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0,由Δ＝(－8t )2－4×15t ×(t ＋1)＞0,得t ＞15,由9m 2＞15,且m ＞0得m ＞153. 同样由y ＝x 3与第三个椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－144m 2x ＋567m 2＝0,令t ＝9m 2(t >0), 则(t ＋1)x 2－16tx ＋63t ＝0, 由Δ＝(－16t )2－252t (t ＋1)<0, 得0<t <63,即得m ＜7, 综上可知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7.答案：⎝⎛⎭⎫153，7 B 组——高考提速练1、已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3),则α的值为________、 解析：代入点(9,3),得3＝9α,所以α＝12.答案：122、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫18的值为________、 解析：f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3, f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫18＝f (－3)＝3－3＝127. 答案：1273、函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －4的定义域为__________、 解析：由题意得⎝⎛⎫12x －4≥0⇒⎝⎛⎭⎫12x ≥4⇒x ≤－2,因此所求定义域为(－∞,－2]、 答案：(－∞,－2]4、已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x )、若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系为____________、解析：由f (x )为奇函数,知g (x )＝xf (x )为偶函数、 因为f (x )在R 上单调递增,f (0)＝0, 所以当x >0时,f (x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上单调递增,且g (x )>0. 又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3), 20、8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3, 所以b <a <c . 答案：b <a <c5、若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞,＋∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是______________、 解析：由y ＝(a 2－1)x 在(－∞,＋∞)上为减函数,得0<a 2－1<1,所以1<a 2<2,即1<a <2或－2<a <－1.答案：(－2,－1)∪(1,2)6、对任意的非零实数a ,b ,若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：因为lg 10 000＝lg 104＝4,⎝⎛⎭⎫12－2＝4, 所以lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54. 答案：547、函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x+2x-1的值域是________、解析：设t ＝x 2＋2x －1,则y ＝⎝⎛⎭⎫12t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2,y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为关于t 的减函数, 所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4, 故所求函数的值域为(0,4]、 答案：(0,4]8、已知a >0,且a ≠1,若函数f (x )＝2a x －4在区间[－1,2]上的最大值为10,则a ＝________. 解析：若a >1,则函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数,当x ＝2时,f (x )取得最大值f (2)＝2a 2－4＝10,即a 2＝7,又a >1,所以a ＝7.若0<a <1,则函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数,当x ＝－1时,f (x )取得最大值f (－1)＝2a －1－4＝10,所以a ＝17.综上所述,a 的值为7或17.答案：7或179、若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点,则满足条件的实数m 组成的集合为____________、解析：由题意知,唯一零点为0,则02－m cos 0＋m 2＋3m －8＝0,解得m ＝－4或2. 答案：{－4,2}10、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1,且f (0)＋2f (－1)＝0,那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________、解析：因为f (0)＝1,所以c ＝1. 又因为f (0)＋2f (－1)＝0,所以f (－1)＝－1－b ＋1＝－12,得b ＝12.所以当x >0时,g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1； 当x ≤0时,g (x )＝－x 2＋32x ＋1,令g (x )＝0,得x ＝2(舍去)或x ＝－12,即g (x )＝0有唯一解、综上可知,g (x )＝f (x )＋x 有2个零点、 答案：211、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1，x ≥1，(a 2－1)e x －1，x <1在(－∞,＋∞)上单调,则实数a 的取值范围是________、解析：当a ＝0时,显然满足题意、当a >0时,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a 2－1>0，a －2＋1≥a 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a <0，a >1或a <－1，0≤a ≤1，无解、当a <0时,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a≤1，a 2－1<0，a －2＋1≤a 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a <0，－1<a <1，a ≤0或a ≥1，所以－1<a <0.综上,实数a 的取值范围为(－1,0]、 答案：(－1,0]12、已知函数f (x )＝log 3x ＋1x －1,平行四边形ABCD 四个顶点都在函数f (x )的图象上,且A (2,1),B ⎝⎛⎭⎫54，2,则平行四边形ABCD 的面积为__________、解析：奇函数f (x )＝log 3x ＋1x －1的对称中心为O (0,0),也为平行四边形ABCD 对角线的交点,所以平行四边形ABCD 的面积为三角形OAB 的面积的四倍,由cos ∠AOB ＝OA ―→·OB―→|OA ―→|·|OB ―→|＝18445⇒sin ∠AOB ＝11445⇒S △OAB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin ∠AOB ＝118,从而平行四边形ABCD 的面积为112. 答案：11213、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x <0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b有三个零点,则实数b 的取值范围为________、解析：令g (x )＝|f (x )|－3x ＋b ＝0,则b ＝3x －|f (x )|,因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x <0，所以3x －f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7x －x 2，x >4，x 2－x ，0≤x ≤4，3x ＋3x ，x <0，作出其函数图象如图所示,再作直线y ＝b ,使得它们有3个交点,由图知,实数b 的取值范围为(－∞,－6)∪⎝⎛⎦⎤－14，0. 答案：(－∞,－6)∪⎝⎛⎦⎤－14，0 14、已知a ＞0,函数f (x )＝(a ＋1)x 2－x ＋sin x ＋a －2,x ∈R.记函数f (x )的值域为M ,函数f (f (x ))的值域为N ,若M ⊆N ,则a 的最大值是____________、解析：因为f ′(x )＝2(a ＋1)x －1＋cos x ,[f ′(x )]′＝2(a ＋1)－sin x ＞0恒成立, 所以f ′(x )单调递增,又f ′(0)＝0,所以当x ＜0时,f ′(x )＜0；当x ＞0时,f ′(x )＞0. 即f (x )在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增、所以f (x )的最小值为f (0)＝a －2,于是f (x )的值域为[a －2,＋∞)、 若a －2≤0,则f (f (x ))的值域为[f (0),＋∞), 即[a －2,＋∞),此时M ⊆N 成立；若a －2＞0,则f (f (x ))的值域为[f (a －2),＋∞), 因为 f (a －2)＞f (0)＝a －2,故此时有[f (a －2),＋∞)[a －2,＋∞), 即NM ,不合题意、因此0＜a ≤2,所以a 的最大值是2. 答案：2。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(二) 函数的概念与性质
