助力2020年高考2017年-2019年三年高考真题分类汇编精品解析文科数学
《精品》2017-2019三年高考真题专题08平面解析几何(解答题)-数学(文)分项汇编(原卷版)
专题08平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知F,F是椭圆C:12x2y2+a2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．1x213．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，22切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆C:x2y2+a2b2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．2=1(a>b>0)的焦点为F（–1、【225．【2019年高考天津卷文数】设椭圆3|OA|=2|OB|（O为原点）.（1）求椭圆的离心率；x2y2+a2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（2）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且O C∥AP，求椭圆的方程.6．2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a b210），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=5．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．3S0)7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1，为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG,△CQG的面积分别为S,S．12（1）求p的值及抛物线的准线方程；S（2）求1的最小值及此时点G的坐标．28．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN．4【10．【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： + = 1 交于 A ， B 两点．线段 AB9． 2018 年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线 C ：y 2 = 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．（1）求 l 的方程；（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．x 2 y 24 3的中点为 M (1,m )(m > 0) ．（1）证明： k < -12；（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP + FA + FB = 0 ．证明： 2 | FP |=| FA | + | FB | ．57 l M 若11．【2018 年高考北京卷文数】已知椭圆 M : x 2 y 2 6+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 ，焦距为 2 2 .斜率为a 2b 2 3k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ，B.（1）求椭圆 M 的方程；（2）若 k = 1 ，求 |AB | 的最大值；（3）设 P(-2,0) ，直线 P A 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C,D和点 Q(- , 1) 共线，求 k.4 412．【2018 年高考天津卷文数】设椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为5 ， | AB |= 13 ．3（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l : y = kx(k < 0) 与椭圆交于 P , Q 两点， 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ， 均在第四象限．△BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．613．2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,)，焦点F(3,0),F(3,0)，1【212圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为267，求直线l的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．y AP M xOB（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；y2（2）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．47【x215．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．x216．2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O为坐标原点，动点M在椭圆C:+y2=1上，过M作x轴的垂线，2垂足为N，点P满足NP=2NM.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且OP⋅PQ=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 8【 B17．【2017 年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 y = x 2 + mx - 2 与 x 轴交于 A ，B 两点，点 C的坐标为 (0,1) .当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.18． 2017 年高考北京卷文数】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A( 2,0)， (2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ，N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN于点 E.求证：△BDE △与 BDN 的面积之比为 4:5．9的坐标为 (0, c) ， △EFA 的面积为 ．x 2 y 2 2【 交19．【2017 年高考天津卷文数】已知椭圆 x 2 y 2+ a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左焦点为 F (-c, 0) ，右顶点为 A ，点 Eb2 2（1）求椭圆的离心率；（2）设点 Q 在线段 AE 上， | FQ |= 3c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ， N 在 x 轴上，2PM ∥QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，四边形 PQNM 的面积为 3c ．（i ）求直线 FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．20．2017 年高考山东卷文数】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:a 2b 2 2+ = 1 (a >b >0)的离心率为 ，椭圆 C 截直线 y =1 所得线段的长度为 2 2 .（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线 l:y =kx +m (m ≠0) 椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于点 M .点 N 是 M 关于 O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点 E ，F ，求 ∠ EDF 的最小值.1021 ．【 2017 年高考浙江卷】如图，已知抛物线x 2 = y ，点 A ( - ， ) ， B( ， ) ，抛物线上的点1 1 23 9 24 2 41 3 P( x , y)(- < x < ) ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．2 2（1）求直线 AP 斜率的取值范围；（2）求 | P A | ⋅ | PQ | 的最大值．22．【2017 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E : x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左、右焦 点分别为 F 1 ， F 2 ，离心率为 1 ，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点F 1 作直线 PF 1 的垂线 l 1 ，过点 F 2 作直线 PF 2 的垂线 l 2 ．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l 1 ， l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．1112。
三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题07 平面解析几何(选择题、填空题)(解析版)
专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52 C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=OP OF ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =A B ．4 C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =∴a=12a =， 故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C D 【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率e ==C ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2-CD 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒， 设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a -==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为by x a=±； (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为a y x b=±. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】c e a ===1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直.14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ． 