广东茂名实验中学2019高三下重点(二)测试-数学(理)
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案
侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。
2019广东湛江普通高考第二次重点试题—数学(理)
2019广东湛江普通高考第二次重点试题—数学（理）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
如果事件A ，B 互斥，那么).()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P =A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件的最小值为7.假设函数的零点与()224-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0.25,那么()x f 可以是8.对一个定义在R 上的函数()x f 有以下四种说法：①()()x f x f R x +=-∈∀11,；②在区间〔-∞，0)上单调递减； ③对任意021>>x x 满足()()21x f x f >；④是奇函数.那么以上说法中能同时成立的最多有 A.1个B.2个C.3个D.4个【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分.(一〕必做题(9〜13题〕9.向量m=(1，3)，n=(x ，1)，假设m 丄n ，那么x =________11.曲线233x x y +-=在点〔1，2)处的切线方程为_______.用上述变换中的两种变换，将函数x y sin =的图象变换到函_______(填上一种你认为正确的答案即可〕.13.运行如下图框图，坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+30203x y x y x 的点共有_______个.(二〕选做题〔14〜15题，考生只能从中选做一题〕 14.(几何证明选讲选做题)如图，ABC Rt ∆中，，︒=∠︒=∠30,90A C 圆O 经过B 、C 且与AB 、AC 分别相交于15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为.⎩⎨⎧-=+=t y t x 33〔参数R t ∈)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2cos 2θθy x 〔参数)2,0[πθ∈〕，那么圆心到直线l 的距离为______【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)在ΔABC 中，角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积(1) 求角C 的大小；(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)假设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[3.2]=3，[-1.3]=-2等，函数()][x x f =，18.(本小题总分值14分)某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图〕，第一小组为[5，6)，从左到右前5个小组的频率分别为0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是6. (1) 求这次实心球测试成绩合格的人数； (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.假设从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (3) 经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9.5〜10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率.19. (本小题总分值14分)如图，五面体EF-ABCD 中，ABCD 是以点H 为中心的正方形，E F//AB ，EH 丄平面ABCD ，AB=2，E F=EH=1.(1) 证明：平面ADF 丄平面ABCD; (2) 求五面体EF —ABCD 的体积；(3) 设N 为EC 的中点,假设在平面ABCD 内存在一点M,使MN 丄平面BCE ，求MN 的长.20. (本小题总分值14分〕抛物线m m mx y ,0(2>=为常数〕的焦点是F(1，0)，()00,y x P 是抛物线上的动点，定点A(2，0).(1) 假设20>x ，设线段AP 的垂直平分线与X 轴交于()0,1x Q ,求1x的取值范围；(1) 求a 与b的关系式(用a 表示b )，并求()x f 的单调区间；参考答案【一】选择题：本大题共8小题、每题5分、共40分、 1、A2、D3、C4、C5、B6、D7、A8、B【二】填空题：本大题共7小题、考生作答6小题。
广东实验中学2019高三下综合测试(一)-数学(文)
广东实验中学2019高三下综合测试（一）-数学（文）数学文本试卷共4页，21小题，总分值150分，考试用时120分钟、本卷须知1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目、2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上、3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用锚笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效、4、考生必须保持答题卷的整洁、考试结束后，将答题卷和答题卡交回、【一】选择题：此题共10小题，每题5分，共50分1、设复数z=(1-3i)(2+i)(其中i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面上所对应的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、向量a=(1，-2)，b=(m ，4)，且a ∥b ，那么2a-b 等于 A 、(4，0) B 、(0，4) C 、(4,-8) D.(-4，8)A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.假设直线l 不平行平面α，那么在平面α内不存在与l 平行的直线D.假如平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β4、设数列}{n a 是等差数列，.0,0871<⋅<a a a 假设数列}{n a 的前n 项和S n取得最小值为A 、4B 、7C 、8D 、15 5、,,R b a ∈那么“a=b ”是“ab ba =+2”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件6.如右图，设A,B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45º，∠CAB=105º后，就能够计算出A,B 两点的距离为〔精确到0.1〕 A.70.7mB.78.7mC.86.6mD.90.6m 7、z=2x+y ，其中x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥m x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，那么m 的值是A.71B.61C.51D.41 8，如下图的程序框图运行的结果 A.20122011B.20132012C.20121 D.20131 9、通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是情愿走斑线依旧情愿走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，算得.8.750605060)20203040(11022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 附表：参照附表，得到的正确结论是A 、在犯错误的概率不超过O.1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”B 。
广东省广州市普通高中2019届高三综合测试(二)数学(理)试题含解析
广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化代数形式，再根据对应的点在第三象限列不等式，解得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.己知集合A=，则A. {x|x<2或x≥6}B. {x|x≤２或x≥6}C. { x|x<2或x≥10}D. {x|x≤２或x≥10}【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再求补集.【详解】因为，所以，选 D. 【点睛】本题考查解不等式以及补集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．考点：程序框图．5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则，选 D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为，所以因此,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知，其中，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE，结合双曲线定义列等式，解得离心率.【详解】设右焦点，因为，所以,因为，所以, 由双曲线定义得,因为⊥PF,所以⊥PF,因此，选A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.若曲线y= x3-2x2+2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为A. 4B. 3+2C. 6+4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求A点坐标，再根据基本不等式求最值.【详解】设，则或，即或因为在上，所以，即，从而，当且仅当时取等号，即的最小值为，选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.10.函数的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求模.【详解】因为，所以. 【点睛】本题考查利用向量数量积求模，考查基本分析求解能力，属基本题.14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是_______.【答案】2【解析】解：因为展开式的的系数为80，则说明，故a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，，是的内角，，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.己知{a n}是递增的等比数列，a2+a3 =4，a l a4=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列方程组解得公比与首项即可，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以解得或因为是递增的等比数列，所以，．所以数列的通项公式为．解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，是方程的两个根．解得或因为是递增的等比数列，所以，，则．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知．则，①在①式两边同时乘以得，，②①-②得，即，所以．【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。
2019-2020学年广东省茂名市第十中学高三数学理下学期期末试卷含解析