14个填空题专项强化练(二) 函数的概念与性质A 组——题型分类练 题型一 函数的基本概念1．函数f (x )＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2>0，解得－2<x ≤1.答案：(－2,1]2．函数y ＝1－x 2－2的值域为________． 解析：因为1－x 2≥0，且1－x 2≤1，所以－2≤1－x 2－2≤－1.所以所求函数的值域是[－2，－1]． 答案：[－2，－1]3．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．解析：因为f (10)＝f (100－90)＝lg 100＝2，f (－100)＝f (－10－90)＝－(－10)＝10， 所以f (10)－f (－100)＝2－10＝－8. 答案：－84．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得当x ≤1时，3x ＝2，所以x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32. 答案：log 325．下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的序号是________． ①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |； ③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .解析：对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x <0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x <0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于③，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1≠2f (x )．对于④，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )．答案：①②④题型二 函数的单调性与最值1．已知函数f (x )＝log 5(x 2－3x －4)，则该函数的单调递增区间为________． 解析：由题意x 2－3x －4>0，则x >4或x <－1， 令y ＝x 2－3x －4，则其图象的对称轴为x ＝32，∴y ＝x 2－3x －4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________．解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34.因此，有0<11－x (1－x )≤43，所以f (x )的最大值为43.答案：433．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意互异的实数x 1，x 2，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，则使得不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0成立的实数t 的取值范围为____________．解析：因为对任意互异的实数x 1，x 2，均有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，所以函数f (x )在定义域R 上单调递减，又f (x )为奇函数，故不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0可化为f (t 2－3)<f (－2t )，结合单调性可知，t 2－3>－2t ，即t 2＋2t －3>0，解得t <－3或t >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) 题型三 函数的奇偶性与周期性1．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，化简得2a ＝1，解得a ＝12.答案：122．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由f (x )是R 上周期为5的奇函数，知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，所以f (3)－f (4)＝－1.答案：－13．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x2＋24．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x 的解集为________．解析：若x＜0，则－x＞0，∵当x＞0时，f(x)＝x2－4x，∴当－x＞0时，f(－x)＝x2＋4x.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x，x＜0，当x＞0时，不等式f(x)＞x等价为x2－4x＞x，即x2－5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，当x＜0时，不等式f(x)＞x等价为－x2－4x＞x，即x2＋5x＜0，得－5＜x＜0，当x＝0时，不等式f(x)＞x等价为0＞0不成立，综上，不等式的解为x＞5或－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)B组——高考提速练1．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁R B)＝________.解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，∴A∪(∁R B)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]内的最大值和最小值分别是________．解析：f (x )＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1，故f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)＝43，最小值为f (1)＝1.答案：4313．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10，则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－94．已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个． 解析：列举法：定义域可能是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{－1,1,2}，{－1,1，－2}，{－2，－1,1,2}，故共有9个这样的函数．答案：95．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.答案：[7，＋∞)6．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]． 故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]． 答案：[－4,6]7．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________. 解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x －1，x <0，则不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x －1，x <0的图象如图所示，∴f (x )是定义域为R 的奇函数也是增函数，∴不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0⇔ f (x 2－2)＜f (－x )⇔x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(－2,1)． 答案：(－2,1)9．定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)＝________.解析：由题意可得f (0)＝1＋b ＝0，解得b ＝－1.又f (2)＝2＋2(a －1)＋b ＝2a －1＝－1，解得a ＝0，所以f (x )＝log 2(2＋x )－x －1(x ≥0)．又由奇函数的定义可得f (－6)＝－f (6)＝－(3－6－1)＝4.答案：410．设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)＝________.解析：由题意得f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－1或x ≥1，1，－1＜x ＜1，故f M (0)＝1. 答案：111．