广东省东莞市虎门镇成才实验学校2023年中考数学模拟试题9
2023年广东省东莞市中考三模数学试题(含解析)
2023年广东省东莞市中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．．．．．有一组数据：2，5，，下列结论错误的是（）．平均数为4B．众数为2D．极差是．计算()53x的结果是（A．41︒B9．如图，正方形ABCD形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，规律继续下去，则2023SA．202022⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．202122⎛⎫⎪⎪⎝⎭10．如图，在矩形ABCD中，AB点D．设运动的路程为x，ADP∆．．C．D．二、填空题16．如图，点A是反比例函数C，AC交反比例函数2yx=的图象于点________．(1)用尺规作BC边的垂直平分线：（保留作图痕迹，不写作法）(2)若BC边的垂直平分线交AC于D21．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个）x(1)求证：GD 是O 的切线；(2)求证：2AD AB AG =⋅；(3)若6CD =，8AD =，求cos ABC ∠的值．25．如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣1，﹣5），B （0，﹣4）两点且与x 轴交于点C ，二次函数y ＝ax 2+bx +4的图象经过点A 、点C ．（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；（2）连接OA ，求∠OAB 的正弦值；（3）若点D 在x 轴的正半轴上，是否存在以点D ，C ，B 构成的三角形与△OAB 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：则四边形AHED 为矩形，∴HE AD =，∵AE BF ⊥，∴∠BOE 为直角，则HOE ∠为钝角，由①已证AE BF ⊥可知，EOB ∠又∵90BCE ∠=︒，∴四边形BCEO 的对角互补，则点B C E O 、、、四点共圆，∴EBC EOC ∠=∠．∵1122EC CD BC ==，AB AC =+．【详解】（1）解：如图，DE 即为所求；（2）DE 是BC 边的垂直平分线，BD DC ∴=，3AB = ，7AC =，ABD ∴ 的周长3710AB BD AD AB AC =++=+=+=．【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．21．（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1．【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C ”与“E ”的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）56÷20%=280（名），答：这次调查的学生共有280名；（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），补全条形统计图，如图所示，根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，∵D是 BC的中点，⊥，OD平分BC，∴OD BC∥，∵DM BC⊥，∴DM OD的切线；∴GD是O（2）证明：∵D是 BC的中点，∵C（4，0），B（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形，∴BC＝22+B C＝24400+BC＝22，∴OH＝12由点O（0，0），A（﹣1，﹣。
2023年广东中考数学试卷真题（含答案解析）
2023年广东中考数学试卷真题（含答案解析）2023年广东中考数学试卷真题（含答案解析）数学的知识巩固也可与生活联系，让学生的思维进入日常学习、工作和生活中，更加深刻地认识到三角形所具备的稳定性是和生活应用息息相关的。
下面是小编为大家整理的2023年广东中考数学试卷真题，希望对您有所帮助!2023年广东中考数学试卷真题2023年广东中考数学试卷答案如何培养学生的数学思维能力调动学生内在的思维能力一要培养兴趣，让学生迸发思维。
教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。
二要分散难点，让学生乐于思维。
对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维。
三要鼓励创新，让学生独立思维。
鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质;鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展。
当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。
以上个人观点，不当之处，敬请批评指正。
四、引导学生养成善于思维的习惯要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。
数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。
在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。
克服学生定势思维的形成，培养学生发散思维的灵活性在初中的数学教学中，讲了一种类型的题目以后，教师往往喜欢用大量的同类型的题目给学生练习，这对巩固知识、形成技能来说当然是必要的，但是，这样做也会带来一定的副作用，也就是说很容易让学生形成定势思维，考虑问题单一化，从而影响学生学习数学的质量。
因为在这种练习中，用的是同一思路、同一方法，解决的是同一类型的问题，这就容易产生固定不变的思维模式和思维框架，造成心理上的思维定势。
2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校九年级(上)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是()A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.3.若一元二次方程有实数根，则a的取值范围是()A. B. C. D.4.二次函数向左平移2个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是()A. B. C. D.5.用配方法解方程，变形后的结果正确的是()A. B. C. D.6.虎外初三A组有x支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()A. B. C. D.7.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为()A. B. C. D.8.函数与在同一坐标系内的图象是图中的()A. B.C. D.9.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个10.若，且，，则()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，共19分。
11.一元二次方程化为一般形式为______.12.若，y是x的二次函数，则______.13.已知，是方程的两个实数根，则______.14.如图，抛物线与直线交于，两点，则关于x的一元二次方程的解是______.15.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是______.16.已知抛物线与x轴的交点坐标为，，当时，y的最大值为12，则该抛物线的解析式为______.三、解答题：本题共9小题，共66分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分解方程：；18.本小题6分已知关于x的一元二次方程求证：无论k取何值，该方程总有实数根；已知是方程的一个根，求k的值.19.本小题6分已知抛物线，解答下列问题：用配方法将该函数解析式化为的形式；请指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.填空：开口方向：______，顶点坐标：______，对称轴：______.20.本小题7分华为手机王者归来，遥遥领先，mate系列火爆销售中.据调查，2021年华为mate系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台.求华为手机mate系列销售量的年平均增长率；如果保持此增长率，2024年华为手机mate系列销售量能否超过2000万台？21.本小题7分如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，其中，求二次函数的解析式；若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标.22.本小题7分在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同．求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x米，请列出方程，不做解答．求方案二中扇形的半径；其中，结果保留根号你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．23.本小题9分如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为求二次函数的解析式和直线BD的函数解析；根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围______.是线段BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值.24.本小题9分某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：售价元/件606570销售量件140013001200求出y与x之间的函数表达式；不需要求自变量x的取值范围该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？25.本小题9分如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点求抛物线的解析式：设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、是分式方程，故B不符合题意；C、是二元二次方程，故C不符合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意．故选：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.【答案】B【解析】解：抛物线的解析式为，抛物线的顶点为故选：根据抛物线的性质，即可得出结论．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记抛物线的性质．3.【答案】A【解析】【分析】此题考查了一元二次方程为常数，根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．首先得出根的判别式，进一步求得不等式的解集得出答案即可．【解答】解：一元二次方程有实数根，，即，故选：4.【答案】D【解析】解：抛物线，它的顶点坐标是将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是，所以新抛物线的解析式是：故选：根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5.