2019-2020学年广东省茂名市第十中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110参考答案：A设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第组的项数为，则组的项数和为由题，，令→且，即出现在第13组之后第组的和为组总共的和为若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数即→则故选A2. 是函数的零点，，则（）①②③④其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④参考答案：B略3. 的图象大致是下面的（）参考答案：B4. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“H函数”的有（）A.①②B.③④C.②③D.①②③参考答案：C略5. 圆关于直线对称的圆的方程为（）A．B．C．D．参考答案：D6. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）A．B． C. D．参考答案：C7. 在中，角的对边分别为，，则（）A.1 B．2 C．3 D．4参考答案：C8. 已知满足约束条件，若的最小值为，则（）A．B． C. 1 D．2参考答案：A由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，取得最小值，易知，∴，解得．故选A．9. （多选题）设函数，则（）A. f(x)在单调递增B. f(x)的值域为C. f(x)的一个周期为πD. 的图像关于点对称参考答案：BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.【详解】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.10.函数的图象关于直线对称的图象的函数为，则的大致图象为（）A BC DA. 31B. 32C. 15D. 16参考答案：答案: C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如题(14)图，PA为圆的切线，切点为A，割线PCB与圆相交于B、C两点，弦DE经过弦BC的中点Q，若AP=，CP=，DE=8且DQ>QE，则QE=_________参考答案：12. 定义：，在区域内任取一点，则x、y满足的概率为___________．参考答案：13. 若复数z满足（i为虚数单位），则______.参考答案：2由题意可得：，则：.14. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即. 给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪ [1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.其中，正确的结论的个数是．参考答案：3，，真；，，假；显然③真；若则,,则,若,则,，,④真.15. 一学校从一个年级的两个班中抽出部分同学进行一项问卷调查，已知理科班有56名同学，文科班有42名同学，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为28的样本．那么这个样本中的文科学生、理科学生的比是．参考答案：3：4解：已知理科班有56名同学，文科班有42名同学，故样本中的文科学生、理科学生的比是=3：4，故答案为3：4．本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中16. 已知向量//，则=_______参考答案：略17. 在的展开式中，项的系数为.参考答案：－7三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东广州普通高中2019高三下综合测试(一)--数学(理)
广东广州普通高中2019高三下综合测试（一）--数学(理）数学〔理〕本试卷共4页，21小题，总分值150分。
考试用时120分钟。
本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型〔A〕填涂在答题卡相应位置上。
2、选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：.假如事件A B,相互独立,那么()()()⋅=⋅P A B P A P B中系数计算公式线性回归方程y bx a=+121ni i i ni i x x y y b a y bxx x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，那么〔〕A 、U AB =B 、U =()U A ðBC 、U A =()UB ðD 、U=()U A ð()UB ð2.11abii=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，那么a b +i =〔〕A 、12+iB 、2+iC 、2-iD 、12-i3、变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩那么2z x y =-的最大值为〔〕A 、3-B 、0C 、D 、34.直线0x -=截圆()2224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是〔〕A 、6πB 、3πC 、2πD 、23π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，那么该几何体的体积是〔〕 A 、2 B 、 C.23D.136.函数()()y x x x x sincos sin cos =+-是〔〕图1俯视图A 、奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B 、奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C 、偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D 、偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7、e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2x x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，那么以下不等式中成立的是〔〕 A 、()()()1f a f f b << B.()()()1f a f b f << C.()()()1f f a f b << D.()()()1f b f f a <<8、如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 动身匀速驶往河对岸的码头B .AB =km ，水流速度为2km/h,假设客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，那么客船在静水中 的速度大小为〔〕 A 、8km/hB 、km/h 图2 C 、km/hD 、10km/h【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、〔一〕必做题〔9～13题〕 9.不等式1x x -≤的解集是. 10、10x cos ⎰d x =.11、某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：依照上表可得回归方程模型可能，该型ˆˆ1.23yx a =+，据此号机器使用年限为10年时维修费用约万元〔结果保留两位小数〕、 12、01a a ,>≠，函数()()()11xa x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩假设函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，那么a 的值为.13.通过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不通过同一条直线.假设这n 个平面将空间分成()f n 个部分，那么()3f =，()f n =.〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14、〔坐标系与参数方程选做题〕 在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为、 15、〔几何证明选讲选做题〕如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ， 假设3BC =，165AD =，那么AB 的长为、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16、〔本小题总分值12分〕 函数()sin()4f x A x πω=+〔其中x ∈R ，0A >，0ω>〕的最大值为2，最图3OBA小正周 期为8.〔1〕求函数()f x 的解析式；〔2〕假设函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的 面积.17、〔本小题总分值12分〕甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率； 〔2)求m ，n 的值； 〔3)求ξ的数学期望. 18、〔本小题总分值14分〕如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.〔1〕求证：CE ∥平面1A BD ；〔2〕假设H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 所成最大角的正切值时，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角〔锐角〕的余弦值.19、〔本小题总分值14分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1)求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20、〔本小题总分值14分〕椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P .(1)求椭圆1C 的方程；(2)是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ?假设存在，指出如此的点P 有几个〔不必求出点P 的坐标〕;假设不存在，说明理由. 21、〔本小题总分值14分〕二次函数()21f x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-. 〔1〕求a 的值；〔2〕k k (∈R 如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，图4ABCA 1C 1B 1DE并求出极值点； 〔3〕假设1m =，且x>，求证：()()1122nn n g x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).参考答案说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力对比评分标准给以相应的分数、2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分、 【一】选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCDACAB【二】填空题 9、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10、1sin 11、12.3812、12或7213、8，22n n -+14、1116,π⎛⎫ ⎪⎝⎭15、4说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分、 ②第14题的正确答案能够是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z. 【三】解答题16、〔1〕解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8，∴28T πω==，得4πω=……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+……………3分〔2〕解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，……………5分∴(4,P Q .∴OP OQ ==……………8分 ∴222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-∠===. (10)分∴POQ sin ∠== (11)分∴△PO Q的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=.……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分∴cos cos ,6OP OQPOQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===……………10分∴POQ sin ∠== (11)分∴△PO Q的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=.……………12分 解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，……………4分 (4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，……………5分∴(4,PQ . ∴直线OP 的方程为y x=，即0x -=.……………7分∴点Q 到直线OP的距离为d .……………9分∵OP=11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=…………12分17、解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n,,===……………1分 〔1〕由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，因此至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分〔2〕由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=，……………4分()()113224P P ABC mn ξ====，……………5分整理得112mn =，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =.……………7分〔3〕由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABCξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=，………9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14，……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分 18、解法一：〔1〕证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD12=1AA ， H ACA 1C 1B 1D∴C 为AF 的中点.……………2分 ∵E 为AB 的中点， ∴CE ∥BF .……………3分∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD ……………4分〔2〕解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =，∴CE ⊥平面1A AB ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角……………7分∵CE =，在Rt △CEH 中，tanCE EHC EH ∠==，∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，那么EHC ∠最大……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大.