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝________.解析：∵f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， ∴f (－4－x )＝f (x )．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－4－x )＝－f (－x )，即－f (－4＋x )＝f (x )，故f (x －8)＝f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝f (x )，进而f (x ＋8)＝f (x )．∴f (x )是以8为周期的周期函数． ∴f (－9)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－212．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，2－x －2，x <0，则不等式f (x －1)≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x －1－2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，2－x ＋1－2≤2，解得1≤x ≤3或－1≤x <1，故不等式f (x －1)≤2的解集是[－1,3]．法二：当x ≥0时，f (x )＝2x －2在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.又函数f (x )是偶函数，则f (x －1)≤2⇔f (|x －1|)≤f (2)⇔|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2，解得－1≤x ≤3，故不等式f (x －1)≤2的解集为[－1,3]．答案：[－1,3]13．已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ，b ]，其中a <b ，值域[3a,3b ]，则满足条件的数组(a ，b )为____________．解析：因为f (x )＝x 2－2|x |＋4＝(|x |－1)2＋3≥3，所以3a ≥3⇒a ≥1，从而f (b )＝b 2－2b ＋4＝3b ⇒b ＝1(舍去)或b ＝4；f (a )＝a 2－2a ＋4＝3a ⇒a ＝1或a ＝4(舍去)．即满足条件的数组(a ，b )为(1,4)．答案：(1,4)14．设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <e ，a ln x ，x ≥e 的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意不妨设P (x ，y 1)，Q (－x ，y 2)，其中x >0.因为OP ⊥OQ ，所以y 1x ·y 2－x ＝－1，则方程y 1y 2＝x 2有解．当0<x <e 时，(－x 3＋x 2)(x 3＋x 2)＝x 2，即(x 2)2－x 2＋1＝0，该方程无实数解；当x ≥e 时，a ln x ·(x 3＋x 2)＝x 2，易知a ≠0，则ln x ·(x ＋1)＝1a .设函数y ＝(x ＋1)ln x ，该函数在区间[e ，＋∞)上为增函数，所以y ∈[e ＋1，＋∞)，故1a ∈[e ＋1，＋∞)，得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ＋1.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ＋1.答案：⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1。
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略训练：
专题十四 高考中的立体几何题型一| 空间位置关系的证明(2016·江苏高考)如图14-1，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.图14-1求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . [解题指导] (1)DE 是△ABC 的中位线――→中位线的性质DE ∥AC ――→平行的传递性DE ∥A 1C 1线面平行的判定DE ∥平面A 1C 1F(2)A 1C 1⊥A 1B 1――→直棱柱的性质A 1C 1⊥平面ABB 1A 1―→A 1C 1⊥B 1D――→B 1D ⊥A 1FB 1D ⊥平面A 1C 1F ―→平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F[证明] (1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC . 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1.2分又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .4分 (2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.6分又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.8分 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .10分又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .12分 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .14分【名师点评】 1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直.2.证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.1．(2016·苏锡常镇调研一)如图14-2，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，M 是棱AD 的中点，N 是棱PC 的中点．图14-2(1)求证：MN ∥平面P AB ；(2)若平面PMC ⊥平面P AD ，求证：CM ⊥AD .[证明] (1)取PB 中点E ，连结EA ，EN ，NM ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，得EN ∥AM ，EN ＝AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， 4分得MN ∥AE ，MN ⊄平面P AB ，AE ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .6分 (2)过点A 作PM 的垂线，垂足为H .∵平面PMC ⊥平面P AD ，平面PMC ∩平面P AD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH⊂平面P AD，∴AH⊥平面PMC，∵CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM. 12分∵P A⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴P A⊥CM.∵P A∩AH＝A，P A，AH⊂平面P AD，∴CM⊥平面P AD.∵AD⊂平面P AD，∴CM⊥AD. 14分2．如图14-3，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，P A⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：图14-3(1)PB∥平面EAC；(2)平面P AD⊥平面ABCD.[证明](1)连结BD与AC相交于点O，连结OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点. 3分因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC. 6分(2)因为P A⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以P A⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 10分因为P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD. 14分3．如图14-4，正三棱柱ABC-A1B1C1，点D，E分别是A1C，AB的中点．图14-4(1)求证：DE∥平面BB1C1C；(2)若AB＝2BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.[证明](1)连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点. 3分在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.因为DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以DE∥平面BB1C1C. 6分(2)因为△ABC是正三角形，E是AB的中点．所以CE⊥AB.又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1，从而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因为A1B1B1B＝2＝B1BBE，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，12分从而∠B1A1B＝∠BB1E，因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，所以A1B⊥B1E.