【答案】C【解析】解：方程，整理得：，配方得：，即，故选：方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为，共比赛了15场，，故选：先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．7.【答案】A【解析】解：，，是抛物线上的三点，，，，故选：把点的坐标分别代入可求得，，的值，比较大小可求得答案．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：A、由二次函数的图象可得：，，由函数的图象可得：，，函数与的与坐标轴的交点是同一点，错误；B、由二次函数的图象可得：，，由函数的图象可得：，，错误；C、由二次函数图象可得：，，由函数的图象可得：，，函数与的与坐标轴的交点是同一点，正确；D、由二次函数的图象可得：，，由函数的图象可得：，，错误．故选：可先根据函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．此题考查了二次函数与一次函数的图象，应该熟记正比例函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9.【答案】C【解析】解：①抛物线开口向下，，对称轴直线，即，抛物线交y的正半轴，，，所以①错误；②抛物线与x轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和之间．即当时，，所以②正确；③抛物线与x轴有两个不同交点，，因此③正确；④抛物线的对称轴是直线，即，，因此④正确；综上所述，正确的结论有②③④，共3个故选：根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，进而得到当时，，于是可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对③进行判断，利用抛物线的对称轴为直线，即，可对④进行判断．本题考查二次函数的图象和形状，掌握抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标以及抛物线与x轴交点的与个数二次函数的系数a、b、c之间的关系是正确解答的关键．10.【答案】B【解析】解：将变形得：，又，与为方程的两个解，则故选：将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到m与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值．此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，，则有，11.【答案】【解析】解：，去括号：，移项得：，合并得：故答案为：通过移项即可得到一元二次方程的一般形式．本题考查了一元二次方程的一般形式：，属于基础题．12.【答案】3【解析】解：是关于x的二次函数，且，解得或舍去故答案为：根据二次函数的定义求解．本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为13.【答案】3【解析】解：，是方程的两个实数根，根据根与系数的关系有：，，所以故答案为：首先根据根与系数的关系求出，，然后将变形，再将，代入即可．本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用．14.【答案】或【解析】解：点A，B横坐标分别为，3，关于x的一元二次方程的解是或故答案为：或由图象可得出答案．本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．15.【答案】14【解析】解：解方程得：或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，，此时不符合三角形三边关系定理；当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为，故答案为：先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．16.【答案】或【解析】解：抛物线与x轴的交点坐标为，，对称轴是直线，又当时，y的最大值为12，①当时，抛物线的顶点坐标是故设抛物线的解析式为把点代入，得，解得，故该抛物线的解析式为②当时，由于，所以过才是最大值，可得故答案为：或根据抛物线与x轴的交点坐标知道该抛物线的对称轴是直线，又由当时，y的最大值为12；①当时，该抛物线的顶点坐标是由此可设抛物线的解析式为把点代入即可求得a的值．②当时，才是最大值，将点坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．17.【答案】解：，，，；，，，，，，【解析】根据直接开方法即可求出答案；根据配方法即可求出答案；本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18.【答案】证明：在关于x的一元二次方程中，，无论k取何值，该方程总有实数根；解：把代入方程，得，解得，所以k的值为【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出无论k取何值，该方程总有实数根；把代入方程，即可求出k的值．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法．19.【答案】向上直线【解析】解：；，，，该函数图象的开口向上；顶点坐标是；对称轴是直线；故答案为：向上，，直线先提2，然后利用配方法将二次函数化为的形式；根据二次函数的二次项系数判断该函数图象的开口方向，由二次函数的顶点式找出其顶点坐标、对称轴．本题主要考查的是二次函数的一般形式的关系式与顶点式关系式的转化方法，及二次函数的性质．20.【答案】解：设华为手机mate系列销售量的年平均增长率为x，根据题意得：，解得：，不符合题意，舍去答：华为手机mate系列销售量的年平均增长率为；根据题意得：万台，，如果保持此增长率，2024年华为手机mate系列销售量能超过2000万台．【解析】设华为手机mate系列销售量的年平均增长率为x，利用预计2023年华为mate系列全年销售量年华为mate系列全年销售华为手机mate系列销售量的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；利用2024年华为mate系列全年销售量年华为mate系列全年销售华为手机mate系列销售量的年平均增长率，可求出2024年华为手机mate系列销售量，再将其与2000万台比较后即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．21.【答案】解：把，代入中，得，，二次函数解析式为；当时，则，解得或，，，，，，，，，当时，解得，即；当时，解得或，即或；综上所述，点P的坐标为或或【解析】利用待定系数法求解即可；先求出点B的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可．本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．22.【答案】解：设小路的宽为xm，则；四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为xm，故有，解得答：扇形的半径为；设计方案如图所示：【解析】按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径；答案不唯一，发挥想象，符合要求即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用了矩形和圆的面积公式解决问题，是一道开放性很强的题目，能够激发学生的学习兴趣，同时培养了他们的创新思维能力．23.【答案】或【解析】解：抛物线的顶点C的坐标为，可设抛物线解析式为，点在该抛物线的图象上，，解得，抛物线解析式为，即，点D在y轴上，令可得，点坐标为，可设直线BD解析式为，把B点坐标代入可得，解得，直线BD解析式为；，，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是或，故答案为：或；设P点横坐标为，则，，，当，PM长度的最大值为可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值．本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．24.【答案】解：设y与x之间的函数关系式为，，解得，，即y与x之间的函数表达式是；，解得，，，尽量给客户优惠，这种衬衫定价为70元；由题意可得，，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，，，解得，，当时，w取得最大值，此时，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．【解析】根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．25.【答案】解：抛物线经过，两点，解得抛物线的解析式是；设，对于抛物线令，则，，，即解得，点P的坐标是或存在，使，点P的坐标是，理由：在x轴的正半轴上取点，连接BE，过点A作交抛物线于另一点P，，，，，在和中，，≌，，，，，，，，，设直线BE的解析式为，把，代入得，解得：，直线BE的解析式为，，设直线AP的解析式为，将代入得，解得：，直线AP的解析式为，由，解得：，不符合题意，舍去，【解析】利用待定系数法确定函数解析式；根据图形得到：，即运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可；在x轴的正半轴上取点，连接BE，过点A作交抛物线于另一点P，易证≌，利用已知条件可求出，，进而求出直线BE，直线AP的解析式，求两条直线的交点即可．本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用．。
广东省东莞市虎门镇成才实验学校2023年中考数学模拟试题4
数学模拟试卷(四)(满分：120分，时间：90分钟)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021·云南)某地区2021年元旦的最高气温为9 ℃，最低气温为－2 ℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低()A ．7 ℃B ．－7 ℃C ．11 ℃D ．－11 ℃2．(2022·安徽)一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是()A .B .C .D .3．(2022·安徽)据统计，2021年我省出版期刊总印数3 400万册，其中3 400万用科学记数法表示为()A ．3.4×108B ．0.34×108C ．3.4×107D ．34×1064．下列说法正确的是()A ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是s 2甲＝0.4，s 2乙＝0.6，则甲的射击成绩较稳定C ．“明天降雨的概率为12”，表示明天有半天都在降雨D ．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式5．(2022·吉林长春)实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．a ＜bC ．b －1＜0D ．ab ＞06. 二次函数y ＝x 2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是()A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位7．