如今，tanCE EHC EH ∠===∴EH =……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B .……………11分∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角〔锐角〕 (12)分在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==.…13分∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角〔锐角〕14分 解法二：〔1〕证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EF AA =.……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD .……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形. ∴CE ∥DF .……………3分∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD .……………4分〔2〕解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE .……………5分zyxH ABCA 1C 1B 1DE F∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =，∴CE ⊥平面1A AB ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角……………7分∵CE =，在Rt △CEH 中，tanCE EHC EH ∠==，∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，那么EHC ∠最大……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大.如今，tanCE EHC EH ∠===∴EH =……………9分 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EHBH AA AB==∴14AA =……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.那么()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2. ∴1AA =()004,,，1A B=)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,， 由n 10A B?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî令1y =，那么1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,……………12分∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量. ∴cos111,⋅==n AA n AA n AA ……………13分∴平面1A BD 与平面ABC …………14分19、(1)解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴当1n =时，有11(11)2,a S =-+解得12a =……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++,②……………2分②-①得:11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+.③……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+……………4分∴122(2)n n S S ++=+，……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n nS -+=⨯-=-.……………6分当2n ≥时,11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，……………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =.……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n aS +=+.④……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+,⑤……………5分⑤-④得：12n n aa +=……………6分由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列.∴2n n a =……………8分〔2〕解：∵p q r ,,成等差数列， ∴2p r q +=……………9分 假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 那么()()()2111p r q a a a --=-……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯.〔*〕……………11分 ∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与〔*〕式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列.……………14分20． 〔1〕解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>, 依题意:222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………2分 ∴椭圆1C 的方程为2211612x y +=.……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>， 依照椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =……………1分∵2c =，∴22212b a c =-=……………2分 ∴椭圆1C 的方程为2211612x y +=……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，那么))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线 ∴BC BA //……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=.①……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=.②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=.③……………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，那么)(2121x x x +=.……………9分 代入②得2141x x y =……………10分 那么212x x x +=，214x x y =代入①得1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分假设1212PF PF AF AF +=+，那么点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 通过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+的点P 有两个……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=……………5分 ∵21141x y =，∴112y x x y -=. ∵点),(00y x P 在切线1l 上,∴10102y x x y -=.①……………6分 同理，20202y x x y -=.②……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002.……………8分 ∵通过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为yx xy -=002……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上，∴300-=x y ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y ……………11分假设1212PF PF AF AF +=+，那么点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分∵直线3-=x y 通过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+的点P 有两个……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=.……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,那么12124812x x k x x k ,+==-.……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分∵21141x y =，∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-.……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+, ∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根.∴满足条件的点P 有两个……………14分21.〔1〕解：∵关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-……………2分 (2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11m x x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-.……………3分方程()2210x k x k m -++-+=〔*〕的判别式()()222414Δk k m k m=+--+=+.……………4分①当0m >时，0Δ>，方程〔*〕的两个实根为11x ,=<21x ,=>……………5分那么()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >， 假设k <-，那么11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点……………7分假设k >时，11x ,=>21x ,=>那么()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ……………8分 综上所述,当0m >时，k 取任意实数,函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =,2x =解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11m x x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-……………3分假设函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=, 得()221x k x k m -++-+0=,(*)那么()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**)……………5分方程〔*〕的两个实根为1x =,2x =设()h x =()221x k x k m -++-+, ①假设1211x x ,<>,那么()10h m =-<,得0m >,如今,k 取任意实数,(**)成立.那么()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ……………6分 ②假设1211x x ,>>,那么()10212h m k,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >或k <-,故k >.……………7分那么()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ……………8分 综上所述,当0m >时，k 取任何实数,函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =,2x =(2)证法1：∵1m =，∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111nn n n n n nn nnn n n x C xC x Cx C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n n n n n C x C x C x----=+++……………10分 令T 122412n n n n n nn C x C x C x----=+++， 那么T 122412n n n n n n nn C x C x C x-----=+++ 122412n nn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ (11)分≥121n n nn C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n nn n n n n n nC C C C C C C -=+++++--()222n =-……………13分∴22n T ≥-，即()()1122n n n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ①当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立； ……………10分②假设当n k =k (∈N*)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-， 那么11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk kx x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-.……………13分也确实是说，当1n k =+时，不等式也成立. 由①②可得，对∀N ，都成立.………14分。