又因为CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE. 14分题型二| 空间几何体的体积计算如图14-5，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．图14-5(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．【导学号：91632044】[解](1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC. 2分又G为AD的中点，所以CG⊥AD. 3分同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC. 5分又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. 7分(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC. 9分又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 11分在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D-BCG＝V G-BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12. 14分【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.3.在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关系，例如本例中点A、点G到平面BCD的距离的关系.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．图14-6(1)求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；(2)若AD＝3，AB＝BC＝2，P为AC中点，求三棱锥P-A1BC的体积．[解](1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AD⊥平面A1BC，∴AD⊥BC. 3分∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ABB1A1.又∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABB1A1. 6分(2)法一：由等积变换得V P-A1BC＝V A1-PBC，在Rt△A1AB中，由射影定理知AA1＝2 3.∵AA1⊥平面PBC，∴三棱锥的高为AA1＝2 3. 12分又∵底面积S△PBC＝1，∴V P-A1BC＝V A1-PBC＝13S△PBC×AA1＝233. 14分法二：连结CD，取CD中点Q，连结PQ.∵P为AC的中点，∴PQ∥AD，PQ＝12AD.∵AD＝3，∴PQ＝32，12分由(1)知AD⊥平面A1BC，∴PQ⊥平面A1BC，∴PQ为三棱锥P-A1BC的高，又由(1)知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥BA1，∴S△A1BC＝4.∴V P-A1BC＝233. 14分。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(四)
14个填空题综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________． 解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：5 2．复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________． 解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________． 解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n ＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P ＝1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143. 答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________． 解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．解析：法一：由题意知，当A 在原点时，PQ 最小，此时，sin ∠PAC＝23，cos ∠PAC ＝73，cos ∠PAQ ＝59， 故cos ∠PCQ ＝－59，∴PQ ＝PC 2＋QC 2－2×PC ×QC ×cos ∠PCQ ＝2＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－59＝2143， 当A 点离原点无限远时，PQ 接近于22，∴PQ 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2143，22.法二：设CA ＝x ，x ∈[3，＋∞)，则PA ＝x 2－2，sin ∠ACP ＝PACA ＝x 2－2x ＝1－2x2， 所以PQ ＝2CP ·sin ∠ACP ＝22·1－2x2.因为x ∈[3，＋∞)，所以y ＝1－2x 2在[3，＋∞)上为增函数，所以2143≤PQ <2 2. 答案：⎣⎡⎭⎫2143，2210．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，x ≤0，ax －ln x ，x >0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．解析：易知函数f (x )在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax －ln x ＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a ＝ln x x 在(0，＋∞)上恰有一解. 令g (x )＝ln xx ，由g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，g (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝e 处取得极大值也为最大值，作出y ＝g (x )与y ＝a 的图象(图略)，知当正实数a ＝g (x )max 时两函数有一个交点，所以a ＝g (e)＝1e.答案：1e11．设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________． 解析：y ′＝12x 2＋3x(x >0)，令g (x )＝12x 2＋3x ，则g ′(x )＝24x －3x2，令g ′(x )＝0，得x ＝12，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )>0，所以当x ＝12时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫12＝9，故y ′＝12x 2＋3x 的最小值为9，即直线l 的斜率的最小值为9.答案：912．扇形AOB 中，弦AB ＝1，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ―→·BP―→的最小值是________．解析：设弦AB 的中点为M ，则OP ―→·BP ―→＝(OM ―→＋MP ―→)·BP ―→＝MP ―→·BP ―→， 若MP ―→，BP ―→同向，则OP ―→·BP ―→>0； 若MP ―→，BP ―→反向，则OP ―→·BP ―→<0，故OP ―→·BP ―→的最小值在MP ―→，BP ―→反向时取得，此时|MP ―→|＋|BP ―→|＝12，OP ―→·BP ―→＝－|MP ―→|·|BP ―→|≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MP ―→|＋|BP ―→|22＝－116， 当且仅当|MP ―→|＝|BP ―→|＝14时取等号，即OP ―→·BP ―→的最小值是－116.答案：－11613．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为________．解析：由题意，α，β是方程3cos x －sin x ＋2＝0的两根．设f (x )＝3cos x －sin x ＋2， 则f ′(x )＝－3sin x －cos x .令f ′(x )＝0，得tan x 0＝－33， 所以α＋β＝2x 0，所以tan(α＋β)＝－ 3. 答案：－ 314．已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x－2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334， 又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋3338。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(一) Word版含解析
