浙江省2018年【含近9年中考真题试题】中考数学第三单元函数第15课时二次函数综合题

第一部分 考点研究 第三单元 函数 第15课时 二次函数综合题 浙江近9年中考真题精选（2009-2017） 命题点 1 与一次函数结合(杭州必考) 1．(2013杭州20题10分)已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点A、B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A、C在一次函数y2

＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围． 2．(2014杭州23题12分)复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k是实数)． 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上． 学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条： ①存在函数，其图象经过(1，0)点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法． 3．(2016杭州22题12分)已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)．在同一平面直角坐标系中． (1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值； (2)若函数y2的图象经过y1的图象的顶点． ①求证：2a＋b＝0；

②当14．(2017杭州22题12分)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式； (2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m围． 命题点 2 与几何图形结合 类型一 与线段有关的综合题(温州2012.24) 5．(2012温州24题14分)如图，经过原点的抛物线y＝－x2＋2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合)．连接CB，CP. (1)当m＝3时，求点A的坐标及BC的长； (2)当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP? (3)过点P作PE⊥PC且PE＝PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并求出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

第5题图 类型二 与角度有关的综合题(绍兴2考) 6．(2013绍兴24题14分)抛物线y＝(x－3)(x＋1)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D为顶点．

(1)求点B及点D的坐标； (2)连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E. ①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标； ②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标． 类型三 与面积有关的综合题(温州2考) 7．(2016温州23题10分)如图，抛物线y＝x2－mx－3(m>0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交

y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC. (1)用含m的代数式表示BE的长； (2)当m＝3时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由； (3)作AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G. ①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值． ②连接AE，交OB于点M.若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是________．

第7题图 类型四 与三角形相似有关的综合题

8．(2017宁波25题12分)如图，抛物线y＝14x2＋14x＋c与x轴的负半轴交

于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C(6，152)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D. (1)求c的值及直线AC的函数表达式； (2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．

①求证：△APM∽△AON； ②设点M的横坐标为m，求AN的长(用含m的代数式表示)．

第8题图 答案

1．解：∵点C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段OC长为8， ∴n＝±8；(2分) ①当n＝8时一次函数为y2＝43x＋8，y＝0时，x＝－6，求得点A的坐标为A(－6，0)，

第1题解图① ∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16， ∴这时抛物线开口向下，B(10，0)， 如解图①所示，抛物线的对称轴是x＝2，由图象可知：当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2；(5分)

②当n＝－8时一次函数为y2＝43x－8，y＝0时，x＝6，求得点A的坐标为A(6，0)，

∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16， ∴这时抛物线开口向上，B(－10，0)， 如解图②所示，抛物线的对称轴是x＝－2，由图象可知：当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≤－2；(8分)

第1题解图② 综上所述，当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2或x≤－2.(10分) 2．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题；④是真命题．(2分) 理由如下： ①当k＝0时，原函数变形为y＝－x＋1，当x＝1时，y＝0，即存在函数y＝－x＋1，其图象过(1，0)点，故是真命题； ②当k＝0时，原函数变形为y＝－x＋1，图象为直线且过第一、二、四象限，与坐标轴只有两个不同的交点，与总有三个不同交点矛盾，故是假命题；(5分)

③由题可知当k＝1时，函数解析式为y＝2x2－5x，又x＝－b2a＝54>1时，由图象可知当x>1时，y随x先减小再增大，故是假命题；(8分) ④当k≠0时，y＝4ac－b24a＝－24k2＋18k， 当k>0时，函数图象开口向上，y有最小值，最小值为负数； 当k<0时，函数图象开口向下，y有最大值，最大值为正数，故是真命题．(12分)

3．(1)解：由题意，得a－b＝0a＋b＝2，

解得a＝1b＝1， ∴a＝1，b＝1；(3分) (2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为(－b2a，－b24a)，

∴a(－b2a)＋b＝－b24a，即b＝－b22a， ∵ab≠0，∴－b＝2a， 即证2a＋b＝0；(7分) ②解：∵b＝－2a，∴y1＝ax(x－2)，y2＝a(x－2)， ∴y1－y2＝a(x－2)(x－1)， ∵1＜x＜32， ∴x－2＜0，x－1＞0，∴(x－2)(x－1)＜0， ∴当a＞0时，a(x－2)(x－1)＜0，即y1＜y2， 当a＜0时，a(x－2)(x－1)＞0，即y1＞y2.(12分) 4．解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)， ∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分) 化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1， ∴y1＝x2－x－2；(4分) (2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)， ①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时， 把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中， 得a2＝b；(6分) ②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时， 把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中， 得a2＋a＝－b；(8分)

(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m∴点Q离对称轴x＝12的距离比点P离对称轴x＝12的距离大，(10分)

∴|x0－12|<1－12， ∴05．解：(1)当m＝3时，y＝－x2＋6x， 令y＝0，得－x2＋6x＝0， ∴x1＝0，x2＝6， ∴A(6，0)． 当x＝1时，y＝5， ∴B(1，5)． ∵抛物线y＝－x2＋6x的对称轴为直线x＝3， 又∵B，C关于对称轴对称， ∴BC＝4；(3分) (2)过点C作CH⊥x轴于点H(如解图①)，

第5题解图① 由已知得∠ACP＝∠BCH＝90°， ∴∠ACH＝∠PCB， 又∵∠AHC＝∠PBC＝90°， ∴△ACH∽△PCB，

∴AHCH＝PBBC. ∵抛物线y＝－x2＋2mx的对称轴为直线x＝m，其中m＞1， 又∵B，C关于对称轴对称， ∴BC＝2(m－1)， ∵B(1，2m－1)，P(1，m)， ∴BP＝m－1， 又∵A(2m，0)，C(2m－1，2m－1)， ∴H(2m－1，0)， ∵AH＝1，CH＝2m－1，

∴12m－1＝m－12（m－1），

∴m＝32；(7分) (3)∵B，C不重合，∴m≠1. (Ⅰ)当m＞1时，BC＝2(m－1)，PM＝m， BP＝m－1.

(ⅰ)若点E在x轴上(如解图①)， ∵∠CPE＝90°， ∴∠MPE＋∠BPC＝∠MPE＋∠MEP＝90°，