广东省广州市普通高中2019届高三数学综合测试试题(二)理(含解析)
广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化代数形式，再根据对应的点在第三象限列不等式，解得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.己知集合A=，则A. {x|x<2或x≥6}B. {x|x≤2或x≥6}C. { x|x<2或x≥10}D. {x|x≤2或x≥10}【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再求补集.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查解不等式以及补集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．考点：程序框图．5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为，所以因此,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知，其中，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE，结合双曲线定义列等式，解得离心率.【详解】设右焦点，因为，所以,因为，所以,由双曲线定义得,因为⊥PF,所以⊥PF,因此，选A. 【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为A. 4B. 3+2C. 6+4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求A点坐标，再根据基本不等式求最值.【详解】设，则或，即或因为在上，所以，即，从而，当且仅当时取等号，即的最小值为，选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.10.函数的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求模.【详解】因为，所以. 【点睛】本题考查利用向量数量积求模，考查基本分析求解能力，属基本题.14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是_______.【答案】2【解析】解：因为展开式的的系数为80，则说明，故a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，，是的内角，，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果. 【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.己知{a n}是递增的等比数列，a2+a3 =4，a l a4=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列方程组解得公比与首项即可，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列公比为，因为，，所以解得或因为是递增的等比数列，所以，．所以数列的通项公式为．解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，是方程的两个根．解得或因为是递增的等比数列，所以，，则．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知．则，①在①式两边同时乘以得，，②①-②得，即，所以．【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。
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广东省2019届广州市天河区高三毕业班综合测试（二）理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可。
【详解】由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项：【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题。
2.若复数是纯虚数，其中m是实数，则= ( )A. iB.C.D.【答案】A【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则.3.设等比数列的前n项和为，若，，则 A. 144B. 81C. 45D. 63【答案】B【解析】【分析】根据等比数列性质，得到关于，，的新等比数列，求解出公比后，求出的值即可。
【详解】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为由题意得：本题正确选项：【点睛】解决本题的关键在于根据等比数列的性质得到：依然成等比数列，从而快速求解此题。
本题也可以利用等比数列的基本项和来进行求解，但计算量较大。
4.设函数，则下列结论错误的是 A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在上单调递减【答案】D【解析】【分析】根据余弦型函数的性质，依次判断各个选项，得到最终结果。
【详解】选项：最小正周期为：，所以选项正确；选项：，是的对称轴，所以选项正确；选项：，时，，所以选项正确；选项：，在上不单调，所以选项错误.本题正确选项：【点睛】本题考查函数的性质，关键是采用整体代入的方式，将所求对称轴、单调区间、零点等性质与相对应，判断出结果。
5. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的逆命题是真命题B. 命题“存在”的否定是：“任意”C. 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】试题分析：A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．考点：命题的真假判断与应用．6.若函数、分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足，则 A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求解出与的解析式，再利用函数单调性和作差法，比较出大小关系。
广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)理科数学试卷及答案
绝密★启用前 试卷类型： A深圳市2019年高三年级第二次调研考试数 学（理科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．12iz +=−所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．2019年是新中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为喜迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．下面的茎叶图是参赛两组选手的答题得分情况，则下列说法正确的是注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答. 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|0}M x x =>，2{|40}N x x =−≥，则M N =（A ）(,2](0,)−∞−+∞ （B ）(,2][2,)−∞−+∞ （C ）[2,+)∞ （D ）(0,)+∞2．在复平面内，复数i(1i)（第3题图）甲乙7895237373451（A ）甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数 （B ）甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数 （C ）甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数（D ）甲组选手得分的方差大于乙组选手得分的方差 4．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a ⋅=−，则5a = （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64 5．已知函数22()(1)f x ax a x x=+−+是奇函数，则曲线()y f x =在1x = 处的切线的倾斜角为 （A ）π4 （B ）3π4 （C ）π3 （D ）2π36．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点．设AB =a ，AD =b ，则FB = （A ）3142−+a b （B ）1324+a b （C ）1324−a b （D ）3142−a b （第7题图）7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）(842)π+ （B ）(942)π+ （C ）(882)π+ （D ）(982)π+8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了 “贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三种方法求解，所得结果均不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连结AB ，求所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．记该概率为p ，则p =（A ）15 （B ）14 （C ）13 （D ）129．已知函数()ln 1af x x x=+−有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为 （A ）(,0]{1}−∞ （B ）[0,1] （C ）(,0]{2}−∞ （D ）[0,2]10．设点1F 、2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，点A 、B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M ．若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为 （A）12（B）13 （C）12（D）211．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ[,]43−上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为 （A ）8[,7)3 （B ）8[,4)3（C ）20[4,)3 （D ）20(,7)3（A（B）2 （C ）52 （D ）54第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．A（第12题图）BCDFE12. 如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD ==， AD BC ==E 、F 分别是AD 、BC 的中点.若用一个与 直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面 体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为13．设实数x ，y 满足23124x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩，，，则1y x −的最大值为___________．14．已知双曲线C ：22221x y a b−=，且圆E ：21x y −+=C E A BA n S {}na n 13a =2n ≥1122n n n n n S S S S na −−+−=2019m SS S ≥m ABC 2AB BC =25AC =13a =18．（本小题满分12分）在边长为D 的正方形AC 中，点2=AD CD 、2∠=∠A B D C B D 分别为边ABC ∠、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFC 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −．（1）求证：EF PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．CDFP22(2)1x y −+=的圆心是双曲线C 的右焦点，若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为___________．15．精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个贫困地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有_______种．16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13a =，当2n ≥时，有1122n n n n n S S S S na −−+−=.