(2022·河池)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中错误的是()A ．AB ＝AD B ．AC ⊥BD C ．AC ＝BD D ．∠DAC ＝ ∠BAC第7题图 第8题图 第9题图8．(2022·海南)如图，直线m ∥n ，△ABC 是等边三角形，顶点B 在直线n 上，直线m 交AB于点E ，交AC 于点F ，若∠1＝140°，则∠2的度数是()A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°9．(2022·海南)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ，分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点P ，画射线BP ，交AC 于点D ，若AD ＝BD ，则∠A 的度数是()A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°10．(2022·陕西)在同一平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4与y ＝2x ＋m 相交于点P (3，n )，则关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，2x －y ＋m ＝0的解为() A ．⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3C ．⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1 D ．⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－5二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．(2022·河池)若二次根式a －1有意义，则a 的取值范围是____.12．(2022·吉林)篮球队要购买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要_____元．(用含m 的代数式表示)13．(2022·长春)若关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则实数c 的值为____.14．(2022·海南)如图，射线AB 与⊙O 相切于点B ，经过圆心O 的射线AC 与⊙O 相交于点D ，C ，连接BC ，若∠A ＝40°，则∠ACB ＝____°.第14题图 第15题图15．(2022·陕西)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，BD ＝7.若M ，N 分别是边AD ，BC 上的动点，且AM ＝BN ，作ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则ME ＋NF 的值为______.三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．16.(1)计算：(－3)2×3－1＋(－5＋2)＋||－2；(2)解方程组：⎩⎨⎧2x －y ＝3， ①x ＋y ＝6. ②17．(2022·吉林)如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：BD＝CD.18．(原创)解方程：(1)x(x－2)＝2x－4; (2)x－2 0232－1＝0.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．(2022·江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．20．(2022·河池)为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的样本容量是____，圆心角β＝____度；(2)补全条形统计图；(3)已知红星中学共有1 200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？(4)若在这次竞赛中有A ，B ，C ，D 四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A ，C 两人同时参赛的概率.21.(2022·滨州)某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x (单位：元)的一次函数．(1)求y 关于x 的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．(2021·湘潭)如图，四边形ABCD 为矩形，E 为BC 边中点，连接AE ，以AD 为直径的⊙O交AE 于点F ，连接OC ，FC ，OC 交⊙O 于点G .(1)若∠COD ＝60°，AD ＝6，求DG ︵的长；(2)求证：四边形AOCE 是平行四边形；(3)求证：CF 是⊙O 的切线．23．(2022·牡丹江、鸡西)如图，已知抛物线y＝1a(x－2)(x＋a)(a>0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．(1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题：①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．。
2023年中考数学全真模拟卷(广东卷02 教师版)
【赢在中考黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（广东专用）第二模拟（本卷满分120分，考试时间为90分钟）一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。
每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）1．的相反数是（）A．B．2C．D．【答案】A【分析】先化简绝对值，再利用相反数定义求出答案.【详解】∵=2，∴的相反数是-2，故选：A.【点睛】此题考查绝对值的化简，相反数的定义，熟记化简方法及定义即可正确解答.2．把科学记数法表示，结果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：=；故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，则AB的长是（）.A．8B．1C．12D．4【答案】C【分析】根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，∴AB的长是12．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．4．一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（）A．15B．10C．4D．3【答案】B【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可．【详解】解：根据题意得：2÷20%=10（个），答：可以估算a的值是10；故选B．【点睛】考查了利用频率估计概率，解题关键是首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减；合并同类项系数相加字母及指数不变；同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．【详解】解：A、不是同类项不能加减，故A不符合题意；B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意故选：B．【点睛】本题考查了幂的运算、合并同类项法则等知识，熟记法则并根据法则计算是解题关键．6．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式．【详解】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1=5，∴BP⋅AB=5，∴AB=2.5，∴OA=3−2.5=0.5，由此可知直线l经过(0,0.5),(4,3)设直线方程为y=kx+b,则解得∴直线l解析式为y=x+.故选B【点睛】此题考查正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于做辅助线7．如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为()A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D【答案】A【详解】试题分析：根据△ABC≌△DEF可得：∠B的对应角为∠DEF，∠BAC的对应角为∠D，∠C的对应角为∠F.考点：三角形全等的性质8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，则，等腰直角三角形的底面积，体积=底面积×高，故选：B【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键．9．如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（）A．65°B．55°C．50°D．25°【答案】C【详解】试题解析：∵AD∥BC，∠EFB=65°，∴∠DEF=65°，∴∠DED′=2∠DEF=130°，∴∠AED′=180°-130°=50°．故选C．考点：1.平行线的性质；22.翻折变换（折叠问题）．10．如图抛物线的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴＜0，故④错误；∵OB=OC，∴OB=﹣c，∴点B坐标为（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，∴ac=b﹣1，故③正确；∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，∴2c=，∴2=，∴a=，故②正确；∵ac﹣b+1=0，∴b=ac+1，a=，∴b=c+1，∴2b﹣c=2，故①正确；故选C．点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数中自变量的取值范围是________．【答案】且【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不能为零解答；【详解】解：由二次根式的性质得：x≥0，由分式的分母不能为零的：x≠3，∴x≥0且x≠3，故答案为：x≥0且x≠3【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，掌握其有意义的条件是解题关键．12．不等式的解集是________．【答案】x＜4【分析】去分母，去括号，移项合并，最后系数化为1即可.【详解】解：,去分母得：3（x+1）<18-(x-1),去括号得：3x+3<18-x+1,移项合并得：4x<16,解得：x<4．故答案为：x<4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解法.13．若，则的值为__________.【答案】1949【分析】根据二次根式和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入代数式计算即可．【详解】解：∵∴x-9=0,y-4=0∴x=9,y=4将x=9,y=4代入得：9+4+（4×9+2×4）2=1949故答案为1949.【点睛】本题考查了二次根式和偶次方的非负性以及代数式求值，根据二次根式和偶次方的非负性求得x、y的值是正确解答本题的关键．14．小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的折线统计图，这6次成绩的中位数是_____．