14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1.答案：13．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝3 5.答案：3 55．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x＋5End IfPrint y解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________． 解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311. 答案：31110．已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，则cx 2＋bx ＋a ≤0即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，解得－1≤x ≤15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎡⎦⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R)过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (－1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．设集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，集合B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，满足A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝N *.若对任意的n ∈N *，b n <b n ＋1，则b 2 017＝________.解析：因为210＝1 024<2 017,211＝2 048>2 017，所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017＝2 017＋10＝2 027.答案：2 02714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e。
2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(九) 不 等 式 Word版含解析
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________、解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________、 解析：当x >0时,2x －1>3,解得x >2,当x ≤0时,－x 2－4x >3,即x 2＋4x ＋3<0,解得－3<x <－1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}、答案：{x |x >2或－3<x <－1}3、已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R,值域为[0,＋∞),则实数a 的取值集合为________、解析：由定义域为R,得x 2－2x ＋a ≥0恒成立、又值域为[0,＋∞),则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ＝4－4a ＝0,a ＝1.答案：{1}4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________、解析：由x 2≥0,得f (x 2)＝－x 2＋1, 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1, 则当2－x ≥0,即x ≤2时,由－(2－x )＋1<－x 2＋1,得－2<x <1,所以－2<x <1； 当2－x <0,即x >2时,由－(2－x )2＋1<－x 2＋1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}、 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1、若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________、 解析：由x >1,得x －1>0,则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立、故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52、已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________、 解析：由0<x <1,故3－3x >0,则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时等号成立、答案：123、已知正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,则ab 的最小值为________、 解析：因为正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,所以ab －5≥21a ×9b,可化为(ab )2－5ab －6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a ＝9b ,即a ＝2,b ＝18时取等号、即ab 的最小值为36. 答案：364、已知正数x ,y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ,则1x ＋1y 的最小值为________、 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0,且x >0,y >0,所以0<x ＋2y ≤1,所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时,1x ＋1y取得最小值3＋2 2. 答案：3＋2 25、已知a >0,b >0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值是________、 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32,故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3,当且仅当2a ＋b2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b ),且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号、故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1、已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________、解析：根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时,取得最小值－3.答案：－32、设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ,若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________、解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示、因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0,－2),且斜率为k ,由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3＋21－0＝5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2＋22－0＝2,故实数k 的取值范围是[2,5]、 答案：[2,5]3、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________、解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象,结合函数图象知,当x ＝1时,y ＝e,把点(1,e)代入ax －y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e,＋∞)、答案：[e,＋∞) B 组——高考提速练1、不等式x ＋1x <2的解集为______________、 解析：∵x ＋1x <2,∴x ＋1x －2<0, 即(x ＋1)－2x x＝1－xx <0, ∴1－xx <0等价于x (x －1)＞0,解得x ＜0或x ＞1, ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}、 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2、若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________、解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示、 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ,平移直线y ＝－32x ＋12z ,由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时,直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大,此时z 最大、由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2),代入目标函数z ＝3x ＋2y ,得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73、若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值为________、 解析：因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14、不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________、 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 所以Δ＝a 2－4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <－4. 