三角网格模型的修补算法研究
有限元分析中的二维Delaunay三角网格剖分
有限元分析中的二维Delaunay三角网格剖分摘要本文从有限元分析出发，引出三角网格剖分的概念。
随后着重介绍了二维平面点集的Delaunay三角剖分。
给出了一些重要的Delaunay三角形的定理和性质，也体现出了Delaunay三角剖分的优点。
接着重点分析了构造二维Delaunay三角形的空洞算法，并用程序完成了它。
最后又分析了算法中的不足，并给出论文改进的方法。
关键词：Delaunay三角形，V oronoi图，网格剖分III1 第一章绪论1.1网格剖分的背景有限元分析是数学的一个分支。
其思想是将复杂的问题简单化，然后进行处理。
处理办法是将整个研究对象分成一些有限的单元，然后对每个小单元做相应的处理，最后整合起来去逼近原来的整个对象。
所以我们可以看到，有限元分析中将单元剖分的越小，得到的近似值就会越逼近真实值。
但是往往我们需要处理的对象很复杂，需要的计算量也很大，人工很难完成。
在早起年代，这个问题也阻止了有限元分析的发展。
近年来，随着计算机的发展，带动了一些需要大量计算的科学领域的发展。
有限元分析就是其中一种，因为当计算机取代人力之后，其快速的计算能力作用愈发凸显，人们只需要控制相应的算法即可。
作为最常用的处理手段，被大大的发展了之后，有限元分析也被应用于诸多方面。
早期的有限元分析主要应用与航空航天和地质、地球物理方面，现在越来越多的在工程分析计算和计算流体力学中看见。
图 1.1图 1.2常见的有限元分析可以分为六大步骤：问题及求解域的定义、求解域的网格剖分、确定状态变量及控制方法、单元推导、总装求解和结果解释。
上述步骤又可被分为三大阶段：前置处理、计算求解和后置处理。
而在前置处理中网格剖分作为最重要又最复杂的一个步骤，其处理结果制约着有限元的最后逼近结果。
网格剖分有很多形式：二维的主要剖分形状有三角形、四边形，三维的有四面体、六面体。
在有限元分析中网格剖分有如下要求：1、节点合法性。
指每个单元的节点最多只能是其他单元的节点或边界点，而不能是内点。
表面重建的几种方法
表面重建的几种方法一、引言表面重建是计算机视觉领域中的一个重要问题，它涉及到从图像或点云数据中重建出物体表面的三维模型。
在实际应用中，表面重建被广泛应用于工业设计、医学图像处理、虚拟现实等领域。
本文将介绍几种常见的表面重建方法，并对其优缺点进行分析。
二、基于点云的表面重建方法1. Poisson算法Poisson算法是一种基于点云的无网格方法，它通过求解拉普拉斯方程来估计物体表面法向量，并利用这些法向量构造出一个光滑的三角网格模型。
Poisson算法具有较高的精度和鲁棒性，在处理噪声较少的点云数据时效果比较好。
2. Moving Least Squares(MLS)算法MLS算法是一种基于局部最小二乘拟合的方法，它通过对每个点周围的邻域进行最小二乘拟合来估计物体表面，并根据邻域内点的密度来控制拟合曲率。
MLS算法具有较高的灵活性和鲁棒性，在处理噪声较多或曲率变化大的点云数据时效果比较好。
三、基于图像的表面重建方法1. Structure from Motion(SfM)算法SfM算法是一种基于多视图几何的方法，它利用多张图像中的特征点来计算相机位姿和三维点云，然后通过三角测量和光束法平差来重建物体表面。
SfM算法具有较高的精度和鲁棒性，在处理多视角图像时效果比较好。
2. Shape from Shading(SfS)算法SfS算法是一种基于单张图像的方法，它利用光照信息来推断物体表面的形状。
SfS算法通过求解反问题来估计物体表面法向量，并根据法向量和光照信息推断出物体表面。
SfS算法具有较高的精度和鲁棒性，在处理光照变化较小或物体表面光滑的图像时效果比较好。