【答案】9.75【分析】将这组数有小到大排列，因为共有6个数，所以中位数为第3、4个数的平均数．【详解】由6次成绩的折线统计图可知：这6次成绩从小到大排列为：9.5，9.6，9.7，9.8，10，10.2，所以这6次成绩的中位数是：＝9.75．故答案为：9.75．【点睛】本题考查了中位数的定义，根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．15．如图，以半圆O的半径OA为直径作一个半圆，点C为小半圆上一点，射线AC交半圆O于点D，已知的长为3，则的长为________．【答案】6【分析】连接OC，OD，O'C，利用圆周角定理可得∠ACO=90°，进而证得O'C是△AOD 的中位线，由O'C∥OD，得，由弧长公式可得结论．【详解】解：如图，连接OC，OD，O'C，∵OA为的直径，∴∠ACO=90°，∵OA=OD，∴AC=CD，∵O'A=O'O，∴O'C是△AOD的中位线，∴O'C∥OD，∴，∴的长=，∴弧的长=．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了弧长计算公式的应用，求出的长=3是解答此题的关键．16．如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF ．若AF与PQ的夹角为，则_______°．【答案】56°【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α．【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，由作图知：AM是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠BAC＝34°，∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，∴∠AMQ＝90°−∠BAM＝90°−34°＝56°，∴α＝∠AMQ＝56°．故答案为：56°．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．17．如图，在矩形中，，，P是矩形内一点，沿、、、把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为_________；这个四边形周长的最小值为________.【答案】3026【分析】过点P作于点E，延长交于点F，证得四边形是矩形，得到，再利用面积相加得到阴影面积即可；利用勾股定理求得对角线AC的长，由得到当点P是对角线、的交点时，四边形的周长有最小值，即可计算四边形周长最小值.【详解】如解图①，过点P作于点E，延长交于点F，∵四边形是矩形，∴，.∴四边形是矩形.∴.又∵，∴；如解图②，连接，交于点，∵，，∴.∵，∴当点P是对角线、的交点时，四边形的周长有最小值.∴四边形周长的最小值为.故答案为：30，26.【点睛】此题考查矩形的判定及性质，最短路径问题，三角形的三边关系，勾股定理.题中最短路径问题是难点，解题中根据线段在同一直线上的思路使时周长最小来解题.错因分析较难题.失分的原因是：1.没有掌握矩形的性质；2.求拼接四边形周长最小值的时候没有联想到三角形的三边关系，两边之和大于第三边.三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】将分子和分母通分，将除法转化为乘法，再约分计算，同时计算加法，最后算减法，代入计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE=BE．(1)求证：△AEH≌△BEC．(2)若AH=4，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=2【分析】（1）先根据角的代换求得∠DAC=∠EBC，再由“ASA”可证△AEH≌△BEC；（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°，∴∠DAC=∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）解：∵△AEH≌△BEC，∴AH=BC=4，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2BD，∴AH=2BD=4，∴BD=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．20．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富再次给大家带来一堂精彩的太空科普课．某校组织全校学生同步观看，直播结束后，教务处随机抽取了名学生，将他们最喜欢的太空实验分成四组，组：太空“冰雪”实验；B组：液桥演示实验；C组：水油分离实验；D组：太空抛物实验，并得到如下不完整的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：学生最喜欢的太空实验人数统计表分组A组B组C组D组人数a1520b(1)________，________，________；(2)补全条形统计图；(3)若全校同步观看直播的学生共有800人，请估计该校最喜欢太空抛物实验的人数．【答案】(1)50；5；10；(2)见详解(3)160【分析】（1）根据频率=可求出n的值，进而求出a、b的值；（2）根据（1）中的频数即可补全条形统计图；（3）求出样本中，“喜欢太空抛物”的学生所占调查学生的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算相应的人数．【详解】（1）解：根据题意，；；；故答案为：50；5；10；（2）解：补全条形图如下：（3）解：该校最喜欢太空抛物实验的人数为：（人）；【点睛】本题考查条形统计图、统计表以及样本估计总体，掌握频率=是解决问题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.【详解】解：（1）过A点作于点D，∴，由题意可得，∴在中，，∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）在中，，∵，∴，在中，，即A，C之间的距离为79.50海里.【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．(1)求一次函数的解析式：(2)根据函数的图像，直接写出不等式的解集；(3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．（3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，∴，解得，∴，把A、B的坐标代入得，解得，∴一次函数的解析式为；（2）解：观察图象，不等式的解集为：或；（3）解：连接，由题意，，设，由题意，解得，∴或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．23．如图，在中，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，在AB边上取一点E，使得，连结CE，交⊙O于点F，且．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若⊙O的直径为4，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）因为AC是直径，所以只需证明BC⊥AC即可；（2）求弧长，需已知半径和该弧所对的圆心角的度数，而半径已知，所以只需求出圆心角的度数即可，为此，连接OD，设法求∠AOD的度数即可．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴．∴BC⊥AC．∴为的切线．（2）解：如图所示，连结，OD．∵为的直径，∴．∴，∴．∵∠ADC=∠ACB=90°，∴．∴．∴．∵，∴．设，则BE=2x，AB=BE+AE=2x+4．∴，解得，x1=2，x2=-4（不合题意，舍去）．∴．在中，∵，∴．∵，∴∠AOD=2∠ACD=60°．∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及推论、弧长公式等知识点，熟知切线的判定方法、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及推论是解决本题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，雪容融是2022年北京冬季残奥会的吉祥物，其以灯笼为原型进行设计创作，主色调为红色，面部带有不规则的雪块，身体可以向外散发光芒，某超市看好冰墩墩、雪容融两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查冰墩墩造型钥匙扣挂件进价每个元，售价每个16元；雪容融造型钥匙扣挂件进价每个元，售价每个18元．（注：利润率(1)该超市在进货时发现：若购进冰墩墩造型钥匙扣挂件10个和雪容融造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进冰墩墩造型钥匙扣挂件6个和雪容融造型钥匙扣挂件10个共需要200元．求，的值．(2)该超市决定每天购进冰墩墩、雪容融两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买冰墩墩造型钥匙扣挂件个，求有哪几种购买方案(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润（元取得最大值时，决定将售出的冰墩墩造型钥匙扣挂件每个捐出元，售出的雪容融造型钥匙扣挂件每个捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于．请直接写出的最大值．【答案】(1)的值是10，的值是14(2)有3种购买方案：①购买冰墩墩造型钥匙扣挂件58个，购买雪容融造型钥匙扣挂42个，②购买冰墩墩造型钥匙扣挂件59个，购买雪容融造型钥匙扣挂41个，③购买冰墩墩造型钥匙扣挂件60个，购买雪容融造型钥匙扣挂40个(3)1.8【分析】（1）由购进冰墩墩造型钥匙扣挂件10个和雪容融造型钥匙扣挂件5个需要共170元；购进冰墩墩造型钥匙扣挂件6个和雪容融造型钥匙扣挂件10个共需要200元，得，即可解得的值是10，的值是14；（2）根据题意得，可解得有3种方案；（3），由一次函数性质可得W最大为（元），再根据题意即可解答．（1）购进冰墩墩造型钥匙扣挂件10个和雪容融造型钥匙扣挂件5个需要共170元；购进冰墩墩造型钥匙扣挂件6个和雪容融造型钥匙扣挂件10个共需要200元，，解得，答：的值是10，的值是14；（2）根据题意得：，解得，为整数，可取58，59，60，有3种购买方案：①购买冰墩墩造型钥匙扣挂件58个，购买雪容融造型钥匙扣挂42个，②购买冰墩墩造型钥匙扣挂件59个，购买雪容融造型钥匙扣挂41个，③购买冰墩墩造型钥匙扣挂件60个，购买雪容融造型钥匙扣挂40个；（3），，随增大而增大，时，最大＝（元），此时购买冰墩墩造型钥匙扣挂件60个，购买雪容融造型钥匙扣挂40个，依题意得：，解得：．答：的最大值为1.8．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题目意思，列出方程组，不等式组及函数关系式．25．已知抛物线，与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，点为抛物线上一个动点，横坐标为，点为抛物线上另一个动点，横坐标为．(1)直接写出点，，的坐标．(2)将抛物线上点与点之间的部分记作图像，当图像的函数值的取值满足，求出的取值范围．(3)当点在第一象限时，以，为邻边作平行四边形，四边形的面积记为，求出关于的函数表达式，并写出的取值范围．(4)当以点点为端点的线段与抛物线之间的部分（包括、）有交点时，直接写出的取值范围．【答案】(1)，，(2)(3)(4)或．【分析】（1）分别令，即可求解；（2）结合函数图象即可求解；（3）连接，交轴于点，求得直线的解析式，进而求得的长，根据平行四边形的性质即可求解；（4）根据点的坐标特征画出图形，然后根据特殊位置求得符合条件的的值，结合图象即可求解．【详解】（1）解：由，令，解得，∴，令，即，解得：，∴，；（2）解：∵，顶点坐标为，∵点为抛物线上一个动点，横坐标为，当图像的函数值的取值满足，∴,当时，点与点重合，此时，∴，（3）解：如图，连接，交轴于点，∵点为抛物线上一个动点，横坐标为，且在第一象限，则∴，设直线的解析式为,又，则解得：,∴直线的解析式为，∴，∴，∴，∴；（4）解：∵点点为端点的线段与抛物线之间的部分有交点，由，可知是直线以及上的点，且轴，如图，如图，当时，，此时点在点左侧，当时，或（舍），当E点在抛物线上时，，解得或，∴，当点在对称右侧时，当时，，点在点的左侧，当在抛物线上时，，当经过抛物线顶点时，如图，此时，∴当时，以点点为端点的线段与抛物线之间的部分有交点；综上所述，当以点点为端点的线段与抛物线之间的部分（包括、）有交点时，或．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与坐标轴交点问题，特殊四边形与二次函数，面积问题，线段问题，数形结合是解题的关键．。