答案：(－∞,－4)∪(4,＋∞)5、若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________、解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根,即a 2＋a －6＝0,解得a ＝2或a ＝－3,当a ＝2时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2),符合要求；当a＝－3时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞,－3)∪(1,＋∞),不符合要求,舍去、故m ＝2.答案：26、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________、解析：法一：当x <0时,f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1,f (x )<0,即log 2(－x )－1<0,得－2<x <0；当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,f (x )<0,即1－log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、答案：(－2,0)∪(2,＋∞)7、已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,m ,n ∈R,则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________、解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示、因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方、因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32,故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2,即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88、已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP―→的最大值为________、解析：如图作满足约束条件的可行域,z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max ＝2. 答案：29、已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n ＝4a 1,则1m ＋4n的最小值为________、解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7＝a 6＋2a 5,得q 2－q －2＝0,解得q ＝2(q ＝－1,舍去)由a m a n ＝4a 1,即2m+n-22＝4,得2m ＋n －2＝24,即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32, 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2,n ＝4时等号成立, 即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210、已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC ＝a ,CA ＝b ,AB ＝c ,则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________、解析：y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b ＋c ,所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12,当且仅当12⎝⎛⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号,即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2－b 2＝2bc sin A ,则tan A －9tan B 的最小值为________、解析：由余弦定理,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ,得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A , 即c －2b cos A ＝2b sin A ,再由正弦定理,得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B , 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1,由题意知tan A >0,所以2tan A ＋1>0, 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1),即tan A ＝1时取“＝”、故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212、已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________、解析：因为ab －a －2b ＝0,所以2a ＋1b ＝1,因为a ,b 均为正数,所以b >1, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1,令x ＝b －1>0, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1, 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7,即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713、若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0,＋∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________、解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ,g (x )＝－ln x x ,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}、 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14、已知a ＞0,b ＞0,c ＞2,且a ＋b ＝2,则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________、解析：考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2,先求a b ＋1ab －12的最小值、a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12, 令2a ＋1＝t ,则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12, 所以a b ＋1ab －12≥52,当且仅当2a ＋1＝52a ＋1,即a ＝5－12时等号成立,故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2,即c ＝2＋2时等号成立、 答案：5＋10。
2018年高考数学江苏专版3维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(9) 不 等 式 Word版含解析