221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a =±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=． 故选A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥，得01m <≤； 当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞， 故选A ．【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C．D．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-.所以M 到直线NF=故选C.【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意a ，b ，c 之间满足的关系：222c a b =+，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到a ，b ，c 满足的关系式，联立求解可得a ，b ，c 的值．22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1，0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=. 【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x '=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【答案】15【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p pa ex x -=⇒=-， 从而可求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】2【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=， 与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c ==c e a ==，所以2a =，即216a =， 因为0a >，所以4a =．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】()1,0【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入24y ax =中，解得1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===，∴焦点坐标为()1,0.【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点()1,2，将点()1,2坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=220bc bc b c a b±==+，所以32b c =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系，即222c a b =+，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 21AC AFCAF AC AF⋅∠===-⋅，解得m =，由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则m =，所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=．【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是120CAF ∠=︒，会不会用向量的数量积表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为(1,)C m -，那么方程就是22(1)()1x y m ++-=，若能用向量的数量积表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得AO =m =39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A Bpb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为y x =，设P ，则Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积10S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．。
《精品》2017-2019三年高考真题专题16算法初步-数学(文)分项汇编(解析版)
专题16算法初步1．【2019年高考天津卷文数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A．5C．24【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．B．8 D．29【解析】S 1,i 2；j 1,S 12215,i 3；S 8,i 4，结束循环，输出S 8．故选B．【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．2．【2019年高考北京卷文数】执行如图所示的程序框图，输出的s值为A．1C．3【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可．B．2 D．4【解析】初始：s 1，k 1，运行第一次，s 2123122，k 2，运行第二次，s 2223222，k 3，运行第三次，s 2223222，结束循环，输出s 2，故选B．【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．13．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图是求211 12的程序框图，图中空白框中应填入A．C．AA11 A112AB．D．A 2A 11A11 A【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征【解析】初始：1 A , k 12 2，因为第一次应该计算111 2= 1 1 A，k k 1=2； 1执行第 2 次， k 2 2 ，因为第二次应该计算 2 1 11 2=1 1 A，k k 1 =3，结束循环，故循环体为A 1 1A，故选 A ．【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A 1 1A．4．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出 s 的值等于A．2124 B．2125C ．2126D ． 21 27【答案】C【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果．【解析】输入的为0.01，x 1, s 0 1, x1 20.01? 不满足条件；1 1s 0 1 , x 0.01? 2 4不满足条件；11 1S 0 1, x 0.0078125 0.01? 2 26 128 满足条件，结束循环；输出 11 1 1 S 12 (1 ) 2 2 26 27 26，故选 C ．【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】为计算S 11112341199100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．C．i i 1i i 3B．D．i i 2i i 4【答案】B【解析】由S 11112341199100得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，故选B．6．【2018年高考北京卷文数】执行如图所示的程序框图，输出的s值为A．C．1276B．D．56712【答案】B11【解析】执行循环前：k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1–22．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=1155，k=3，直接输出S=，故选B．23667．【2018年高考天津卷文数】阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为N的值为20，则输出TA．1C．3【答案】B【解析】若输入N=20，则i=2，T=0，N20i2B．2D．4=10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，N20i3不是整数，不满足条件，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，N20i4=5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选B．8．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】执行下面的程序框图，如果输入的a1，则输出的SA．2 C．4【答案】B B．3 D．5【解析】阅读流程图，初始化数值a 1,k 1,S 0.循环结果执行如下：第一次：S 011,a 1,k 2；第二次：S 121,a 1,k 3；第三次：S 132,a 1,k 4；第四次：S 242,a 1,k 5；第五次：S 253,a 1,k 6；第六次：S 363,a 1,k 7；结束循环，输出S 3.故选B.【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下面程序框图是为了求出满足3n 2n 1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000 和 n =n +1C ．A ≤1000 和 n =n +1B ．A >1000 和 n =n +2D ．A ≤1000 和 n =n +2【答案】D【解析】由题意，因为 3n2n 1000 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 A 1000 ，故填A 1000，又要求为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填n n 2，故选 D.【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义 .本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行 判断可以根据选项排除.10．【2017 年高考全国Ⅲ卷文数】执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为nA．5C．3【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：B．4 D．2首先初始化数值：t 1,M 100,S 0，然后进入循环体：此时应满足t N，执行循环语句：S S M 100,M M1010,t t 12；此时应满足t N，执行循环语句：S S M 90,M M101,t t 13；此时满足S 91，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2．故选D．