2023年广东省东莞中学初中部中考数学一模试卷及答案解析
2023年广东省东莞中学初中部中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．0.33333C．D．π2．（3分）某次比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是（）A．方差是3.6B．众数是10C．中位数是3D．平均数是6 3．（3分）下列运算结果正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．（﹣x）8÷（﹣x）4＝x4C．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6D．（3x+2y）2＝9x2+4y24．（3分）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．95．（3分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+3）2﹣2C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣26．（3分）定义新运算：a⊗b＝2a﹣b+3．例如，5⊗4＝2×5﹣4+3，则不等式组的解集为（）A．x＞3B．3＜x＜6C．无解D．﹣1＜x＜6 7．（3分）如图，a∥b，∠2＝120°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠BAC＝45°，⊙O半径为2，则劣弧的长为（）A．B．4C．D．π9．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD 于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为．12．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（4分）点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是．14．（4分）已知一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，则+的值为．15．（4分）如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为．16．（4分）冰淇淋蛋筒下部是圆锥形，则蛋筒圆锥形部分包装纸的面积是cm2．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：．19．（6分）先化简，再求值：，其中．20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线．（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是人；（2）扇形统计图中“自主学习时间为2小时”的扇形的圆心角的度数是；（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有多少人？（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率．22．（8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？23．（8分）如图，在矩形ABCO中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC于点E．（1）求k的值及直线DE的解析式；（2）在x轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求此时点P的坐标．五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24．（10分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O 于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）连接BE，求证：BE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为10，，求BH的长．25．（10分）在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C（1，0），且OC：OA＝AC：BC＝1：2．（1）求点A、点B的坐标；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A、B、C三点，求该抛物线的表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，并求出最大面积．2023年广东省东莞中学初中部中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．【解答】解：＝2，则是有理数；0.3333是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；π是无理数；故选：D．【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．2．【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．【解答】解：平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6；方差为×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]＝5.6；数据中5出现2次，所以众数为5；数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；故选：D．【点评】本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握相关定义是解题的关键．3．【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可．【解答】解：A、2x+3x＝5x，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣x）8÷（﹣x）4＝（﹣x）4＝x4，原计算正确，故此选项符合题意；C、（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（3x+2y）2＝9x2+12xy+4y2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则和公式．4．【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，从而解决此题．【解答】解：设这个多边形的边数为x．由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．∴x＝8．故选：C．【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．5．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x+3）2+2．故选：A．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由0.5⊗x＞﹣2得1﹣x+3＞﹣2，解得x＜6，由2x⊗5＞3x+1得4x﹣5+3＞3x+1，解得x＞3，则不等式组的解集为3＜x＜6，故选：B．【点评】本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．【分析】根据两直线平行，内错角相等可求出∠3的度数，然后根据邻补角的定义求出∠1的度数．【解答】解：∵a∥b，∠2＝120°，∴∠3＝120°，∵∠1和∠3是邻补角，∴∠1＝60°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．8．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，易得∠BOC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴的长为＝．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理，此题难度不大，利用圆周角定理得出∠OBC的度数是解决此题的关键．9．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可．【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵BC＝12，∴DE＝6，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，∴FE＝AC＝4，∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．10．【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；通过证明△BDE∽△DPE，可得∠EPD＝∠BDE＝45°，可求∠DPF＝∠BHP＝105°，可证△BHP∽△DPF，故③④正确；由相似三角形的性质可得＝＝，故②错误，根据∠BPC＝∠EPF＝60°，得∠ABE＝30°，△BPC是等边三角形，PC＝PB，PE＝PF，得CF＝BE，所以BE＝2AE②正确；即可求解．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PEF＝∠PFE＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF，∴CP+PF＝CP+PE，∴CF＝BE，在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，∴BE＝2AE，∴CF＝2AE，故②正确；∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE，∴∠EPD＝∠BDE＝45°，∵∠BPC＝∠EPF＝60°，∴∠FPD＝105°，∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，∴∠DPF＝∠BHP，又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，∴△BHP∽△DPF，故④正确；∴，∴＝，∵∠DCF＝30°，∴DC＝DF，∴＝，∴＝＝，故③错误，故选：B．