四、基于深度学习的表面重建方法1. PointNet++网络PointNet++网络是一种基于深度学习的无网格方法，它利用卷积神经网络对点云数据进行特征提取，并根据特征进行点云分割和分类。
PointNet++网络具有较高的精度和鲁棒性，在处理大规模点云数据时效果比较好。
三维网格模型的稳定布尔运算算法
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Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｓｐ ｐ ｒｐ ｏ ｏ ｅ ｔｂ ｅ ａ ｄ ｐ ｅ ｉｅ ａｇ ｒ ｈ ｆｒ３ ｓ ｄ １ Ｆ ｒｔ ，ｔ ｅ ａｇ ｒｔｍ，ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｒｐ ｓ ｄ ａ ｓａ ｌ ｎ ｒｃ ｓ ｌｏ ｔ ｍ ｏ Ｄ ｍｅ ｈ ｍｏ ｅ ． ｉｓ ｙ ｈ ｌｏ ｈ ｉ ｌ ｉ ａｅ ｎ ｔｅ
（ｓｃｍ＠ １６ Ｃｒ ｃｕ ｓ ２ ．Ｏ ） ｎ
摘
要 ： 出一种稳定 、 的三维 网格模型的布 尔运算算法。该算法首先 ， 网格模 型原 始的拓扑 关系。 蛤 高效 基于 结合
屡 次包围盒相 交检 测实现 网格模型相 交区域快速定位 ； 然后 ， 用改进 的空间三角形求 交算 法求解 离散 交线段数据 ， 采
并对单个三角形重新进行 Ｄ ｌ ｎｙ ｅ ｕａ 三角剖分； ａ 最后， 通过建立交线段与相交三角形间的拓扑关系对交线快速跟踪提
取， 通过局部 区域快速分类组合 ， 实现三角 网格模 型的精确 布 尔运算 。该 算法能有效地 处理各种特 殊情况且运行 稳 定； 程序 实现 简单 ， 实例证 明符合工程需求。
ｌ 词 ： 格模 型 ； 尔运 算 ； 角形 求 交 ； 扑 关 系 关键 网 布 三 拓
串圈分类号： ７１１Ｔ ３１４ 。 ５ ．；Ｐ９ ． 弧ｙ
文献标志码： Ａ
Ｓ ｅ ｄ ｌ ｏ ｉｈ ｆ ｒ Ｂｏ ｌａ ｐ ｒ ｔ ｎ ｏ ｍｅ ｈ ｍ ｏ ｅ ｔ ａ ｙ ａｇ ｒｔ ｍ ｏ ｏ ｅ ｎ ｏ ｅ ａ ｉ ｆ３ ｏ Ｄ ｓ ｄ ｌ
Ｃ Ｎ Ｘ ｅｇｎ ＨＥ ｕ －ｏｇ，ＭＡ Ｊ －ｎ ，Ｑ Ｕ Ｈｕ Ｕ Ｊ —ｕ２ Ｉ Ｏ Ｋ －ａ ｊ ｊ Ｉ ａ，Ｆ ｉ ｈ ａ，Ｘ Ａ ｅｙｎ ｎｉ ｎ
表面重建算法
表面重建算法概述表面重建算法是计算机图形学中的一个重要研究领域，其主要目的是从点云数据中生成连续、光滑的曲面模型。
表面重建算法应用广泛，如三维扫描、医学成像、地形建模等领域。
本文将介绍表面重建算法的基本原理、分类以及常用算法。
基本原理表面重建算法的基本原理是从离散的点云数据中生成连续、光滑的曲面模型。
点云数据通常由三维扫描仪或激光雷达等设备获取。
对于一个给定的点云，表面重建算法需要确定每个点在曲面上的位置和法向量。
分类表面重建算法可以分为两类：基于网格和基于隐式函数。
1. 基于网格基于网格的表面重建算法将点云转换为一个三角网格，然后通过对网格进行平滑处理来生成曲面模型。
其中最常用的方法是Poisson重构算法。
Poisson重构算法基于Poisson方程，该方程描述了曲面上任意一点处梯度向量与曲面法向量之间的关系。
该算法首先计算每个点在曲面上的法向量，然后通过对点云进行重采样得到一个规则的网格，最后利用Poisson方程求解得到曲面模型。
2. 基于隐式函数基于隐式函数的表面重建算法将点云转换为一个隐式函数，然后通过等值面提取算法生成曲面模型。
其中最常用的方法是Moving Least Squares (MLS)算法。