【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项．11．【2017 年高考北京卷文数】执行如图所示的程序框图，输出的值为A．2B．3 2C．53D．85【答案】C【解析】k 0时，03成立，s第一次进入循环：11k 1,s 21；13成立，第二次进入循环：k 2,s 213 22；23成立，第三次进入循环：k 3,s 32133，233不成立，此时输出s 53，故选C．【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错．12．【2017年高考天津卷文数】阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为A．0 C．2【答案】C B．1 D．3【解析】初始：N 24，进入循环后N的值依次为N 8,N 7,N 6,N 2，5输出N 2，故选C．【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近几年高考的重点和热点．对于此类问题：①要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；②要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；③按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果．近几年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数、数列等知识相结合．13．【2019年高考江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______________．【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可．【解析】执行第一次，S S x1,x 1422不成立，继续循环，x x 12；执行第二次，S S x3,x 2422不成立，继续循环，x x 13；执行第三次，xS S 3,x 342不成立，继续循环，x x 14；执行第四次，S S x25,x 4 4成立，输出S 5.【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：（1）要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；（2）要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；（3）按照题目的要求完成解答并验证．14．【2018 年高考江苏卷】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为______________．【答案】8【解析】由伪代码可得 I3, S 2; I 5, S 4; I 7, S 8， S 8. 因为 7 6 ，所以结束循环，输出15．【2017 年高考江苏卷】如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为1 16 ，则输出 的值是______________．【答案】2 【解析】由题意得 y 2 log 2 1 16 2 ，故答案为 2．【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、 循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．11 y。
三年高考2017_2019高考数学真题分项汇编专题06立体几何解答题文含解析
专题06 立体几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）连结.1,B C ME 因为M ，E 分别为的中点，所以，且.1,BB BC 1ME B C ∥112ME B C =又因为N 为的中点，所以.1A D 112ND A D =由题设知，可得，故，11=A B DC ∥11=B C A D ∥=ME ND ∥因此四边形MNDE 为平行四边形，.MN ED ∥又平面，所以MN ∥平面.MN ⊄1C DE 1C DE （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得，，所以DE ⊥平面，故DE ⊥CH.DE BC ⊥1DE C C ⊥1C CE 从而CH ⊥平面，故CH 的长即为C 到平面的距离，1C DE 1C DE由已知可得CE =1，C 1C =4，所以，故.1C E =CH =从而点C 到平面.1C DE【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥的体积．11E BB C C -【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE 平面ABB 1A 1，⊂故．11B C BE ⊥又，所以BE ⊥平面．1BE EC ⊥11EB C（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以，1145AEB A EB ︒∠=∠=故AE =AB =3，.126AA AE ==作，垂足为F ，则EF ⊥平面，且．1EF BB ⊥11BB C C 3EF AB ==所以，四棱锥的体积．11E BB C C -1363183V =⨯⨯⨯=【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，Rt △BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点 共面．由已知得AB BE ，AB BC ，故AB 平面BCGE ．⊥⊥⊥又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC 平面BCGE ．⊂⊥（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.因为AB ∥DE ，AB 平面BCGE ，所以DE 平面BCGE ，故DE CG .⊥⊥⊥由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM CG ，故CG 平面DEM ．⊥⊥因此DM CG ．⊥在DEM 中，DE =1，EM DM =2．Rt △所以四边形ACGD 的面积为4．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CDP ABCD -PA ⊥的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】（1）因为平面ABCD ，PA ⊥所以．PA BD ⊥又因为底面ABCD 为菱形，所以．BD AC ⊥所以平面PAC ．BD ⊥（2）因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，AE ⊂所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB ⊥平面PAE ．（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．则FG ∥AB ，且FG =AB ．12因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点，所以CE ∥AB ，且CE =AB ．12所以FG ∥CE ，且FG =CE ．所以四边形CEGF 为平行四边形．所以CF ∥EG ．因为CF 平面PAE ，EG 平面PAE ，⊄⊂所以CF ∥平面PAE ．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等P ABCD -ABCD PCD △边三角形，平面平面，.PAC ⊥PCD ,2,3PA CD CD AD ⊥==（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：平面；GH ∥PAD （2）求证：平面；PA ⊥PCD （3）求直线AD 与平面所成角的正弦值.PAC【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3．【解析】（1）连接，易知，.BD AC BD H = BH DH =又由，故.BG =PG GH PD ∥又因为平面PAD ，平面PAD ，GH ⊄PD ⊂所以平面PAD .GH ∥（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面平面PCD ，平面平面，PAC ⊥PAC PCD PC =所以平面PAC ，DN ⊥又平面PAC ，故.PA ⊂DN PA ⊥又已知，，PA CD ⊥CD DN D = 所以平面PCD .PA ⊥（3）连接AN ，由（2）中平面PAC ，可知为直线与平面PAC 所成的角，DN ⊥DAN ∠AD 因为为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，PCD △所以.DN =又，DN AN ⊥在中，Rt AND △sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC .【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱，平面平面，，111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒分别是AC ，A 1B 1的中点.1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==（1）证明：；EF BC ⊥（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）．35【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1，⊂平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt△A 1EG 中，A 1E ，EG由于O 为A 1G 的中点，故，12A G EO OG ===所以．2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是．35方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1，⊂平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B1，0），，，C (0，2，0)．1B 3,2F 因此，，．3,2EF = (BC = 由得．0EF BC ⋅=EFBC ⊥（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得．1=(10)=(02BC AC - ，，，设平面A 1BC 的法向量为n ，()x y z =，，由，得，100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取n ，故，(11)=||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅ ，n n n |因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为．35【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形中，，，以ABCM 3AB AC ==90ACM =︒∠AC为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．