一年级奥数：《图形的计数》
一年级奥数讲义第二讲 数数和计数(教师)
第二讲数数与计数课前准备1、小朋友，你会数这些图形吗？说说你是怎样数的.（ 6 ）条线段（ 10 ）个三角形（ 6 ）个正方形（ 6 ）个长方形（ 9 ）个立方体2、从左边数起，小军排第三，从右边数起，小英排第六.这排小朋友一共有多少个?【答案】从左边数起，小军排第三，从右边数起，小英排第六，那么小军和小英中间还有3个同学.列式：9-6=3（个），3+3+6=12（个），这排小朋友一共有12个.小朋友们，我们在数数的时候，一定要做到不重复，不漏数.如果遗漏，要加上；重复了，就要减去.在计数的过程中要讲究方法，按一定的顺序去数，用最简便的方法去算，这样才会得到正确的答案.这节课就让我们一起来比一比看谁最细心，看谁最聪明，争做计数小能手.图形的计数数一数，下面的这堆木头一共有多少根？【教学思路】要知道一共有多少木头，可以引导学生分层来数.从上往下看，最顶层是1根，然后每层每次少一根，这样每层的木头分别是：1根、2根、3根、4根、5根、6根、7根、8根，要求这堆木头一共有多少根，可以列式为： 1+2+3+4+5+6+7+8=（2+8）+（3+7）+（4+6）+1+5 =10+10+10+1+5 =36（根）练一练： 数一数，下面一共有多少个三角形？【教学思路】观察这些三角形，最上面一层是1个，然后每层每次增加2个.要计算一共有多少个三角形，可以列式为： 1+3+5+7+9+11=（1+9）+（3+7）+5+11 =10+10+5+11 =36（个）请你数一数，下图中共有多少个“×”?【教学思路】一共有两种不同的方法：方法一：分层数l+3+5+7+9+6+10+14+17=（1+9）+（3+7）+（6+14）+5+10+17 =72方法二：先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×”的个数 (1+3+5+7+9+11+13+15+17)﹣(5+3+1) =81-9 =72练一练：数一数，下面的图形一共有多少个“●”？下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少小立方块?【教学思路】从顶层开始数，各层小立方块数是： 第一层：1块； 第二层：3块； 第三层：6块； 第四层：10块；总块数1+3+6+10=20(块). 从上往下数，第一层：1块；第二层：第一层的l 块加第二层“看得见”的2块等于第二层的块数： 1+2=3块； 第三层：第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三层的块数： 3+3=6块； 第四层：第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四层的块数： 6+4=10块. 总块数1+3+6+10=20(块)练一练：数一数下面的图形一共有多少个立方体？【教学思路】方法一：一层一层的数，第一层4个，第二层6个， 第三层9个，一共有：4+6+9=19（个）方法二：一排一排的数，第一排5个，第二排6个，第三排8个，一共有：5+6+8=19（个）如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一数，需要多少块砖才能把墙补好?【教学思路】仔细观察我们发现，最底层的砖是完整的，数一数正好是2块半，这样我们就可 以计算出，第二层差1块，第三层差2块，第四层差2块，第五层差1块，第六层差2块，第 七层差2块.一共就缺少：1+2+2+1+2+2=10（块）【教学思路】有两种不同的方法来数：方法一：分层数，可以这样计算1+2+3+4+5+4+3+2+1=25（个）方法二：斜着看，我们发现每排5个，有5排，可以这样计算：5+5+5+5+5=25（个）数的计数同学们排队做游戏，第一排有9个同学，然后每排都少一个同学，算一算，这个班一共有多少个同学？【教学思路】第一排有9个同学，然后每排都少一个同学，第二排就是8个同学，第三排就是7个同学，第四排就是6个同学，第五排就是5个同学，第六排就是4个同学，第七排就是3个同学，第八排就是2个同学，第九排就是1个同学.让学生明确了分层数每层的人数，就可以列式计算了：9+8+7+6+5+4+3+2+1=（9+1）+（8+2）+（7+3）+（6+4）+5=55（人）哥哥和妹妹分糖.哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块.你说谁拿得多，多几块?【教学思路】在解答这道题时有两种不同的思维方法：方法一：先算哥哥共拿了多少块?再算妹妹共拿了多少块?最后比较多少： 72—64=8(块)方法二：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块.(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8(块)可以看出方法2要比方法1巧妙!星期天，小明家来了9名小客人.小明拿出一包糖，里面有54块.小明说：“咱们一共10个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分?”结果大家都无法分，如果不能分，最少应该有多少块才够呢？【教学思路】按小明提的要求确实无法分.因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：第一人分到1块，第二人分到2块，…第十人分到10块.但是，这种分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(块)而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分.如果改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分得9块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求.所以最少要55块糖才够分.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，……照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下?【教学思路】这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就要得出答案.方法一：凑十法1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+l1+12=78(下)方法二：如果能记住从1到10前十个自然数之和是55，计算会更快.(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+11+12=55+l1+12=78(下)平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于我们计数.比如，请同学记住几个自然数相加之和：1+2=3l+2+3=61+2+3+4=lOl+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55练习二1.请你数一数，下图中共有多少“×”?【答案】从最上边的一行往下数：20+20+13+11+9+7+20+20=120(个)2.下面的图形一共有多少个圆点？