2006年北京市宣武区高三上学期期末检测数学(理科)试卷(2006

2006年北京市宣武区高三上学期期末检测数学（理科）试卷
(2006.1)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A∩(CUB)等于 （ ）
A．{4，5} B．{2，4，5，7}
C．{1，6} D．{3}

2．函数f (x) =1)1ln(xx的定义域是 （ ）
A．{x | x > – 1} B．{x | x > 1}
C．{x | x≥– 1} D．{x | x≥1}
3．在（0，2）内使sin x > cos x成立的x的取值范围是 （ ）

A．（4，2）∪（，45） B．（4，）

C．（4，）∪（45，23） D．（4，45）
4．等比数列{an}中，a3 =21，a9 = 8则a5 · a6 · a7的值为 （ ）
A．64 B．– 64 C．8 D．8或 – 8
5．定义：| a × b | = | a | · | b | · sin，其中为向量a与b的夹角，若| a | = 2，| b | = 5，a · b = – 6，则| a ×
b | =（ ）

A．8 B．– 8 C．8或 – 8 D．6
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△CDF、△BEF折
起，使A、B、C三点重合，重合后的点记
为P，那么在四面体P – DEF中，必有
（ ）

A．DM⊥平面PEF
B．PM⊥平面DEF
C．平面PDE⊥平面PEF
D．平面PDE⊥平面DEF
7．若二项式（xx2）n的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为 （ ）
A．15 B．12 C．10 D．6
8．已知f (x)是R上的增函数，点A ( – 1，1)，B (1，3)在它的图象上，f – 1(x)是它的反函数，那么不等式|
f – 1(log2x) | < 1的解集为 （ ）

A．{x | – 1 < x < 1} B．{x | 1 < x < 3}
C．{x | 2 < x < 8} D．{x | 0 < x < 3}
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

9．i是虚数单位，3i)i2)(i1(的虚部为___________。

10．函数f (x) = Asin(wx +) (A > 0，w > 0，|| <2)的部分图象
如图所示，

则f (x)的解析式为_____________________。
11．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别比例分层抽
样且男生甲担任队长，则不同的抽样方法数是_______。（结果用数值表
示）

12．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1 > 0，S16 > 0，S17 < 0，则当n = _______时，Sn最大。
13．四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、
AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD
外接球的球心，则点O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD
为正四面体。所有正确命题的序号是____________________。

14．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码，
将英文的26个字母a，b，c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见表
格

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
t u v w x y z
20 21 22 23 24 25 26

现给出一个变换公式：)26 1N(132)26 1N(21**为偶数，，为奇数，，xxxxxxxxx可将英文的明文（明码）转换成密码。
按上述规定，若将英文的明文译成的密码是shxc，那么原来的明文是________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

≤ ≤
≤ ≤
15．（本小题满分12分）
已知A、B、C三点的坐标分别是A (3，0)、B (0，3)、C (cos，sin)，其中2<<23。
（Ⅰ）若|AC| = |BC|，求角的值；
（Ⅱ）若AC·BC= – 1，求sin2的值。
16．（本小题满分13分）
已知函数f (x) = x2 (ax + b)(a，bR)在x = 2时有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x + y = 0
平行。

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f (x)的单调区间。
17．（本小题满分13分）
已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为f，某植物研究所分两个小组分别独
立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的。
（Ⅰ）第一小组做了三次实验，记该小组实验成功的次数为，求的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）第二小组进行实验，到成功了四次为止。求在第四次成功之前共有三次失败的概率。
18．（本小题满分14分）
如图，在矩形ABCD中，AB = 2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点。EP⊥平面ABCD。
（Ⅰ）求证：AQ∥平面CEP；
（Ⅱ）求证：平面AEQ⊥平面DEP；
（Ⅲ）若EP = AP，求二面角Q – AE – P的大小。
19．（本小题满分14分）
9个正数排成3行3列如下：
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a12 = 1，a23 =43，a32
=41。
（Ⅰ）a11，及第一行的数所成等差数列的公差d1，每一列的数所成等比数列的公比q；
（Ⅱ）若保持这9个正数不动，仍使每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，补做成一个n
行n列的数表。
a11 a12 a13 …… a1n
a21 a22 a23 …… a2n
a31 a32 a33 …… a3n
… … … … … …
an1 an2 an3 …… ann
记Sn = a11 + a22 + … + ann，求Sn；

（Ⅲ）若Sn为（Ⅱ）中所述，求)21(limnnnnS的值。
20．（本小题满分14分）
定义在区间（0，+∞）上的函数f (x)满足：
（1）f (x)不恒为零； （2）对任意aR+，bR，都有f (ab) = bf (a)。
（Ⅰ）求f (1)的值；
（Ⅱ）求证方程f (x) = 0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）若f (2) > 0，试证f (x)是（0，+∞）上的增函数。