ACM M D AB DA ⊥（1）证明：平面平面；ACD ⊥ABC（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．Q AD P BC 23BP DQ DA ==Q ABP -【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）由已知可得，=90°，．BAC ∠BA AC ⊥又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB 平面ABC ，⊂所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =．又，所以23BP DQ DA ==BP =作QE ⊥AC ，垂足为E ，则．QE =∥13DC 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥的体积为Q ABP -．11113451332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.解答本题时，（1）首先根据题的条件，可以得到=90°，即，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥BAC ∠BA AC ⊥平面ACD ，又因为AB 平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；（2）根据已知⊂条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】如图，在三棱锥中，P ABC -AB BC ==，为的中点．4PA PB PC AC ====O AC （1）证明：平面；PO ⊥ABC （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．M BC 2MC MB =C POM【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =连结OB ．因为AB =BC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ==2．AC 12AC 由知，OP ⊥OB ．222OP OB PB +=由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ==2，CM =，∠ACB =45°．12AC 23BC所以OM CH =．sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠所以点C 到平面POM 【名师点睛】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明，解答本题时，连接，欲证平面，只需OB PO ⊥ABC 证明即可；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，即过点作,PO AC PO OB ⊥⊥C ，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可，本题也可利用CH OM ⊥M CH 等体积法解决.10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异ABCD CDM CD 于，的点．C D （1）证明：平面平面；AMD ⊥BMC （2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．AM P MC ∥PBD【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．⊂因为M 为上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． CD又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM 平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．⊂（2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC 平面PBD ，OP 平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．⊄⊂【名师点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题.11．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（3）求证：EF ∥平面PCD .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）∵，且为的中点，∴.PA PD =E AD PE AD ⊥∵底面为矩形，∴，ABCD BC AD ∥∴.PE BC ⊥（2）∵底面为矩形，∴.ABCD AB AD ⊥∵平面平面，∴平面.PAD ⊥ABCD AB ⊥PAD ∴.又，AB PD ⊥PA PD ⊥∴平面，∴平面平面.PD ⊥PAB PAB ⊥PCD （3）如图，取中点，连接.PC G ,FG GD∵分别为和的中点，∴，且.,F G PB PC FG BC ∥12FG BC =∵四边形为矩形，且为的中点，ABCD E AD ∴，1,2ED BC DE BC =∥∴，且，∴四边形为平行四边形，ED FG ∥ED FG =EFGD∴.EF GD ∥又平面，平面，EF ⊄PCD GD ⊂PCD ∴平面.EF ∥PCD 【名师点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.12．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°．（1）求证：AD ⊥BC ；（2）求异面直线BC 与MD所成角的余弦值；（3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3【解析】（1）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（2）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt△DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ．在Rt△DAN 中，AN =1，故DN在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得．12cos MN DMN DM ∠==所以，异面直线BC 与MD（3）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM ABC ⊥平面ABD ，而CM 平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．⊂在Rt△CAD 中，CD ．在Rt△CMD 中，．sin CM CDM CD ∠==所以，直线CD 与平面ABD ．【名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．13．【2018年高考江苏卷】在平行六面体中，．1111ABCD A B C D -1111,AA AB AB B C =⊥求证：（1）平面；AB ∥11A B C （2）平面平面．11ABB A ⊥1A BC 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB 平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，⊄⊂所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B 平面A 1BC ，BC 平面A 1BC ，⊂⊂所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1平面ABB 1A 1，⊂所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【名师点睛】本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.解答本题时，（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得四边形ABB 1A 1为菱形，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.14．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】方法一：（1）由得，11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥111AB A B ==所以.2221111A B AB AA +=故.111AB A B ⊥由，得，2BC =112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥11B C =由得2,120AB BC ABC ==∠=︒AC =由，得，故.1CC AC ⊥1AC =2221111AB B C AC +=111AB B C ⊥因此平面.1AB ⊥111A B C （2）如图，过点作，交直线于点，连结.1C 111C D A B ⊥11A B D AD 由平面得平面平面，1AB ⊥111A B C 111A B C ⊥1ABB 由得平面，111C D A B ⊥1C D ⊥1ABB 所以是与平面所成的角.1C AD ∠1AC 1ABB 由得，111111B CA B AC ===111111cosC A B C A B ∠=∠=所以，1C D =故.111sin C D C AD AC∠==因此，直线与平面.1AC 1ABB 方法二：（1）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：111(0,(1,0,0),(0,4),(1,0,2),A B A B C因此111112),2),(0,3),AB A B A C ==-=-u u u r u u u u r u u u u r 由得.1110AB A B ⋅=u u u r u u u u r 111AB A B ⊥由得.1110AB A C ⋅=u u u r u u u u r 111AB A C ⊥所以平面.1AB ⊥111A B C （2）设直线与平面所成的角为.1AC 1ABB θ由（1）可知11(0,(0,0,2),AC AB BB ===u u u r u u u r u u u r 设平面的法向量.1ABB (,,)x y z =n 由即可取.10,0,AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r nn 0,20,x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩(=n 所以.111|sin |cos ,||||AC AC AC θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r n |n n |因此，直线与平面.1AC 1ABB 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.15．【2017年高考全国Ⅰ文数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且．90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，且四棱锥P −ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积．