则使得122019m S S S ⋅⋅⋅≥成立的正整数m 的最小值为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，2AB BC =，25AC =，点D 在边AC 上，且2=AD CD ，2∠=∠ABD CBD ．（1）求ABC ∠的大小； （2）求△ABC 的面积．最小二乘法估计分别为121()()ˆ()niii nii w w v v v v ==−−=−∑∑β，ˆˆw v =−αβ． ②参考数据：月销售量/千件月售价/元10816201804122146024681210••••••••••19．（本小题满分12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y 和月销售价i x (1,2,3,,10)i =数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：（1）根据散点图判断，ln y c d x =+ 与y bx a =+哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？(月销售额=月销售量⨯当月售价) 参考公式、参考数据及说明： ①对一组数据1122(,),(,)(,)n n v w v w v w ，，，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的表中ln =i i u x ，110i i u u ==∑．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln 4.06 1.40≈. 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C xy =，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B处的切线交于点P ．（1）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()e e (1)−=−−+xxf x a a x (a ∈R ).（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若对于任意01<<a ，关于x 的不等式21[()](e )λ−<−a f x a 在区间(1,)−+∞a 上存在实数解，求实数λ的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程； （2）当0π02θ<<时，射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，若||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．2019年深圳市高三第二次调研考试理科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12. B 二．填空题：13.214. 2213x y −= 15. 72 16. 100911. 解析：π()3sin cos 2sin()6f x x x x =+=+ωωω，x R ∈，令π6t x =+ω，()2sin f x t =. 若函数()f x 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间ππ[,]43−上， 也即函数2sin y t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间ππππ[,]4636−++ωω上， ∴3ππππ,2462πππ3π,2362⎧−<−+≤−⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩ωω，解得820,3314,⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩ωω，即843≤<ω， ∴ω的取值范围为8[,4)3，故应选B ．12. 解析：（法一）补成长，宽，高分别为3,2,1的长方体(如下图)， 由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得5KL KN +=， 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin sin HFB LKN θ=∠=∠， 算得26sin θ=，∴sin MNKL S NK KL NKL =⋅⋅∠四边形2266()2NK KL +≤=， 当且仅当NK KL =时取等号，故应选B ．（法二）()12FE AD FA FD AD ⋅=+⋅uur uuu r uu r uu u r uuu r ()14BA CA BD CD AD =+++⋅uu r uu r uu ur uu u r uuu r()()104BA AD CD AD CA AD BD AD ⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅=⎣⎦uu r uuur uu u r uuu r uu r uuu r uu u r uuu r∴EF AD ⊥，同理可得EF BC ⊥，设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin sin HFB LKN θ=∠=∠，()321BC AD BA AC AD BA AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅=−+=−uu u r uuu r uu r uuu r uuu r uu r uuu r uuu r uuu rQ ，∴1cos ,5||||BC AD BC AD BC AD ⋅<>==−⋅uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r ，sin ,sin BC AD θ∴<>==uu u r uuu r即sin NKL ∠=同法一可得sin MNKL S NK KL NKL =⋅⋅∠≤四边形， 当且仅当NK KL =时取等号，故应选B ． 16.解析：1122n n n n n S S S S na −−+−=，∴11122()n n n n n n S S S S n S S −−−+−=−， ∴112(21)(21)n n n n S S n S n S −−=+−−， ∴121212n n n n S S −+−−=， 令21n nn b S +=，则12n n b b −−=（2n ≥）， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =−，即2121n n n S +=−，∴2121n n S n +=−， ∴12521321321m m S S S m m +⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+−， 由212019m +≥，解得1009m ≥，即正整数m 的最小值为1009，故应填1009． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC中，AB =，AC =点D 在边AC 上，且2=AD CD ，2∠=∠ABD CBD ． （1）求ABC ∠的大小； （2）求△ABC 的面积．解：（1）(法一)依题意设22θ∠=∠=ABD CBD ， ∵2=AD CD，AC =∴AD =，3CD =， …………………………………………2分 在△BAD 中，由正弦定理，可得sin sin AB ADADB ABD=∠∠ ，∴sin sin AB ABD ADB AD ∠∠==， ……………………………………4分同理，在△BCD 中，由正弦定理，可得sin sin BC CBD BDC CD ∠∠== ， ……………………………………6分∵πBDC BDA ∠+∠=，∴sin sin ∠=∠BDC BDA ，=∵AB =cos sin θθθ=， ∵0πθ<<，∴sin 0θ>，∴cos 2θ=，∴π4θ=， ∴3π34BC BC =+−⋅， 解得2BC =， …………………………………………………………10分∴213πsin3sin 224ABC S AB BC θ∆=⋅⋅==. …………………………………12分 (法二)2=AD CD ，∴12==BDC BDASCD SAD ，……………………………………2分 1sin 2BDC S BC BD θ∆=⋅⋅，1sin 22BDA S AB BD θ∆=⋅⋅，且AB =， 4ABC θ∠==. ……………………………………………………8分 （2）在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos3AC AB AC AB BC θ=+−⋅， ∴2223π)cos∴2cos 2θ=，即4πθ=，∴334πθ∠=∠+∠==ABC ABD CBD 4ABCD E F ABAD CE CF DFC BCE B D P PAP AECF −EF PC ⊥PEC EFAC EF O AB BC ⊥AD CD ⊥PC PE⊥，…………………7分PC PF⊥，PE PF P =，设点PC ∴⊥到平面PEF 的距离为EF ⊂，EF PC ∴⊥，EF，解得AC EF⊥，…………………9分BE DF =OPE PF=O EF EF PO∴⊥AC EF⊥PO（第18题图）BE DF=OPE PF=O EFEF PO∴⊥AC EF⊥πθ∠=∠+∠==ABC ABD CBD ， ……………………………………8分 (以下同法一)【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形面积计算公式等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFC 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −．（1）求证：EF PC ⊥；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值． 解析：（1）(法一)证明：连结EF ， 记AC 与EF 的交点为O ，在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥，……………………3分 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ，……………4分EF ⊂平面PEF ，EF PC ∴⊥；………………………5分(法二)证明：连结EF ，记AC 与EF 的交点为O ，在正方形ABCD 中，AC EF ⊥，BE DF =，O 为EF 的中点，翻折后，PE PF =，……………2分 O 是EF 的中点，EF PO ∴⊥， 而AC EF ⊥，PO 与AC 相交于O 点，EF ∴⊥平面PAC ，………………………4分又PC ⊂平面PAC ，EF PC ∴⊥；………………………5分 （2）(法一)由（1）可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =， 设P 到AC的距离为h ，2432h ⋅=⋅，在Rt △POC 中，1cos 3PO POC OC ∠==，1cos 3POA ∴∠=−， 在△POA 中，222482cos 9PA OA OP OP OA POA =+−⋅⋅⋅∠=，PA ∴=PA 与平面PEC 所成角为θ，………………………10分sin h PA θ'∴==，………………………11分 ∴直线PA 与平面PEC所成角的正弦值为3．………………………12分 (法二)连结AC ，AC 与EF 交于O 点，以OA ，OE 所在的直线分别为x ，y 轴，过O 作垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有A，(C −，E ，………………………6分 过P 作PG AC ⊥，在Rt POC ∆中，OP =4PC =，OC = OP PC OC PG ∴⋅=⋅， 43PG ∴=，3OG ==，4(0)33P ∴−，，…………………8分 44()3PA ∴=−，24()24()33PF =−，…………………10分 设PA 与平面33PE =−所成角为C E =，则2PF PE ==，………………11分∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为3．……………………12分思路2：设平面22EF =的法向量为∴，PC P=3PE =−，CE =， 思路1：2PF PE ==，EF =∴PF PE ⊥，…………………9分显然PF PC ⊥，又PEPC P =，∴PF ⊥平面PEC ，易知(0,F ，∴平面PEC 的一个法向量CE PE ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n，04033x z ⎧+=∴+−=⎩， 取1x =，则3y =−，z =−则(1,3,=−−n ，………………………10分 设PA 与平面PEC 所成角为θ，则||sin ||||PA PA θ⋅==⋅n n ，………………11分 ∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为11021()()27.54ˆ10.202.70()iii ii y y u u du u ==−−−===−−∑∑， 月销售量/千件月售价/元108162018041221462461210••••••••••C3．……………………12分 【说明】本题以翻折问题为载体考察空间中点，线，面的位置关系，异面直线垂直的判定，直线与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力． 19．（本小题满分12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y 和月销售价i x (1,2,3,,10)i =数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：（1）根据散点图判断，ln y c d x =+ 与y bx a =+哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？解：（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型．