【答案】方法一：分层数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=100（个）方法二：10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100（个）3. 如下图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共有多少块？【答案】从上往下数，第一层：1块；第二层：4块；第三层：9块；第四层：16块；总数：1+4+9+16=30(块).4．如右图所示是由小立方体构成的“宝塔”，请你数一数共多少块?【答案】从上往下数第一层：1块；第二层：9块；第三层：25块；总数：1+9+25=35 （块).5.小动物们排队做早操，第一排有1个小动物，然后每排每次增加2个小动物，一共排了8排，算一算一共有多少个小动物？【答案】列式：1+3+5+7+9+11+13+15=64（个）6.将一堆梨分别分给8个小朋友，要使每个小朋友都得到梨，而且每个小朋友分到的梨的个数不同，那么，这堆梨至少要多少个？【答案】列式：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）阿基米德是著名的古希腊数学家、力学家.公元前287年生于西西里岛的叙拉古.阿基米德的父亲是古希腊的天文学家和数学家，他平时经常带儿子出去游玩，让儿子开拓知识视野.阿基米德11岁那年的一天，父子俩来到海边游玩.父亲指着远方问儿子：“你知道海的那边是什么地方吗?”“埃及.”儿子回答道.“那里的亚历山大里亚有个大图书馆，你愿意到那里学习吗?”“愿意.”“到那里要漂洋过海，你怕吗?”“不怕.”儿子坚定地说.父亲被儿子的进取精神感动了，于是给儿子起了一个名字：阿基米德，希望儿子能像他一样，成为杰出的科学家.阿基米德没有辜负父亲的期望，他后来在数学和力学的研究上取得了大量辉煌的成绩.后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三位贡献最大的数学家.。
小学奥数几何计数
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．教学目标知识要点几何计数数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】（难度等级※※）下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【解析】通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n层用4+6×(n-1)根，现在共用了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．【例 2】（难度等级※※※）用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根；从上向下数第二层用了3×3=9根；……【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？【解析】首先，需弄清形状如图的大三角形共有多少层．从上往下，第一层用331=⨯根火柴；第四层用=⨯根火柴；第二层用632=⨯根火柴；第三层用933n n=⨯根火柴；…；第n层用33=⨯根火柴．1234=⨯根火柴；第五层用1535根据题意，有：36912153108++++++=L，所以，8n=，nn++++++=L，故1234536即形状如图的大三角形共有8层，是边长为8根火柴的大正三角形．然后，数出共有多少个三角形．尖朝上的三角形共：+++++++++++++++++++++(12345678)(1234567)(123456)++++++++++++++=(个)；(12345)(1234)(123)(12)1120尖朝下的三角形共：++++++++++++++++=(个)；(1234567)(12345)(123)1050所以，共有三角形：12050170+=(个)．本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止．尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止．【例 3】（难度等级※※※）如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根共需1996×4+1997×3=13975根．【例 4】（难度等级【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100．【例 5】（难度等级※）下面的55⨯图中共有____个正方形．⨯和64【解析】 在55⨯的图中，边长为1的正方形25个；边长为2的正方形24个； 边长为3的正方形23个；边长为4的正方形22个；边长为5的正方形有21，总共有 222225432155++++=(个)正方形．在64⨯的图中边长为1的正方形64⨯个；边长为2的正方形53⨯个； 边长为3的正方形42⨯个；边长为4的正方形31⨯个；总共有 6453423142⨯+⨯+⨯+⨯=(个)．【例 6】 （难度等级 ※※）在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?374218125【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++ 1448612384=⨯=(平方厘米)．【巩固】（难度等级 ※※）如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664．【例 7】 （难度等级 ※）下图中共有____个正方形．【解析】每个44⨯正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个；边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222+++=(个)正方形．现有5个44432130⨯的正方形，它们重叠部分是4个22⨯-⨯=．⨯的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130【巩固】（难度等级※）图中有______个正方形．【解析】55⨯的正方形5个；2⨯2的正方形4个；1⨯1的正方形⨯的正方形1个；44⨯的正方形4个；3313个．共27个．【例 8】（难度等级※※※）如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形．【巩固】（难度等级※※※）在下图中，不包含☆的长方形有________个．【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有441-144=297(个)．【例 9】图中含有“※”的长方形总共有________个．※※【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618++=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；含有右上※号的长方形有：662624+⨯+=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62⨯个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448+=个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；所以，含有※号的长方形总共有：1824834+-=个．