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3， 令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________． 解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1， 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1， 则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1， 所以－2<x <1； 当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}． 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：由0<x <1，故3－3x >0， 则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b ，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y 的最小值为________． 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________． 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32，故a ＋2b ＝⎣⎡⎦⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32 ＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b )，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ， 由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]． 答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞) B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x <2的解集为______________． 解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x －2<0， 即(x ＋1)－2x x ＝1－xx<0， ∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1， ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}． 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________． 解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________． 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max ＝2. 答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32， 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32.答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋b c ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12.答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ， 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0， 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1)，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b ＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1，令x ＝b －1>0， 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1， 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln x x，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12， 令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝⎛⎭⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12， 所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝ ⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立． 答案：5＋10。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(二)
14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________.解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，所以A ∪B ＝{1,3,4}，因为全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{2}．答案：{2}2．已知复数z ＝1－i 2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________． 解析：z ＝1－i 2i ＝i (1－i )2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12. 答案：－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8. 答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．设x ∈R ，则p ：“log 2x <1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析：由log 2x <1，得0<x <2，由x 2－x －2<0可得－1<x <2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q－5(1＋q )＝0， 化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31. 答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________． 解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：163 10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0，所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6， 由正弦定理得AC sin 2π3＝AO sin π6，故AC ＝23， 又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12. 答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则a b ＋c的最大值为__________． 解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.答案：2－1214．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1的图象为C .如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：因为任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，所以f ′(x )≤1在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．因为f ′(x )＝a －3ax 2，所以3ax 2－a ＋1≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．设g (t )＝3at －a ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫14≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧34a －a ＋1≥0，3a －a ＋1≥0，解得－12≤a ≤4.答案：⎣⎡⎦⎤－12，4。
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数学复习精选 14个填空题专项强化练(七) 平面向量与复数 A组——题型分类练 题型一 平面向量的线性运算
1、已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA―→＋2OC―→＝3OB―→,则|BC―→||AB―→|的值为________、
解析：由OA―→＋2OC―→＝3OB―→,得OA―→－OB―→＝2OB―→－2OC―→,即BA―→＝2CB―→,所以|BC―→||AB―→|＝12. 答案：12 2、在▱ABCD中,AB―→＝a,AD―→＝b,AN―→＝3NC―→,M为BC的中点,则MN―→＝________(用a,b表示)、
解析：由AN―→＝3NC―→得AN―→＝34AC―→＝34(a＋b),AM―→＝a＋12b,所以MN―→＝AN―→－AM―→＝34(a＋