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共28分）11．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：7062万＝70620000＝7.062×107．故答案为：7.062×107．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．12．【分析】从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．【解答】解：根据题意得到：x+3＞0，解得x＞﹣3，故答案为x＞﹣3．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．13．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案．【解答】解：点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，6），故答案为：（﹣2，6）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．14．【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝5，x1x2＝3，将其代入+＝（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，∴x1+x2＝5，x1x2＝3，则+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×3＝19，故答案为：19．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝”是解题的关键．15．【分析】由菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，即可求得OA 与OB的长，然后由股定理求得菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝6，∴OA＝AB＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5．故答案为：5．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．16．【分析】根据已知可以得出圆锥的母线长与底面圆的半径，根据圆锥的侧面积公式：S ＝πrL，可以得出圆锥的表面积．【解答】解：∵圆锥的底面圆的半径是cm，母线长为：8cm，∴根据圆锥的侧面积公式：S＝πrL＝π××8＝20πcm2．故答案为：20π．【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式，正确记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．17．【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点的坐标即可．【解答】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，AB∥x轴，∴OP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴，∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505⋯⋯2，∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为．故答案为：．【点评】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：原式＝1﹣3×+4+2＝1﹣3+4+2＝5﹣．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．【解答】解：＝＝＝．当时，原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20．【分析】（1）分别以点B和D为圆心，大于二分之一BD长为半径画弧，即可作BD的垂直平分线；（2）在（1）的条件下，利用ASA证明△ODF≌△OBE即可得BE＝DF．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ODF＝∠OBE，由作图过程可知：OD＝OB，在△ODF和△OBE中，，∴△ODF≌△OBE（ASA），∴BE＝DF．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法和得到△ODF≌△OBE．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．【分析】（1）由0.5小时人数及其所占百分比可得总人数；（2）100%减去其他三个时间段的百分比即为自主学习时间为2小时的百分比，再乘以360°即可；（3）总人数乘以样本中1.5小时、2小时所占百分比之和可得答案；（4）列表得出所有等可能结果和选中小华B的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次调查的学生人数是5÷10%＝50（人），故答案为：50；（2）2小时人数所占百分比为100%﹣10%﹣40%﹣30%＝20%，“自主学习时间为2小时”的扇形的圆心角的度数是360°×20%＝72°，故答案为：72°；（3）该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有800×（20%+30%）＝400（人），答：九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有400人；（4）列表如下：A B CA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）∵由树状图可得，共有6种等可能的结果，选中小华B的有4种，＝＝．∴P（选中小华B）【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．【分析】（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需（x+1.5）万元，根据“用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；（2）设甲种农机具最多能购买a件，根据题意，列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需（x+1.5）万元，根据题意得：，解得：x＝3，经检验：x＝3是方程的解且符合题意．答：甲种农机具一件需4.5万元，乙种农机具一件需3万元，（2）设甲种农机具最多能购买a件，则：4.5a+3（20﹣a）≤72.6，解得：a≤8.4，因为a为正整数，所以甲种农机具最多能购买8件．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．23．【分析】（1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线DE的关系式即可；（2）求出点D关于x轴的对称点D′的坐标，求出直线ED′与x轴的交点即可满足△PDE的周长最小；【解答】解：（1）∵在矩形ABCO中，AB＝2，BC＝4，∴点B（4，2），∵点D是边AB的中点，∴点D（4，1），∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的关系式为y＝，当y＝2时，即2＝，解得x＝2，∴点E（2，2），设直线DE的关系式为y＝kx+b，则，解得，，∴直线DE的关系式为y＝﹣x+3；（2）点D（4，1）关于x轴的对称点D′的坐标为（4，﹣1），直线ED′与x轴的交点即为所求的点P，此时△PDE的周长最小，设直线ED′的关系式为y＝ax+c，则，解得，∴直线ED′的关系式为y＝﹣x+5，当y＝0时，即﹣x+5＝0，解得x＝，∴直线ED′与x轴的交点P（，0），∴当△PDE的周长最小时，点P（，0）．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提．五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24．【分析】（1）如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；（2）连接AC，如图2所示，欲证明CE2＝EH•EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；（3）连接BE，如图3所示，由CE2＝EH•EA，可得EH＝9，在Rt△BEH中，根据BH ＝，计算即可；【解答】（1）证明：如图1中，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴＝，BE＝CE，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴＝，∴CE2＝EH•EA，∴BE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为10，sin∠BAE＝，∴AB＝20，BE＝AB•sin∠BAE＝20×＝12，∴EA＝＝16，∵＝，∴BE＝CE＝12，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝9，∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝15．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）根据OC＝1可得OA＝2，因为A在y轴上，可得A的坐标，根据勾股定理计算AC，AB的长，可得B的坐标；（2）利用待定系数法求二次函数的解析式；（3）根据动点的时间和速度表示PB和DQ的长，根据三角形面积公式表示△PQB面积，根据二次函数的最值即可解答．【解答】解：（1）∵C（1，0），∴OC＝1，∵OC：OA＝1：2，∴OA＝2，∴A（0，2），∴AC＝＝，∵AC：BC＝1：2，∴BC＝2，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵AB∥x轴，∴B（5，2），故答案为：（0，2），（5，2）；（2）设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则，解得：，∴过A、B、C三点的抛物线表达式为：y＝x2﹣x+2；（3）设点P的运动t秒时，△PQB面积最大，且0≤t≤5，则BP＝5﹣t，DQ＝5t，＝＝＝﹣，∴S△PQB∵a＝﹣＜0，＝﹣＝，∴当t＝﹣＝时，面积最大值是：S△PQB此时点P的坐标为（，2），当点Q向上运动时，点Q的坐标为（，），当点Q向下运动时，点Q的坐标为（，﹣），综上，当点P的坐标为（，2），点Q的坐标为（，）或（，﹣）时，△PQB面积最大，最大面积为．【点评】本题考查二次函数综合题，直角三角形，几何动点问题，勾股定理，三角形面积，二次函数最值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，确定Q的坐标，属于中考压轴题。
2023年广东省中考数学试卷及答案