MLS算法首先对点云进行平滑处理，然后对每个点构建一个局部加权多项式函数。
该函数表示了该点附近的曲面形状，然后通过等值面提取算法生成曲面模型。
常用算法1. Marching Cubes算法Marching Cubes算法是一种基于网格的表面重建算法。
该算法将三维空间划分为一系列小立方体，并在每个立方体中确定等值面的位置和拓扑结构。
最终将所有立方体中的等值面拼接起来形成曲面模型。
2. Poisson重构算法Poisson重构算法是一种基于网格的表面重建算法。
该算法首先计算每个点在曲面上的法向量，然后通过对点云进行重采样得到一个规则的网格，最后利用Poisson方程求解得到曲面模型。
3. MLS算法MLS算法是一种基于隐式函数的表面重建算法。
参数曲面三角网格生成的改进波前法
参数曲面三角网格生成的改进波前法王伟;樊宏周;席光【摘要】为了消除基于波前法的有限元三角网格算法在参数曲面网格剖分过程中单元形状映射畸变的问题,结合直接法和映射法各自的优点,提出了一种新的三角网格生成算法,即:对当前节点进行剖分,并在三维空间直接产生新节点且进行节点的合法性判断,再将物理网格映射到参数空间形成参数域网格;对相邻波前段形成的角度进行剖分,依据角度大小生成个数不等的单元,通过优先剖分锐角节点使波前段始终构成钝角多边形.经剖分算例表明:所提算法减少了节点合法性判断内容和判断次数,避免了重复剖分,取消了剖分结束算法,提高了网格剖分效率,生成了高质量的三角网格;仅需对网格排列情况的直观分析,便可定性判断三维曲面的空间曲率变化.该算法对叶片加工中振动分析、精密加工研究等具有指导意义.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2014(048)003【总页数】7页(P61-67)【关键词】有限元;曲面网格;波前法;三角剖分;映射畸变【作者】王伟;樊宏周;席光【作者单位】西安交通大学能源与动力工程学院,710049,西安;西安交通大学能源与动力工程学院,710049,西安;西安交通大学能源与动力工程学院,710049,西安【正文语种】中文【中图分类】TP391曲面网格生成是有限元分析中几何建模的关键,曲面网格可以直接作为膜结构、壳体等的有限元模型进行计算分析。
三维实体的表面是由各种曲面和平面组成,三维实体表面离散的数据点及曲面网格质量将直接影响剖分算法的可靠性和生成体网格的质量[1]。
所以,有限元、计算流体动力学和计算机图形学分析中获得高质量的曲面网格是必不可少的前提条件[2]。
曲面网格剖分算法中波前法(Advancing Front Technique,AFT)是曲面三角网格生成的重要方法,具有启发性、局部适应性和单元可控性[3]。
基于波前法的三角网格剖分算法涉及到映射法和直接法。
映射法是运用波前法将参数空间的参数域进行剖分,并映射到三维曲面上生成曲面网格,其研究重点是克服曲面参数化不均匀导致的网格映射畸变。
基于外接球准则的散乱数据曲面重建方法
地提 高邻域 搜 索效率 。
量 ，但 对 稀 疏 且 分布 不均 匀 的点 集 效 果 较 差 ，而 且 效 率 不 高 。近 年 来 ，学 者 们 开 始 关注 场 景 的 重
建 。
本 文 提 出 了增 量 重 建 方 法 ， 主 要 创 新 点 在 于：１ ） 根 据 三 维 散 乱 点 集 的 局 平 特 性 ，将 二 维 Ｄｅ ｌ ａ ｕ ｎ ａ ｙ ￣ 角刹 分 的性 质用于 三维 重建 问题 ，提 出 －
对 具 有 一 定 噪 声 或 不 均 匀 的数 据 重 建 的 网格 可 能
存 在 的 孔 洞 和 非 流形 错 误 ，给 出 了非 流 形错 误 的
检 测和 孔洞 的修补 方法 。
的平 均 曲率 划分 为 多个 区 间 ，对 应 各 区 间设 置