90APD ∠= 83【答案】（1）见解析；（2）．326+【解析】（1）由已知，得，．90BAP CDP ==︒∠∠AB AP ⊥CD PD ⊥由于，故，从而平面．AB CD ∥AB PD ⊥AB ⊥PAD 又平面，所以平面平面．AB ⊂PAB PAB ⊥PAD（2）在平面内作，垂足为．PAD PE AD ⊥E 由（1）知，平面，故，可得平面．AB ⊥PAD AB PE ⊥PE ⊥ABCD设，则由已知可得，．AB x =AD =PE x =故四棱锥的体积．P ABCD -31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=由题设得，故．31833x =2x =从而，，．2PA PD ==AD BC ==PB PC ==可得四棱锥的侧面积为P ABCD -21111sin 6062222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．解答本题时，（1）由，，得平面AB AP ⊥AB PD ⊥AB ⊥PAD 即可证得结果；（2）设，则四棱锥的体积，解得AB x =P ABCD -31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=，可得所求侧面积．2x =16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面P ABCD -PAD ABCD ，1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=︒（1）证明：直线平面;BC ∥PAD（2）若△的面积为，求四棱锥的体积.PCD P ABCD -【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD =∠ABC =90°，所以BC ∥AD .又，，BC PAD ⊄平面AD PAD ⊂平面故BC ∥平面PAD .（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由及BC ∥AD ，∠ABC =90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .12AB BC AD ==因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为，所以PM ⊥CM .CM ABCD ⊂底面设BC =x ，则CM =x ，CD ，PM ，PC =PD =2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以.PN x =因为△PCD 的面积为，所以，12x =解得x =−2（舍去），x =2，于是AB =BC =2，AD =4，PM =，所以四棱锥P −ABCD 的体积.()224132V ⨯+=⨯⨯=【名师点睛】解答本题时，（1）先由平面几何知识得BC ∥AD ，再利用线面平行的判定定理证得结论；（2）取AD 的中点M ，利用线面垂直的判定定理证明PM ⊥底面ABCD ，从而得四棱锥的高，再通过平面几何计算得底面直角梯形的面积，最后代入锥体体积公式即可.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】如图，四面体ABCD 中，是正三角形，AD =CD ．△ABC（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE △ACD 与四面体ACDE 的体积比．【答案】（1）见解析；（2）1:1【解析】（1）取AC 的中点O ，连结DO ，BO .因为AD =CD ，所以AC ⊥DO .又由于是正三角形，△ABC 所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .（2）连结EO .由（1）及题设知∠ADC =90°，所以DO =AO .在中，.Rt △AOB 222BO AO AB +=又AB =BD ，所以，222222BO DO BO AO AB BD +=+==故∠DOB =90°.由题设知为直角三角形，所以.△AEC 12EO AC =又是正三角形，且AB =BD ，所以.△ABC 12EO BD =故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的，四面体ABCE 的体积为四面12体ABCD 的体积的，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1.12【名师点睛】解答本题时，（1）取的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质得，AC O OD AC ⊥，再根据线面垂直的判定定理得平面，即得AC ⊥BD ；（2）先由AE ⊥EC ，结合OB AC ⊥⊥AC OBD 平面几何知识确定，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.垂直、平行关系证明中12EO AC =应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18．【2017年高考北京卷文数】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：PA ⊥BD ；（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E –BCD 的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.13【解析】（1）因为，，所以平面，PA AB ⊥PA BC ⊥PA ⊥ABC 又因为平面，所以.BD ⊂ABC PA BD ⊥（2）因为，为中点，所以，AB BC =D AC BD AC ⊥由（1）知，，所以平面，PA BD ⊥BD ⊥PAC 所以平面平面.BDE ⊥PAC （3）因为平面，平面平面，PA ∥BDE PAC BDE DE =所以.PA DE ∥因为为的中点，所以，D AC 112DE PA ==BD DC ==由（1）知，平面，所以平面.PA ⊥ABC DE ⊥ABC 所以三棱锥的体积.E BCD -1163V BD DC DE =⋅⋅=【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.解答本题时，（1）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（2）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（3）由即可求解.13BCD V S DE =⨯⨯△19．【2017年高考天津卷文数】如图，在四棱锥中，平面，，，P ABCD -AD ⊥PDC AD BC ∥PD PB ⊥，，，．1AD =3BC =4CD =2PD =（1）求异面直线与所成角的余弦值；AP BC （2）求证：平面；PD ⊥PBC （3）求直线与平面所成角的正弦值．AB PBC【答案】（1；（2）见解析；（3．【解析】（1）如图，由已知AD //BC ，故或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．DAP ∠因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt△PDA 中，由已知，得AP ==故．cos AD DAP AP ∠==所以，异面直线AP 与BC ．（2）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD 平面PDC ，所以AD ⊥PD ．⊂又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．（3）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以为直线DF 和平面PBC 所成的角．DFP ∠由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2．又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt△DCF 中，可得DF ==在Rt△DPF 中，可得sin PD DFP DF ∠==所以，直线AB 与平面PBC ．【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点考查内容，而证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，而线线垂直又可通过线面垂直得到，用几何法求线面角，关键是找到斜线的射影，斜线与其射影所成的角就是线面角．解答本题时，（1）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，因为，所以AD BC ∥DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角，本题中AD ⊥PD ，进而可得AP 的长，所以；cos AD DAP AP∠=（2）要证明线面垂直，根据判断定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可；（3）根据（2）中的结论，作，连结，则为直线DF 和平面PBC 所成的角．DF AB ∥PF DFP ∠20．【2017年高考山东卷文数】由四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1−B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E 平面ABCD .⊥（1）证明：∥平面B 1CD 1;1AO （2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM 平面B 1CD 1.⊥【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）取的中点，连接，由于是四棱柱，11B D 1O 111,CO A O 1111ABCD A B C D -所以，1111,A O OC A O OC =∥因此四边形为平行四边形，11A OCO 所以，11A O O C ∥又平面，平面，1O C ⊂11B CD 1AO ⊄11B CD 所以平面.1AO ∥11B CD（2）因为，，分别为和的中点，AC BD ⊥E M AD OD 所以，EM BD ⊥又平面，平面，1A E ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以1,A E BD ⊥因为11,B D BD ∥所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又平面，，1,A E EM ⊂1A EM 1A E EM E = 所以平面11B D ⊥1,A EM 又平面，11B D ⊂11B CD 所以平面平面.1A EM ⊥11B CD 【名师点睛】证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行，应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．21．【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E A BCD -与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平面内，因为AB ⊥AD ，，ABD EF AD ⊥所以．EF AB ∥又因为平面ABC ，平面ABC ，EF ⊄AB ⊂所以EF ∥平面ABC ．（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面平面BCD =BD ，平面BCD ，，ABD BC ⊂BC BD ⊥所以平面．