2023年广东省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中,如果把收入5元记作5+元,那么支出5元记作（ ）A.5-元B. 0元C. 5+元D. 10+元 2. 下列出版社的商标图案中,是轴对称图形的为（ ）A. B. C. D.3. 2023年5月28日,我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功,C919可储存约186000升燃油,将数据186000用科学记数法表示为（ ）A. 50.18610⨯B. 51.8610⨯C. 418.610⨯D. 318610⨯4. 如图,街道AB 与CD 平行,拐角137ABC ∠=︒,则拐角BCD ∠=（ ）A. 43︒B. 53︒C. 107︒D. 137︒ 5. 计算32a a +的结果为（ ） A. 1a B. 26a C. 5a D. 6a6. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献,优选法中有一种0.618法应用了（ ）A. 黄金分割数B. 平均数C. 众数D. 中位数 7. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等,小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 128. 一元一次不等式组214x x ->⎧⎨<⎩的解集为( ) A. 14x -<< B. 4x < C. 3x < D. 34x <<9. 如图,AB 是O 的直径,50BAC ∠=︒,则D ∠=（ ）A. 20︒B. 40︒C. 50︒D. 80︒ 10. 如图,抛物线2y ax c =+经过正方形OABC 的三个顶点A ,B ,C ,点B 在y 轴上,则ac 的值为（ ）A. 1-B. 2-C. 3-D. 4-二、填空题：本大题共5小题,每小题3分,共15分．11. 因式分解：21x -=______.12. =_________．13. 某蓄电池的电压为48V,使用此蓄电池时,电流I (单位：A )与电阻R (单位：Ω)的函数表达式为48I R=,当12R =Ω时,I 的值为_______A ． 14. 某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打_______折．15. 边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上（如图）,则图中阴影部分的面积为_______．三、解答题（一）：本大题共3小题,第16题10分,第17、18题各7分,共24分．16. （12023|5|(1)-+-；（2）已知一次函数y kx b =+的图象经过点(0,1)与点(2,5),求该一次函数的表达式． 17. 某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12km ,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10min ,求乙同学骑自行车的速度．18. 2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂10m AC BC ==,两臂夹角100ACB ∠=︒时,求A ,B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ,参考数据sin500.766︒≈,cos500.643︒≈,tan50 1.192︒≈)四、解答题（二）：本大题共3小题,每小题9分,共27分．19. 如图,在▱ABCD 中,30DAB ∠=︒．（1）实践与操作：用尺规作图法过点D 作AB 边上的高DE ；(保留作图痕迹,不要求写作法)（2）应用与计算：在（1）的条件下,4=AD ,6AB =,求BE 的长．20. 综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：（1）直接写出纸板上ABC ∠与纸盒上111A B C ∠的大小关系；（2）证明（1）中你发现的结论．21. 小红家到学校有两条公共汽车线路,为了解两条线路的乘车所用时间,小红做了试验,第一周(5个工作日)选择A 线路,第二周(5个工作日)选择B 线路,每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间,数据统计如下：(单位：min)数据统计表数据折线统计图根据以上信息解答下列问题：（1）填空：=a __________；b =___________；c =___________；（2）应用你所学的统计知识,帮助小红分析如何选择乘车线路．五、解答题（三）：本大题共2小题,每小题12分,共24分．22. 综合探究如图1,在矩形ABCD 中()AB AD >,对角线AC BD ，相交于点O ,点A 关于BD 的对称点为A ',连接AA '交BD 于点E ,连接CA '．（1）求证：AA CA '⊥'；（2）以点O 为圆心,OE 为半径作圆．①如图2,O 与CD 相切,求证：AA '='； ①如图3,O 与CA '相切,1AD =,求O 的面积．23. 综合运用如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上,如图2,将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转,旋转角为()045αα︒<<︒,AB 交直线y x =于点E ,BC 交y 轴于点F ．（1）当旋转角COF ∠为多少度时,OE OF =；（直接写出结果,不要求写解答过程） （2）若点(4,3)A ,求FC 的长；（3）如图3,对角线AC 交y 轴于点M ,交直线y x =于点N ,连接FN ,将OFN △与OCF △的面积分别记为1S 与2S ,设12S S S =-,AN n =,求S 关于n 的函数表达式．2023年广东省中考数学试卷答案一、选择题：1. A2. A3. B4. D5. C6. A7. C8. D9. B10. B解：连接AC ,交y 轴于点D ,如图所示：当0x =时,则y c =,即OB c =∵四边形OABC 是正方形∴22AC OB AD OD c ====,AC OB ⊥ ∴点,22c c A ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴224c c a c =⨯+ 解得：2ac =-故选B ．二、填空题：11. ()()11x x +-12. 613. 414. 8.815. 15【详解】解：如图,由题意可知10,6,90AD DC CG CE GF CEF EFG =====∠=∠=︒,4GH =. ∴10CH AD ==∵90,D DCH AJD HJC ∠=∠=︒∠=∠∴()AAS ADJ HCJ ≌∴5CJ DJ ==∴1EJ =∵GI CJ ∥∴HGI HCJ ∽ ∴25GI GH CJ CH == ∴2GI =∴4FI = ∴()1152EJIF S EJ FI EF =+⋅=梯形. 故答案为15．三、解答题16. （1）6（2）21y x =+17. 乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．解：设乙同学骑自行车的速度为x 千米/分钟,则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟. 根据题意得：1212101.2x x-= 解得：0.2x =．经检验,0.2x =是原方程的解,且符合题意.答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．18. 15.3m【详解】解：连接AB ,作CD AB ⊥于D∵AC BC =,CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线,也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD =,1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中,10m AC =,50ACD ∠=︒,sin AD ACD AC ∠=∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A ,B 两点间的距离为15.3m ．四、解答题.19. （1）见解析 （2）6-【小问1详解】解：依题意作图如下,则DE 即为所求作的高：【小问2详解】∵4=AD ,30DAB ∠=︒,DE 是AB 边上的高∴cos AE DAB AD ∠=,即cos3042AE =︒=∴4AE == 又∵6AB =∴6BE AB AE =-=-即BE 的长为6-．20. （1）111ABC A B C ∠=∠（2）证明见解析.【小问2详解】证明：连接AC设小正方形边长为1,则AC BC ===AB ==22255AC BC AB +=+=ABC ∴为等腰直角三角形∵111111111AC B C AC B C ==⊥，∴111A B C 为等腰直角三角形11145A B BC C A ∠∠=︒∴=故111ABC A B C ∠=∠.21. （1）19,26.8,25（2）见解析【小问1详解】解：将A 线路所用时间按从小到大顺序排列得：14,15,15,16,18,20,21,32,34,35,中间两个数是18,20①A 线路所用时间的中位数为：1820192a +== 由题意可知B 线路所用时间得平均数为：2529232527263128302426.810b +++++++++== ①B 线路所用时间中,出现次数最多的数据是25,有两次,其他数据都是一次①B 线路所用时间的众数为：25c =.故答案为：19,26.8,25.【小问2详解】根据统计量上来分析可知,A 线路所用时间平均数小于B 线路所用时间平均数线路,A 线路所用时间中位数也小于B 线路所用时间中位数,但A 线路所用时间的方差比较大,说明A 线路比较短,但容易出现拥堵情况,B 线路比较长,但交通畅通,总体上来讲A 路线优于B 路线． 因此,我的建议是：根据上学到校剩余时间而定,如果上学到校剩余时间比较短,比如剩余时间是21分钟,则选择A 路线,因为A 路线的时间不大于21分钟的次数有7次,而B 路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长,比如剩余时间是31分钟,则选择B 路线,因为B 路线的时间都不大于31分钟,而A 路线的时间大于31分钟有3次,选择B 路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长,比如剩余时间是36分钟,则选择A 路线,在保证不迟到的情况,选择平均时间更少,中位数更小的路线．五、解答题.22. （1）见解析（2）①见解析；【小问1详解】∵点A 关于BD 的对称点为A '∴点E 是AA '的中点,90AEO ∠=︒又∵四边形ABCD 是矩形∴O 是AC 的中点∴OE 是ACA '的中位线∴OE A C '∥∴90AAC AEO ∠'=∠=︒∴AA CA '⊥'.【小问2详解】①过点O 作OF AB ⊥于点F ,延长FO 交CD 于点G ,则90OFA ∠=︒∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ,AO BO CO DO ===∴OCG OAF ∠=∠,90OGC OFA ∠=∠=︒． ∵OCG OAF ∠=∠,90OGC OFA ∠=∠=︒,AO CO = ∴()AAS OCG OAF ≌∴OG OF =．∵O 与CD 相切,OE 为半径,90OGC ∠=︒ ∴OG OE =∴OE OF =又∵90AEO ∠=︒即OE AE ⊥,OF AB ⊥ ∴AO 是EAF ∠的角平分线,即OAE OAF ∠=∠ 设OAE OAF x ∠=∠=,则OCG OAF x ∠=∠= 又∵CO DO =∴OCG ODG x ∠=∠=∴2AOE OCG ODG x ∠=∠+∠=又∵90AEO ∠=︒,即AEO △是直角三角形 ∴90AOE OAE ∠+∠=︒,即290x x +=︒ 解得：30x =︒∴30OAE ∠=︒,即30A AC '∠=︒ 在Rt A AC '△中,30A AC '∠=︒,90AA C '∠=︒ ∴2AC CA '=∴AA '==='. ①过点O 作OH A C '⊥于点H∵O 与CA '相切∴OE OH =,90A HO '∠=︒∵90AAC AEO A EO A HO ''∠'=∠=∠=∠=︒ ∴四边形A EOH '是矩形又∵OE OH =∴四边形A EOH '是正方形∴OE OH A H '==又∵OE 是ACA '的中位线∴12OE A C '= ∴12A H CH A C ''==∴OH CH =又∵90A HO '∠=︒∴45OCH ∠=︒又∵OE A C '∥∴45AOE ∠=︒又∵90AEO ∠=︒∴AEO △是等腰直角三角形,AE OE =设AE OE r ==,则AO DO ==∴)1DE DO OE r r =-=-= 在Rt ADE △中,222AE DE AD +=,1AD =即)222211r r +=∴()22111r ===+∴O 的面积为：2S r π==. 