不 同 偏差值 ￡； 在 某 曲率 区 间 内 ，如 果 点 （ 曲率 为
给 定 散乱 点 集Ｐ ，Ｐ ＝ ｛ Ｐ ｉ ｌ Ｐ ｉ ∈ Ｓ ｝ ，０ ≤ ｉ ＜ ，Ｐ 采 样 于 一个 未 知 的 曲面 Ｓ ，构 造 三 角 网格 Ｍ＝ （ ， ） 插
值 或 者 逼近 点 集 Ｐ 。其 中Ｖ为Ｍ 的顶 点 ，表示 了模 型 的 几何 信息 ，Ｅ 为模 型 的边 ，反映 了模型 中各顶 点 的邻 接关 系 。
范 围 。Ｂ ｏ ｉ ｓ ｓ ｏ ｎ ｎ ａ ｔ …率 先在 点集Ｄｅ ｌ ａ ｕ ｎ ａ ｙ ￣ － 角剖 分 的基 础 上 ，通 过 剥 离 冗 余 的 四面 体 ，用 剩 余 四 面 体 的 边 界作 为 曲面 的 网格 逼近 模 型 。Ａｍｅ ｎ ｔ ａ 等人 的Ｃ ｒ ｕ ｓ ｔ 睇 和Ｐ ｏ ｗ ｅ ｒ Ｃ ｒ ｕ ｓ ｔ 【 ３ 算法 基 于维 诺 图 ，能 够保 证 重 建 结果 拓 扑正 确 。Ｈｏ ｐ ｐ ｅ 【 ４ 等人 采 用 等值 面提
三维封闭三角网格孔洞边界识别算法
三维封闭三角网格孔洞边界识别算法孔令霞;姚远;胡庆夕【摘要】针对三维封闭三角网格模型的缺失实体孔洞,提出一种边界识别算法.以手绘曲线作为输入,结合轮廓线法得到目标孔洞的近似边界点集,生成连续的孔洞轮廓线.按照曲线点集并以孔洞轮廓线辅助搜索孔洞的上边界,根据上边界向下搜索得到孔洞的下边界.该算法可用于满足二维流形、可定向及封闭的三角网格模型上孔洞边界的定位,能够简化孔洞边界的定位过程,提高设计系统的易用性.【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2010(036)018【总页数】4页(P177-179,187)【关键词】封闭网格;曲线平滑;轮廓线渲染;边界识别【作者】孔令霞;姚远;胡庆夕【作者单位】上海大学快速制造工程中心,上海,200444;上海大学快速制造工程中心,上海,200444;上海大学快速制造工程中心,上海,200444【正文语种】中文【中图分类】TP3911 概述孔洞是曲面的重要特征之一。
从外形特点来说，空间网格模型孔洞可分为岛屿孔洞、缝隙孔洞和柄状孔洞等。
从几何结构上，可以分为非封闭孔洞和封闭孔洞。
非封闭孔洞的边界识别是几何建模中经常遇到的问题，广泛用于逆向建模后数字几何模型的修复中，例如，文献[1]详细地列出了非封闭三角网格的各种孔洞类型及其相应的边界识别算法，文献[2]通过指定边界边上的一个种子顶点搜索边界边，直到搜索到一个闭合的边界边。
而非封闭孔洞的边界识别表现为一个针对特征的几何编辑问题，经常用于骨支架建模技术中。
骨支架建模技术是运用组织工程进行骨组织修复的基础。
随着骨组织工程、图形技术及三维重建的发展，可以通过多种方法完成缺损骨孔洞边界的确定，但都依赖于三维造型软件手工完成，面临着临床医生无法直接参与等问题。
本文以三维封闭三角网格模型的缺失实体为研究对象，有针对性地提出一种新的几何修复方法。
对于此类孔洞边界的确定，文献[3]提出搜索一条连续的三角形闭合路径，并沿着此路径将封闭的孔洞改变成非封闭的孔洞来识别边界，该方法只能搜索闭合边界边，不适合有一定厚度的孔洞修补。
表面重建的几种方法
表面重建的几种方法介绍表面重建是计算机视觉和计算机图形学领域中的一个重要研究方向，旨在根据给定的点云或深度图像，恢复物体的三维表面。
表面重建方法可以应用于许多领域，如虚拟现实、三维建模和医学影像分析等。
本文将介绍几种常用的表面重建方法，并比较它们的优缺点。
体素网格方法体素网格方法是一种基于体素格子的表面重建方法。
它将三维空间划分为一个个等大小的体素格子，然后根据与点云的相对位置确定每个体素的状态。