BC ⊥ABD 因为平面，AD ⊂ABD 所以．BC ⊥AD 又AB ⊥AD ，，平面ABC ，平面ABC ，BC AB B = AB ⊂BC ⊂所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC 平面ABC ，⊂所以AD ⊥AC ．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．22．【2017年高考浙江卷】如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CDBC AD ∥⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．PABC D E（1）证明：平面PAB ；CE ∥（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分.（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以且，EF AD ∥12EF AD =又因为，，所以BC AD ∥12BC AD =且，EF BC ∥EF BC =即四边形BCEF 为平行四边形，所以，CE BF ∥因此平面PAB ．CE ∥（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ ．因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ//CE ．由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC //AD 得BC ⊥平面PBN ，那么平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，CE ，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB 得QH =，14在Rt△MQH 中，QH=，MQ ，14所以sin ∠QMH ，所以直线CE 与平面PBC ．【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角．。
2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题12 推理与证明
专题十二 推理与证明（2019·全国Ⅱ文科）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． （2019·全国Ⅲ文科）记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由得即A （2，4），直线与直线均过区域D ，则p 真q 假，有假真，所以①③真②④假．故选A ．620x y x y +⎧⎨-≥⎩…D :(,),29p x y D x y ∃∈+…:(,),212q x y D x y ∀∈+…p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝2,6y x x y =⎧⎨+=⎩2,4x y =⎧⎨=⎩29x y +=212x y +=p ⌝q ⌝【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．（2019·北京文科）已知l ，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥；③l ⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. （2017山东）已知命题p ：；命题q ：若，则．下列命题为真命题的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】取，知成立；若，得，为假，所以为真，选B ．ααα,x ∃∈R 210x x -+≥22a b <a b <p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧0x =1p 22a b <||||a b =q p q ⌝∧(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．若，则， 而，所以， 与矛盾，所以，所以，， 所以，，故选B ．解法二 因为，， 所以，则，又，所以等比数列的公比．若，则， 而，所以 与矛盾，所以，所以，， 所以，，故选B ．(2018北京)设集合则 A ．对任意实数，B ．对任意实数，1a 2a 3a 4a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >13a a <24a a <13a a >24a a <13a a <24a a >13a a >24a a >ln 1x x -≤0x >1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <1xe x +≥1234123ln()a a a a a a a +++=++123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤a (2,1)A ∈a (2,1)A ∉C ．当且仅当时，D ．当且仅当时， 【答案】D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A ；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B ；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C ，故选D ．解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D ．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，0a <(2,1)A ∉32a ≤(2,1)A ∉(2,1)1x y -=4ax y +=(0,4)a -0a ≠2x ay -=(2,0)1a2x ay -≤4ax y +>4ax y +=2x ay -=4ax y +=0a ->4ax y +>(2,1)(2,1)(0,4)32-32a -<-32a >4ax y +>(2,1)2x ay -<(2,1)4ax y +=32a -=-32a =4ax y +>(2,1)(2,1)A ∈21422a a +>⎧⎨-⎩≤32a >32a ≤(2,1)A ∉*{|21,}A x x n n ==-∈N *{|2,}n B x x n ==∈N A B {}n a n S {}n a n 112n n S a +>n 2n*n ∈N {}n a {}n a 525212a =6382a =1n =1211224S a =<=2n =2331236S a =<=3n =3461248S a =<=4n =45101260S a =<=26n == 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．(2018江苏)设，对1，2，···，n 的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为的全部排列的个数． (1)求的值；(2)求的表达式(用表示)．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，．(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以． 逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．为计算，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． 当时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2712516a =27n =52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2812a 112n n S a +>n *n ∈N 12n i i i s t <s t i i >(,)s t i i 12n i i i 12n i i i ()n f k k 34(2),(2)f f (2)(5)n f n ≥n ()abc τabc (123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，333(0)1(1)(2)2f f f ===，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=n (4)n ≥12n ⋅⋅⋅(0)1n f =12n ⋅⋅⋅(1)1n f n =-1(2)n f +1n +1n +1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+5n ≥112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…， 因此，时，．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以，②当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，此时，，满足题意． 所以．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D （2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=5n ≥(2)n f =222n n --,,a b c 2,,,c a b c a b c >>>∈N 84a b >>>max 6b =min 1c =21a b >>>a b ∈N a b min 2c =42a b >>>a b ∈N a b min 3c =63a b >>>5a =4b =12a b c ++=k {}n a 11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=n ()n k >{}n a ()P k（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时，，所以， 因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，①当时，.② 由①知，，③，④将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列．（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； {}n a (3)P {}n a (2)P (3)P {}n a {}n a d 1(1)n a a n d =+-n 4≥n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=1,2,3,k =n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6{}n a (3)P {}n a (2)P (3)P 3n ≥n n n n n a a a a a --+++++=211244n ≥n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+n n n a a a -++=1124n ≥345,,,a a a d'4n =235644a a a a a +++=23a a d'=-3n =124534a a a a a +++=122a a d'=-{}n a {}n x 11x =11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N n ∈*N 10n n x x +<<1122n n n n x x x x ++-≤（Ⅲ）． *根据亲们所在地区选作，新课标地区（文科）不要求． 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 当时， 假设时，，那么时，若，则，矛盾，故． 因此所以 因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为所以得 由得 121122n n n x --≤≤0n x >1n =110x =>n k =0k x >1n k =+10k x +≤110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤10k x +>0n x >()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>10n n x x +<<()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥()f x [0,)+∞()(0)f x f ≥2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤112n n x -≥1122n n n n x x x x ++-≥111112()022n n x x +-->≥所以故综上， ．12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥212n n x -≤1211(N )22n n n x n *--∈≤≤。