23. （1）22.5︒（2）154FC =（3）212S n = 【小问1详解】解：①正方形OABC①OA OC =,90A C ∠=∠=︒, ①OE OF =①Rt Rt (HL)OCF OAE ≌ ①COF AOE ∠∠=①COF AOG ∠∠=①AOG AOE ∠∠=①AB 交直线y x =于点E①45EOG ∠=︒①22.5AOG AOE ∠∠==︒ 即22.5COF ∠=︒.【小问2详解】过点A 作AP x ⊥轴,如图所示：①(4,3)A①3,4AP OP ==①5OA =①正方形OABC①5OC OA ==,90C ∠=︒ ①90C APO ∠∠==︒①AOP COF ∠∠=①OCF OPA ∽ ①OC FC OP AP =即543FC = ∴154FC =. 【小问3详解】①正方形OABC①45BCA OCA ∠∠==︒①直线y x =①45FON ∠=︒①45BCA FON ∠∠==︒①O 、C 、F 、N 四点共圆①45OCN FON ∠∠==︒①45OFN FON ∠∠==︒①FON ∆为等腰直角三角形 ①FN ON =,90FNO ∠=︒过点N 作GQ BC ⊥于点G ,交OA 于点Q①BC OA ∥①GQ OA ⊥①90FNO ∠=︒①1290∠∠+=︒①1390∠∠+=︒①23∠∠=∴(AAS)FGN NQO ≌①,GN OQ FG QN ==①GQ BC ⊥,90FCO COQ ∠∠==︒ ①四边形COQG 为矩形①,CG OQ CO QG == ①()()222222************OFN S S ON OQ NQ GN NQ GN NQ ∆===+=+=+ ()()()222221*********COFS S CF CO GC FG GN NQ GN NQ GN NQ ∆==⋅=-+=-=- ①212S S S NQ =-=①45OAC ∠=︒①AQN△为等腰直角三角形①NQ AN==∴222122S NQ n n⎛⎫===⎪⎪⎝⎭.。
2023年广东省东莞市中考三模数学试题
2023年广东省东莞市中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．C．D．
A．B．
C．D．
A．B．
C．D．二、填空题
5
6
x
三、解答题
21．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
x
(1)求证：GD 是O e 的切线；
(2)求证：2AD AB AG =⋅；
(3)若6CD =，8AD =，求cos ABC ∠的值．
25．如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣1，﹣5），B （0，﹣4）两点且与x
轴交于点C ，二次函数y ＝ax 2+bx +4的图象经过点A 、点C ．
（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；
（2）连接OA ，求∠OAB 的正弦值；
（3）若点D 在x 轴的正半轴上，是否存在以点D ，C ，B 构成的三角形与△OAB 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．。
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1
数学模拟试卷(九)
(满分：120分，时间：90分钟)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．(2022·武威)不等式3x－2>4的解集是()
A．x>－2 B．x<－2 C．x>2 D．x<2
2．(2022·武威)若∠A＝40°，则∠A的补角的大小是()
A．50° B．60° C．140° D．160°
3. 若||x2－4x＋4与2x－y－3互为相反数，则x＋y的值为()
A．3 B．4 C．6 D．9
4．(2021·百色)下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．正三角形B．正五边形C．等腰直角三角形 D．矩形
5. 在平面直角坐标系中，点A(2，－3)位于哪个象限()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．(2022·上海)下列运算正确的是()
A．a2＋a3＝a6B．(ab)2＝ab2
C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
7．(2022·武威)若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则ACDF＝()
A．49 B．94C．23D．32
8. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交
AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为()
A．2 B．3 C．4 D．5
第8题图 第10题图
9．(2022·云南)某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活
动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300
棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是()
A．400x－50＝300x B．300x－50＝400x
C．400x＋50＝300x D．300x＋50＝400x
10．(2022·聊城)如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推
断，以下结论错误的是()
A．∠BAQ＝40° B．DE＝12BDC．AF＝ACD．∠EQF＝25°
2
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是______.
12. 从－1，2，3，－6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点(m，n)在函数y＝6x图象
上的概率是____.
13．(2022·滨州)若点A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝6x的图象上，则y1，
y2，y3的大小关系为__________.
14．(2022·河池)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线
交PA于点P，则∠P＝____°.
第14题图 第15题图
15．(2022·海南)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝
30°，则∠AEB＝____°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是_____.
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．先化简，再求值：a－4a÷a－2a2，请从不等式组a＋1>0，4a－53≤1的整数解中选择一个合适的数求
值．
17．(2022·衡阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，且BD＝CE.求证：AD
＝AE.
3
18．(2022·通辽)如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰
墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．
(1)吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率是____；
(2)求吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．(用树状图或列表法表示)
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．(2022·鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19
日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处
看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角
为30°.若斜坡CF的坡比＝1∶3，斜坡高度DG＝30米(点E，G，C，B在同一水平
线上)．求：
(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；
(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)
20．(2022·重庆)为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，
再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1 800米，为早日完成任务，决定派乙施工队
与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度
进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，
4
两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
21．(2022·岳阳)如图，反比例函数y＝kx(k≠0)与正比例函数y＝mx(m≠0)的图象交于点A(－1，
2)和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式kx 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 23．(2022·衡阳)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD
22．(2022·恩施)如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，直线PO
交⊙O于点D，E，交AB于点C.
(1)求证：∠ADE＝∠PAE；
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
(3)若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
5
以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直
线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S(平方
单位)，点P运动时间为t(秒)．
(1)当点M与点B重合时，求t的值；
(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等；
(3)求S与t的函数关系式；
(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．