常见的体素状态包括空、实和边界。
通过对实体体素进行连接和表面插值，可以生成物体的表面。
体素网格方法具有以下优点： - 简单易懂，容易实现。
- 可以处理任意形状的物体。
然而，体素网格方法也存在一些缺点： - 对于复杂的物体形状，需要大量的体素才能获得精确的表面重建结果。
- 生成的网格可能包含大量冗余的顶点和面片，造成数据冗余。
三角化方法三角化方法是一种常用的表面重建方法，它将点云或深度图像转化为由三角形组成的三角网格。
三角化方法主要包括两个步骤：点云三角化和三角网格优化。
点云三角化通过连接点云中的相邻点创建三角形，从而形成初步的三角网格。
三角网格优化则通过对初始网格进行顶点位置调整和面片细化来改进重建结果。
三角化方法具有以下优点： - 算法相对简单，容易理解和实现。
- 生成的三角网格精度高，适用于渲染和分析。
然而，三角化方法也存在一些限制： - 对于具有复杂形状和拓扑结构的物体，可能无法得到精确的表面重建结果。
- 三角化方法对点云中的噪声和采样密度不敏感，可能导致重建结果不准确。
隐函数方法隐函数方法使用数学函数来表示物体的表面。
通过拟合点云或深度图像，可以生成一个隐函数表达式，从而实现表面重建。
常见的隐函数方法包括基于球谐函数的方法和基于深度学习的方法。
基于球谐函数的方法将物体的表面表示为一组球谐函数的线性组合。
通过最小化点云和隐函数之间的差异，可以得到物体的表面重建结果。
基于深度学习的方法则使用深度神经网络来学习点云和表面之间的映射关系。
基于三角网生成法的Delaunay三角网生成算法的研究与实现
基于三角网生长法的Delaunay三角网生成算法***************【摘要】论文简要介绍了Delaunay三角网的性质以及基本生成算法，并重点介绍了三角网生长法的基本原理和算法步骤，并通过设计合理的数据结构，对算法进行实现。
对算法进行分析并提出通过构建格网索引，进一步提高三角网生成效率。
【关键词】三角网生长法扩展TIN 格网索引1.引言数字地形模型DTM（Digital Terrain Model）是指对地形表面形态属性信息的数字表达，是带有空间位置特征和地形属性特征的数字描述[1]。
DTM是GIS的基础数据来源，可用于土地利用现状的分析、合理规划及洪水险情预报等。
DTM地形属性为高程时称为数字高程模型(DEM)。
DEM主要的三种表示模型为规则格网模型、等高线模型、不规则三角网模型（Triangular Irregular Network 简称TIN）。
数字化等高线模型不适合计算坡度或制作地貌渲染图等地形分析，规则格网数据结构简单，计算方便；但存在数据冗余，数据采集较麻烦，难以表达复杂地形等缺陷。
TIN即能够避免平坦地形时数据冗余，也能表达复杂地形，可以根据任意地形特征点表示DEM，因此被广泛应用。
Delaunay三角剖分能最大程度的接近等边三角形，避免狭长三角形，并且能保持三角网的唯一性，使其成为生成TIN的最佳选择。
本论文将简要介绍和比较几种常用的Delaunay三角网生成算法（逐点插入法，三角网生长法，分割合并算法等），并且对三角网生长法算法原理进行研究分析和程序实现。
2.Delaunay三角网的性质Delaunay三角网中的三角形必须满足以下几个性质：（1）空圆特性每一个Delaunay三角形的外接圆不包括Delaunay三角网中的任何其他点。
（2）最大最小角特性在三角剖分中，Delaunay三角网的所有三角形的最小角之和最大。
即使得Delaunay三角形最大程度接近等边三角形。
网格模型的简化算法研究