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语第二讲 常用逻辑用语1.（2019北京文6） 设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2.（2019天津文3）设，则“”是“”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.（2019浙江5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.（2019全国Ⅲ文11）记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„.下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④5．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2018天津)设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（ ）x R ∈05x <<11x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件9．（2017天津）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝⌝∧11．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案1.解析 若0b =，则()cos f x x =是偶函数；反之，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()cos sin cos sin cos sin x b x x b x x b x -+-=-=+，即sin 0b x =对x ∀成立， 可得0b =，故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.故选C.11-<，得02x <<，因为05x <<不能推出02x <<， 但02x <<可以推出05x <<，所以05x <<是02x <<的必要不充分条件， 即0x <<11-<的必要不充分条件. 故选B ．3.解析 因为a ＞0，b ＞0，若a +b ≤4，则4a b +，则4ab „，即44a b ab +⇒剟.反之，若4ab „，取1a =，4b =，则44ab =„，但5a b +=， 即4ab „推不出a +b ≤4，所以a +b ≤4是4ab „的充分不必要条件.故选A ． 4.解析 作出不等式组620x y x y +⎧⎨-⎩……的平面区域如图阴影部分所示.由图可知，命题():,,29p x y D x y ∃∈+…；是真命题，则p ⌝假命题； 命题():,,212q x y D x y ∀∈+„是假命题，则￢q 真命题； 所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：p q ∨真； p q ⌝∨假；●p q ∧⌝真；❍p q ⌝∧⌝假； 故答案 ●正确．故选A ．5．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．6．B 【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b da c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a cb d=，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ．7．A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“38x >”是“||2x >”的充分而不必要条件，故选A ． 8．A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a，即1110--=<a a a ，解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a<”的充分非必要条件．故选A ．9．B 【解析】由20x -≥，得2x ≤，由|1|1x -≤，得02x ≤≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件．选B ．10．B 【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真，选B ．11．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．12．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．。
(2021年整理)2017-2019三年高考数学(文科)分类汇编专题06立体几何(解答题)
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专题06 立体几何(解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离． 【答案】(1）见解析；（2417。
【解析】(1)连结1,B C ME 。
因为M ,E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥,且112ME B C =。
又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥,故=ME ND ∥, 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥。
又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . (2)过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离, 由已知可得CE =1，C 1C =4,所以117C E =，故41717CH =.从而点C 到平面1C DE 的距离为41717.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中,注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解. 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2)若AE =A 1E ，AB =3,求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥,所以BE ⊥平面11EB C ． （2）由(1）知∠BEB 1=90°。
三年高考2017 2019高考数学真题分项汇编专题11平面向量文含解析
平面向量专题11)b(a??2|b||a|?babab，且20191．【年高考全国I卷文数】已知非零向量与，的夹角为满足，则ππ． A ． B36ππ52．． DC63B【答案】21||ba?b??)ba?(2?cos b??a?b(a?b)?b2b?bb?a?，，所以【解析】因为所以，=，所以=0 22b|?b2|aπba，故选B与．的夹角为所以3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹[0,?]．角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为abab|= ，则|3)，-=(3，【2．2019年高考全国II卷文数】已知向量2)=(2，． B．A2 2 D． 5 ．50C2A【答案】1,1)(?a?b?(2,3)?(3,2)?【解析】由已知，，222?1??b|(?1)|a?，所以A.故选【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．ABC△BC EAD AD为的中点，则3．【2018年高考全国I卷文数】在边上的中线，中，为?EB3113AB??ACACAB B ．A ．44443131AC?AB?ABAC．．C D4444A【答案】111111??ACBA?BCBA???BE???BABDBA【解析】根据向量的运算法则，可得4242221113131BA?BA?AC?BA?ACEB?AB?AC?，故选A. ，所以2444444【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的. 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算a?)?ba?(2a|a|?11?b?ba?，，满足，则II4．【2018年高考全国卷文数】已知向量3 B4 ．A．0 D2 ．．C B【答案】????2231?2??2aa?b?2|a|???1a?2a?b?B.【解析】因为所以选【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学.运算πeabeea，向量，与是平面向量，的夹角为5．【2018年高考浙江卷】已知是单位向量．若非零向量，32baebbb?·的最小值是+3=0满足，则|?4|+1 1 ．AB．?33?D．C2 ．23A 【答案】，得【解析】设，则由a b 2距离的因此|?|的最小值为圆心到直线 bbe得由4?·+3=0323= A. 选1减去半径，为2【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的．选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. OM?1,ON?2,?MON?120,中，已知形年2018高考天津卷文数】在如图的平面图6．【BC·OM,?2NABM?2MA,CN的值为则915?? A．B．6?0．．DC C【答案】 MN 可知点分别为线段，，由靠近点上的三等分点，则【解析】如图所示，连结，，由题意可知：. 结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．