……1分 令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于10122y x =+，…………1分 联立24,12,2x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得2,1,x y =−⎧⎨=⎩，或4,4,x y =⎧⎨=⎩，(2,1)B ∴−，………………2分 由24x y =得2x y '=，所以2PA k =，直线PA 方程为24y x =−，…………3分同理可得直线PB 方程为1y x =−−，………………………4分 联立241=−⎧⎨=−−⎩y x y x ，可得12=⎧⎨=−⎩x y ，故点P 的坐标为(1,2)−. …………………5分（2）（法一）设11(,)4x A x ，22(,)4x B x ，由24x y =，2x y '=，所以12PA x k =，所以直线PA 的方程为2111()42x x y x x −=−，即21124x x y x =−，…………6分 ˆˆ 6.610.20 1.7524.45cy du =−=+⨯=， ………………………4分 所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =−， 因此y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ln yx =−. ………………………6分 （2）依题意得：(24.4510.20ln )z xy x x ==−， ………………………7分[(24.4510.20ln )]14.2510.20ln z xy x x x ''==−=−， ………………………8分令0z '=，即14.2510.20ln 0x −=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈， ………………………10分 当时(0,4.06)x ∈，z 递增，当(4.06,)x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，即月销售量10.17=y （千件）时，月销售额预报值最大. ……12分【命题意图】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题．综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力． 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C x y =，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．（1）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）设Q 是抛物线C 上的动点，当||PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程． 解：（1）点A 的横坐标为4，(4,4)A ∴，易知此时直线l 的方程为同理PB 的方程为22224x x y x =−，联立解得1212(,)24x x x x P +，……………7分依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为3(2)y k x −=−，由24,3(2),x y y k x ⎧=⎨−=−⎩得248120x kx k −+−=， 易知0∆>，因此124x x k +=，12812x x k =−，∴(2,23)P k k −，………………………8分∴点P 在直线1:30l x y −−=上，当||PQ 取最小值时，即抛物线2:4C x y =上的动点Q 到直线1l 的距离最小，…………………9分设200(,)4x Q x ，则Q 到1l的距离2220000|3||(1)2|(1)x x x x d 3,30,y x x y =−+⎧⎨−−=⎩解得(3,0)P ，32k =，∴直线l 的方程为32y x =，综上，点Q 的坐标为(2,1)，直线l 的方程为32y x =．…………12分 （法二）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，由24x y =，2xy '=，∴12PA x k =，直线PA 的方程为111()2x y y x x −=−，即112x y x y =−，同理PB 的方程为222x y x y =−，………………………7分 因为点P 在切线，PB 上，∴∴，∴11(,)A x y ，22(,)B x y 在直线02x =上，∴直线d 的方程为02x =，………………………8分又直线d 的过点2，∴(2,1)Q ，即点P 在直线1:30l x y −−=上．………………………9分−−−+−===，…………10分 ∴当02x =时，d ，此时(2,1)Q ，………………………11分易知过点Q 且垂直于1l 的直线方程为3y x =−+，由以下同法一．（法三）设00(,)P x y ，显然两条切线的斜率均存在，可设过点P 与C 相切的直线方程为00()y y k x x −=−，且切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 把00()y y k x x −=−与24x y =联立，并化简得，2004440x kx kx y −+−=，∴200(4)4(44)0k kx y ∆=−−=，即2000k x k y −+=，∴1k ，2k 是方程2000k x k y −+=的两根，120k k x +=，120k k y =，………………7分此时2004440x kx kx y −+−=的两根为12x k =或22x k =，即为切点A ，B 的横坐标，∴211(2,)A k k ，222(2,)B k k ，22211221222l k k k k k k k −+==−， 直线l 的方程为21211(2)2k k y k x k +−=−，即12122k k−−−'=+−+=x x xxxa f x a a ，…………………………………1分 ①当0≤a 时，∴函数()f x 的极小值点为0=x ，无极大值点； …………………………………………2分②当01<<a 时，y x k k +=−，…………8分 又直线l 过点(2,3)M ，则1212=3k k k k +−，即00=3x y −，∴点P 在直线1:30l x y −−=上．………………………9分以下同法一．【说明】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考察抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）已知函数()e e(1)−=−−+xxf x a a x (a ∈R ).（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的极值点；（2）若对于任意01<<a ，关于x 的不等式21[()](e )λ−<−a f x a 在区间(1,)−+∞a 上存在实数解，求实数λ的取值范围.解：（1）易知(e 1)(e )()e e (1)e∴函数的极大值点为，极小值点为；………………………………………3分③当1=a 时，2(e 1)()0e−'=≥x xf x 1()1'=−g a a，当01<<a 时，()0'>g a ， ∴()(1)0<=g a g ，即1ln −>a a ，显然10−<a ，∴ln 10<−<a a ， ……………………………………………6分∴由（1）可知当01<<a 时，()f x 在区间(1,0)−a 上递减，在区间(0,)+∞上递增，∴()f x 在区间(1,)−+∞a 上的最小值为(0)1=−f a ，关于x 的不等式21[()](e)λ−<−a f x a 在区间(1,)−+∞a 上存在实数解，∴只需当01<<a 时，关于a 的不等式21(1)(e )λ−−<−a a a 恒成立，……………………8分由上易知当01<<a 时，1e0−−>a a ，， ∴函数()f x 单调递增，即()f x 无极值点； ……………………………………………4分④当1>a 时，∴5分综上所述，当0≤a 时，函数()f x 的极小值点为0=x ，无极大值点； 当01<<a 时，函数()f x 的极大值点为ln =x a ，极小值点为0=x ； 当1=a 时，函数()f x 无极值点；当1>a 时，函数()f x 的极大值点为0=x ，极小值点为ln =x a .（2）以下需多次引用到如下不等式：e 1xx ≥+，当且仅当0=x 时取等号，证明略. 注意到当01<<a 时，有ln 10<−<a a . (法一)当01<<a 时，1e11−>+−=a a a ，∴ln 10<−<a a ， ……………6分(法二) 令()ln 1=−+g a a a ，则∴只需当01<<a 时，不等式21(1)e λ−−>−a a a恒成立即可，……………………………………9分 令函数21(1)()e −−=−x x F x x ，01≤<x ，则1112(1)(3e e 1)()(e )−−−−−−−'=−x x x x x x F x x ()Gx 01≤<x 1()(2)e 1−'=−−x G x x 01<<x 1e 2−>−x x ∴1(2)e 1−−<x x ()Gx ()0<G x ()(1)0>=G x G ()Gx ∴()0>G x 1()(3)e −=−x u x x 1()(2)e 0−'=−>x u x x (1)1'=u (1)2=u 1e 2−>−x x (1,2)T21−=−y x 1y x =+∴当01<<a 时，不等式1(3)e 1−−≥+x x x 恒成立，只需1=x ，综上，实数()0'<F x 的取值范围为()(0)e <=F x F . …………………………………………………………………12分 【命题意图】 本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系()e <F x 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥． （1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；x ， (法一)令函数11()3e e 1−−=−−−x x G x x x ，01≤<x ，则1()(2)e 1−'=−−x G x x ， 当01<<x 时，1e 2−>−x x ，∴1(2)e 1−−<x x ，∴()0'<G x ， ∴()(1)0>=G x G ，即()0>G x ，……………………………………………………………11分(法二)令函数1()(3)e−=−x u x x ，01≤<x ，则1()(2)e 0−'=−>x ux x ，∴(1)1'=u ，又(1)2=u ， ∴函数1()(3)e −=−x u x x 在点(1,2)T 处的切线方程为21−=−y x ，即1y x =+，如图所示，易知1(3)e 1−−≥+x x x ，当且仅当1=x 时取等号， ∴当01<<x 时，()0>G x ，………………11分∴当01<<x 时，()0'<F x ， ∴()(0)e <=Fx F ，即()e <F x ，（2）当0π02θ<<时，射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，若||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y ，得1C 的普通方程为2214x y +=，…………………………………1分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+；………………………………………………………3分 由22(2)4x y −+=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=； …………………………………………………………5分（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得22016(4cos )13sin θθ=+，解得， ………………………7分 202sin 3θ=，201cos 3θ=，又0π02θ<<，所以3ρ=M，04cos 3ρθ==N ， …………………8分 所以△2MC N 的面积222∆∆∆=−MC N C N C M O O S S S2011||()sin 222ρρθ=−⋅=⨯N M OC ． ……………………10分 【说明】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极坐标的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；413sin ρθ=+M， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分 由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=， 即202（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分 ①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−， ……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解，……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >， ………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44−∞−+∞； ………………5分 （2）由题11()||||||f x x m x m m m=−++≥+， ………………………6分 0m >，11||m m m m∴+=+， 1()f x m m ∴≥+， 当且仅当1,x m m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时等号成立． ………………7分 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+≥++=+=−++−−−−，1m >，10m ∴−>，1(1)1131m m ∴−++≥+=−，…………………9分 1()3(1)f x m m ∴+≥−，当2m =，且1[,2]2x ∈−时等号成立．…………………………10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。
2019届茂名市高三第一次综合测试数学(理)试卷