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｍｐ ｔ ｒ ｇ ａ ｈ ｃ ； ｏｙ ｏ ａ ｓ ｍｏ ｅ ｉ ｐｉ ｃ ｔ ｎ； ｖ ｌ ｏ ｅａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｕ ｅ ｒｐ ｉｓ ｐ ｌ ｇ ｎ ｌ ｍｅｈ； ｄ ｌ ｓ ｌ ａ ｏ ｌ ｅｓ ｆ ｄ ｔｉ ｍ ｉ ｆ ｉ ｅ
对 网格 模 型进 行 简化 。 文章 通 过 分析 凡 类 网格 模 型 简 化 算 法 ， 究 了 目前 存 在 的 主要 问题 ， 出 了解 决 的方 法。 研 提
关键 词 ： 算机 图形 学 ； 计 多边 形 网格 ； 型 简化 ； 模 细节 层 次
中 图分 类 号 ：Ｐ ９ ，１ Ｔ ３１ ４
０ 引言
在计 算机 图形 学领域 ，用 网格模 型表示 三 维场 景 是最 通用 也是最 重要 的表 示形式 ，多 边形 网格 的显 示
中 间网格 ， 然后 去 除老顶 点 ， 遗 留 的空洞 重新 三角化 对 形 成 简化 网格 。 由于算 法采 用 了简单 的模 型 ， 因此它不 适 合 于 复杂模 型 ， 别是 具有棱 边 和 角的模 型 ， 特 虽然有 人 对 此又 提 出了一种 新 的基于 特征 角 准则 的 多面体模 型简 化方 法 ， 只适合 对 网格 进行 少量 的删 除 。 但 在 网格简 化 的诸 多 算 法 中 ， 点 聚 类 ［简 化算 法 顶 ２ 是 相对 效 率较高 且较 易实 现 的一 类 方法 ，但 也 有局 限
由于原 网格 模 型上 的点 在空 间的分 布是 未知 的 ，这种
仿真 、 虚拟现 实等 领域 具有 广 阔的应用前 景 。
１ 网 格模 型 简 化 算 法 的 研 究
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［ 分 类号 Ｊ Ｐ ０ 中图 ２８
【 献 标 识码 】Ａ 文
一
章 编 号Ｊ １０ — ０ ０ ２ １ ３ ５ ０ ７ ３０ （０ ０ ０— Ｊ
在数据获取的过程中， 由于扫描设备和扫描实体 曲面形状的影响 ， 有时数据不完整 ， 导致 曲面局部网
种利用方差和平均曲率确定补测数据影响区域的
【 摘 要 ］针 对 三 角 网格 模 型 中空洞 区域修 补 的 问题 ， 出 了一 种 利 用 方 差和 平 均 曲率 作 为 影响 因子 对 空 洞 提
区域 进 行 补 测数 据 点 ， 对 空 洞 区域 补 测数 据 点 进 行 空 间 直接 三 角剖 分 的补 洞 方 法。 后 ［ 键 词 ］ 补 测 ； 据 点 ； 角剖 分 ； 洞 关 数 三 补
１ 空洞 区域数据 的补测
现有 的补 点算 法 可 以划分 为 两种 ： 种 是有 限单 一 元 法 ， 将 点 云构 造 成 三角 网格模 型 ， 针 对 网格模 它 再 型上 的 “ 空洞 ” 进行 修补 ； 另一 种是 无 网格 法 。有 限单
＝
Ｉ △ ｏ△
Ｍ ｆ ｆ Ｏ
ｌｘ △ ｚ ｌ Ａ ａ ｚ
０ ｌ
计算 矩 阵 ４ ）的特征 向量 ：。 ， Ａ， Ａ， Ａ 在三个 特征 向量 Ａ 中取最 大 的特征 向量作 为平 面 Ｐ的法 矢 ， 同时 平 面 Ｐ 过点 Ｂ， 最小二 乘平 面 已 Ｐ经确 定 。 通 至此
元法包括： 基于神经网络 的补点算法 ； ａ ｂ自适应补点 算法 ； 基于局部三角 Ｂ ＺＥ ｃ Ｅ Ｉ Ｒ曲面片逼近的补点算
型时， 以上算法不理想。本文提出了一种先补测空洞 数据， 后对空洞区域数据进行空 间直接三角剖分 的补
洞 方法 。
设 （ ，， 为边界轮廓上 的数据 点 ， ０ ｎ Ａ ） Ｂ为边界
轮廓 线上 点 Ｅｉｏ ， 的几 何 重心 。 （ ，ｎ ＝Ａ ） 令 ＝ Ｂ，ｙ 一 ＝ ； 到矩 阵 一 日 Ａ＝ 一 得