【巩固】（难度等级 ※※）由20个边长为1的小正方形拼成一个45⨯长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有6848⨯=个，面积总和为(12233445)(122334)360+++++++⨯+++++=．【例 10】 （难度等级 ※※）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．*【解析】 分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416++=(个)．【例 11】（难度等级※※※）如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个．【例 12】（难度等级※※）图中共有多少个三角形？【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形2×59=118（个）．【例 13】（难度等级※※）下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．【例 14】(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？①②③【解析】本题需要分类进行讨论．⑴先考虑其中的等边三角形．图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；图③中，大号等边三角形有2个；⑵再考虑其中非等边的等腰三角形．图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④．④⑤⑥其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形；大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形．那么图中共有662612638+++++=个等腰三角形．【例 15】(第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有个正方形．【解析】 边线是水平或垂直方向的正方形共有22222265432191+++++=(个)，形如的正方形有4个，所以共有正方形91495+=(个)． (如何保证没有其它的斜正方形了？如右图，擦去横线和竖线，只留下斜线，就一目了然了．)此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；则面积为1的正方形的个数为36；面积为2的正方形的个数为4；面积为4的正方形的个数为25；面积为9的正方形的个数为16；面积为16的正方形的个数为9；面积为25的正方形的个数为4；面积为36的正方形的个数为1．所以，共有364251694195++++++=(个)正方形．【巩固】这幅图中有 个三角形．【解析】 (法1)以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有1个基本图形单位的三角形共66272⨯⨯=个；由2个基本图形单位组成的三角形共37个；由4个基本图形单位组成的三角形共30个；由8个基本图形单位组成的三角形共4个；由9个基本图形单位组成的三角形共10个；由16个基本图形单位组成的三角形共2个；所以图中共有三角形7237304102155+++++=(个)．(法2)依三角形的斜边的长度数三角形：①斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：长度为1的斜边共有：36条；长度为2的斜边共有：15条；长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条．因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有()2361551114⨯+++=(个)．②斜边水平的三角形，从上向下：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有4个；斜边在第三条线的有4个；斜边在第四条线的有5个；斜边在第五条线的有2个；斜边在第六条线的有2个；斜边在第七条线的有2个；所以这种类型的三角形共有21个．③斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有2个；斜边在第三条线的有5个；斜边在第四条线的有3个；斜边在第五条线的有3个；斜边在第六条线的有4个；斜边在第七条线的有1个，所以这种类型的三角形共有20个．共有1142120155++=(个)三角形．【例 16】 一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？【解析】 从简单情况入手，从第一次对折开始分析，第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共122=个；第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共242=个；第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共382=个；第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共4162=个；第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共5322=个；第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共6642=个；第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共71282=个．观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是72128=个．【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？【解析】 将最后得到的小正方形纸展开两次，中间形成一个菱形的小洞孔，之后每展开一次，孔的数量为原来的2倍，题中一次操作需要对折2次，五次操作对折了10次，所以孔的数量为(102)12256-⨯=个．【例 17】 在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出 个等腰三角形．【解析】 由于8个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有3824⨯=个等腰三角形，而且这些等腰三角形互不相同(否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合)，所以可以作出24个等腰三角形．【例 18】 圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【解析】 圆周上4点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为“圆周上10个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：()109874321210⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=个．