b)－a＋12b＝－14a＋14b. 答案：－14a＋14b 3、已知Rt△ABC的面积为2,∠C＝90°,点P是Rt△ABC所在平面内的一点,满足CP―→
＝4CB―→|CB―→|＋9CA―→|CA―→|,则PA―→·PB―→的最大值是________、 解析：由条件可知|CA―→|·|CB―→|＝4,CA―→·CB―→＝0,因为PA―→＝CA―→－CP―→＝CA―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|,PB―→＝CB―→－CP―→＝CB―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|,故PA―→·PB―→＝
CA―→－4CB―→|CB―→|－9CA―→|CA―→|·CB―→－4CB―→|CB―→|－9CA
―→
|CA―→|＝97－9|CA―→|－4|CB―→|≤97－12×2＝73,当且仅
当9|CA―→|＝4|CB―→|,即|CA―→|＝43,|CB―→|＝3时等号成立、 答案：73 题型二 平面向量的坐标表示
1、在▱ABCD中,AC为一条对角线,AB―→＝(2,4),AC―→＝(1,3),则向量BD―→的坐标为________、 解析：因为BC―→＝AC―→－AB―→＝(－1,－1), 所以BD―→＝AD―→－AB―→＝BC―→－AB―→＝(－3,－5)、 数学复习精选 答案：(－3,－5) 2、已知向量a＝(1,2),b＝(x,1),u＝a＋2b,v＝2a－b,且u∥v,则实数x的值是________、 解析：因为u＝(1＋2x,4),v＝(2－x,3),u∥v,
所以8－4x＝3＋6x,所以x＝12.
答案：12 3、已知向量a＝(1,2),b＝(2,－3)、若向量c满足(c＋a)∥b,c⊥(a＋b),则c＝____________. 解析：不妨设c＝(m,n), 则a＋c＝(1＋m,2＋n),a＋b＝(3,－1), 对于(c＋a)∥b,有－3(1＋m)＝2(2＋n)、① 对于c⊥(a＋b),有3m－n＝0.②
联立①②,解得m＝－79,n＝－73.
故c＝－79，－73. 答案：－79，－73 题型三 平面向量的数量积 1、已知向量a＝(3,－2),b＝(1,0),向量λa＋b与a－2b垂直,则实数λ的值为________、 解析：依题意,λa＋b＝(3λ＋1,－2λ),a－2b＝(1,－2),所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0,λ＝
－17.
答案：－17 2、已知非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a＋b|,则a与2a－b夹角的余弦值为__________、 解析：法一：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1,则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1,所以a·b
＝－12,所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52, 又因为|a|＝1,|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝7,
所以a与2a－b夹角的余弦值为a·2a－b|a|·|2a－b|＝521×7＝5714. 法二：(特殊化、坐标化) 设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1,则向量a,b,a＋b构成以1为边长的正三角形,
故可设a＝(1,0),b＝－12，32,a＋b＝12，32, 数学复习精选 则a与2a－b的夹角的余弦值为a·2a－b|a|·|2a－b|＝1，0·52，－3212＋02· 522＋－322＝527＝5714. 答案：5714 3、已知向量AB―→与AC―→的夹角为120°,且|AB―→|＝2,|AC―→|＝3.若AP―→＝λAB―→＋AC―→,且AP―→
⊥BC―→,则实数λ的值为________、 解析：由题意得,AB―→·AC―→＝－3,由AP―→·BC―→＝(λAB―→＋AC―→)·(AC―→－AB―→)＝0,得λAB―→·AC―→
－λAB―→2＋AC―→2－AC―→·AB―→＝0,即－3λ－4λ＋9＋3＝0,故λ＝127. 答案：127 4.如图,已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q.若|AB―→|＝3,|AC―→|＝5,则(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)的值为________、 解析：由题意知,(AP―→＋AQ―→)·(AB―→－AC―→)＝(2AQ―→＋QP―→)·CB―→＝2AQ―→·CB―→＝(AB―→＋AC―→)·(AB―→－AC―→)＝|AB―→|2－|AC―→|2＝32－52＝－16. 答案：－16
5、在△ABC中,已知AB＝3,C＝60°,则CA―→·CB―→的最大值为________、 解析：因为AB―→＝CB―→－CA―→, 所以AB―→2＝CB―→2＋CA―→2－2CB―→·CA―→, 所以3＝|CB―→|2＋|CA―→|2－|CB―→|·|CA―→|≥2|CB―→|·|CA―→|－|CB―→|·|CA―→|＝|CB―→|·|CA―→|, 即|CB―→|·|CA―→|≤3, 当且仅当|CA―→|＝|CB―→|＝3时等号成立、 所以CA―→·CB―→＝|CA―→||CB―→|cos 60°＝12|CA―→||CB―→|≤32,
所以CA―→·CB―→ 的最大值为32. 答案：32
6、在△ABC中,AB⊥AC,AB＝1t,AC＝t,P是△ABC所在平面内一点,若AP―→＝4AB―→|AB―→|＋数学复习精选 AC―→|AC―→|,则△PBC面积的最小值为________、
解析：由于AB⊥AC,故以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B1t，0,C(0,t),因为AP―→＝4AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|,所以点P坐标为(4,1),直线BC的方程为t2x＋y－t
＝0,所以点P到直线BC的距离为d＝|4t2＋1－t|t4＋1,BC＝t4＋1t,所以△PBC的面积为12
×|4t2＋1－t|t4＋1×t4＋1t＝124t＋1t－1≥32,当且仅当t＝12时取等号、 答案：32 题型四 复数 1、设复数z＝a＋bi(a,b∈R,i为虚数单位)、若z＝(4＋3i)i,则ab的值是________、 解析：因为z＝a＋bi且z＝(4＋3i)i,所以a＋bi＝4i＋3i2＝－3＋4i,所以a＝－3,b＝4,所以ab＝－12. 答案：－12 2、已知复数z满足z＝(1－2i)(3＋i),其中i为虚数单位,则|z|＝________. 解析：复数z＝(1－2i)(3＋i),i为虚数单位,则|z|＝|1－2i||3＋i|＝12＋－22×32＋12＝52. 答案：52 3、设复数z满足z(1＋i)＝2,其中i为虚数单位,则z的虚部为________、
解析：由(1＋i)z＝2,得z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝21－i2＝1－i.所以z的虚部为－1. 答案：－1 4、若复数z满足(2－i)z＝1＋i,则复数z在复平面上对应的点在第________象限、
解析：因为z＝1＋i2－i＝1＋i2＋i2－i2＋i＝1＋3i5＝15＋35i,所以复数z在复平面上对应的点在第一象限、 答案：一 B组——高考提速练 1、复数z＝(1＋2i)2,其中i为虚数单位,则z的实部为________、 解析：因为复数z＝(1＋2i)2＝－3＋4i,所以复数z的实部为－3. 答案：－3
2.如图,已知AB―→＝a,AC―→＝b,BD―→＝3DC―→,用a,b表示AD―→,则AD―→＝________. 数学复习精选 解析：因为CB―→＝AB―→－AC―→＝a－b,又BD―→＝3DC―→, 所以CD―→＝14CB―→＝14(a－b),所以AD―→＝AC―→＋CD―→＝b＋14(a－b)＝14a＋34b. 答案：14a＋34b 3、已知|a|＝3,|b|＝4,且a与b不共线,若向量a＋kb与a－kb垂直,则k＝________. 解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb), 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0, 即|a|2－k2|b|2＝0.
又因为|a|＝3,|b|＝4,所以k2＝916,即k＝±34.
答案：±34 4、设复数z1＝1－i,z2＝a＋2i,若z2z1的虚部是实部的2倍,则实数a的值为________、 解析：z2z1＝a＋2i1－i＝a＋2i1＋i1－i1＋i＝a－2＋2＋ai2,故该复数的实部是a－22,虚部是a＋22. 由题意,知a＋22＝2×a－22. 解得a＝6. 答案：6 5、已知复数z＝(1＋i)(1＋2i),其中i是虚数单位,则z的模是________、 解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i, 则|z|＝－12＋32＝10. 法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：10 6、若a,b均为单位向量,且a⊥(a－2b),则a,b的夹角大小为________、 解析：设a,b的夹角为θ.因为a⊥(a－2b), 所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0,
所以1－2cos θ＝0,所以cos θ＝12,
而θ∈[0,π],故θ＝π3. 答案：π3 7、若复数z满足z＋2z＝3＋2i,其中i为虚数单位,z为复数z的共轭复数,则复数z的模为________、