绝密★启用前 试卷类型：A2019年茂名市高三级第一次综合测试理科数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D C A C A D A D B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.12- 14. 3 15. 7 16. 464+ 部分答案提示：4．【解析】由111322332212log ,>>>>所以.，故选D.7. 【解析】方法一：定义法：由f (x )f (x )-=得，1-()(1)x x x e ax ln ax ln e e+-=-+， 1(1)()2x xx e ln e ln ax e ++-=，2x lne ax =，122x ax,a ==,故选C. 方法二：特值法：11f ()f ()-=得，1-()(1)e a ln a ln e e +-=-+，1122a,a ==则故选C. 8. 【解析】显然f (x )是奇函数，图像关于原点对称排除D ；在区间(0,2π)上，sin2x ＞0，sin x ＞0，即f (x )＞0，∴排除B 、C ； 故选A.10．【解析】作一个长，宽，高分别为4,3,3的长方体，根据三视图得该几何体为三棱锥A −BCD （如图），因为三棱锥A −BCD 的四个顶点，都在同一个长方体中，所以三棱锥A −BCD 体积为11433632-=⨯⨯⨯⨯=A BCD V ,故选A. 11 .【解析】：解析：因为(1)(1)f x f x +=-，则()(2)f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由(1)(1)f x f x +=-得()f x 的图像也关于1x =对称，由图像可得，15()cos -22y f x y x π⎡⎤==⎢⎥⎣⎦与在，有7个交点，则实数解的和为23+1=7⨯,故选D12 .【解析】：若直接联立方程求解,R Q 的坐标,运算会十分繁琐.O y x1 2 1 3 12-52D A B C因为21RF PF ⊥，所以R 的坐标可看做圆222+=x y c 与渐进线=b y x a 的交点，由222⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y c b y x a 解得(,)R a b ，所以可得直线1:()=++b PF y x c a c ，由()⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩b y xc a c b y x a ，解得2=+Q bc y a c ，所以1()22=++M bc y b a c ，由112∆∆F MA F RF ，可得112=M R F A y F F y ，即2+=M R y a c c y ，即2+=M y a c c b ，所以()2+=M a c b y c ， 因此1()()222++=+bc a c b b a c c ，即112++==++c a c a a c c c ，所以2=+c a a c c，化简得2220--=c a ac ，即220--=e e ，解得21(或舍去）==-e e ,故选B. 15 .【解析】：由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，所以有：22222()2a b c ab a c ab+-=+化简得：2222222()()()b a c a c a c -=+-，当220a c -=时，则a c =，所以△ABC 为等腰三角形； 当220a c -≠时，则222b a c =+，则B 为直角，而3cos 04=≠B 不合题意； 故△ABC 为等腰三角形；根据余弦定理2223cos 24+-==a c b B ac 可知2=b ,=a c ，22+=b c 有,2==c a ,所以2137sin 2sin 21()242∆===-=ABC S ac B B . 16.【解析】：先求四个球心连线是正三棱锥的高，而第四个球的最高点与桌面的距离即为高加上两个半径，从而求出所求．四个球心连线是正三棱锥．棱长均为4233,33ED OD ED ∴===,222434616()3AO AD OD ∴=-=-= ∴第四个球的最高点与桌面的距离为OA 464+ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解：解：（I ）由22-=n n a S ……①得2211-=--n n a S ……②①-②得122--=n n n a a a …………………………………………………………………2分12-=∴n n a a …………………………………………………………………………3分 由2211-=a S 得21=a ……………………………………………………………4分 {}n a ∴是以2为首项,公比为2的等比数列n n a 2=∴……………………………………………………………………………6分（II ）*,2,12,2N k kn n k n b n n ∈⎩⎨⎧=-== ……………………………………………………8分 ()()n n n b b b b b b b b T 2642125312+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=- …………………………………9分 ()()n n 264222221253+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-………………………………………10分 2)22(41)41(2n n n ⨯++--⨯=………………………………………………………………11分 n n n ++⨯+-=243232……………………………………………………………………12分 18.解：（Ⅰ）样本数据按顺序为96,93,86,85,84,82,81,78,76,73,67,59 数据的中位数为：5.8128281=+……………………………………………2分 平均数为8012969386858482817876736759=+++++++++++=x ……3分 方差为 ()222222222222211186211374212456131698.831212S =⨯+++++++++++== ……4分 （Ⅱ）设抽到优秀作品的个数为x ，则x 的可能值为0,1，2,3…………………………5分383125614(0),22055C P x C ==== ………………………………………………6分 218431228428(1)22055C C P x C ⨯====， …………………………………………7分AC B P E F12843128612(2),22055C C P x C ⨯====………………………………………………8分 3431241(3)22055C P x C ====…………………………………………………………9分 所以x 的分布列为：…………………………………………………………………………………………………10分期望为15513551225528155140)(=⨯+⨯+⨯+⨯=x E …………………………………12分19. （1）证明：设E 为BC 的中点，连结AE ，PE PA PA AC AB PAC PAB ==∠=∠,, PAC PAB ∆≅∆∴ PC PB =∴……………………………………1分又CE BE =PE BC ⊥∴ …………………………………………………………………2分EC BE AC AB ABC ==∆,,中在AE BC ⊥∴……………………………………………………………………………………3分 又PAE AE PAE PE E AE PE 面面点⊂⊂=,,PAE BC 面⊥∴……………………………………………………………………………4分 又PAE PA 面⊂ PA BC ⊥∴………………………………………………………………5分 （2）解法1：作PA BF ⊥于点F ,连结CF …………………………………………………6分AF AF AC AB PAC PAB ==∠=∠,,FAC FAB ∆≅∆∴CF BF CFA BFA =∠=∠∴,…………………………………………………………………7分PA CF ⊥∴ ……………………………………………………………………………………8分 BFC ∠∴为二面角C PA B --的一个平面角 ……………………………………………9分47431cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠BAF BAF 27sin =∠⋅==BAF BA CF BF ………………………………………………………10分 71472447472cos 222-=⨯-+=⋅-+=∠CF BF BC CF BF BFC …………………………………11分所以二面角C PA B --的平面角的余弦值为71-……………………………………12分 解法2：24322244cos 2222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=PAB BA PA BA PA PB 112222=-=-=∴BE PB PE 222PA AE PE =+∴AE PE ⊥∴………………………………………………………………6分建立坐标系如右图所示，则,)0,1,0(),0,0,3(--B A )1,0,0(),0,1,0(P C)0,1,3(),1,0,3(),0,1,3(==-=………………………7分设平面PAB 的一个法向量为)1,,(111y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011A n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+03013111y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=13311y x )1,1,33(1--=∴n ……8分设平面PAC 的一个法向量为)1,,(222y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022AC n AP n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+03013222y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=13311y x )1,1,33(2-=∴n …………………9分371131,31113121=++===+-=⋅∴n n717331=⨯==∴……………………………………………………………11分所以二面角C PA B --的平面角的余弦值为71-………………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）①当4>p 时，Q 的轨迹不存在…………………………………………………1分 ②当4=p 时，Q 的轨迹为一线段，方程为)22(0≤≤-=x y …………………………2分 ③当40<<p 时，Q 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，方程为11644222=-+py x )40(<<p …………………………………3分 (Ⅱ) 若32=p ，则Q 的轨迹方程为1422=+y x ………………………………………………4分当x l ⊥轴时不合题意，1122:=2,(,),(,).故设ι-y kx A x y B x y22214将代入得=-+=x y kx y 22(14)16120.k x kx +-+=………………………………5分由0>∆得()0)41(481622>+-k k 432>∴k 解得2323>-<k k 或……………………6分 由韦达定理得2212214112,4116kx x k k x x +=+=+ …………………………………………………7分 ]4))[(1()()(212212221221x x x x k y y x x AB -++=-+-=143414]4148)4116)[(1(2222222+-⋅+=+-++=k k k k k k k …………………………………8分又点到直线的距离=O AB d ……………………………………………………9分∴1=2OAB S d AB ∆⋅=2323>-<k k 或 …………………………10分 令t k =-342 ，则0,442>+=∆t t tS OAB14444442=≤+=+=∴∆tt t t S OAB ,……………………………………………………………11分 当且仅当t t 4=即2=t ,27±=k 时等号成立,2222所以，当的面积最大时，的方程为或ι∆=-=--OAB y x y x ………………12分 方法二：若32=p ，则Q 的轨迹方程为1422=+y x ………………………………………………4分当x l ⊥轴时不合题意，1122:=2,(,),(,).故设ι-y kx A x y B x y 且21>x x22214将代入得=-+=x y kx y 22(14)16120.k x kx +-+=………………………………5分由0>∆得()0)41(481622>+-k k 432>∴k 解得2323>-<k k 或……………………6分 由韦达定理得2212214112,4116k x x k k x x +=+=+ …………………………………………………7分 2121211112()222∆∆∆∴=-=-=⨯-=-OAB ODB ODA S S S OD x OD x x x x x ……………… 8分214==+k ，2323>-<k k 或………………10分 令t k =-342 ，则0,442>+=∆t t tS OAB 14444442=≤+=+=∴∆tt t t S OAB ,……………………………………………………………11分 当且仅当t t 4=即2=t ,27±=k 时等立,2222所以，当的面积最大时，的方程为或ι∆=-=--OAB y x y x ………………12分21.解：(Ⅰ)()f x ∞函数的定义域：（0,+），…………………………………………………………1分11(1)1,22f a a '=-==解得，……………………………………………………………………………2分1()ln 2f x x x ∴=+，221121()22x f x x x x -'∴=-=………………………………………………………3分 令()0,f x '<解得102x <<，故1()02f x 在（，）上是单调递减；……………………………………4分 令()0,f x '>解得12x >，故1()2f x ∞在（,+）上是单调递增.