所以交点有210个．【例 19】 圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．【解析】 本题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有2个点，只有1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有122⨯=种连法；若圆周上只有6个点，先选中1个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以相对的1个点相连，若与相邻的点相连，剩下的4个点有2种连法；若与相对的点相连，剩下的4个点只有1种连法，所以此时有2215⨯+=种连法；若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以与与它相隔2个点的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种连法；若与相隔两个点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一边2个点，只有一种连法，一边4个点，有2种连法．所以此时共有522214⨯+⨯=种连法．【例 20】 （难度等级 ※※※※）一个圆上有12个点A 1，A 2，A 3，…，A 11，A 12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?【解析】 我们采用递推的方法．I 如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．Ⅱ如果圆上有6个点，除A 1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A 1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．共有12种连法．Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：①9个点都在同一段弧上：②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．共有12×3+3×6+1＝55种．所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种．。
奥数 图形计数 练习题
1、数一数，下面有多少条线段？
（ ）条
（ ）条
（ ）条
2、数一数，下图中有多少个正方形？
3、下图中有多少个正方形？
4、包含 的三角形有多少个？
5、下图中有多少个三角形？
6、下图中有几个正方形？
7、下图中有几个长方形？
8、下图中有多少个正方体？
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
一年级数学思维第33讲：图形的计数测试题
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
正确答案:C
答案解析
第2题：
正确答案:B
答案解析
第3题：
正确答案:A
答案解析
第4题：
正确答案:B
答案解析
第5题：
正确答案:C
答案解析
第6题：
正确答案:B
答案解析
第七讲 图形计数
图形计数【知识要点】在数图形时，不管是数什么样的图形都要有一定的次序，可以按从左到右、从上到下、从小到大等次序进行；然后数一个的有几个，两个组成的有几个……【新生篇】例1：图中共有（）条线段。
分析：数的时候应有顺序地按同一方向去数。
以A为起点，有线段AB、线段AC，共2条线段；以B为起点，有线段BC，共1条线段。
所以图中共有2+1=3条线段。
例2：数一数，下图中共有（）个长方形。
分析：在数长方形形的时候，我们可以先数每一层有多少个长方形，再数总共有几层，这样数：每一层有多少个可以参照线段的数法，共有3+2+1=6个长方形，然后层数也可以参照数线段的方法，总共有2+1=3层，所以总共有3×6=18个长方形，所以总结长方形个数的数法为：长边上的线段数×宽边上的线段数例3：数一数，图中共有（）个正方形。
分析：我们可以这样数：（1）最小的正方形有3×3=9个；（2）4个小正方形拼成的大正方形有2×2=4个；（3）9个小正方形拼成的大正方形有1×1=1个；（4）共有9+4+1=14（个）正方形。
【新生练一练】1.数一数，下图中共有（）个三角形。
AB D C解析：2+1=3个2.数一数，下图中（）有多少个长方形。
解析：长边上线段数4+3+2+1+10个，宽边上线段数3+2+1=6个，所以总共个数为6×10=60个3.数一数，下图中（）有多少个正方形。
解析：分类枚举，4×4+3×3+2×2+1×1=30个【老生练一练】1.图中，带有“☆”的长方形有（）个。
解析：鼠标法，2×4=8个2.下图中共有（）三角形，（）个四边形。
解析：三角形个数：（3+2+1）×2=12个；四边形个数：3+2+1=6个。
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一年级奥数：《图形的计数》
《图形的计数》课前预热所属体系板块：第二级下图形的计数
主要知识点：1）平面图形计数
2）立体图形计数
能力培养：计算能力、空间想象能力
体系对接：第三级下飞速图形计数
例题展示：
数数看，下图一共有多少个小方块。
课前预热：
简单复习各种平面图形，建立有序计数的能力。
《图形的计数》知识点精讲
一、平面图形计数
1、恰含法
【例】下图有（）个三角形。
【解析】
恰恰包含1个三角形的有：3个
恰恰包含2个三角形的有：2个
恰恰包含3个三角形的有：1个
一共有：3+2+1=6（个）
2、分类法
按大小、位置来分类
【例】下图有（）个正方形。
【解析】
按大小来分类，
小的正方形有：7个
大的正方形有：4个
一共有：7+4=11（个）
二、立体图形计数
分层数
下层=上层+多出来的
【例】下面的图形有（）个方块堆成。
【解析】
分层数。
从上往下数：
第一层：1个
第二层：2（多出来的）+1（上层）=3（个）第三层：1（多出来的）+3（上层）=4（个）一共有：1+3+4=8（个）
三、空心图阵
补全法
数量=补完总数-补上的
【例】数一数，下图中共有（）颗星星。
【解析】
补全：1+3+5+7+9+11+13=49（个）
补：3+5=8（个）
数量：49-8=41（个）
四、至少……才够
考虑最少情况
【例】有一天，小猴和9个小伙伴一起玩。
小猴拿出一包糖，里面有54块。
小猴说：“咱们一共10个小伙伴，但分到的糖数量要不一样多，谁会分？”结果小伙伴们都无法分。
为什么？如果不能分，至少应该有多少块才够呢？
【解析】
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）
答:所以不够分，至少要55块才够分。
《图形的计数》课后拓展练习1、下图中一共有多少个圆点。
2、下面一共有多少条线段。
3、下图是小明搭的积木，数一数一共有（）个小正方体。
4、数一数，下面的“沙发”是由（）块小方块搭成的。
【答案解析】1。
29个。
2。
6条。
3。
10个。
4。
20块。