a b?+b=aa b，满足II．7【2017年高考全国卷文数】设非零向量，则a a=b b．A⊥ B．a a?bb．D ∥C．A【答案】a b的模长为边长的平行四边形是矩形，从，【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a b A.故选⊥.而可得.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直??0<m?m?nn n,m，使得8．【2017年高考北京卷文数】设为非零向量，则“存在负数”的”是“．必要而不充分条件．充分而不必要条件 BA ．充分必要条件C ．既不充分也不必要条件D A【答案】n,m???mn cos180m?n???n0?m?180?，则两向量，使【解析】若反向，夹????,18090??n?mm?n?0，，并不一定反向，即不一定存在负数若，角是，那么0?mn?；使得，那么两向量的夹角为A.所以是充分而不必要条件，故选.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题a b?ab mm，则），且=（–4，3），．=（6，=__________20199．【年高考北京卷文数】已知向量8【答案】，bm)，a?ba?(?4,3),?(6,8?0，m?，b?0?4?6?3ma?.则【解析】向量【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想.的应用.属于容易题8,6)b??(a?(2,2),?b cos a,___________.10．【2019，则III卷文数】已知向量年高考全国2?【答案】10???2??2?86a?b2???cos a,b?【解析】．10b|a|||?22226?22??(?8)【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．ABCD AD∥BC,AB?23,AD?5,?A?30?，点中，2019．11【年高考天津卷文数】在四边形CB AE?BEE，则_____________．在线段的延长线上，且??AEBD?1【答案】AB?23,AD?5,DAB = °，【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠．5353,0)B(2),D(. 则，22BC??ABE?30AD?30?BAD?因为，∥，所以，BEAE???BAE?30，所以，因为33BE3)?2y?(x的斜率为所以直线，其方程为，3333AE x??y?. ，其方程为的斜率为直线33?33),?2y?(x??31?y??，得由，3x?3?x?y??3?1)E(?3,.所以53,)(3,?BDAE?(1)??1. 所以22【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标.方法更为方便OABC△CEEAEABBEADBCD.在边上，=2的中点，交于点，在年高考江苏卷】【12．2019如图，与中，是AB的值是，则_____. 若ECACAB??AO6?AC3.【答案】．ODEAAOBFDFDCEABFBEEADBCFE//,，交的中点，知于点，由=【解析】如图，过点作=2=，=为3??????AEACAB6AOEC??3AEADAC??AC?，211133??????22??ABAB?ACABAC?AB???ABACACAC????32323????31213??2222AC?AC??ACAB?ABAC?AB?ABABAC?，??22332??AB1322,?3ACAB3AC?,?AB故即得AC22【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素..采取几何法，利用数形结合和方程思想解题养?4,5,6)2,3,i?1,(ABCD??时，1的边长为，当每个取遍年高考浙江卷】已知正方形13．【2019i??????BD?|AC|AB?BC?CD?DA?的最小值是________；最大值是_______.63251425.；【答案】0AB, AD xy.轴建立平面直角坐标系，如图轴、分别为【解析】以．1,1)(?1),AC?(1,1),BD?BC?(0,1),CD?(?1,0),DA?(0,?AB?(1,0),, 则令22 ??????????????????0??AB?BC??CD??DA??AC?BD?????y651522364361450.?4,5,6)i(?1,2,3,1?可取遍又因为，i??????0y?????1??1,?. 时，有最小值所以当min423615????????????????1?1??因为，的取值不相关，和或66532145??????????????y和分别取得最大值时，所以当有最大值，514532.时，有最大值所以当??????1?1,??????225220?4??y?2435612max52. ；故答案为0【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道.向量和不等式的综合题????????2c+aba=∥b=2,?21,2c=1,λ?? 14．【2018年高考全国．________，，，若III卷文数】．已知向量则1【答案】211??????4,2?2a?b???λ2a+1,cb=c ∥0?2?4?，即. ，，，【解析】由题可得，故答案为22【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.a?(ma?b)mmab=_________.，则若,）1,?（=，）1,0（=年高考北京卷文数】设向量2018【．15．【答案】，【解析】，.，由，即得：yxxybxybabyax?，=0)(+≠=(0)【名师点睛】如果，则=(，的充要条件是)，．22211121轴上的两个动，、是．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、16FEy????02B?1，0，A___________．，则点，且的最小值为BFAE?2|EF?|-3【答案】baFE）（0【解析】根据题意，设，（0，；），2??EFb?a；∴abba+2；=+2，或∴ =????b?，BF?AE?1,a2,；且AE?BF??2?ab；∴??22b?b?b?22?bAE?BF??2??ba；=时，+2当?8?42??3bb；2﹣∵的最小值为+2 4AE?BFAE?BF ab的最小值为﹣3=．∴+2时，的最小值为﹣3，同理求出故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．??5,0B x:y?2lxOy A，为直线2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，上在第一象限内的点，17．【AB?CD?0Cl AABD的横坐标为交于另一点___________．若与直线．，则点以为直径的圆【答案】3a?5????0)a,2a?(aA,Ca,C AB易得，则由圆心【解析】设中点得为??2??????????1,2D?0?a?yay?2C:x?5x1,?xx?2yD.，与所以的横坐标所以联立解得点Da?5????,CD?1?,2?a?a?AB5?,2a，??2??5?a????????23??0,aa?2a???2a32a5??1?a?0,1?a?由得或，0??CDAB??2??3.?0a?a 因为，所以【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解.等相结合的一类综合问题.决这类问题的一般方法ba?)?2,3),b?(3,m a?(m=________III2017年高考全国卷文数】已知向量．，且，则18．【2【答案】0,3m???2?3?a?b?02m?.【解析】由题意可得解得??yxb?xy?a∥b??R,aba∥,b?0??,1）向量平行：，【名师点睛】（1122?1?OC?OA?OBBA??AC. ???1?10y?xx?y?b?a?b?0?a.2）向量垂直：（221122b,|cos aab?||?|b?x?x,yy),a?|a|,a?(a?b?.）向量的运算：3（2121m a m baab+=________与．，2），垂直，=（1，）．若向量I19．【2017年高考全国卷文数】已知向量则=（–17【答案】0a??(a?b)a?b?(m?1,3)7m?0?2?3?(m?1)?，因为，所以．，解得【解析】由题得yy ab xx ba xyxy b?的充要条件是【名师点睛】如果=(，则，．)，=(=0，+)(≠0)21212121与，，，，的模分别为1，1年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量20．【2017OAOB2OAOC?m?n??R m,n?)(ant则，的夹角为的夹角为且=7，与若 5°．，?OBAOOOBmC?nOCOC___________．3【答案】227?7?tan???cos?sin，根据向量的分解，【解析】由可得，1010． ?22n?m?2??5n?m?10??2cos45??m cos?n57??210m?,n???，，即，即，即得易得?5n?7m?0?440?m??sin n sin45?227???n?m?0?210?3m?n?．所以【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．?2,a?b?a?1,ba?b ba的最小值是________已知向量满足，，最大值则21．【2017年高考浙江卷】是___________．25，【答案】422ba,???4cos5?2?cos?2??2?1ba??1?，，则【解析】设向量的夹角为22??4cos5?cos???2?1?2a?b?1?2，??4cos54cos???a?b?5?a?b，则??22???16,20??225?16cos y?104cos?5?4cos?y?5，，则令?????16???a20?aa?b??b25,b4a?b?，据此可得：minmax ba?a?b?25．4 ，最大值是的最小值是即ba?4co?bb?a??a??，结合模长公式，可得的夹角为【名师点睛】本题通过设向量?4cos?5，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．∠A?60?AB?3AC?2ABC△?年高考天津卷文数】22．【2017在，中，若，，．C2DB?D?ACAE???)(AB R?的值为________．，且，则4??ADAE?3【答案】111212AB?ACAD?AE?(AB??AB?AC?3?2?cos60?3,AD?AC)，则【解析】由题可得3333??1223??????4?9??3?AC?AB)?3??4?(．333311【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用AB,AC已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中???∥ba),1(?ba________．, ,若23．【2017年高考山东卷文数】已知向量（=2,6）,则=?3【答案】????2?3.∥b?1?6?a可得【解析】由【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：a xy b＝,,利用“若＝(),（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时11a∥b xyxyxy”解题比较方便．,),则( 的充要条件是＝122122a共线的向量时,,在求与一个已知向量可设所求向量（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地aa即可得到所求的向量．的值后代入求出λλ的方程R为λ(λ∈),然后结合其他条件列出关于λ,→→ABCABAC共线与. 3（）三点共线问题．,,三点共线等价于。