……………………………………5分 （II ）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln ,22x m x m x x +=+=…………………6分 两式相减，可得121211ln ln 0,22-+-=x x x x ……………………………………7分 1122122-=x x x x x x 即ln ，1212122x xx x x x -=ln ， 因此1211212x x x x x -=ln ，2121212x x x x x -=ln……………………………………………8分 令1122,, 1.x t x x t x =<<<由得0 则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=，…………………………9分 构造函数1()2ln (01)h t t t t t=--<<，………………………………………10分则22212(1)()10t h t t t t-'=+-=> 所以函数()(01)h t 在，上单调递增，故()(1),h t h <………………………………11分 即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故12 1.x x +>命题得证. …………………12分22.解：(Ⅰ)设点Q 的坐标为(x , y )，则点P 的坐标为(2x , 2y )， 由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化解可得：22153y x += ①….……..….…….…2分由x =cos ，y =sin ，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．..….…….…….……………..………..…….……..……5分(Ⅱ)（法一）把直线l 参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)代入①得22344153t t +=化简得：2103t =………7分所以12t t ==…….………….…………...…….……..…….……8分∴弦长12||||MN t t =-…….……. …….……..…….……..…….……..……10分（法二）由直线l 参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为3π，.……. ……..………6分∴直线l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈)．.…….…….….……..……7分 由22,3(32sin )15,πθρθ⎧⎪=⎨+=⎪⎩解得：1,3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩…….……..…….……..……9分∴弦长12||||MN ρρ=-=．.…….…….……….…….….…….…….……..……10分（法三）由直线l 参数方程1,2,x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)知，直线l的普通方程为y =，.…….……6分联立①解得1212,22x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩.…….…………..…….……….……….……8分弦长||MN ==分23.解：由已知 f (x )=|2x+1|−|x −a |=11,,2131,,21,,x a x x a x a x a x a ⎧----⎪⎪+--≤≤⎨⎪++⎪⎩＜＞ …………………………………1分 (Ⅰ)当a =1时，f (x )=12,,213,1,22,1,x x x x x x ⎧---⎪⎪-≤≤⎨⎪+⎪⎩＜＞ 由f (x )≥1，得 1,221,x x ⎧⎪-⎨--≥⎪⎩＜或11,231,x x ⎧⎪-≤≤⎨≥⎪⎩或{1,21,x x +≥＞即x ≤−3或13≤x ≤1或x ＞1.…………………………………3分 ∴x ≤−3或x ≥13，即不等式f (x )≥1的解集{ x | x ≤−3或x ≥13} …………………………5分(Ⅱ)函数f (x )的解析式知当x ＜12-时，f (x )单调递减，当12-≤x ≤a 时，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f (x )单调递增.∴当x =12-时，f (x )取得最小值f (x )min =12-−a …………………………………8分由12-−a ＞−2，解得a ＜32, 又0a > ∴实数a 的取值范围是(0,32)．.…………………………………………………………………10分。
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广东茂名实验中学2019高三下重点（二）测试-数学（理） 数学〔理〕试题 【一】填空题〔40分〕 1、集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{2，3，4，5，6}，那么A∪B＝ A、{1，2， 3，4} C、{1，2，3，4，5，6} C、{2，3，4，5，6} D、{3，4} 2、复数z满足z＋1＝2＋i〔i为虚数单位〕，那么z〔1－i〕＝ A、2 B、0 C、1＋i D、i
3、假设5250125(1)(1)(1)(1)xaaxaxax，那么0a＝
A、1 B、32 C、－1 D、－32 4、在△ABC中，∠A＝3，AB＝2，且△ABC的面积为32，那么边AC的长为
A、1 B、3 C、2 D、1 5、在等比数列{na}中，23aa＝1，45aa＝2，那么89aa等于 A、22 B、4 C、8 D、16 6、f〔x〕是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有f〔x＋4〕＝f〔x〕， 假设f〔－1〕＝2，那么f〔2018〕等于 A、2018 B、2 C、2018 D、－2
7、函数2()lg()nnfxxaxb，其中,nnab的值由如
图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ＞a，那么a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，那么A、B、C三点共线的充要条件是存在角，使
22sincosMBMAMC
”，那么
A、pq为真命题B、pq为假命题 C、pq为假命题D、pq为真命题 【二】填空题〔30分〕 〔一〕必做题 9、点P是圆x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，那么点P在第一象限的概率为＿＿＿＿ 10、某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表： 由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x＋54.9，现发明表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为＿＿＿＿ 11、设变量x，y满足约束条件4200xyxyxy，那么其目标函数z＝mx＋
y仅在点〔3,1〕处取得最大值，那么m的取值范围是＿＿＿ 12、某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积为3，那么正视图中的x＝＿＿＿＿
13、点A是抛物线C1：y2＝2px〔p＞0〕与双曲线C2：22221(0,0)xyabab的一条渐近
线的交点，假设点A到抛物线C1的准线的距离为p，那么双曲线的离心率等于＿＿＿＿ 〔二〕选做题
14、在极坐标系中，直线2sin2与圆2cos相交的弦长为
＿＿＿＿ 15、如图圆上的劣弧CBD所对的弦长CD＝3，弦AB是线段CD的垂
直平分线，AB＝2，那么线段AC的长度为＿＿＿＿ 【三】解答题〔80分〕 16、〔本小题总分值12分〕
函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的部分图象如下图。
〔1〕求函数f〔x〕的表达式； 〔2〕假设1()((0,))1232f，求tan的值。
17、〔本小题总分值12分〕 甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者能够签约。甲表示只要面试合格就签约，乙与丙那么约定，两个面试都合格就一同签约，否那么两人都不签约。设每个人面试合格的概率基本上P，且面试是否合格互不妨碍。至少有1人面试合
格概率为78。
(1)求P。(2)求签约人数的分布列和数学期望值。 18、〔本小题总分值14分〕 如图，矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。 〔1〕当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值； 〔2〕设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值。 19、〔本小题总分值14分〕
各项为正的数列{na}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有22nnaaSS
〔1〕求1a的值； 〔2〕求数列{na}的通项公式； 〔3〕假设数列1108lognaa的前n项和为Tn，求Tn的最大值。
20、〔本小题总分值14分〕 如图，点M0〔x0，y0〕是椭圆C：222yx＝1上的动点，以M0为切点的切线l0与直线y＝2
相交于点P。 〔1〕过点M0且l0与垂直的直线为l1，求l1与y轴交点纵坐标的取值范围； 〔2〕在y轴上是否存在定点T，使得以PM0为直径的圆恒过点T？假设存在，求出点T的坐标；假设不存在，说明理由。
21、〔本小题总分值14分〕 函数f〔x〕＝xe－1，()gxxx，其中e是自然对数的底，e＝2.71828…。
〔1〕证明：函数h〔x〕＝f〔x〕－g〔x〕在区间〔1,2〕上有零点； 〔2〕求方程f〔x〕＝g〔x〕根的个数，并说明理由；
〔3〕假设数列{na}〔*nN〕满足1(0)(aaaa为常数〕，1()()nnfaga，
证明：存在常数M，使得关于任意*nN，都有naM 参考答案 【一】选择题 1、B2、A3、B4、A5、C6、D7、C 8、C 解析： P正确，q错误：22sincosMBMAMC，
<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC, ==>A,B,C三点共线。反之，不成立。例如，A(0,0),B(1,0),C(2,0), BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角a,使向量MA=(sina)^2*向量MB+(cosa)^2*向量MC。因此那个命题是假的。 【二】填空题
9、1324810、6811、〔－1,1〕12、313、5
解析：
14、215、3 【三】解答题 17、解：〔1〕至少1人面试合格概率为78〔包括1人合格2人合格和3人都合格〕，如此都不合格的概率为1-78=18。 〔1-P〕3=18P=12 〔2〕签约人数取值为0、1、2、3 签约人数为0的概率：都不合格〔1-12〕3=18，
甲不合格，乙丙至少一人不合格12*〔1-12*12〕-〔1-12〕3〔甲乙丙都不合格〕=14 签约人数为0的概率：18+14=38 签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：12*〔1-12*12〕=38 签约人数为2的概率:甲不合格，乙丙全部合格：12*12*〔1-12〕=18 签约人数为3的概率:甲乙丙均合格：〔12〕3=18 分布表： 签约人数 0 1 2 3 概率 38 38 18 18
数学期望：E＝1 18、解：〔1〕过A1作A1F⊥DE，由可得A1F⊥平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为y，x轴建立空间直角坐标系，那么
D〔0，0，0〕，C〔0，4，0〕，E〔2，2，0〕，A1〔1，1，2〕
求得平面CEA1的一个法向量为m＝〔1，1，2〕 DC＝〔0，4，0〕，DC•m＝｜DC｜｜m｜cosθ，得cosθ＝12
因此，直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为12。 〔2〕取A1D中点G，连结MG，EG，由MG∥EB，且MG＝EB，可得BMGE为平行四边形，因此，BM＝EG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，因此，BM的长度为定值。 19、
20、解：〔1〕由椭圆得：22(1)yx，'y1222(22)xx 切线的斜率为：k＝020222xx，因此，直线l1的方程为：2000022()2xyyxxx， 与y轴交点纵坐标为：y＝2022x－20222x＝20222x 因为011x，因此，2001x，200222x，因此，当切点在第【一】二象限时 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：202y，那么对称性可知
l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：2222y。
〔2〕依题意，可得∠PTM0＝90°，设存在T〔0，t〕，M0〔x0，y0〕 由〔1〕得点P的坐标〔220000222yyxx,2〕,由00PTMT可求得t＝1
因此存在点T〔0,1〕满足条件。 21、解：
〔1〕由h〔x〕＝f〔x〕－g〔x〕＝xe－1－xx，得：
h〔1〕＝e－3＜0，h〔2〕＝e2－2－2＞0，因此函数h〔x〕在区间〔1,2〕上有零点。 〔2〕由〔1〕得：h〔x〕＝xe－1－xx 由()gxxx知，[0,)x，而(0)0h，那么0x为()hx的一个零点，且()hx在12（，）内有零点，因此()hx至少有两个零点。 解法1：121'()2xhxex－1，记()x1212xex－1，那么321'()4xxex.
当(0,)x时，'()0x，因此()x在(0,)上单调递增，那么()x在(0,)内至多只有一个零点.()hx有且只有两个零点. 因此，方程f〔x〕＝g〔x〕根的个数为2。 〔3〕记()hx的正零点为0x，即0001xexx.
〔1〕当0ax时，由1aa，即10ax.而321100aaaxx01xe，因此20ax，由此猜测：0nax.下面用数学归纳法证明：