处 的 曲线 曲率 。 步 骤 三 ： 算投 影 到最 小 二乘 平 面 Ｐ上 的边 界轮 计 廓线 的凸包 ， 根 据 方差 Ｅ和平 面 曲率 ｋ 凸包 向外 并 将
接， 是衡 量算 法合 适 与否 的重 要指 标 。文献 ［ 提 出 了 ４ ］
Ｅ （一 ｏ 中 ｏ— ＝ ｄ ） ， ＝ｉ ＝
二
∑ｄ
ｄ 为边 界轮 廓上 的点 到平 面 Ｐ的距 离 。 ， 边 界轮廓 线上 节点 处数 据点 的 曲率均值
【 收稿 日期】 ２ １— ３ ０ ０００—８ ［ 作者简介】 马书勇（ ９４ ）男 ， １８～ ， 汉族 ， 河南郑州人 ， 硕士， 主要从事工程测绘工作 。
２ １ 年第 ３ ００ 期
・ 北京测绘 ・
式 中 ： Ｍ ，） Ｂ （， ＝
： ， ：
∑ｋ
，
Ｍ
０ ， ≤１ ≤Ｍ ， ， 且 ＋
ｖ ｗ ｌ是 定 义 在 三 角域 上 的双 变量 ｎ次 Ｂ ｒｓｅｎ基 ＋＝ ｅｎｔｉ
其中 ｎ ｌ ＋ ，为边界轮廓线的节点数量 ， 为节点 ｉ ｋ
洞区域数据补测。
１１ 补 测数 据影 响 区域 的确 定 ．
影 响 区域 的计算 过程 如 下 ： 步骤 一 ： 用边 界 轮廓 曲线 （ 利 或折 线 ） 造 最小 二 构 乘平 面 。
的数据基础都是空洞区域边界数据 ， 没有考虑空洞区
域 内的数据 ， 当对 于一 些 拓扑关 系 比较 复杂 的网格 模
点构造逼近的连续 曲面， 最后在该 曲面上计算采样点 作为补测数据点。 这种方法得到的补测数据点充分考 虑 了空洞区域周 围数据的影响 ， 使计算 出的补测数据
符 合实 际产 品外 形 且与 周 围数 据有 较好 “ 光顺 连 接 ” 关 系 。本 文 引 用 了这 种 方 法 来 确定 补 测 数 据 影 响 区 域， 然后 用 影 响 区域 内 的点构 造 Ｂ ＺＥ Ｅ ＩＲ曲面 进 行空
法
步骤二 ： 计算边界轮廓上的点到最小二乘平面的
由于 空洞 区域 内的数据 点 是未 知 的 ， 而且 很 难像 距 离方 差 Ｅ和平 面 曲率 ｋ 。 根 据方 差 的定 义 ， 我们 得 到距 离方 差 ：
曲面 过渡 那样 找 到可 以控 制形 状 的曲 面切 矢等 特 征 ，
因此空洞区域 内数据点的计算有很大的随意性。 如何 找到一种算法 ， 使其计算出的数据点更好地符合实际 产品外形 ，且又确保补测数据与周围数据 “ 光顺” 连
方 法 ， 用该 方法 可 以 自动地 根据 边 界轮 廓 的复 杂度 利 计 算 出影 响 区域 的大小 ， 然后 利用 影 响 区域 内 的数据
格信息丢失（ 即空洞 ） 的情况。 这对最终三维模型的建
立产生不 良影响 ， 因此需要对空洞进行填补。
最近 几年 ， 三维 空洞 填补 在 曲面 建模 和 基 于 网格
建模领域引起广大学者的关注。 一些学者提出了用参
数 化 曲面填 补 多 边形 ｈｉ
等用最小能量法填补任意边的多边形网格空洞 ， 能量 最小化能防止填充 区域 的局部突起 ；ｅｉ Ｌｖ ｎ提出了一
种 填 补 Ｎ边 孑 洞 的算 法 ，并 且 空 洞 区域 的 曲 面 片能 Ｌ 满 足 连续 ； 晓 云等 用 Ｄ ｌ ｎｙ 角剖 分 ， 空 洞 区 周 ｅ ｕａ 三 ａ 将 域 多边 形 的各 顶点 互连 形成 三 角形 。 而 以上算 法 然
１ ０
・ 北京测绘 ・
２１ ００年第 ３ 期
三角网格模 型的修补算法研究
马书 勇 ，吴会 环 ， 云兰 ， 官
（． １ 青海省核工业地质局 ， 青海 西宁 ８ ０ １；． １０ ６２南昌市信息资源中心 ， 江西 南昌 ３ ０ ０ ； ３０ ６ ３东华￣ Ｔ大学测绘 工程 学院 ， ． ２－ － 江西 抚 州 ３４ ０ ） ４ ０ ０